一种Lur’e型微分包含系统的控制器设计方法

摘要

本发明公开了一种Lur’e型微分包含系统的控制器设计方法，根据待设计的控制器要求，构建微分包含系统，设计降维观测器，基于降维观测器进行控制器的设计。本发明的反馈控制基于观测器的状态，可以省去系统中的传感器，同时还能提高控制器的可靠性；在构造观测器时，利用了降维观测器设计技术，可以用较少的积分器并且整个控制系统更简单，既节约了成本，又简化了系统的复杂度，可应用于如风力发电系统的设计。

权利要求

1.一种直流电机的转子系统的控制器设计方法，基于降维观测器设计，其特征在于，直流电机的转子系统简化为直流电机驱动上转盘，经金属缆线带动下转盘， 和 分别表示上转盘和下转盘的角速度， 和 分别表示上转盘和下转盘的摩擦力所产生的力矩，设计系统的输入使得上下转盘的转速达到一致，设计方法包括下列步骤：(1) 通过系统辨识的方法，给出转子系统的数学模型如下：式中， ，是系统的状态量，系统状态的维数n=3，x1是上转盘与下转盘的角度差，x2、x3分别是上转盘的角速度和下转盘的角速度；u是系统的输入量，代表直流电机的电压， ，m是系统输入的维数， ，是系统的输出量，q是系统输出的维数；

是集合值函数，r为集合值函数的维数，t表示时间； 是 的输出，A、G、B、H、C是常值矩阵，且A的维数是n×n、G的维数是n×r、B的维数是n×m、H的维数是r×n、C的维数是q×n；

 (2)设计降维观测器：

1）找出满足下列等式的矩阵P：，

式中， ， ， ， ，A、C、G、H、n、q、r与步骤(1)相同；

2）做分块形式如下：

， ， ， ， ， ，

，

式中，x1∈Rq， ， ， ， ， ，；

3）取 ；

4）构造转子系统的降维观测器形式如下：(3)基于降维观测器进行控制器的设计：

1）通过解如下不等式，设计出反馈增益K2的值：式中， ， ，是一个r×r的对角矩阵，且 =diag（λ

1，λ2…λr），λi>0，i=1,2,…r；

2）利用观测器做反馈，给出控制器的最终形式为：， 。

说明书

一种Lur’e型微分包含系统的控制器设计方法

技术领域

[0001] 本发明涉及一种控制器的设计方法，具体涉及一种基于降维观测器的Lur’e型微分包含系统的控制器的设计方法。

背景技术

[0002] 在控制工程领域，可以采用方程来描述特定系统，并求解控制器，以实现系统的设计。例如，可以将直流电机的转子系统构建成由上转盘、下转盘和连接上、下转盘的金属缆线构成的系统，由于缆线含有静摩擦力，该系统实际上是一类Lur’e型微分包含系统。

[0003] Lur’e型系统是一类特殊的非线性系统，自上世纪五十年代，Lur’e型系统得到了充分的研究，其中最著名的成果就是前苏联数学家Lur’e A.在《Some Nonlinear Problem in the Theory of Automatic Control》一书中关于超稳定性的结论。随着科学的发展和研究的深入，进入二十一世纪之后，Lur’e型微分包含系统开始得到控制界的广泛关注，而该系统最大的特点是非线性部分含有集合值函数。 Lur’e型微分包含系统具有广泛的工程应用背景而被大量研究。在具有Coulomb摩擦力的动力学系统的研究中，Pfeiffer F. 和 Hajek M. 在《Philosophical Transactions: Physical Sciences and Engineering》（哲学学报：自然科学与工程学）（1992年第338卷第1651期，第503页—517页）上发表的“Stick-slip motions of turbine blade dampers”（涡轮叶片阻尼的粘滑运动）和 Juloski A. 等人在《Control Engineering Practice》（控制工程实践）（2004年第12卷第10期，第1241页—1252页）中发表的“Data-based hybrid modelling of the component placement process in pick-and-place machines”（基于数据在拾取-贴装机器贴装过程中的混合建模）以及 Mihajlovic N. 等人在《Nonlinear Dynamics》（非线性动力学）（2006年第46卷第3期，第273页—291页）中发表的“Friction-induced limit cycling in flexible rotor systems: An experimental drillstring set-up”（在柔性转子系统中由摩擦引起的极限环：一个实验性的钻柱装置）。与此同时，在含有理想晶体二极管的电路系统、线性互补系统等领域中也有广泛应用。

[0004] 当受控对象可控时，需要使用传感器来测量状态变量以便形成反馈，但是，由于许多中间状态不易或不可测量，通常利用受控对象的输入量和输出量，通过状态观测器来重构问题，基于状态观测器来设计控制器。

[0005] 当前，对于Lur’e型微分包含系统的研究主要集中在观测器的设计，根据集合值函数的不同，研究方法也不尽相同。比如 Osorio M. 和 Moreno J. 在《第四十五届IEEE决策与控制会议的论文集》（2006年，第5400页—5405页）上发表的“Dissipative design of observers for multivalued nonlinear systems”（多值非线性系统的耗散性观测器设计）文章中，就是基于耗散性的方法设计Lur’e型微分包含系统的观测器。而 Doris A. 等人在《IEEE Transactions on Control Systems Technology》（IEEE控制系统技术会刊）（2008年第16卷第6期，第1323页—1332页）上发表的“Observer  designs for experimental non-smooth and discontinuous systems”（非光滑不连续实验系统的观测器设计）以及 Brogliato B. 和 Heemels W. 在《IEEE Transactions on Automatic Control》（IEEE自动控制会刊）（2009年第54卷第8期，第1996页—2001页）上发表的“Observer design for Lur’e systems with multivalued mappings:a passivity approach”（多值映射的Lur’e型系统的观测器设计：一种无源性方法），两者都是利用正实性的方法设计Lur’e型微分包含系统的观测器。

[0006] 然而，在实际应用中，需要实现控制器的设计。如何使整个控制系统更为简单，是本领域需要解决的问题。

发明内容

[0007] 本发明的发明目的是提供一种基于降维观测器的Lur’e型微分包含系统的控制器设计方法，以简化系统的复杂度。

[0008] 为达到上述发明目的，本发明采用的技术方案是：一种Lur’e型微分包含系统的控制器设计方法，其特征在于，包括下列步骤：

[0009] (1)根据待设计的系统，给出系统的状态量、输入量和输出量，将系统构建为[0010]

[0011] 式中， ，是系统的状态量，n是系统状态的维数，R为实数集， ，是系统的输入量，m是系统输入的维数， ，是系统的输出量，q是系统输出的维数；是集合值函数，r为集合值函数的维数，t表示时间； 是 的输出，A、G、B、H、C是常值矩阵，且A的维数是n×n、G的维数是n×r、B的维数是n×m、H的维数是r×n、C的维数是q×n；

[0012] (2)设计降维观测器：

[0013] 1）找出满足下列等式的矩阵P：

[0014] ，

[0015]

[0016] 式中， ， ， ， ，A、C、G、H、n、q、r与步骤(1)相同；

[0017] 2）做分块形式如下：

[0018] ， ， ， ， ，， ，

[0019] 式中，x1∈Rq， ， ， ， ，， ；

[0020] 3）取 ；

[0021] 4）构造Lur’e型微分包含系统的降维观测器形式如下：

[0022]

[0023] (3)基于降维观测器进行控制器的设计：

[0024] 1）通过解如下不等式，设计出反馈增益K2的值：

[0025]

[0026] 式中， ， ， 是一个r×r的对角矩阵，且 =diag（λ1，λ2…λr），λi>0，i=1,2,…r；

[0027] 2）利用观测器做反馈，给出控制器的最终形式为：

[0028] ， 。

[0029] 由于上述技术方案运用，本发明与现有技术相比具有下列优点：

[0030] 1．由于所设计的反馈控制是基于观测器的状态，因此可以省去系统中的传感器，同时还能提高控制器的可靠性；

[0031] 2．在构造观测器时，利用了降维观测器设计技术，可以用较少的积分器并且整个控制系统更简单，既节约了成本，又简化了系统的复杂度。

附图说明

[0032] 图1是实施例中的转子系统的构造简化分析图；

[0033] 图2、图3、图4是实施例中进行反馈控制后闭环系统的状态x1、x2、x3的响应曲线；

[0034] 图5和图6是原系统与降维观测器系统之间的误差re2和re3。

[0035] 其中：1、直流电机；2、上转盘；3、下转盘；4、金属缆线。

具体实施方式

[0036] 下面结合附图及实施例对本发明作进一步描述：

[0037] 实施例一：本实施例针对直流电机的转子系统，基于降维观测器来设计其控制器。

[0038] 转子系统的具体构造见图1，图中给出的是简化分析图，直流电机1驱动上转盘2，经金属缆线4带动下转盘3。其中， 和 分别表示上转盘2和下转盘3的角速度，和 分别表示上转盘2和下转盘3的摩擦力所产生的力矩，u是直流电机的电压。转子系统的运行机理在于，上转盘2和下转盘3连接着金属缆线4，直流电机1上电之后会带动上转盘2先转动起来，在金属缆线4的作用下，下转盘3也会跟着转动起来。根据动力学知识，由于金属缆线含有静摩擦力，因此该系统实际上是一类Lur’e型微分包含系统。若将直流电机的电压看成系统的输入，则该系统的控制问题提法是，设计系统的输入使得上下转盘的转速达到一致。

[0039] 控制器设计的具体步骤如下：

[0040] 1. 通过系统辨识的方法，给出转子系统的数学模型如下：

[0041]

[0042] 式中，

[0043] ，  ，

[0044] ， ， ，

[0045]

[0046] 作为状态，x1是上转盘与下转盘的角度差，x2、x3分别是上转盘的角速度和下转盘的角速度。

[0047] 2. 根据降维观测器理论设计出相应的观测器。

[0048] 通过解等式：

[0049] ，

[0050] ，

[0051] 得到 ，取 ，其他均按照矩阵的分块进行计算，于是 。转子系统的降维观测器的数值形式为：

[0052]

[0053] 3. 设计控制器。

[0054] 通过解不等式：

[0055]

[0056] 从而得到控制器增益 ，以此做控制器，即 ，即得到 。

[0057] 如图2、图3、图4所示，分别是进行反馈控制后闭环系统的状态x1、x2、x3的响应曲线。图5和图6则是原系统与降维观测器系统之间的误差re2和re3。从图中很明显能看到，闭环系统的状态x1、x2、x3均在1秒内渐近收敛于0，而误差re2和re3则在0.6秒内渐近收敛于0。即控制器设计是有效的，所有的状态最后都收敛至平衡点，原系统最终渐近稳定。通过本实施例的方法，可以使上转盘与下转盘的转子角速度达到一致，此时金属缆线上的扭矩为0，因此可以减少系统工作时金属缆线的机械应力。

[0058] 在实际系统中，如风电领域，在风轮机与发电机之间往往存在齿轮箱，作为风电机组故障率最高的部件，其扭矩问题是一个关键原因。本发明的方法也可以应用于该领域，为大幅提高风电机组使用寿命提供可能。