本发明公开了一种弧齿锥齿轮的滑动系数及重合度的计算方法，它涉及齿轮技术领域；它的具体实施步骤为：由球面三角关系，以球面渐开线为齿形的直齿锥齿轮，在啮合过程中的实际啮合区间角度，是由两个参与啮合的锥齿轮顶锥角确定，由此可以求出其重合度，也就是相应弧齿锥齿轮传动副的端面重合度；根据弧齿锥齿轮啮合方程的几何意义，以及直齿锥齿轮齿面与弧齿锥齿轮齿面的关系，求解弧齿锥齿轮工作齿面上的接触线。进而在啮合面上找出弧齿锥齿轮每一对轮齿相对于直齿锥齿轮，多出的参与啮合转角，从而求出弧齿锥齿轮副的轴向重合度；本发明有益效果为：便于实现准确、快速的计算，节省时间，数据准确。
一种弧齿锥齿轮的滑动系数及重合度的计算方法
技术领域
[0001] 本发明涉及齿轮技术领域，具体涉及一种弧齿锥齿轮的滑动系数及重合度的计算方法。
背景技术
[0002] 空间啮合齿轮副的滑动系数算法，一直是以解析法为主。解析法是基于微分几何与空间啮合原理，通过繁杂的向量运算取得计算公式，涉及空间曲面任意方向法曲率与两个齿面接触点处相对运动速度方向的求解，不易掌握。因此，根据弧齿锥齿轮实际啮合规律，使用几何法来确定齿面上接触点相对滑动速度，最终计算出该点处的滑动系数，为齿轮齿面的摩擦、磨损评估提供了理论上的依据。
[0003] 目前经常采用的弧齿锥齿轮重合度算法，是以其端面当量斜齿轮的重合度，作为弧齿锥齿轮啮合副的估计值，没有严密的理论依据，仅存在工程价值。
发明内容
[0004] 本发明的目的在于针对现有技术的缺陷和不足，提供一种弧齿锥齿轮的滑动系数及重合度的计算方法。
[0005] 为了解决背景技术所存在的问题，本发明的一种弧齿锥齿轮的滑动系数及重合度的计算方法，它的计算方法为：以球面渐开线为齿形的弧齿锥齿轮数学模型基础上，将其重合度分为端面重合度和纵向重合度；具体实施步骤为：由球面三角关系，以球面渐开线为齿形的直齿锥齿轮，在啮合过程中的实际啮合区间角度，是由两个参与啮合的锥齿轮顶锥角确定，由此可以求出其重合度，也就是相应弧齿锥齿轮传动副的端面重合度；根据弧齿锥齿轮啮合方程的几何意义，以及直齿锥齿轮齿面与弧齿锥齿轮齿面的关系，求解弧齿锥齿轮工作齿面上的接触线。进而在啮合面上找出弧齿锥齿轮每一对轮齿相对于直齿锥齿轮，多出的参与啮合转角，从而求出弧齿锥齿轮副的轴向重合度。
[0006] 它的具体的计算方法如下：
[0007] 一、弧齿锥齿轮滑动系数的算法：
[0008] 弧齿锥齿轮传动副在某一时刻啮合线上的啮合点M，其在啮合面上的位置可以用表示，由此在球面三角形ΔO1N1M中利用正弦、余弦公式，有边角和面角的关系式：
[0009]
[0010] sinδb1＝sin(90°-α1)sinδm1 (4-3)
[0011] 从而可以得到压力角α1；
[0012] 在球面三角形ΔO2N2M中，有以下关系式：
[0013]
[0014] sinδb2＝sin(90°-α2)sinδm2 (4-5)
[0015] 从而可以得到压力角α2与 的关系；
[0016] 啮合点M位置处，锥齿轮1牵连速度的方向垂直于三角形ΔO1OM所在平面，自然也垂直于圆锥面上的母线OM，且牵连速度 牵连速度大小的计算方法为：
[0017] υq1＝ω1·l·sinδm1 (4-6)
[0018] 与主动锥齿轮1上啮合点M位置处牵连速度的求解方法一样，如啮合点M位置处，被动锥齿轮2牵连速度的方向垂直于三角形ΔO2OM所在平面，也必然垂直于圆锥面上的母线OM，且牵连速度 的大小为：
[0019] υq2＝ω2·l·sinδm2 (4-7)
[0020] 因为锥齿轮1、2在M点牵连运动速度方向均垂直于直线OM，同时，M点绝对运动速度υm相切于啮合线(啮合平面上的圆弧线N1N2)，也垂直于直线OM，因此，速度υq1、υq2、υm位于垂直于直线OM的平面上，
[0021] 根据啮合理论，弧齿锥齿轮的啮合点M沿齿面1、2上齿廓曲线(球面渐开线)的相对滑动速度方向相切于齿廓曲线，并垂直于直线AB。根据滑动系数的定义，可得弧齿锥齿轮滑动系数的计算方法如下：
[0022]
[0023]
[0024] 式中的υh即两个弧齿锥齿轮齿面在M点处的相对运动速度υ(12)的代数值，υx1、υx2是齿面 1、2在M点牵连速度沿υ(12)方向的分量。
[0025] 二、弧齿锥齿轮重合度的计算：
[0026] 2.1、端面重合度：
[0027] 在直角球面三角形ΔO1N1B2中，利用边的余弦公式，有锥顶角δa1、基锥角δb1和扇面角度 之间的关系式：
[0028]
[0029] 因此得到扇面角 的表达式：
[0030]
[0031] 同理，在球面直角三角形ΔO2N2B1中，应用边的余弦公式，有锥顶角δa2、基锥角δb2和扇面角度 之间的关系式：
[0032]
[0033] 因而得到扇面角 的表达式：
[0034]
[0035] 实际啮合区间角度：
[0036]
[0037] 锥齿轮基节角是每一对轮齿必须完成的转动最小角度，以使得前一对轮齿退出啮合的同时，下一对轮齿刚好进入啮合，以保持传动的连续性。类似于渐开线圆柱齿轮，把主动锥齿轮基圆锥展开成扇面，扇面的展角除以主动锥齿轮齿数，作为基节角
[0038]
[0039] 或者写成以下形式：
[0040]
[0041] 因而得到端面重合度：
[0042]
[0043] 2.2、轴向重合度：在三角形ΔOO1C中，O1点为铣刀盘转动圆心，根据余弦公式 可以求得锥齿轮大端锥距(ρ＝r1)、铣刀盘半径rd和刀位Sd三个参数确定的角度：
[0044]
[0045] 同理，在三角形ΔOO1D中，接触线eD在锥齿轮小端D点对应的扇面角：
[0046]
[0047] 由此可得弧齿锥齿轮每一对轮齿实际参与啮合的角度多出直齿锥齿轮，该角度是：
[0048]
[0049] 弧齿锥齿轮的轴向重合度：
[0050]
[0051] 弧齿锥齿轮的总重合度：
[0052] ε＝εα+εβ (4-22)
[0053] 2.3、极限啮合区间角度的求解：N2是啮合极限位置点，位于啮合面和被动齿轮基圆锥的切线ON2上，θ02是直线O2N2与坐标平面YOZ的夹角。在等腰三角形ΔOAC和直角三角形ΔOAN2中，可以求出由基圆锥锥距ON2＝l及其它已知参数表达的边长：
[0054] AC＝2l·sinδb2·sin(θ02/2) (4-23)
[0055] AN2＝l·cosδb2 (4-24)
[0056] 根据以上两个边长，在直角三角形ΔACN2，得到斜边长关系式：
[0057]
[0058] 同时，在直角三角形ΔCBO中的直角边长：
[0059] OC＝l·sinδb2 (4-26)
[0060] 在三角形ΔCN2O中，利用余弦公式，得到：
[0061]
[0062] 将式(4-23)、(4-24)、(4-25)、(4-26)代入式(4-27)，求解出切线ON2与Z轴夹角∠N2OC的余弦为：
[0063] cos∠N2OC＝sinδb2cosθ02 (4-28)
[0064] 式中角度θ02的余弦可由啮合方程及球面三角形计算公式得到：
[0065] cosθ02＝sinδb1/cosδb2 (4-29)
[0066] 最后得到切线ON2与Z轴的夹角余弦为：
[0067] cos∠N2OC＝sinδb2sinδb1/cosδb2 (4-30)
[0068] 在球面直角三角形O1N1N2中，利用边的余弦公式，有如下关系式：
[0069]
[0070] 所以，极限啮合区间角：
[0071]
[0072] 本发明有益效果为：便于实现准确、快速的计算，节省时间，数据准确。
附图说明
[0073] 图1为本发明中啮合点M的相对运动、绝对运动轨迹示意图；
[0074] 图2为本发明中齿轮1上啮合点M所在圆锥面示意图；
[0075] 图3为本发明中啮合点M在齿轮1及啮合面上所在位置示意图；
[0076] 图4为本发明中齿轮2上啮合点M所在圆锥面示意图；
[0077] 图5为本发明中齿轮1上啮合点M位置处的牵连运动速度示意图；
[0078] 图6为本发明中齿轮2上啮合点M位置处的牵连运动速度示意图；
[0079] 图7为本发明中各速度分量所在平面位置示意图；
[0080] 图8为本发明中啮合点M各速度分量关系示意图；
[0081] 图9为本发明中啮合结束点位置的求解示意图；
[0082] 图10为本发明中啮合起始点位置的求解示意图；
[0083] 图11为本发明中直齿锥齿轮啮合面上各扇面角度之间的关系示意图；
[0084] 图12为本发明中弧齿锥齿轮在啮合扇面上的啮合区间示意图；
[0085] 图13为本发明中啮合极限位置ON2直线与Z轴夹角的求解示意图；
[0086] 图14为本发明中线接触齿面接触线上一点的啮合线及其在齿面上的滑动轨迹示意图。
具体实施方式
[0087] 下面结合附图，对本发明作进一步的说明。
[0088] 为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及具体实施方式，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施方式仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
[0089] 参看图1-14，本具体实施方式采用如下技术方案：它的计算方法如下：以球面渐开线为齿形的弧齿锥齿轮数学模型基础上，将其重合度分为端面重合度和纵向重合度；具体实施步骤为：由球面三角关系，以球面渐开线为齿形的直齿锥齿轮，在啮合过程中的实际啮合区间角度，是由两个参与啮合的锥齿轮顶锥角确定，由此可以求出其重合度，也就是相应弧齿锥齿轮传动副的端面重合度；根据弧齿锥齿轮啮合方程的几何意义，以及直齿锥齿轮齿面与弧齿锥齿轮齿面的关系，求解弧齿锥齿轮工作齿面上的接触线。进而在啮合面上找出弧齿锥齿轮每一对轮齿相对于直齿锥齿轮，多出的参与啮合转角，从而求出弧齿锥齿轮副的轴向重合度。
[0090] 它的具体的计算方法如下：
[0091] 一、弧齿锥齿轮滑动系数的算法：
[0092] 以球面渐开线为齿形曲线的弧齿锥齿轮副，在啮合过程中，啮合点不存在沿齿长方向纵向位移，而仅仅沿齿廓线移动。啮合点M在绝对空间坐标系中的运动轨迹，如图1所示，啮合平面上的圆弧线N1N2，并从N1点向N2方向移动，啮合点M相对于齿面1的运动轨迹是球面渐开线AB，运动方向是从齿根向齿顶，即从A点到B点；啮合点M相对于齿面2的运动轨迹是球面渐开线eD，运动方向与在齿轮1上的方向相反，即M点从齿顶向齿根移动，也就是齿轮2的轮齿从齿顶D点进入啮合，在齿根C点处轮齿退出啮合。
[0093] 弧齿锥齿轮传动副在某一时刻啮合线上的啮合点M，其在啮合面上的位置可以用表示，如图2、3所示，由此在球面三角形ΔO1N1M中利用正弦、余弦公式，有边角和面角的关系式：
[0094]
[0095] sinδb1＝sin(90°-α1)sinδm1 (4-3)
[0096] 从而可以得到压力角α1(M点齿轮1牵连速度与啮合线N1N2切线的夹角)与 的关系。
[0097] 如图4所示，在球面三角形ΔO2N2M中，有以下关系式：
[0098]
[0099] sinδb2＝sin(90°-α2)sinδm2 (4-5)
[0100] 从而可以得到压力角α2与 的关系。
[0101] 如图5所示，啮合点M位置处，锥齿轮1牵连速度的方向垂直于三角形ΔO1OM所在平面，自然也垂直于圆锥面上的母线OM，且牵连速度 牵连速度大小的计算方法为：
[0102] υq1＝ω1·l·sinδm1 (4-6)
[0103] 与主动锥齿轮1上啮合点M位置处牵连速度的求解方法一样，如图6所示，啮合点M位置处，被动锥齿轮2牵连速度的方向垂直于三角形ΔO2OM所在平面，也必然垂直于圆锥面上的母线OM，且牵连速度 的大小为：
[0104] υq2＝ω2·l·sinδm2 (4-7)
[0105] 因为锥齿轮1、2在M点牵连运动速度方向均垂直于直线OM，同时，M点绝对运动速度υm相切于啮合线(啮合平面上的圆弧线N1N2)，也垂直于直线OM，因此，速度υq1、υq2、υm位于垂直于直线OM的平面Σ上，如图7、8所示。
[0106] 根据啮合理论，弧齿锥齿轮的啮合点M沿齿面1、2上齿廓曲线(球面渐开线)的相对滑动速度方向相切于齿廓曲线，并垂直于直线AB。根据滑动系数的定义，可得弧齿锥齿轮滑动系数的计算方法如下：
[0107]
[0108]
[0109] 式中的即两个弧齿锥齿轮齿面在M点处的相对运动速度υ(12)的代数值，υx1、υx2是齿面1、2在M点牵连速度沿υ(12)方向的分量。
[0110] 二、弧齿锥齿轮重合度的计算：端面重合度εα就是与弧齿锥齿轮相对应的、相同齿轮参数的直齿锥齿轮啮合传动的重合度；轴向重合度是由于接触线不是直线，齿轮各轮齿沿齿宽方向不同时进入、退出啮合，而是逐次进入啮合状态，这一点类似于渐开线斜齿圆柱齿轮传动副的啮合过程，因此，每一对轮齿参与的啮合角度要多于直齿锥齿轮，多出的这一部分就是轴向重合度。
[0111] 2.1、端面重合度：
[0112] 如图9所示，N1和N2是基圆锥与啮合面切线上的点，也是啮合极限点；圆弧线N1N2是啮合线，即啮合点在绝对空间的运行轨迹；啮合平面ON1N2是一个扇面。B2是由主动锥齿轮1的齿顶高(或者顶锥角δa1)决定的实际啮合退出点，同时参见图10所示，B1是由被动齿轮齿顶高(或者顶锥角δa1)决定的实际啮合起始点。
[0113] 在直角球面三角形ΔO1N1B2中，利用边的余弦公式，有锥顶角δa1、基锥角δb1和扇面角度 之间的关系式：
[0114]
[0115] 因此得到扇面角 的表达式：
[0116]
[0117] 同理，参见图10，在球面直角三角形ΔO2N2B1中，应用边的余弦公式，有锥顶角δa2、基锥角δb2和扇面角度 之间的关系式：
[0118]
[0119] 因而得到扇面角 的表达式：
[0120]
[0121] 在啮合平面上，各扇面角度之间的关系如图11所示。
[0122] 实际啮合区间角度：
[0123]
[0124] 锥齿轮基节角是每一对轮齿必须完成的转动最小角度，以使得前一对轮齿退出啮合的同时，下一对轮齿刚好进入啮合，以保持传动的连续性。类似于渐开线圆柱齿轮，把主动锥齿轮基圆锥展开成扇面，扇面的展角除以主动锥齿轮齿数，作为基节角
[0125]
[0126] 或者写成以下形式：
[0127]
[0128] 因而得到端面重合度：
[0129]
[0130] 2.2、轴向重合度：对于弧齿锥齿轮来讲，由于齿轮传动副的接触线不同于直齿锥齿轮，不再是一条直线。根据前面的分析结论，其接触线是圆弧线，如图12所示。因此，相对于直齿锥齿轮的实际啮合区间AC，要多出一段eD。
[0131] 在三角形ΔOO1C中，O1点为铣刀盘转动圆心，根据余弦公式 可以求得锥齿轮大端锥距(ρ＝r1)、铣刀盘半径rd和刀位Sd三个参数确定的角度：
[0132]
[0133] 同理，在三角形ΔOO1D中，接触线eD在锥齿轮小端D点对应的扇面角：
[0134]
[0135] 由此可得弧齿锥齿轮每一对轮齿实际参与啮合的角度多出直齿锥齿轮，该角度是：
[0136]
[0137] 弧齿锥齿轮的轴向重合度：
[0138]
[0139] 弧齿锥齿轮的总重合度：
[0140] ε＝εα+εβ (4-22)
[0141] 2.3、极限啮合区间角度的求解：在以上重合度的计算方法中，引入了极限啮合角度 这个角度就是理论上的最大啮合区间角，是由两个基圆锥的锥角参数δb1、δb2所确定的，如图9、图10所示。而实际上，有效啮合区间取决于两个参与啮合的轮齿高度，也就是两个轮齿的锥顶角δa1、δa2。
[0142] 如图13所示，N2是啮合极限位置点，位于啮合面和被动齿轮基圆锥的切线ON2上，θ02是直线O2N2与坐标平面YOZ的夹角。在等腰三角形ΔOAC和直角三角形ΔOAN2中，可以求出由基圆锥锥距ON2＝l及其它已知参数表达的边长：
[0143] AC＝2l·sinδb2·sin(θ02/2) (4-23)
[0144] AN2＝l·cosδb2 (4-24)
[0145] 根据以上两个边长，在直角三角形ΔACN2，得到斜边长关系式：
[0146]
[0147] 同时，在直角三角形ΔCBO中的直角边长：
[0148] OC＝l·sinδb2 (4-26)
[0149] 在三角形ΔCN2O中，利用余弦公式，得到：
[0150]
[0151] 将式(4-23)、(4-24)、(4-25)、(4-26)代入式(4-27)，求解出切线ON2与Z轴夹角∠N2OC的余弦为：
[0152] cos∠N2OC＝sinδb2cosθ02 (4-28)
[0153] 式中角度θ02的余弦可由啮合方程及球面三角形计算公式得到：
[0154] cosθ02＝sinδb1/cosδb2 (4-29)
[0155] 最后得到切线ON2与Z轴的夹角余弦为：
[0156] cos∠N2OC＝sinδb2sinδb1/cosδb2 (4-30)
[0157] 如图9所示，在球面直角三角形O1N1N2中，利用边的余弦公式，有如下关系式：
[0158]
[0159] 所以，极限啮合区间角：
[0160]
[0161] 以上所述，仅用以说明本发明的技术方案而非限制，本领域普通技术人员对本发明的技术方案所做的其它修改或者等同替换，只要不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。
