基于对象云的模糊边缘检测方法

摘要

本发明请求保护一种基于对象云的模糊边缘检测方法，涉及数字图像处理技术。该方法将模糊集理论和云理论集成应用于图像的边缘检测，设计了一种适用于图像的高效检测方法，基于灰度特征生成对象云，将图像中模糊对象表现为云团形式，正向云发生器实现图像空间与云空间的映射，云运算实现边界云团及其数字特征获取，根据最大模糊熵原理自适应进行边缘过渡区处理；本发明保留了图像中大量的低灰度值边缘信息，因而在很大程度上弥补了基于模糊集理论算法的缺陷，同时也兼顾了不确定边界的随机性问题，应用于多光谱影像能够取得好的检测效果。

权利要求

1.一种基于对象云的模糊边缘检测方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：(1)图像去噪处理阶段，对对象云图像进行非线性阈值降噪处理；(2)图像云核提取及合并阶段，基于灰度特征生成对象云，利用松弛迭代法生成不确定面云的云核，并进行云合并；(3)云化图像中各对象，生成云空间阶段，对不同类型对象云图像进行云化描述，正向云发生器实现图像空间与云空间的映射，对象云“实部”的均值作为云的期望值，“虚部”中每个象素的灰度隶属于“实部”灰度均值的隶属度；梯度小的区域对应对象云的“实部”，梯度变化剧烈的区域，对应对象云的“虚部”，梯度最大的地方对应对象云边缘，建立基于象素灰度特征的一维云空间映射模型；获取对象云在梯度图中的“实部”和“虚部”区域的梯度均值与标准差，在云模型中的二维云的基础上建立基于图像梯度的云空间映射模型，将图像空间的数据映射为云团，实现图像空间与云空间的映射；(4)对相邻对象云进行逻辑运算并提取边界过渡区，获取反映边界云覆盖范围的数字特征，根据数字特征通过正向云发生器算法计算各个像素的隶属度，隶属度值的集合作为模糊特征平面中的元素，构建基于边界云数字特征的模糊特征平面，根据模糊特征平面建立模糊矩阵；(5)根据最大模糊熵原理自适应进行边缘过渡区处理，对边缘过渡区进行生长及综合，获取连续而清晰的边缘线。

2.根据权利要求1所述的模糊边缘检测方法，其特征在于，所述步骤(2)具体包括，用灰度统计特征作为一致性测度，对具有相似的灰度分布，多个“核”的距离小于阈值的子云进行合并。

3.根据权利要求1所述的模糊边缘检测方法，其特征在于，所述步骤(3)中建立基于象素灰度特征的一维云空间映射模型进一步具体包括，对象云“实部”R象素灰度为f(i，j)，根据公式：${\bar{x}}_R=\frac{1}{n}\underset{(i,j)\in R}{\Sigma }f(i,j),{\sigma }_R={\left[\frac{1}{n}\underset{(i,j)\in R}{\Sigma }{(f(i,j)-{\bar{x}}_R)}^2\right]}^{1/2},$确定R的象素灰度均值xR及标准差σR，R的均值作为云的期望值Ex，“虚部”B象素灰度为f′(i，j)，根据公式：${\bar{x}}_B=\frac{1}{m}\underset{(i,j)\in B}{\Sigma }{f}^{\prime }(i,j),{\sigma }_B=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{(i,j)\in B}{\Sigma }{[f^{\prime }(i,j)-{\bar{x}}_B]}^2}$确定B象素灰度均值xB及标准差σB，根据公式：En＝stdev(f′(i，j))＝σB，$\mathrm{He}=\mathrm{stdev}({\mathrm{En}}_i^{\prime }=\sqrt{\frac{-{(f^{\prime }(i,j)-{\bar{x}}_R)}^2}{2\ln \left({\mu }_i\right)}})$确定数字特征(En，He)，根据对象云的数字特征(Ex，En，He)借助X条件云发生器生成云滴，生成以En为期望值，He为标准差的正态随机数En′j。

4.根据权利要求1所述的模糊边缘检测方法，其特征在于，所述步骤(3)中在云模型中的二维云的基础上建立基于图像梯度的云空间映射模型具体包括，根据对象云“实部”R在x方向的梯度均值gxR、标准差σxR，R在y方向的梯度均值gyR及标准差σyR，对象云“虚部”B在x方向的梯度均值g′xB及标准差σ′xB，B在y方向的梯度均值g′yB及标准差σ′yB，调用公式：Ex＝gxR，Ey＝gyR，Enx＝σ′xB，Eny＝σ′yB，$\mathrm{Hx}=\mathrm{stdev}\left(\sqrt{\frac{-{(g_{\mathrm{ix}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{xR}})}^2}{2\ln \left({\mu }_{\mathrm{xi}}\right)}}\right),$$\mathrm{Hy}=\mathrm{stdev}\left(\sqrt{\frac{-{(g_{\mathrm{iy}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{yR}})}^2}{2\ln \left({\mu }_{\mathrm{yi}}\right)}}\right)$确定对象云的数字特征(Ex，Ey，Enx，Eny，Hx，Hy)，生成以(Enx，Eny)为期望值，(Hx，Hy)为标准差的二维正态随机数(Enx′i，Eny′i)，其中，g′ix(x，y)为第i个象素在x方向的梯度，g′iy(x，y)为第i个象素在y方向的梯度，μxi和μyi分别为“虚部”中第i个象素在x方向和y方向的梯度隶属于“实部”梯度均值的隶属度。

5.根据权利要求1所述的模糊边缘检测方法，其特征在于，所述步骤(4)进一步具体包括，云空间中边界云所覆盖的所有象素构成的二维集合为边界过渡区；根据边界云的数字特征通过正向云发生器计算各个像素的隶属度，隶属度值的集合作为模糊特征平面中的元素。

6.根据权利要求1所述的模糊边缘检测方法，其特征在于，所述步骤(5)进一步具体包括，利用模糊特征矩阵进行图像模糊划分熵的计算，寻求最优隶属度，由此得到最优模糊阈值，根据边缘图像的隶属带模糊划分边界云覆盖的区域。

7.根据权利要求1所述的模糊边缘检测方法，其特征在于，所述边缘生长法则为，以栅格扫描方式寻找初始边缘生长点，并将其作为窗口的中心；以窗口中的象素作为候选点，以生长点为中心其八邻域的象素，正左边以及正下方是不可能的生长方向。

说明书

技术领域

本发明涉及数字图像处理技术，尤其涉及对图像的边缘检测技术。具体地说，是基于一种新的模糊理论——云理论的图像边缘检测技术。

背景技术

近年来，人们对于基于模糊理论的边缘检测技术进行了大量研究，国内外不少学者致力于将模糊理论引入图像处理。如S.K.Pal的模糊增强算法、T.L.Huntsberger的模糊C-均值算法、模糊神经网络算法、模糊竞争边缘检测算法等。但现存的各种模糊检测算子尚不完善，一方面，在实际情况下特别是图像噪声较多的情况下，检测效果较差；另一方面，不能有效地应用于遥感图像检测，特别是对于现在被广泛应用的多光谱影像而言，利用普通模糊检测算子不可能得到令人满意的效果，有时甚至无法进行检测，具体表现在：现有模糊算法具有模糊不彻底性，同时很少考虑图像中存在的随机影响。作为处理模糊性问题的主要工具，模糊集理论被广泛地应用于模糊边缘检测算法当中。模糊集理论提出了隶属度的概念来刻画模糊边缘的亦此亦彼性，把确定集合中的二值隶属关系{0，1}扩展为一个模糊隶属度区间[0，1]，以数学的方法研究广泛存在的模糊现象。然而模糊集并没有从根本上解决模糊不确定性问题。首先，模糊隶属函数概念的实质以及具体确定方法尚无定论，其确定仍然停滞在经验判断的阶段；其次，用一个唯一的精确数字表示元素对模糊集的隶属程度，将使模糊问题强行精确化；第三，在研究同时含有模糊性和随机性的不确定问题时，模糊集只能丢弃随机性。如文献(Lily RuiLiang.Carl G.Looney.Competitive Fuzzy Edge Detection.Applied softcomputing，2003，3：123-137)提出一种模糊竞争边缘检测算法，该算法根据象素不同的方向上灰度值的变化不同，引入四维特征向量，利用模糊隶属度函数对象素点进行竞争分类。该算法独特的地方就在于其出发点有别于传统的检测方法，非常巧妙地引人四维特征向量和模糊竞争的思想，充分地体现了模糊定位的优势。但是，图像细节部位的提取仍不是特别的理想，而且.抗噪性能也不是很高。
基于模糊集理论的普通模糊算法利用一个精确的隶属函数来描述一个模糊边缘集合，将模糊概念人为纳入精确的数学王国，这种传统模糊集理论的不彻底性导致了模糊边缘的强行精确化，这与遥感数据的模糊本质相悖。

发明内容

本发明针对现有技术的上述缺陷，提出一种基于对象云的模糊边缘检测方法，对不同对象进行了云化描述，该方法具有弥补基于传统模糊集理论算法的缺陷，同时也兼顾不确定边界的随机性问题。
本发明解决上述技术问题的技术方案是，首次将云理论及云模型应用于图像边缘检测领域，提出一种基于对象云的模糊边缘检测方法(OCFD)。本方法具体包括以下步骤：(1)图像去噪处理阶段，对对象云图像进行非线性阈值降噪处理；(2)图像云核提取及合并阶段，基于灰度特征生成对象云，利用松弛迭代法生成不确定面云的云核，并进行云合并；(3)云化图像中各对象，生成云空间阶段，对不同类型对象云图像进行云化描述，将图像空间的数据通过一对多模型在该空间中映射为云团，实现图像空间与云空间的映射；(4)对相邻对象云进行逻辑运算并提取边界过渡区，获取反映边界云所覆盖范围的数字特征，构建基于边界云数字特征的模糊特征平面，根据模糊特征平面建立模糊矩阵；(5)根据最大模糊熵原理自适应进行边缘过渡区处理，根据边界云数字特征计算各个像素的隶属度，边界云所覆盖的所有象素构成的二维集合为边界过渡区；(6)对边缘进行生长及综合，获取连续而清晰的边缘线。
该方法给出不同类型对象在云空间中的云化表达。对不同类型对象进行了云化描述，分别以点云、线云和面云表达点状、线状及面状地物。将图像空间的数据通过一对多模型在该空间中映射为云团，具备描述其模糊性及随机性的数字特征，体现对象云不确定的过渡信息。在经典云发生器算法的基础上提出了对象云发生器算法。建立基于象素灰度特征的一维云空间映射模型、基于图像在两个方向上梯度特征的二维云空间映射模型，对对象云进行计算。提出了一维边界云及多维边界云的提取方法。采用基于边界云的过渡区提取算法，构建基于边界云数字特征的模糊特征平面，根据模糊特征平面建立模糊矩阵，将模糊矩阵的每个元素定义为一个由边界云数字特征所产生的隶属度值的集合，表明图像中每个象素在随机因素影响下，对某一对象的隶属程度不是一个精确值，而表现为一种概率分布，该方法可在一定程度上体现出在随机性影响下图像所具有的特性。利用最大模糊熵在过渡区内检测边缘，充分地考虑了象素与其邻域之间的相关性，基于最大模糊熵原理定义邻域一致性测度，检测云空间内边界云过渡区内边缘特征。利用模糊特征矩阵进行图像模糊划分熵的计算，将图像中的随机影响带入熵的求解，并多次利用模糊划分熵在服从一定概率分布的隶属度集合中寻求最优解；为了最大程度地利用图像信息，提出了在结构一致性测度和方向一致性测度的共同约束下，边缘点的提取原则及方法。
本发明提出的OCFD方法，将待检测对象云图像中模糊对象表现为云团形式，利用云的特性，保留了图像中大量的低灰度值边缘信息，在很大程度上弥补了基于模糊集理论算法的缺陷，同时也兼顾了不确定边界的随机性问题；另外，与传统检测算法相反，该算法根据图像灰度数据构建对象云，用宏观的云对象取代了微观的象素，因而计算量大大减少。能取得较好检测效果，同时具有较强的抗噪能力，能够较好地检测出对象边缘，检测结果中断裂处少，漏检情况较少。该方法具有弥补基于传统模糊集理论算法的缺陷，同时也兼顾不确定边界的随机性问题。

附图说明

图1是本发明所述基于对象云的模糊边缘检测方法流程图

具体实施方式

作为空间信息采集的重要手段，遥感在很短的发展时间内，为地球科学研究提供了大量宏观、同步的第一手信息，而且随着航天遥感信息获取技术的快速发展，这种数据提供能力越来越强。如何全面认识和利用各种数字或模拟影像所反映的地表景观和地学过程，从多种途径利用遥感信息本身的特征来刻画地球物体的物理、化学、形态等方面的属性，建立影像与地面物体在数学与地学意义上的综合对应关系，是填补遥感信息提取与分析知识间隙的主要研究内容。
本发明基于灰度特征生成对象云，提取图像云核，并对具有相似的灰度分布，子云之间的距离小的云合并；正向云发生器实现图像空间与云空间的映射；云运算实现边界云团及其数字特征获取；根据最大模糊熵原理自适应进行边缘过渡区处理。
下面结合附图和具体实施例对本发明的实施作具体描述。如图1所示为本发明所述基于对象云的模糊边缘检测方法流程图。该边缘检测方法具体包括以下处理步骤：
图像去噪处理。对待检测的对象云图像进行非线性阈值降噪处理，提取待检测的对象云图像，采用多尺度非线性阈值方法对待处理对象云的图像进行去噪处理。以下以一种小波分解和非线性阈值降噪处理方法为例具体进行描述，即首先对对象云图像进行小波分解，设x为真实云图像信号，n为与x相互独立、均值为0的噪声，y为观察信号，则云图像信号斑点噪声模型可表示为其中x＝m-常数，则y的方差${\sigma }^2=m{\sigma }_n^2,$σn2-为噪声方差。令为二维小波函数，A0是2×2的非奇异矩阵，WTf为f(x)的二维小波变换，f(x)∈L2(R2)，则有
${\psi }_{j,n}\left(\bar{x}\right)={\left|A_0\right|}^{-j}\psi [A_0^{-j}\bar{x}-\bar{n}]$
${\mathrm{WT}}_f(j,\bar{n})=⟨f\left(\bar{x}\right),{\psi }_{j,n}\left(\bar{x}\right)⟩={\left|A_0\right|}^{-j}{\int }_{x}f\left(\bar{x}\right)\psi [A_0^{-j}\bar{x}-\bar{n}]d\bar{x}$
如可应用Daubechies小波对图像进行分解，设尺度j的部分为：
${\hat{s}}_j(k_1,k_2)=\mathrm{WT}\hat{s}\ge (j,k_1,k_2)=\frac{1}{{\left|A_0\right|}^j}\underset{x_1}{\Sigma }\underset{x_2}{\Sigma }\hat{s}(x_1,x_2){\psi }^{*}(A_0^{-j}\bar{x}-\bar{k})$
式中ψ*-ψ的复共轭。
完成小波分解后，对信号中不同尺度的高频部分进行非线性阈值降噪处理。采用软阈值降噪方法，令尺度j的阈值为Tj，则小波系数为：
$C{\hat{s}}_j(k_1,k_2)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sign}\left[{\hat{s}}_j(k_1,k_2)\right]\left[\right|{\hat{s}}_j(k_1,k_2)|-T_j]& \left|{\hat{s}}_j(k_1,k_2)\right|\ge T_j\\ 0& \left|{\hat{s}}_j(k_1,k_2)\right|<T_j\end{array}\right.$
$T_j={\sigma }_j\sqrt{2\log (j+1)/j},j=\mathrm{1,2,3},...,k\in z$
${\sigma }_j=\sqrt{\frac{1}{N_j^2}\underset{k_1,k_2}{\Sigma }{({\hat{s}}_j(k_1,k_2)-E\left({\hat{s}}_j\right))}^2}$
式中σj-尺度j上的噪声方差，的期望值，Nj-图像的大小。
最后利用离散小波逆变换重建图像，得到降噪后的图像，完成信号的去噪过程。
$s(x_1,x_2)=\underset{j}{\Sigma }\underset{k_1}{\Sigma }\underset{k_2}{\Sigma }C{\hat{s}}_j(j,k_1,k_2)\psi (A_0^{-j}\bar{x}-\bar{k})$
图像云核提取及合并阶段。用灰度统计特征作为一致性测度，利用松弛迭代法生成不确定面云的云核Area。设经图像去噪处理后待处理图像中有N个象素，图像N个象素的原始集合为s＝{s1，s2，...，sN}，根据图像灰度直方图的峰值数量将其分为M类，得结果集C＝{C1，C2，...，CM}。定义pij(0)为si∈Cj(1≤i≤N，1≤j≤M)的初始概率，pij(r)，(r＝1，2，...)为逐次迭代概率，qij为pij的增量。在每一次迭代过程中，图像中各个象素的灰度都被进行加权调整，在存储器中预先设定一个阈值，根据阈值确定迭代是否达到预期目标，并在象素的灰度达到阈值时认为迭代收敛，终止迭代过程，将进行加权调整后获得的图像的最终结果所产生的区域作为初始云核。由于图像中各种干扰因素的影响，在一个面元中可能同时生成多个“核”，即产生多云现象，为了避免多余边界的出现，可采用“云合并”方法综合多云。判断模块对具有多个“核”的云进行判断，当多云满足如下条件：所有子云的“核”具有相似的灰度分布；子云之间的距离小于预先设定的阈值，则将多个“核”的云进行综合。以两个子云的综合为例说明其方法。设有两个云C1和C2，其数字特征分别为(Ex1，En1，He1)和(Ex2，En2，He2)，MECC1(x)和MECC2(x)分别是C1和C2的期望曲线方程。令C为C1和C2合并后的新云，数字特征为(Ex，En，He)。则：
${{\mathrm{MEC}}^{\prime }}_{C_1}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{MEC}}_{C_1}\left(x\right),& {\mathrm{MEC}}_{C_1}\left(x\right)\ge {\mathrm{MEC}}_{C_2}\left(x\right)\\ 0,& \mathrm{others}\end{array}\right.$
${{\mathrm{MEC}}^{\prime }}_{C_2}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{MEC}}_{C_2}\left(x\right),& {\mathrm{MEC}}_{C_2}\left(x\right)\ge {\mathrm{MEC}}_{C_1}\left(x\right)\\ 0,& \mathrm{others}\end{array}\right.$
${\mathrm{En}}_1^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_U{{\mathrm{MEC}}^{\prime }}_{C_1}\left(x\right)\mathrm{dx}$ ${\mathrm{En}}_2^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_U{{\mathrm{MEC}}^{\prime }}_{C_2}\left(x\right)\mathrm{dx}$
式中MEC′C1(x)、MEC′C2(x)为MECC1(x)和MECC2(x)不重叠的部分；En1′、En2′为截断熵。可以看出，En1和En2是被MECC1(x)和MECC2(x)所覆盖的面积乘以系数而En1′和En2′是被MEC′C1(x)和MEC′C2(x)覆盖的面积乘以系数因而云合并后产生的新云的熵是两个截断熵的和，期望值和超熵是以截断熵为权的加权平均。通过以下公式可得新云的数字特征：
$\mathrm{Ex}=\frac{{\mathrm{Ex}}_1{\mathrm{En}}_1^{\prime }+{\mathrm{Ex}}_2{\mathrm{En}}_2^{\prime }}{{\mathrm{En}}_1^{\prime }+{\mathrm{En}}_2^{\prime }}$En＝En1′+En2′$\mathrm{He}=\frac{{\mathrm{He}}_1{\mathrm{En}}_1^{\prime }+{\mathrm{He}}_2{\mathrm{En}}_2^{\prime }}{{\mathrm{En}}_1^{\prime }+{\mathrm{En}}_2^{\prime }}$
上述方法可以将各个子云空间中的信息综合起来，构成复合云空间中对象云的数字特征。但值得注意的是，这里提出的云合并方法对其子云具有严格的限制，需满足所有子云的“核”具有相似的灰度分布，子云之间的距离小于预先设定的阈值，否则将失去综合的意义。
云化图像中各对象，生成云空间。给出不同类型对象在云空间中的云化表达，对不同类型对象进行了云化描述，分别以点云、线云和面云表达点状、线状及面状地物。
1.空间对象的云描述
由于可将点状地物看作面状地物来处理，加上面积较小，因而将其近似看作小圆面。在这个小圆面中，中心附近亮度较为均匀，越接近小圆边界，亮度变化越复杂，图像越模糊。引入云理论的观点，不确定点状地物可以用正态云模型(P(i，j)，Ex，Enx，Hx，Ey，Eny，Hy)表示，其中P(i，j)、(Ex，Ey)表示点状地物中心象素的位置及平均亮度，象素属于该地物的隶属度为1；随着离地物中心距离的增加，象素隶属于该地物的隶属度逐渐减小。若将点状地物看作小圆面，则Ex＝Ey，Enx＝Eny，Hx＝Hy，若Ex＝Ey，Enx＝Eny＝0，Hx＝Hy＝0，则该点是一个精确的点位。
由于分辨率等因素的影响，单象素、单宽度的线状体在遥感图像中并不存在，一般是由多个相邻象素构成的条带状对象，具有一定面积，在宽度方向上有多个象素。在表示线状地物的条带区域中心附近，亮度较高(也可能较低)且较为均匀，而越接近区域边界，亮度变化越复杂，图像越模糊。引入云理论的观点，不确定线状地物可以用云模型L(Line，En，He)表示，该云的核心是一条由多个相邻单象素连接而成直线或曲线，直线或曲线上的象素点属于该线状地物的隶属度为1，随着和这条中心线距离的增加，象素隶属于该地物的隶属度逐渐减小。沿线的方向是一个均匀分布，该云的垂线方向为一维正态云，在x-y平面上的投影是一条模糊直线或曲线。
引入云理论的观点，不确定面状地物可用云模型A(Area，En，He)表示，该云的核心是一个多边形，在这个多边形内部，任意象素隶属于该面状地物的隶属度为1，随着与该多边形距离的增加，隶属度逐渐减小。在多边形的外部，根据象素点到多边形的距离表现为“半降云”这个半降云的熵及超熵分别为En和He。该云在垂线方向表现为梯形云。当该云的多边形核心缩小为一点时，该不确定面状云则退化为不确定点状云。
2.云空间映射模型
将图像空间的数据通过一对多模型在该空间中映射为云团，具备描述其模糊性及随机性的数字特征，体现对象云不确定的过渡信息。在经典云发生器算法的基础上提出了对象云发生器算法。正向云发生器实现图像空间与云空间的映射，建立基于象素灰度特征的一维云空间映射模型、基于图像在两个方向上梯度特征的二维云空间映射模型。
由于图像空间中的对象具有模糊性，因而可以将一个对象分为“实部”与“虚部”两部分。“实部”对应着对象的主体，是图像中一个空间对象的内部象素集合，该集合内的象素从灰度特征上来讲较为均匀，灰度差值小于某个特定阈值，隶属于该对象的隶属度为1；“虚部”对应“实部”以外至边界之间的象素集合，这些象素灰度变化剧烈，灰度差值较大，隶属于该对象的隶属度小于1，并呈现出与对象中心距离增大而减小的规律。
模糊集合中普遍存在一个概念中心或聚类中心，在云空间中将其称为云核。空间对象的“实部”在云空间中即对应一个云核。对于一幅单波段图像来讲，以构成每个对象的象素灰度分布作为论域来建立一维云空间，首先要解决的就是“云核”的生成。由于图像中无论是点状对象还是线状对象都表现为具有一定面积的区域，因而可将这些对象统一的看作面状对象来处理。面状对象“实部”的获取，区域生长方法可取得较好的效果。
1)建立基于象素灰度特征的一维映射模型
设通过区域生长方法获取的对象云“实部”R中共有n个象素，为象素灰度f(i，i)的函数，R的均值及标准差可表示为：
${\bar{x}}_R=\frac{1}{n}\underset{(i,j)\in R}{\Sigma }f(i,j)$ ${\sigma }_R={\left[\frac{1}{n}\underset{(i,j)\in R}{\Sigma }{(f(i,j)-{\bar{x}}_R)}^2\right]}^{1/2}$
同样采用(Pm(im，jm)，Ex，En，He)四个参数来描述对象云，由于Ex是云的期望值，同时也是云核所在，因而可令对象云“实部”的均值作为云的期望值，有$\mathrm{Ex}={\bar{x}}_R.$假如对象“虚部”B中共m个象素，象素灰度为f′(i，j)，则μi为“虚部”中每个象素的灰度隶属于“实部”灰度均值的隶属度，则有：
${\mu }_i=1-\left|\frac{f^{\prime }(i,j)-{\bar{x}}_R}{255}\right|,(i=\mathrm{1,2},...,m)$
“虚部”象素灰度均值及标准差σB为：
${\bar{x}}_B=\frac{1}{m}\underset{(i,j)\in B}{\Sigma }{f}^{\prime }(i,j)$ ${\sigma }_B=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{(i,j)\in B}{\Sigma }{[f^{\prime }(i,j)-{\bar{x}}_B]}^2}$
计算${\mathrm{En}}_i^{\prime }=\sqrt{\frac{-{(f^{\prime }(i,j)-{\bar{x}}_R)}^2}{2\ln \left({\mu }_i\right)}}$
令En＝stdev(f′(i，j))＝σB，He＝stdev(Eni′)。
现已知对象云的四个数字特征(Pm(im，jm)，Ex，En，He)，可利用后三个参数，借助X条件云发生器生成云滴。生成以En为期望值，He为标准差的正态随机数Enj′
Enj′＝G(En，He)
利用下面的公式
${\mu }_j=\exp [-\frac{{(f^{\prime }(i,j)-\mathrm{Ex})}^2}{{2\mathrm{En}}_j^{\prime 2}}]$
计算μj，令(f′(i，j)，μj)为云滴。
2)建立基于梯度的二维映射模型，计算象素在x方向、y方向的梯度均值及标准差
对于大多数自然图像来说，通常具有大片梯度很小的区域，这些区域实际上对应了对象的“实部”，另外还有一些梯度变化较为剧烈的区域，代表了对象的“虚部”，梯度最大的地方对应了边缘所在。设R为梯度图中梯度小而较均匀的内部区域，其中共有n个象素。设gix(x，y)为第i个象素在x方向的梯度，和σxR为R在x方向的梯度均值及标准差，则有：
${\bar{g}}_{\mathrm{xR}}=\frac{1}{n}\underset{(x,y)\in R}{\Sigma }{g}_{\mathrm{ix}}(x,y)$ ${\sigma }_{\mathrm{xR}}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{(x,y)\in R}{\Sigma }{[g_{\mathrm{ix}}(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{xR}}]}^2}$
同理，令giy(x，y)为第i个象素在y方向的梯度，和σyR为R在y方向的梯度均值及标准差，则有：
${\bar{g}}_{\mathrm{yR}}=\frac{1}{n}\underset{(x,y)\in R}{\Sigma }{g}_{\mathrm{iy}}(x,y)$ ${\sigma }_{\mathrm{yR}}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{(x,y)\in R}{\Sigma }{[g_{\mathrm{iy}}(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{yR}}]}^2}$
设B为梯度图中梯度较大变化剧烈的区域，其中共有m个象素。令gix′(x，y)为第i个象素在x方向的梯度，和σxB′为B在x方向的梯度均值及标准差，giy′(x，y)为第i个象素在y方向的梯度，和σyB′为B在y方向的梯度均值及标准差，则有：
${\bar{g}}_{\mathrm{xB}}^{\prime }=\frac{1}{m}\underset{(x,y)\in B}{\Sigma }{g}_{\mathrm{ix}}^{\prime }(x,y)$ ${\sigma }_{\mathrm{xB}}^{\prime }=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{(x,y)\in B}{\Sigma }{[g_{\mathrm{ix}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{xB}}^{\prime }]}^2}$
${\bar{g}}_{\mathrm{yB}}^{\prime }=\frac{1}{m}\underset{(x,y)\in B}{\Sigma }{g}_{\mathrm{iy}}^{\prime }(x,y)$ ${\sigma }_{\mathrm{yB}}^{\prime }=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{(x,y)\in B}{\Sigma }{[g_{\mathrm{iy}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{yB}}^{\prime }]}^2}$
通过上述计算，可以得到四个基本参数：分别是对象在梯度图中的“实部”区域的梯度均值与标准差，以及对象在梯度图中的“虚部”区域的梯度均值与标准差。由于梯度图涉及到x方向和y方向两个梯度分量，因而可在云模型中的二维云的基础上建立基于图像梯度的云空间映射模型。
令$\mathrm{Ex}={\bar{g}}_{\mathrm{xR}},$$\mathrm{Ey}={\bar{g}}_{\mathrm{yR}},$Enx＝σxB′，Eny＝σyB′，μxi和μyi分别为“虚部”中第i个象素在x方向和y方向的梯度隶属于“实部”梯度均值的隶属度，gmax′为虚部中梯度最大值。则有：
${\mu }_{\mathrm{xi}}=1-\left[\frac{g_{\mathrm{ix}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{xR}}}{g_{\max }^{\prime }}\right]$ ${\mu }_{\mathrm{yi}}=1-\left[\frac{g_{\mathrm{iy}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{yR}}}{g_{\max }^{\prime }}\right]$
${\mathrm{Enx}}_i^{\prime }=\sqrt{\frac{-{(g_{\mathrm{ix}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{xR}})}^2}{2\ln \left({\mu }_{\mathrm{xi}}\right)}}$ ${\mathrm{Eny}}_i^{\prime }=\sqrt{\frac{-{(g_{\mathrm{iy}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{yR}})}^2}{2\ln \left({\mu }_{\mathrm{yi}}\right)}}$
令Enx＝stdev(gix′(x，y))＝σxB′，Eny＝stdev(giy′(x，y))＝σyB′，Hx＝stdev(Enxi′)，Hy＝stdev(Enyi′)
现根据对象云的数字特征(Ex，Ey，Enx，Eny，Hx，Hy)，借助X条件云发生器生成云滴。生成以(Enx，Eny)为期望值，(Hx，Hy)为标准差的二维正态随机数(Enxi′，Enyi′)
            (Enxi′，Enyi′)＝G(Enx，Hx，Eny，Hy)
利用下述公式计算μj，令(gix′(x，y)，giy′(x，y)，μj)为云滴。
${\mu }_j=\exp \{-\frac{1}{2}[\frac{{(g_{\mathrm{ix}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{xR}})}^2}{{\mathrm{Enx}}_i^{\prime 2}}+\frac{{(g_{\mathrm{iy}}^{\prime }(x,y)-{\bar{g}}_{\mathrm{yR}})}^2}{{\mathrm{Eny}}_i^{\prime 2}}\left]\right\}$
边界云及其模糊特征平面
对相邻对象云进行逻辑运算，提取边界云团及其数字特征，构建基于边界云数字特征的模糊特征平面，根据模糊特征平面建立模糊矩阵。
1.提取边界云团及其数字特征。经过上述的云化处理，图像中各相邻对象生成的云团，由于边界象素的亦此亦彼性，加上超熵的影响，其空间关系呈现出一种相交关系。两个云团相交的部分所对应的象素，其变化较为剧烈，从梯度图上看，是梯度较大的区域，这些象素共同构成了其左右多边形的过渡区域。从理论上讲，边界云是以图像边缘象素的平均灰度作为期望值，分别计算过渡区内各象素隶属于该灰度值的隶属度而生成的一种特殊的云团。边界云垂直方向切面的形态是典型的正态云。从位置上来看，它位于左右两个相交云团中间，其灰度分布位于相邻云核灰度之间；从统计特征来看，它所覆盖的象素即为左右多边形虚部区域的象素，因而该边界云的数字特征与其左右云团的数字特征密不可分。
对于单波段图像进行云化处理后，将生成一维云空间。在云空间中两个相交云团之间的边界云可以通过左右相交云团的与运算生成，对左右相交云团进行逻辑运算获取边界云的三个数字特征。设论域上有两朵相交云团A＝(PA(i，j)，ExA，EnA，HeA)和B＝(PB(i，j)，ExB，EnB，HeB)，C(LC(i，j)，ExC，EnC，HeC)为边界云。边界云C垂线方向为一维正态云，其数学期望曲线AC(x)为：
$A_C\left(x\right)=\exp [-\frac{{(x-{\mathrm{Ex}}_C)}^2}{2{\mathrm{En}}_C^2}]$
三个数字特征可以通过对左右对象云的数字特征进行如下运算获得：
$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{Ex}}_C\cong \frac{1}{2}|({\mathrm{Ex}}_A-3E{n}_A-{\mathrm{He}}_A)+({\mathrm{Ex}}_B+3{\mathrm{En}}_B+{\mathrm{He}}_B)|\\ {\mathrm{En}}_C\cong \frac{1}{6}|({\mathrm{Ex}}_B+3{\mathrm{En}}_B+{\mathrm{He}}_B)-({\mathrm{Ex}}_A-3{\mathrm{En}}_A-{\mathrm{He}}_A)|\\ {\mathrm{He}}_C=\max ({\mathrm{He}}_A,{\mathrm{He}}_B)\end{array}\right\}$
对多光谱图像而言，由于对应的是一个多维空间，因而在多维云空间中进行边界云的提取，需要在各维上分别完成。设多光谱图像具有m个波段，云化处理之后生成m维云空间Rm。图像空间中相邻对象A和B分别有多维云A[ExA1，EnA1，HeA1，ExA2，EnA2，HeA2，...，ExAm，EnAm，HeAm]和B[ExB1，EnB1，HeB1，ExB2，EnB2，HeB2，...，ExBm，EnBm，HeBm]与之对应。分别对A和B中对应维度的对象云进行逻辑运算：
$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{Ex}}_{\mathrm{Ck}}\cong \frac{1}{2}|({\mathrm{Ex}}_{\mathrm{Ak}}-3E{n}_{\mathrm{Ak}}-{\mathrm{He}}_{\mathrm{Ak}})+({\mathrm{Ex}}_{\mathrm{Bk}}+3{\mathrm{En}}_{\mathrm{Bk}}+{\mathrm{He}}_{\mathrm{Bk}})|\\ {\mathrm{En}}_{\mathrm{Ck}}\cong \frac{1}{6}|({\mathrm{Ex}}_{\mathrm{Bk}}+3{\mathrm{En}}_{\mathrm{Bk}}+{\mathrm{He}}_{\mathrm{Bk}})-({\mathrm{Ex}}_{\mathrm{Ak}}-3{\mathrm{En}}_{\mathrm{Ak}}-{\mathrm{He}}_{\mathrm{Ak}})|\\ {\mathrm{He}}_{\mathrm{Ck}}=\max ({\mathrm{He}}_{\mathrm{Ak}},{\mathrm{He}}_{\mathrm{Bk}})\end{array}\right\},(k=\mathrm{1,2},...,m)$
式中ExCk、EnCk、HeCk-第k维对象云计算的结果，即在第k维中提取的边界云的数字特征。
2.边界过渡区的提取。定义云空间中边界云所覆盖的所有象素构成的二维集合为边界过渡区，对云的各维分别实施“软与”运算获取边界云团及其反映边界云所覆盖的灰度范围的数字特征。
过渡区是图像中介于目标与背景之间的部分象素构成的区域，这部分象素的空间位置位于目标与背景之间，灰度分布也位于目标灰度均值与背景灰度均值之间，因此，过渡区在云空间中表现为两个相交云团云核之外云滴的覆盖范围。
设图像I中有两个相邻对象A和B，通过映射模型在云空间中生成两朵相交云团A＝(PA(i，j)，ExA，EnA，HeA)和B＝(PB(i，j)，ExB，EnB，HeB)。利用边界云的提取方法，在二者之间生成边界云C(LC(i，j)，ExC，EnC，HeC)，同时获得反映边界云所覆盖的灰度范围的边界云数字特征，其中ExC是边界云云核灰度期望值，EnC为熵，反映边界云所覆盖的灰度范围，体现过渡区象素亦此亦彼的裕度。令a、b为过渡区左右门限值，有：
        a＝ExC-3σ-HeC＝ExC-3EbC-HeC
        b＝ExC+3σ+HeC＝ExC+3EnC+HeC
则过渡区定义为云空间中为边界云所覆盖的所有象素构成的二维集合，即
        TR＝{(i，j)∈I|a≤f(i，j)≤b}＝
        {(i，j)∈I|ExC-3EnC-HeC≤f(i，j)≤ExC+3EnC+HeC}
3.建立基于边界云数字特征的模糊特征平面
一幅具有L个灰度级，大小为M×N的二维图像，可以看作为一个模糊点阵集，集内的每一个元素均具有相对于某个特定灰度级的隶属函数μij，全体μij(i＝1，2，...，M；j＝1，2，...，N)组成的平面称为图像模糊特征平面。模糊特征平面中矩阵的元素μij/Xij均定义为图像象素(i，j)处灰度级Xij相对于最大灰度级Xmax的隶属度。由于受这种定义方法的限制，因此在算法中的模糊增强部分，必然会出现原图像中本应增强的灰度级部分没有得到足够的增强，而不应增强的灰度级部分却得到了很大的增强。很显然，这将会影响到下一步的边缘检测，从而使检测达不到原来期望的效果；另外，过渡区中每个象素对应矩阵中一个元素，没有考虑图像中的随机性，用一个精确的隶属度值表达一个模糊对象对于另一个对象的接近程度，这在实际图像特别是作为一种随机变量的遥感图像中并不能解决对象的不确定性问题。
建立基于边界云数字特征的模糊特征平面。根据边界云的数字特征通过正向云发生器算法计算各个像素的隶属度，隶属度值的集合作为模糊特征平面中的元素。
由于过渡区内的各个像素对边界云云核的隶属度，在超熵的影响下从一个转变为多个，因此对于过渡区内的任意像素，在模糊矩阵中对应的元素不是一个值，而是一个隶属度集合。通过计算获得边界云的三个数字特征(ExC，EnC，HeC)，根据正向云发生器算法可以反推出各个像素的隶属度。
设过渡区中f(x)为象素灰度，根据模型Enk′＝G(EnC，HeC)生成以EnC为期望值，HeC为标准差的正态随机数Enk′，每个象素的隶属度可根据计算获得：
${\mu }_k=\exp [-\frac{{(f\left(x\right)-{\mathrm{Ex}}_C)}^2}{2{\mathrm{En}}_k^{\prime 2}}]$
式中ExC，EnC，HeC为边界云的数字特征。通过上述计算可知，μij(x)＝{μk}，因此模糊特征平面可表现为以下形式
$X_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cccc}{\left\{{\mu }_k\right\}}_{11}& {\left\{{\mu }_k\right\}}_{12}& ···& {\left\{{\mu }_k\right\}}_{1N}\\ {\left\{{\mu }_k\right\}}_{21}& {\left\{{\mu }_k\right\}}_{22}& ···& {\left\{{\mu }_k\right\}}_{2N}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ {\left\{{\mu }_k\right\}}_{M1}& {\left\{{\mu }_k\right\}}_{M2}& ···& {\left\{{\mu }_k\right\}}_{\mathrm{MN}}\end{array}\right],\left(\begin{array}{c}i=\mathrm{1,2},···,N;\\ j=\mathrm{1,2},...,M;k=\mathrm{1,2},...\end{array}\right)$
该模糊特征平面中每个元素都是一个隶属度值的集合，这表明在随机性的影响下，每个象素隶属于一个对象的隶属度不是一个确定的值，而表现为一种概率分布。
基于最大模糊熵的边缘提取
1.利用最大模糊熵自适应进行边缘过渡区处理，进行强弱边缘带划分。对过渡区图像进行梯度运算，生成过渡区梯度图像，构造模糊划分集，得到模糊划分的熵，寻求最优隶属度，得到最优模糊特征平面。
自适应搜索模糊阈值，根据边缘图像的隶属带模糊划分边界云覆盖的区域；利用模糊特征矩阵进行图像模糊划分熵的计算，利用模糊划分熵寻求最优模糊阈值并进行边缘划分。
对通过云运算提取大小为M×N、共有L级灰度的过渡区图像I进行梯度运算，生成过渡区梯度图像G，其直方图为hr，r＝1，2，...，L-1。假设该图像被分为强边缘带和过渡带两个区域，令{μk}，k＝1，2，...，n为梯度图像G中每个象素被划分到中的概率，令1-{μk}为每个象素被划分到中的概率。构造模糊划分集列Qi＝{g(i，j)＝r}，r＝0，1，...，L-1，其中g(i，j)为梯度图像G中(i，j)处的象素值。显然Q＝{Q0，Q2，...，QL-1}就是对G的一种模糊划分。由模糊划分的条件熵可知，给定时自然模糊划分Q的条件，模糊特征矩阵为：
$H\left(Q\right|\tilde{R}e)=-\underset{r=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}\frac{p\left(Q_r\tilde{R}e\right)}{p\left(\tilde{R}e\right)}\log \frac{p\left(Q_r\tilde{R}e\right)}{p\left(\tilde{R}e\right)}=-\underset{r=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}\frac{{\mu }_k{h}_r}{p\left(\tilde{R}e\right)}\log \frac{{\mu }_k{h}_r}{p\left(\tilde{R}e\right)}$
$p\left(\tilde{R}e\right)=\underset{r=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}{\mu }_k{h}_r$
同理，给定时自然模糊划分Q的条件熵，模糊特征矩阵：
$H\left(Q\right|\tilde{R}s)=-\underset{r=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}\frac{p\left(Q_r\tilde{R}s\right)}{p\left(\tilde{R}s\right)}\log \frac{p\left(Q_r\tilde{R}s\right)}{p\left(\tilde{R}s\right)}=-\underset{r=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}\frac{(1-{\mu }_k)h_r}{p\left(\tilde{R}s\right)}\log \frac{(1-{\mu }_k)h_r}{p\left(\tilde{R}s\right)}$
$p\left(\tilde{R}s\right)=\underset{r=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}(1-{\mu }_k)h_r$
由此可得模糊划分P的熵：
$H\left(P\right)=H\left(Q\right|\tilde{R}e)+H\left(Q\right|\tilde{R}s)$
$\approx -\underset{r=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}[\frac{{\mu }_k{h}_r}{p\left(\tilde{R}e\right)}\log \frac{{\mu }_k{h}_r}{p\left(\tilde{R}e\right)}+\frac{(1-{\mu }_k)h_r}{p\left(\tilde{R}s\right)}\log \frac{(1-{\mu }_k)h_r}{p\left(\tilde{R}s\right)}]$
根据最大模糊熵原理，为了得到梯度图像中最佳的边缘曲线表示，需要寻求最优隶属度μk，这里给出最大模糊熵准则，即所选择的最优隶属度μk必须满足以下条件：
$H\left({\mu }_k\right)=\underset{r=\mathrm{0,1,2},...,L-1}{\max }\left[H\left({\mu }_k\right)\right]$
令这样的最优隶属度为则可得到最优模糊特征平面
${\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cccc}{\tilde{\mu }}_{11}& {\tilde{\mu }}_{12}& ···& {\tilde{\mu }}_{1N}\\ {\tilde{\mu }}_{21}& {\tilde{\mu }}_{22}& ···& {\tilde{\mu }}_{2N}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ {\tilde{\mu }}_{M1}& {\tilde{\mu }}_{M2}& ···& {\tilde{\mu }}_{\mathrm{MN}}\end{array}\right],(i=\mathrm{1,2},...,N;j=\mathrm{1,2},...,M)$
令为每个象素被划分到中的概率，令为每个象素被划分到中的概率，利用上述公式计算模糊划分的熵H，若H≥Hmax，则Hmax＝H，获取最优隶属度并令模糊阈值$T={\tilde{\mu }}^{\prime },$得到最优模糊阈值。
2.多因子约束条件下的边缘提取。当某个象素满足三个信息测度同时取得极大值的情况下，确定为边缘象素。
利用上述计算得到最优划分阈值即可进行强弱边缘的划分，设边缘图像为IE，e(i，j)为象素值，则有
$e(i,j)=\left\{\begin{array}{ccc}0& \mathrm{if}& {\tilde{\mu }}_{\mathrm{ij}}\ge T\\ 255& \mathrm{if}& {\tilde{\mu }}_{\mathrm{ij}}<T\end{array}\right.$
真正意义上边缘的提取还需要在结构一致性测度及方向一致性测度的约束下进行。结构信息测度刻画了边缘象素的结构性，能有效地区分边缘和噪声；方向性信息测度则能保证边缘的正确走向，避免伪边缘或毛刺的产生。有文献在模糊熵的基础上提出了两种度量信息：

$M(i,j)=\underset{k}{\max }|E_{R_{k1}}-E_{R_{K2}}|,k=\mathrm{1,2},...$
基于此，基于约束的图像边缘的提取需要遵循如下准则：只有当某个象素满足三个信息测度同时取得极大值的情况下，即当且C(i，j)＝Cmax(i，j)且M(i，j)＝Mmax(i，j)时，才能被判定为边缘象素。
3.断裂边缘生长。根据边缘走向、周围最近邻边缘点的分布等边缘图像的性质，按一定规则对边缘进行生长，获取连续而清晰的边缘线。
几乎所有的边缘检测方法都不可能检测出完全连续或封闭的边缘线，特别当检测对象是复杂的遥感图像时，更不可能得到理想的效果。虽然本算法在检测过程中最大程度地利用了图像信息，但仍然可能出现断裂的或漏检的边缘。因此，图像边缘检测并不是一个完整意义上的图像分割过程。在检测出边缘点之后，需要一个后续处理过程，按一定规则对边缘进行生长，以获取连续而清晰的边缘线。
边缘的生长应充分考虑到如边缘走向、周围最近邻边缘点的分布等边缘图像的性质。由于本文中提出的边缘点提取是在三个信息测度的约束下进行的，对边缘点的结构特征、走向及邻域信息已有充分考虑，因而不会出现较大的边缘断裂，同时也避免了“虚假边缘”的产生；但正是在这样严格的约束下产生的边缘，则可能产生细小的断裂。可采用以下生长法则进行边缘生长：
1)以栅格扫描方式寻找初始边缘生长点，并将其作为3×3窗口的中心；
2)以窗口中的象素作为候选点，约定正左边以及正下方是不可能的生长方向；
3)以生长点为中心检查其八邻域的象素是否满足以下相似特性：若窗口中心象素(i，j)的八邻域中有某一象素(s，t)满足上述条件，就可将它们连接起来。
4)对所有边缘象素进行同样的判断与处理，可获得连续边缘。
4.边缘综合。采用矩阵叠加的方法综合边缘图各分量信息，获得在多光谱遥感图像中地物的边缘信息。
边缘综合主要针对多光谱图像而言。由于不同地物电磁辐射性能不同，同一物体在不同波段的电磁辐射性能也不同，可能出现同一地物在不同的光谱段上的突出程度不同，这也导致了对应不同波段的云空间中云团数量具有一定的差异。这样，各个通过边界云方法提取到的边缘图的详细程度也不一致。为了充分利用多光谱遥感图像信息，需要对各分量的边缘图进行边缘综合，从而得到反映在多光谱遥感图像中地物的边缘信息。
本文采用矩阵叠加的方法综合各分量信息。设多光谱遥感图像在特征转换后有m个分量，各分量的边缘提取结果分别以矩阵IEk，(k＝1，2，...，m)表示，矩阵元素值1表示边缘，0表示背景。以其中某一分量的边缘矩阵为本底矩阵，逐像元累加各分量的边缘提取结果，若某一象素累加结果大于或等于1，则令该矩阵元素为1，反之，则令该矩阵元素为0，遍历整个图像，直至每个像元均被处理。通过上述方法，确保了“选多不选少”的综合原则，最大限度地保留图面信息，降低漏检率。