一种考虑台风影响的海洋极值联合重现期推算方法

摘要

本发明提出一种考虑台风影响的海洋极值联合重现期推算方法，具体步骤为：1.确定二维最大熵分布函数的四个约束条件；2.推导二维最大熵联合分布模式；3.确定极值波高和极值水位混合分布距积分显式表达式；4.推导与混合分布矩相关的待定参量方程组；5.构建台风影响海域推算极值波高和极值水位联合重现期的嵌套复合最大熵分布新模式；6.验证新方法的有效性。本发明将极值波高和极值水位综合考虑，同时考虑台风因素对二者的影响，整个模式建立在最大熵原则基础上，避免了模式的先验性和人为假设。新模式的积分显式表达式使之方便工程应用，而两组10个待定参量使新模式能够更精确和更灵活地拟合不同海域的观测数据，具有更广的适应性。

权利要求

1.一种考虑台风影响的海洋极值联合重现期推算方法，其特征在于它包括步骤：步骤1：确定二维最大熵分布函数的四个约束条件：

其中m1、m2为正整数或正分数，c1、c2及c3为常数；f(x，y)为极值波高X和极值水位Y的联合概率密度函数；

步骤2：由步骤1确定的四个约束条件，运用最大熵原则，确定含有6个待定参量m1，m2，α，b，c，d的极值波高和极值水位二维最大熵联合密度函数的表达式：步骤3：由步骤2确定台风影响海域极值波高和极值水位实测数据的混合分布距Tm，n的积分及显式表达式：这里m，n分别取0，1，2，其中Γ(·)为熟知的Γ函数；

步骤4：建立由步骤3确定台风影响海域极值波高和极值水位实测数据混合分布距Tm，n与待定参量m1，m2，α，b，c，d的联立方程组：混合分布距Tm，n在实际计算过程中由观测数据按下列表达式计算获得：其中m，n分别取0，1，2，xs，yt为逐年极值波高和极值水位的观测数据，M为总年数；

步骤5：由步骤1、步骤2构建台风影响海域推算极值波高和极值水位联合重现期的嵌套复合最大熵联合分布模式：其中i表示海域每年台风出现的次数，p0表示海域没有出现台风的概率，g(u，v)为二iγ ξ维最大熵联合密度函数，Gx(u)为(X，Y)的边缘分布函数，pi＝η exp(-βi )为基于最大熵原则推求的台风次数离散最大熵分布函数，待定参量η，β，γ，ξ通过求解指定海域年台风出现次数分布矩相关的方程组获得：Ak为k-阶矩，根据观测数据可按下列表达式估计：

在实际计算中，Ak的取值就是 其中k取0，1，2，3，i表示海域每年台风出现的次数，M为总年数；

步骤6：由步骤5按下列公式推算极值波高X和极值水位Y的联合重现期N(年)：其中F(x，y)为步骤5推得的最大熵联合分布模式，Fx(x)和Fy(y)分别为其相应的边缘分布函数；

步骤7：根据极值波高和极值水位以及台风出现次数的实测数据资料验证新模式的有效性。

2.根据权利要求1所述的一种考虑台风影响的海洋极值联合重现期推算方法，其特征在于：所述步骤1中m1，m2取正整数时，保证极值波高和极值水位的任意阶混合矩和边缘分布的任意阶矩存在。

3.根据权利要求1的一种考虑台风影响的海洋极值联合重现期推算方法，其特征在于：所述步骤2中二维最大熵联合分布函数的表达式通过求解一个广义等周变分问题获得。

4.根据权利要求1所述的一种考虑台风影响的海洋极值联合重现期推算方法，其特征在于：所述步骤7进一步包括利用实测数据资料，与海洋工程中常用的Logistic二维分布和Gumbel二维分布进行图示验证，通过与实测数据的拟合程度来判断新模式的有效性，另外结合观测站点所处海域特性，确定推求的联合重现期的合理性。

说明书

一种考虑台风影响的海洋极值联合重现期推算方法

技术领域

[0001] 本发明涉及一种考虑台风影响的极值波高和极值水位联合重现期推算方法，具体地说是寻求一种考虑台风影响因素、概率分布避免先验性和人为假设的极值波高和极值水位联合重现期推算方法。

背景技术

[0002] 随着地球变暖，由台风/飓风导致的海洋灾害更加严重和频繁。台风可导致异常大浪，若台风过境时正值天文大潮，天文潮位加上风暴潮增水如果再加上台风浪就形成极端海洋灾害条件，可造成毁灭性的灾害。这正是2005年卡特里娜飓风使美国新奥尔良市受到巨大灾害的重要机制之一。虽然一般说台风暴潮和台风浪是台风的一双孪生儿，但就近岸水域而言，两者的大小因台风路径和水域的地理条件及地形而异，也就是说二者既不是同步的，也不是独立的。所以，合理推算台风影响下极值波高和极值水位的联合重现期对海洋工程设计和防灾抗灾极为重要。

[0003] 以往对极值波高和极值水位进行概率特征分析时，通常的方法是人为先设定一个联合概率分布例如二维Gumbel分布、二维Logistic分布，然后再通过已知数据来估计此概率函数中的参数。显然这样的做法是先验的，通常情况下选取的概率分布函数都能通过假设检验，但是不同概率模式推得的联合重现期结果不同，人为因素很大，难以合理地反映海洋环境要素的不确定性。另外对海洋环境要素进行联合概率分析时，极少同时讨论导致风险发生的重要因素台风的概率特性。

[0004] 基于最大熵原则的波高最大熵分布模式在海洋工程中已有应用，它可一定程度避免人为先验选取概率模式导致的推算极值波高和极值水位联合重现期时的误差，但该模式在应用过程中始终是单因素(即单变量)模式，难于描述复杂的海洋环境，无法给出极值波高和极值水位之间相关的概率信息，并且在推求多年一遇设计波高时同样忽略了台风的因素，没有将风险发生的诱因考虑进去。

[0005] 如何客观反映多种海洋环境因素的不确定性及综合作用，充分考虑台风这个导致灾害频发的重要因素对波高和水位影响，同时避免人为先验设定概率模式导致的推算误差，提高极值波高和极值水位联合重现期的推算精度，是海洋灾害统计预测和海洋工程建设急需解决的问题。

发明内容

[0006] 本发明的目的提供一种基于最大熵原则的台风影响海域极值波高和极值水位联合重现期推算方法，该方法建立在最大熵原则、多元极值理论和随机点过程基础上，通过综合考虑台风发生次数以及极值波高和极值水位二者的相关关系，导出极值波高和极值水位的最大熵联合分布新模式，并将新模式嵌套台风次数最大熵分布，给出一个充分考虑台风影响因素、避免先验性和人为假定的推算极值水位与极值波高联合重现期的新方法。

[0007] 为达到上述发明目的，本发明采用的技术方案如下：

[0008] 台风影响海域设计波高和设计水位联合重现期推算新方法，其特征在于它包括步骤：

[0009] 步骤1：确定二维最大熵分布函数的四个约束条件：

[0010]

[0011]

[0012]

[0013]

[0014] 其中m1、m2为正整数或正分数，c1、c2及c3为常数；f(x，y)为极值波高X和极值水位Y的联合概率密度函数。

[0015] 步骤2：由步骤1确定的四个约束条件，运用最大熵原则，确定含有6个待定参量m1，m2，α，b，c，d的二维最大熵联合密度函数的表达式：

[0016]

[0017] 步骤3：由步骤2确定台风影响海域极值波高和极值水位实测数据的混合分布距Tm，n的积分及显式表达式：

[0018]

[0019]

[0020] 这里m，n分别取0，1，2，其中Γ(·)为熟知的Γ函数；

[0021] 步骤4：由步骤3确定台风影响海域极值波高和极值水位实测数据混合分布距Tm，n与待定参量m1，m2，α，b，c，d的联立方程组：

[0022]

[0023]

[0024]

[0025]

[0026]

[0027] 通过上式方程求解二维最大熵分布函数的待定参量m1，m2，α，b，c，d；

[0028] 步骤5由步骤1、步骤2构建台风影响海域推算极值波高和极值水位联合重现期的嵌套复合最大熵联合分布模式：

[0029]

[0030] 其中i表示海域每年台风出现的次数，P0表示海域没有出现台风的概率，g(u，v)为二维最大熵联合密度函数，Gx(u)为(X，Y)的边缘分布函数，待定参量η，β，γ，ξ通过联立求解与年极值波高数据分布矩相关的方程组获得；

[0031] 步骤6：由步骤5按下列公式推算极值波高X和极值水位Y的联合重现期N(年)：

[0032]

[0033] 其中F(x，y)为步骤5推得的最大熵联合分布模式，Fx(x)和Fy(y)分别为其相应的边缘分布函数。

[0034] 步骤7：根据极值波高和极值水位以及台风出现次数的实测数据资料验证新模式的有效性。

[0035] 具体实施过程中，海洋数据资料是已知的，即可通过不同的海洋观测站或船舶后报资料获得，不同地域特点的海洋数据资料的差异是通过新模式中的参数体现。

[0036] 所述步骤1中提出的四个约束条件是新模式必需满足的概率特性，而非先验和人为指定的。

[0037] 所述步骤1中m1，m2取正整数时，保证极值波高和极值水位的任意阶混合矩和边缘分布的任意阶矩存在。

[0038] 所述步骤2中二维最大熵联合分布函数的表达式通过求解一个广义等周变分问题获得。

[0039] 所述步骤4中分布矩Tm，n在实际计算过程中由观测数据按下列表达式计算获得：

[0040]

[0041] 其中m，n分别取0，1，2，xixj为观测数据，N为总年数。

[0042] 所述步骤5中的pi＝ηiγexp(-βiξ)，i＝0，1，2，…为基于最大熵原则推求的台风次数离散最大熵分布函数，其中待定参量η，β，γ，ξ通过联立求解与指定海域年台风出现次数分布矩相关的方程组获得。

[0043] 所述步骤7进一步包括利用实测数据资料，与海洋工程中常用的Logistic二维分布和Gumbel二维分布进行图示验证，通过与实测数据的拟合程度来判断新模式的有效性，另外结合观测站点所处海域特性，确定推求的联合重现期的合理性。

[0044] 本发明充分考虑台风对波高和水位影响，通过将导出的极值波高和极值水位的最大熵联合分布与台风次数最大熵分布嵌套，建立了反映三者之间极值发生随机性和相关性较完整概率信息的新模式，模式的建立过程始终遵循最大熵原则，避免了传统方法中的先验性和人为因素的干扰。参数方程组中的2组10个待定参量，可以灵活及精确地拟合观测数据，积分显式表达式可以使新模式方便于工程应用，目前考虑台风影响的推算海洋极值联合重现期的方法还非常有限，在应用中本发明的优势较为明显。

附图说明

[0045] 图1是本发明实施的流程图；

[0046] 图2是本发明导出的二维最大熵分布与二维Logistic分布概率密度函数等值线比较图(麦岛36°03′N，120°25′E)；

[0047] 图3是本发明导出的二维最大熵分布与二维Logistic分布概率密度函数等值线比较图(朝连岛35°53′N，120°52′E)；

[0048] 图4是本发明导出的二维最大熵分布与二维Gumbel分布概率密度函数等值线比较图(麦岛)；

[0049] 图5是本发明导出的二维最大熵分布与二维Gumbel分布概率密度函数等值线比较图(朝连岛)；

[0050] 图6是本发明导出的推算联合重现期等值线图(麦岛)；

[0051] 图7是本发明导出的推算联合重现期等值线图(朝连岛)。

具体实施方式

[0052] 如图1所示，下面结合附图和实施例对本发明具体实施方式做进一步详细描述：

[0053] 步骤1：确定二维最大熵分布函数的约束条件：

[0054] 将台风影响海域的极值波高X和极值水位Y整体设为二维随机向量(X，Y)，其中X和Y既非同步也非独立而是在一定程度上相关的。

[0055] 设X和Y的联合概率密度函数为f(x，y)，则(X，Y)的熵定义为

[0056] H(f)＝-∫R∫Rf(x，y)log f(x，y)dxdy (1)

[0057] 最大熵原则：描述得到的信息但对得不到的信息保持最大不确定性的优选概率是具有最大熵者。

[0058] 依据最大熵原则，寻求使上式的熵值最大的f(x，y)，对于现在的问题，我们提出如下约束

[0059]

[0060]

[0061]

[0062]

[0063] 其中m1，m2为正整数或正分数，c1，c2，c3为常数。在以上条件中，积分下限取为0是因为极值波高和极值水位均为非负的。值得着重说明的是，上述四个约束是符合公理和一般知晓事实的而并非先验的。约束(a)是保证概率密度函数的正则性所必须的。约束(b)保证在x→+∞和y→+∞，x→0和y→0、x→0和y＝constant、y→0和x＝constant等四种情况下f(x，y)→0，这符合普遍已知的事实。约束(c)和约束(d)一方面保证当x→+∞和y→+∞时f(x，y)→0，另一方面，保证f(x，y)的任意阶混合矩和f(x，y)边缘分布的任意阶矩存在，这也符合公理。

[0064] 步骤2：推导二维最大熵分布函数的表达式：

[0065] 设定函数

[0066]

[0067] 其中m1，m2，t，b，c，d为待定参量，将由约束条件和实测数据确定。

[0068] 在式(a)、(b)、(c)和(d)所示约束条件下的广义等周变分问题为：求解f(x，y)，使其满足欧拉方程

[0069]

[0070]

[0071] 由式(3)，从而得到

[0072]

[0073] 这里α＝et-1；

[0074] 步骤3：由步骤2确定台风影响海域极值波高和极值水位实测数据的混合分布距Tm，n的积分及显式表达式：

[0075] 随机变量(X，Y)混合分布距Tm，n定义为

[0076]

[0077] 将式(4)代入上式中

[0078]

[0079] 完成积分得到其显示表达式

[0080]

[0081] 这里m，n分别取0，1，2；

[0082] Γ(·)为熟知的Γ函数；

[0083] 步骤4：建立由步骤3确定的二维随机变量混合分布距与待定参量m1，m2，α，b，c，d有关的联立方程组

[0084]

[0085]

[0086]

[0087]

[0088]

[0089] 只要Tm，n已知，则通过式(8)-式(12)求出式(4)中的待定参量。

[0090] 混合矩Tm，n在实际计算过程中由观测数据按下列表达式计算获得

[0091]

[0092] 这里m，n分别取0，1，2，N为总年数；

[0093] 步骤5：构建台风影响海域推算极值波高和极值水位联合重现期的嵌套复合最大熵分布模式：

[0094] 台风次数离散最大熵分布函数表达式为

[0095] pi＝ηiγ exp(-βiξ) (14)

[0096] 待定参量η，β，γ，ξ参量方程

[0097]

[0098]

[0099]

[0100]

[0101] 其中Ak(k＝1，2，3)为k-阶矩，即

[0102]

[0103] 在实际应用中，Ak由观测数据按以下公式估计

[0104]

[0105] 将式(20)中的Ak代之以 就可从此式数值地解得η，β，γ，ξ。

[0106] 将极值波高和极值水位的最大熵联合分布与台风次数最大熵分布嵌套，得到考虑台风影响的极值波高和极值水位联合重现期推算新模式

[0107]

[0108] 其中i表示海域每年台风出现的次数，P0表示海域没有出现台风的概率，g(u，v)为二维最大熵联合密度函数，Gx(u)为(X，Y)的边缘分布函数，待定参量η，β，γ，ξ通过联立求解与年极值波高数据分布矩相关的方程组获得。

[0109] 步骤6：推算由下式定义的极值波高X和极值水位Y的联合重现期N(年)：

[0110]

[0111] 其中F(x，y)为最大熵联合分布模式公式(21)，Fx(x)和Fy(y)分别为其相应的边缘分布函数。

[0112] 步骤7：以麦岛水文站(36°03′N，120°25′E，数据从1984年至2001年)和朝连岛水文站(35°53′N，120°52′E，数据从1965年至1989年)的实测资料，给出本发明的具体实施过程，并将计算结果与海洋工程中常用的Logistic二维分布和Gumbel二维分布进行图示验证，通过与实测数据的拟合程度来判断新模式的有效性，另外结合朝连岛水文站所处海域特性，确定推求的联合重现期的合理性。

[0113] 由式(13)计算波高和水位混合矩Tm，n，由式(8)-(12)计算(4)式待定参量m1，m2，α，b，c，d，结果列于表1：

[0114] 表一麦岛和朝连岛二维最大熵分布函数待定参量值[式(9)]

[0115]

[0116] 由式(20)计算台风发生次数k-阶矩Ak，由式(15)-(18)计算(14)式待定参量η，β，γ，ξ，结果列于表2：

[0117] 表2麦岛和朝连岛各自台风次数最大熵分布函数待定参量值

[0118]

[0119] 将表一中的待定参量，代入式(4)中，得密度函数的具体表达式，结合Logistic二维分布和Gumbel二维分布绘制密度函数等值线图，从图2、图3可以看出，最大熵二维分布对数据的拟合要明显地好于Logistic二维分布，尤其在数据点较集中的区域，图4、图5显示最大熵二维分布与Gumbel二维分布拟合效果接近，前者略好于后者。

[0120] 由式(21)及式(22)，可绘制麦岛海域和朝连岛海域考虑台风因素的极值波高和极值水位联合重现期N(年)的等值线图即图6、图7。

[0121] 由于式(21)所示模式是一个二维分布模式，极值波高和极值水位的不同组合可对应于同一联合重现期N。通常海洋工程设计中采取下述的方式来推算设计波高和水位：将波高作为优先变量首先用与模式相应的最大熵一维分布推算N年一遇极值波高，然后由式(21)及式(22)推算(或者由图6、图7查得)相应的极值水位，如此推算的麦岛海域和朝连岛海域的结果列于表3，为便于检验新模式的有效性，此表还列有Poisson-Mixed-Gumbel二维复合模式推算的结果。

[0122] 表3两种方法比较麦岛和朝连岛联合重现期设计波高和设计水位值

[0123]

[0124] 列于此表的波高值是将极值波高视为优先变量来推算的，是N年一遇极值波高。此表中的水位值是在指定这些极值波高的情况下用式(21)推得的相应极值水位。例如，表中所列的第一个波高值7.38m为麦岛海域10年一遇极值波高，其相应的水位值5.51m为与之同时发生的10年一遇的极值水位。

[0125] 从表3可见，对于麦岛海域，本发明提出的模式推算设计水位与由Poisson-Mixed-Gumbel模式推算的结果接近。

[0126] 对于朝连岛海域，由Poisson-Mixed-Gumbel模式推算的水位值过高以至于20年一遇联合水位达8.34(m)，而50年一遇联合水位超过9(m)。潮连岛是位于外海的一个小岛，其周围海域出现的水位应低于河口和海湾海域的，推算出如此高的极值水位不太符合实际情况。事实上，从朝连岛1965年到1989年的年极值水位观测值看，最高者仅为6.90(m)。

[0127] 由图2至图5，结合潮连岛观测站及麦岛观测站所处海域特性，以及表3计算结果可见：用本发明给出的方法推算得到的水位值相对合理，以此验证了在充分考虑台风影响因素、避免先验性和人为假定的情况下，本发明给出的推算极值水位与极值波高联合重现期的方法是合理的。