采用双面振速测量和等效源法分离声场的方法

摘要

采用双面振速测量和等效源法分离声场的方法，其特征是在被测声场中设置测量面S1和与其平行、且相隔距离为δh的辅助测量面S2；测量两个面上的法向质点振速；设置虚源面S1*和S2*，在虚源面上分布等效源；建立等效源与两测量面上法向质点振速之间的传递关系；根据该传递关系确定虚源面S1*和S2*上各等效源的源强；根据两虚源面上等效源的源强分离出两测量面上由两侧声源分别辐射的声压、法向质点振速。本发明采用等效源法来作为声场分离算法，计算稳定性好、计算精度高、实施简单；采用两个测量面上的法向质点振速作为输入量来进行分离，分离的法向质点振速精度高。本发明方法可广泛用于内部声场或噪声环境下的近场声全息测量、材料反射系数的测量，散射声场的分离等。

权利要求

1.采用双面振速测量和等效源法分离声场的方法，其特征是按如下步骤进行：

a、测量两个面上的法向质点振速

在由声源1和声源2构成的被测声场中，位于声源1与声源2之间有测量面S1，在测量面S1与声源2之间设置一与测量面S1平行、且相隔距离为δh的辅助测量面S2；在两测量面上分别分布有测量网格点，相邻测量网格点之间的距离小于半个波长；测量两个测量面上各测量网格点处的法向质点振速幅值和相位信息获得两测量面上的法向质点振速；所述被测声场为稳态声场；

b、在测量面S1与声源1之间设定虚源面S1*，在辅助测量面S2与声源2之间设定虚源面S2*，并在两虚源面上分别分布有等效源，等效源的个数不大于对应测量面的测量网格点数；所述等效源为标准点源、面源或体源；

c、建立两虚源面上等效源与所述两测量面上法向质点振速之间的传递关系

$v_{S_1}={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1+{\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2$$v_{S_2}={\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}{W}_1+{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2,$其中为测量面S1上测得的法向质点振速、测量面S2上测得的法向质点振速、

W1为虚源面S1*上等效源的源强、W2为虚源面S2*上等效源的源强、

为虚源面S1*上等效源与测量面S1上法向质点振速之间的传递矩阵、

为虚源面S1*上等效源与测量面S2上法向质点振速之间的传递矩阵、

为虚源面S2*上等效源与测量面S2上法向质点振速之间的传递矩阵、

为虚源面S2*上等效源与测量面S1上法向质点振速之间的传递矩阵；

d、求解两虚源面上等效源的源强

根据步骤c所建立的两虚源面上等效源与所述两测量面上法向质点振速之间的传递关系，联合求解获得虚源面S1*和虚源面S2*上各等效源的源强为

$W_1={[{\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}-G_1{\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}]}^{+}(v_{S_1}-G_1{v}_{S_2})$$W_2={[{\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}-G_2{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}]}^{+}(v_{S_1}-G_2{v}_{S_2})$其中

$G_1={\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{\left[{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}\right]}^{+}$、$G_2={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{\left[{\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}\right]}^{+};$上标“+”表示矩阵的广义逆；

e、计算两测量面上由两侧声源分别辐射的声压、法向质点振速

根据步骤d确定的两虚源面上等效源的源强，可以计算出两测量面上由两侧声源分别辐射的声压、法向质点振速分别为

$p_{S_1}^1={\left(p_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1$$p_{S_2}^1={\left(p_{S_2}^1\right)}^{*}{W}_1$$p_{S_1}^2={\left(p_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2$$p_{S_2}^2={\left(p_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2$$v_{S_1}^1={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1$$v_{S_2}^1={\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}{W}_1$$v_{S_2}^2={\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2$$v_{S_1}^2={\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2,$其中为声源1在测量面S1上所辐射的法向质点振速、

为声源2在测量面S1上所辐射的法向质点振速、

为声源1在辅助测量面S2上所辐射的法向质点振速、

为声源2在辅助测量面S2上辐射的法向质点振速、

为声源1在测量面S1上所辐射的声压、

为声源2在测量面S1上所辐射的声压、

为声源1在辅助测量面S2上所辐射的声压、

为声源2在辅助测量面S2上辐射的声压、

为虚源面S1*上等效源与测量面S1上声压之间的传递矩阵、

为虚源面S1*上等效源与测量面S2上声压之间的传递矩阵、

为虚源面S2*上等效源与测量面S2上声压之间的传递矩阵、

为虚源面S2*上等效源与测量面S1上声压之间的传递矩阵。

2.根据权利要求1所述的声场分离方法，其特征是所述各测量网格点上的法向质点振速幅值和相位信息的测量是采用单个或多个质点振速传感器分别在两测量面上扫描、采用法向质点振速传感器阵列分别在两测量面上快照、或采用双法向质点振速传感器阵列在两测量面上一次快照获得。

3.根据权利要求1所述的声场分离方法，其特征是所述测量面S1和辅助测量面S2为平面或曲面。

4.根据权利要求1所述的声场分离方法，其特征是所述声源1为主声源，声源2为噪声源、反射源或散射源。

说明书

技术领域

本发明涉及物理专业中噪声类领域声场分离方法。

背景技术

在实际测量时，通常会遇到测量面两侧都有声源，或是测量面的一侧存在反射或散射。而实际工程中，为了更加准确地研究目标声源的声辐射特性或反射面的反射特性，需要将来自测量面两侧的辐射声分开。现有的分离方法包括：(1)基于双面声压测量和二维空间傅立叶变换法的声场分离技术。该方法是G.V.Frisk等在E.G.Williams等提出的近场声全息技术和G.Weinreich等提出的双面测量方法的基础上提出的，并在近二十年里得到了进一步应用和推广。M.Tamura详细建立了基于双面声压测量和二维空间傅立叶变换法的声场分离公式，并通过数值仿真和实验成功求得反射界面的反射系数。Z.Hu和J.S.Bolton也对采用该方法测量平面波反射系数进行了进一步验证。M.T.Cheng等建立了迪卡尔坐标和柱面坐标下的双测量面声场分离公式，并用于实现散射声场的分离，分析了该方法分离散射场的敏感性。F.Yu等成功采用该方法分离近场声全息测量过程中全息面上来自背向的噪声。基于双面声压测量和二维空间傅立叶变换法有其固有的缺陷：一方面对测量面的形状有限制，即只能是平面、柱面或球面等规则形状；另一方面受到傅立叶变换算法的影响，分离误差较大，尤其是在来自测量面两侧声压相差较大时，其误差尤为明显。(2)F.Jacobsen等提出的基于声压和速度测量的统计最优声场分离方法。该方法采用Microflown公司的p-u声强探头同时测量声场全息面上的声压和质点振速，再采用建立的联合求解公式实现来自全息面两侧的辐射声场分离。该方法的缺陷：对测量面的形状有限制，即只能是平面、柱面或球面等规则形状。(3)C.Langrenne等提出的基于边界元法的双面声场分离方法。该方法首先测量两个包络声源的平行等间距测量面上的声压；再采用Helmholtz积分法分离入射和辐射声压场。该方法的缺陷：存在奇异积分、解的非唯一性等处理，计算效率低。(4)C.X.Bi等提出的基于双面声压测量和等效源法的声场分离技术。该方法首先测量两个平行等间距测量面上的声压；再采用等效源法分离入射和辐射声压场。该方法采用两个测量面上的声压作为输入量来进行分离，分离的声压精度较高，但分离的法向质点振速精度相对较低。

发明内容

本发明所解决的技术问题是避免上述现有技术所存在的不足之处，提供一种采用双面振速测量和等效源法分离声场的方法，以双测量面上法向质点振速为输入量，采用等效源法实现的计算稳定性好、计算精度高、实施简单的声场分离方法。
本发明解决技术问题所采用的技术方案是：
本发明方法的特点是按如下步骤进行：
a、测量两个面上的法向质点振速
在由声源1和声源2构成的被测声场中，位于声源1与声源2之间有测量面S1，在测量面S1与声源2之间设置一与测量面S1平行、且相隔距离为δh的辅助测量面S2；在两测量面上分别分布有测量网格点，相邻网格点之间的距离小于半个波长；测量两个测量面上各网格点处的法向质点振速幅值和相位信息获得两测量面上的法向质点振速；所述被测声场为稳态声场；
b、在测量面S1与声源1之间设定虚源面S1*，在辅助测量面S2与声源2之间设定虚源面S2*，并在两虚源面上分别分布有等效源，等效源的个数不大于对应测量面网络点数；所述等效源为标准点源、面源或体源；
c、建立两虚源面上等效源与所述两测量面上法向质点振速之间的传递关系
$v_{S_1}={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1+{\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2$
$v_{S_2}={\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}{W}_1+{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2,$其中
为测量面S1上测得的法向质点振速、测量面S2上测得的法向质点振速、
W1为虚源面S1*上等效源权重矢量、W2为虚源面S2*上等效源权重矢量、
为虚源面S1*上等效源与测量面S1上法向质点振速之间的传递矩阵、
为虚源面S1*上等效源与测量面S2上法向质点振速之间的传递矩阵、
为虚源面S2*上等效源与测量面S2上法向质点振速之间的传递矩阵、
为虚源面S2*上等效源与测量面S1上法向质点振速之间的传递矩阵；
d、求解两虚源面上等效源的源强
根据步骤c所建立的两虚源面上等效源与所述两测量面上法向质点振速之间的传递关系，联合求解获得虚源面S1*和虚源面S2*上各等效源的源强为
$W_1={[{\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}-G_1{\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}]}^{+}(v_{S_1}-G_1{v}_{S_2})$
$W_2={[{\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}-G_2{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}]}^{+}(v_{S_1}-G_2{v}_{S_2})$
其中
$G_1={\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{\left[{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}\right]}^{+},$ $G_2={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{\left[{\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}\right]}^{+};$
e、计算两测量面上由两侧声源分别辐射的声压、法向质点振速
根据步骤d确定的两虚源面上等效源的源强，可以计算出两测量面上由两侧声源分别辐射的声压、法向质点振速分别为
$p_{S_1}^1={\left(p_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1$
$p_{S_2}^1=\left(p_{S_2}^1\right)W_1$
$p_{S_1}^2={\left(p_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2$
$p_{S_2}^2={\left(p_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2$
$v_{S_1}^1={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1$
$v_{S_2}^1={\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}{W}_1$
$v_{S_2}^2={\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2$
$v_{S_1}^2={\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2,$其中
为声源1在测量面S1上所辐射的法向质点振速、
为声源2在测量面S1上所辐射的法向质点振速、
为声源1在辅助测量面S2上所辐射的法向质点振速、
为声源2在辅助测量面S2上辐射的法向质点振速、
为声源1在测量面S1上所辐射的声压、
为声源2在测量面S1上所辐射的声压、
为声源1在辅助测量面S2上所辐射的声压、
为声源2在辅助测量面S2上辐射的声压、
为虚源面S1*上等效源与测量面S1上声压之间的传递矩阵、
为虚源面S1*上等效源与测量面S2上声压之间的传递矩阵、
为虚源面S2*上等效源与测量面S2上声压之间的传递矩阵、
为虚源面S2*上等效源与测量面S1上声压之间的传递矩阵；
本发明方法的特点也在于：
各网格点上的法向质点振速幅值和相位信息的测量是采用单个或多个质点振速传感器分别在两测量面上扫描、采用质点振速传感器阵列分别在两测量面上快照、或采用双质点振速传感器阵列在两测量面上一次快照获得。
测量面S1和辅助测量面S2为平面或曲面。
声源1为主声源，声源2为噪声源、反射源或散射源。
本发明方法是测量两个相隔距离为δh的测量面上的法向质点振速，采用等效源法来实现测量面上由两侧声源辐射声压、法向质点振速的分离。
理论模型：
等效源法的基本思想是采用分布在声源内部的一系列等效源加权叠加来近似实际声场，此时只需确定这些等效源的源强即可预测整个声场。在实际求解过程中，等效源的源强可以通过测量的声源的边界条件(声压或法向振速)来确定。对于声场中任一个测量面，也可以通过在该面的背离分析域内虚源面上分布等效源来近似在该面前方区域的辐射声场。
参见图1，测量面S的右侧区域场点r处声学量可以由分布在该面左侧虚源面S*的一系列等效源近似获得。设测量面S和虚源面S*上分别分布了M个测量点和N个等效源，第i个等效源在场点r处的辐射声压为pi*(r)和粒子速度为vi*(r)，则场点r处的实际辐射声压和质点振速可表示为
$p\left(r\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{w}_i{p}_i^{*}\left(r\right)---\left(1\right)$
$v\left(r\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{w}_i{v}_i^{*}\left(r\right)---\left(2\right)$
式中，wi为i个等效源所对应的源强。各等效源的源强由测量面的边界条件确定，由等式(2)可得测量面S上M个测量点的法向质点振速可以表示为
$v_S\left(r_j\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{w}_i{v}_{\mathrm{Si}}^{*}\left(r_j\right),j=\mathrm{1,2},···,M---\left(3\right)$
式(3)写成矩阵形式为
$v_S=v_S^{*}W---\left(4\right)$
式中，
$v_S^{*}=\left[\begin{array}{cccc}{v}_{S1}^{*}\left(r_1\right)& v_{S2}^{*}\left(r_1\right)& ···& v_{\mathrm{SN}}^{*}\left(r_1\right)\\ v_{S1}^{*}\left(r_2\right)& v_{S2}^{*}\left(r_2\right)& ···& v_{\mathrm{SN}}^{*}\left(r_2\right)\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ v_{S1}^{*}\left(r_M\right)& v_{S2}^{*}\left(r_M\right)& ···& v_{\mathrm{SN}}^{*}\left(r_M\right)\end{array}\right]---\left(5\right)$
W＝[w1 w2…wN]              (6)
式中，vS为声场中M个测点处的法向质点振速列向量；W为对应N个等效源所占的权重系数列向量；vS*为N个等效源与M个测点处法向质点振速之间的M×N阶传递矩阵。
由式(4)可知，当传递矩阵vS*的阶数满足M≥N，即测量点数大于等于等效源个数时，则可通过奇异值分解唯一确定权重系数矩阵W，即
$W={\left(v_S^{*}\right)}^{+}{v}_S---\left(7\right)$
式中，“+”表示广义逆。
求得权重系数矩阵W后，由式(1)和式(2)就可以计算声场中任意一点的声压和法向质点振速，实现声场的预测。
由上可知，声场中测量面一侧的辐射声场可以通过在该测量面的另一侧分布一系列等效源来近似。
如果测量面的两侧都有声源，则测量面上的法向质点振速为两侧声源辐射法向质点振速的组合。
参见图2，测量面S1上的法向质点振速为
$v_{S_1}=v_{S_1}^1+v_{S_1}^2---\left(8\right)$
式中，为声源1在测量面S1上所辐射的法向质点振速，为声源2在测量面S1上所辐射的法向质点振速。与测量面S1相同，测量面S2上的法向质点振速可以表示为
$v_{S_2}=v_{S_2}^1+v_{S_2}^2---\left(9\right)$
式中，为声源1在测量面S2上所辐射的法向质点振速，为声源2在测量面S2上所辐射的法向质点振速。
本发明的方法是在两个面上测量法向质点振速，然后再通过等效源法来实现分离。
由上可知，测量面S1和S2上声源1所辐射法向质点振速和可以通过在测量面S1与声源1之间设置的虚源面S1*上分布一系列等效源来近似，测量面S1和S2上声源2所辐射法向质点振速和可以通过在测量面S2与声源2之间设置的虚源面S2*上分布一系列等效源来近似。由式(4)可知，等效源与所述两测量面上法向质点振速之间的传递关系
$v_{S_1}^1={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1---\left(10\right)$
$v_{S_2}^1={\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}{W}_1---\left(11\right)$
$v_{S_2}^2={\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2---\left(12\right)$
$v_{S_1}^2={\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2---\left(13\right)$
式中，为虚源面S1*上等效源与测量面S1上法向质点振速之间的传递矩阵，为虚源面S1*上等效源与测量面S2上法向质点振速之间的传递矩阵，为虚源面S2*上等效源与测量面S2上法向质点振速之间的传递矩阵，为虚源面S2*上等效源与测量面S1上法向质点振速之间的传递矩阵。
根据式(10-13)所建立的传递关系代入式(8)和(9)，则所述两测量面上法向质点振速与两侧声源产生的法向质点振速之间的关系可以表示为
$v_{S_1}={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1+{\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2---\left(14\right)$
$v_{S_2}={\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}{W}_1+{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2---\left(15\right)$
式中，为测量面S1上测得的法向质点振速，测量面S2上测得的法向质点振速。联合式(14)和(15)，可得虚源面S1*和虚源面S2*上等效源的源强分别为
$W_1={[{\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}-G_1{\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}]}^{+}(v_{S_1}-G_1{v}_{S_2})---\left(16\right)$
$W_2={[{\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}-G_2{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}]}^{+}(v_{S_1}-G_2{v}_{S_2})---\left(17\right)$
其中
$G_1={\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{\left[{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}\right]}^{+},$ $G_2={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{\left[{\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}\right]}^{+};$
将式(16)和(17)确定的两虚源面上等效源的源强代入式(10-13)可以确定两测量面上由两侧声源分别辐射的法向质点振速。将式(16)和(17)代入下式，同样可以确定两测量面上由两侧声源分别辐射的声压为
$p_{S_2}^1=\left(p_{S_2}^1\right)W_1---\left(18\right)$
$p_{S_2}^1=\left(p_{S_2}^1\right)W_1---\left(19\right)$
$p_{S_1}^2={\left(p_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2---\left(20\right)$
$p_{S_2}^2={\left(p_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2---\left(21\right)$
式中，为声源1在测量面S1上所辐射的声压，为声源2在测量面S1上所辐射的声压，为声源1在辅助测量面S2上所辐射的声压，为声源2在辅助测量面S2上辐射的声压，为虚源面S1*上等效源与测量面S1上声压之间的传递矩阵，为虚源面S1*上等效源与测量面S2上声压之间的传递矩阵，为虚源面S2*上等效源与测量面S2上声压之间的传递矩阵，为虚源面S2*上等效源与测量面S1上声压之间的传递矩阵。
通过上述方法，实现了测量面上法向质点振速和声压的分离，可以获得来自测量面两侧声源的辐射法向质点振速和声压。
与已有技术相比，本发明的有益效果：
1、本发明采用两个测量面上的法向质点振速作为输入量来进行分离，分离获得的法向质点振速具有更高的精度。
2、本发明所采用的测量面，可以是任意形状测量面，解决了传统方法只能适用于平面、柱面或球面等规则形状的缺陷。
3、本发明采用等效源法来作为声场分离算法，与传统的方法相比，本发明方法具有计算稳定性好、计算精度高等优点。
4、本发明方法实施简单，可以广泛用于内部声场或噪声环境下的近场声全息测量、材料反射系数的测量，散射声场的分离等。

附图说明

图1为平面声源等效源位置分布图；
图2为双测量面等效源法声场分离示意图；
图3(a)为信噪比为30dB时，声源1和声源2共同在测量面S1上产生的法向质点振速幅值分布；
图3(b)为信噪比为30dB时，声源1和声源2共同在测量面S1上产生的法向质点振速相位分布；
图4(a)为信噪比为30dB时，声源1在测量面S1上产生的法向质点振速幅值分布；
图4(b)为信噪比为30dB时，声源1在测量面S1上产生的法向质点振速相位分布；
图5(a)为信噪比为30dB时，采用本发明分离方法分离出声源1在测量面S1上产生的法向质点振速幅值分布；
图5(b)为信噪比为30dB时，采用本发明分离方法分离出声源1在测量面S1上产生的法向质点振速相位分布；
图6(a)为信噪比为30dB时，采用基于双面声压测量和等效源法的声场分离方法分离出声源1在测量面S1上产生的法向质点振速幅值分布；
图6(b)为信噪比为30dB时，采用基于双面声压测量和等效源法的声场分离方法分离出声源1在测量面S1上产生的法向质点振速相位分布；
图7(a)为信噪比为30dB时，测量面S1其中一行(x＝0.5m)法向质点振速幅值比较；
图7(b)为信噪比为30dB时，测量面S1其中一行(x＝0.5m)法向质点振速相位比较。
以下通过具体实施方式，并结合附图对本发明作进一步描述。

具体实施方式

参见图2，本实施例中，测量面两侧均分布有声源，其中声源1为主声源，声源2为噪声源或反射、散射源，在由声源1和声源2构成的被测声场中，位于声源1与声源2之间有测量面S1，在测量面S1与声源2之间设置一与测量面S1平行、且相隔距离为δh的辅助测量面S2；在两测量面上分别分布有测量网格点，相邻网格点之间的距离小于半个波长；δh值不为零，且不大于测量网格点的最小间隔。
具体实施步骤为：
a、采用单个或多个质点振速传感器分别在两测量面上扫描、采用质点振速传感器阵列分别在两测量面上快照、或采用质点振速传感器阵列在两测量面上一次快照测量两个面S1和S2上的法向质点振速信息；
b、在测量面S1与声源1之间设定虚源面S1*，在辅助测量面S2与声源2之间设定虚源面S2*，并在两虚源面上分别分布有等效源，等效源的个数不大于对应测量面网络点数；所述等效源为标准点源、面源或体源；
c、建立两虚源面上等效源与两测量面上法向质点振速之间的关系
$v_{S_1}={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1+{\left(v_{S_1}^2\right)}^2{W}_2$
$v_{S_2}={\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}{W}_1+{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2,$其中
为测量面S1上测得的法向质点振、测量面S2上测得的法向质点振、
W1为虚源面S1*上等效源权重矢量、W2为虚源面S2*上等效源权重矢量、
为虚源面S1*上等效源与测量面S1上法向质点振速之间的传递矩阵、
为虚源面S1*上等效源与测量面S2上法向质点振速之间的传递矩阵、
为虚源面S2*上等效源与测量面S2上法向质点振速之间的传递矩阵、
为虚源面S2*上等效源与测量面S1上法向质点振速之间的传递矩阵；
d、求解两虚源面上等效源的源强
根据步骤d所建立的所述两测量面上法向质点振速与两侧声源产生的法向质点振之间的关系，联合求解获得虚源面S1*和虚源面S2*上各等效源的源强为：
$W_1={[{\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}-G_1{\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}]}^{+}(v_{S_1}-G_1{v}_{S_2})$
$W_2={[{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}-G_2\left(v_{S_1}^2\right)]}^{+}(v_{S_2}-G_2{v}_{S_1}),$
其中
$G_1={\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{\left[{\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}\right]}^{+},$ $G_2={\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}{\left[{\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}\right]}^{+};$
e、计算两测量面上由两侧声源分别辐射的声压、法向质点振速
根据步骤e确定两虚源面上等效源的源强，可以计算出两测量面上由两侧声源分别辐射的声压、法向质点振速为：
$p_{S_1}^1={\left(p_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1$
$p_{S_2}^1=\left(p_{S_2}^1\right)W_1$
$p_{S_1}^2={\left(p_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2$
$p_{S_2}^2={\left(p_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2$
$v_{S_1}^1={\left(v_{S_1}^1\right)}^{*}{W}_1$
$v_{S_2}^1={\left(v_{S_2}^1\right)}^{*}{W}_1$
$v_{S_2}^2={\left(v_{S_2}^2\right)}^{*}{W}_2$
$v_{S_1}^2={\left(v_{S_1}^2\right)}^{*}{W}_2,$其中
为声源1在测量面S1上所辐射的声压、
为声源2在测量面S1上所辐射的声压、
为声源1在辅助测量面S2上所辐射的声压、
为声源2在辅助测量面S2上辐射的声压、
为虚源面S1*上等效源与测量面S1上声压之间的传递矩阵、
为虚源面S1*上等效源与测量面S2上声压之间的传递矩阵、
为虚源面S2*上等效源与测量面S2上声压之间的传递矩阵、
为虚源面S2*上等效源与测量面S1上声压之间的传递矩阵；
方法的检验：
在测量面两侧各分布有一个脉动球，分别采用本发明的声场分离方法和基于双面声压测量和等效源法的声场分离方法实现测量面上法向质点振速的分离，并与其解析解比较。
对于单个半径为a的脉动球，其在场点r处声压的解析解为
$p(r,\theta )=-v·\frac{i2\mathrm{\pi f}{\mathrm{\rho a}}^2}{r(1-\mathrm{ika})}·\exp \left[\mathrm{ik}(r-a)\right],---\left(22\right)$
式中，均匀径向速度v＝1m/s，空气密度为ρ＝1.2kg/m3，声源振动频率为1000Hz.
两测量面的位置关系参见图2。测量面均为1m×1m的平面，测量面之间的间距δh为0.05m，测量面上均匀地分布11×11个测量点。声源1为位于(-0.3，0，0)m处的脉动球，声源2为位于(0.3，-0.25，0.8)m处的脉动球。两测量面所对应的虚源面与测量面之间的距离σ1和σ2均为0.1m。此处声源1为主声源，声源2为噪声源，需要将测量面S1上声源1辐射法向质点振速分离出来。分析过程中，两测量面上测量数据均加上信噪比为30dB的噪声。
图3(a)和图3(b)为声源1和声源2共同在测量面S1上产生的法向质点振速幅值和相位分布，图4(a)和图4(b)为声源1在测量面S1上产生的法向质点振速幅值和相位分布，图5(a)和图5(b)为采用本发明方法分离出来的声源1在测量面S1上产生的法向质点振速幅值和相位分布，图6(a)和图6(b)为采用基于双面声压测量和等效源法的声场分离方法分离出来的声源1在测量面S1上产生的法向质点振速幅值和相位分布。
从图3、图4、图5和图6可以看出：声源1和声源2共同在测量面S1上产生的法向质点振速与声源1单独在测量面S1上产生的法向质点振速之间差异较大，由图3的法向质点振速无法获得声源1在测量面S1上辐射信息；采用本发明方法实施分离后，可以准确得到声源1在测量面S1上辐射信息，分离出的法向质点振速幅值和相位分布与其理论值非常吻合；采用基于双面声压测量和等效源法的声场分离方法实施分离后，所得到声源1在测量面S1上辐射法向质点振速幅值和相位分布与采用本发明方法实施分离结果存在一定差异。
参见图7(a)和图7(b)，测量面其中一行(x＝0.5m)法向质点振速幅值和相位的比较更清晰地说明了两者分离的精度。图7(a)和图7(b)中，“·”为声源1和声源2共同在测量面S1上产生；“o”为声源1在测量面S1上产生；“+”为采用本发明分离方法分离出声源1在测量面S1上产生；“*”为采用基于双面声压测量和等效源法的声场分离方法分离出声源1在测量面S1上产生。
为了定量地区分两种方法的分离精度，下面分别求取两种方法的分离误差。定义分离误差百分比为
$\eta =\sqrt{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\left(\right|v_i-{\bar{v}}_i\left|\right)}^2}/\sqrt{\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left|{\bar{v}}_i\right|}^2}\times 100(\%),---\left(23\right)$
式中，N为所有声源的表面结点总数，vi和vi分别为对应第i个测量点处分离的和理论的法向质点振速。由式(23)计算可得，采用本发明方法的分离误差为5.6％，采用基于双面声压测量和等效源法的声场分离方法的分离误差为8.2％，显然采用本发明方法能获得更高的法向质点振速精度。