一种基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法

摘要

本发明涉及一种基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法，属于弹道实验数据处理技术领域。本发明首先依据传统最小二乘法对弹道实验数据进行拟合得到的弹道函数，计算该拟合弹道函数与实验数据的最小误差、平均误差和实验点误差；并根据得到最小误差、平均误差和实验点误差计算权重函数影响半径；然后根据权重函数影响半径构建权重函数；最后根据所构造的权重函数采用移动最小二乘法对弹道数据进行拟合，以得到相应的弹道曲线。相比传统最小二乘法原有分段拟合的方式，本发明不需要进行分段拟合、多项式阶次不需要试算，通过构建的权重函数采用移动最小二乘法即可实现对弹道数据的拟合。

权利要求

1.一种基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法，其特征在于，该拟合方法的步骤如下：

1)依据最小二乘法对弹道实验数据进行拟合得到的弹道函数；

2)根据最小二乘法得到的弹道函数取最小误差、平均误差和实验点误差计算权重函数影响半径；所述权重函数影响半径为：其中di表示实验点所对应的权重函数影响半径，表示平均误差，Δi表示实验点误差，Δmin表示最小误差，i＝1,2,…n，n为实验点数；

3)根据权重函数影响半径构建权重函数；

4)根据所构造的权重函数采用移动最小二乘法对弹道数据进行拟合，以得到相应的弹道曲线。

2.根据权利要求1所述的基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法，其特征在于，所述的步骤3)中构建的权重函数：其中ri＝|x-xi|/di表示紧支集影响半径，θ表示归一因子，CM＝ki，ki表示实验点初始权重。

3.根据权利要求2所述的基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法，其特征在于，所述权重函数满足归一性，即：θ值可根据上式进行计算。

4.根据权利要求3所述的基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法，其特征在于，所述最小误差、平均误差和实验点误差满足下列关系：其中n表示实验点数，ΔL表示最小误差，ΔR1表示平均误差，ΔR2表示实验点误差， 表示大于设定正常值的权重函数，Δ表示期望移动最小二乘法拟合函数。

说明书

一种基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法

技术领域

[0001] 本发明涉及一种基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法，属于弹道实验数据处理技术领域。

背景技术

[0002] 弹道处理是一种从实验数据获得发射时状态量与弹道运动量依赖关系的过程，在工程实践中弹道处理的发射时状态量一般为载机的发射时刻，发射高度、发射角度等，而处理的弹道运动量一般为射程、时间等，且依赖关系需要满足光滑性且曲率小范围变化等的假设。目前，弹道的处理主要方法包括传统最小二乘法。传统最小二乘法在弹道处理过程中，多项式的阶次需要试算，当多项式阶次过高时，容易产生高变化率一阶导数，阶次过低时，原始实验数据逼近精度不足，而当数据量较大、原始数据非线性性质较强时定义域往往需要进行分段拟合，从而限制了其工程应用的通用性及便捷性。

发明内容

[0003] 本发明的目的在于克服现有传统最小二乘法弹道拟合方法多项式阶次需要试算、定义域需分段及原始数据逼近精度不高等的缺点，针对移动最小二乘法中的权重函数影响域提出一种基于De Giorgi迭代的估计算法,估计权重函数在局部邻域中的影响半径，构造权重函数的具体形式，获得一种依赖实验数据拟合弹道函数的新方法。

[0004] 本发明为解决上述技术问题提供了一种基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法，该方法的步骤如下：

[0005] 1)依据传统最小二乘法对弹道实验数据进行拟合得到的弹道函数；

[0006] 2)根据传统最小二乘法得到的弹道函数取最小误差、平均误差和实验点误差计算权重函数影响半径；

[0007] 3)根据权重函数影响半径构建权重函数；

[0008] 4)根据所构造的权重函数采用移动最小二乘法对弹道数据进行拟合，以得到相应的弹道曲线。

[0009] 所述权重函数影响半径为：

[0010]

[0011] 其中di表示实验点所对应的权重函数影响半径， 表示平均误差，Δi表示实验点误差，Δmin表示最小误差，i＝1,2,…n，n为实验点数。

[0012] 所述的步骤3)中构建的权重函数：

[0013]

[0014] 其中ri＝|x-xi|/di表示紧支集影响半径，θ表示归一因子，CM＝ki，ki表示实验点初始权重。

[0015] 所述权重函数满足归一性，即：

[0016]

[0017] θ值可根据上式进行计算。

[0018] 所述最小误差、平均误差和实验点误差满足下列关系：

[0019]

[0020] 其中n表示实验点数，ΔL表示最小误差，ΔR1表示平均误差，ΔR2表示实验点误差，表示大于设定正常值的权重函数，Δ表示期望移动最小二乘法拟合函数。

[0021] 本发明的积极效果是：本发明基于De Giorgi迭代估计的弹道处理方法，通过选取初次拟合函数获得权重函数误差夹逼估计，计算权重函数影响半径，构造权重函数，依据移动最小二乘法计算拟合函数四个步骤完弹道数据的处理。相比传统最小二乘法将原有分段拟合的方式改变为紧支集邻域半径计算，本发明不需要进行分段拟合。由权重函数紧支集邻域半径的估计的有界性及权函数的归一性，可高精度逼近原始数据，能拟合数据剧烈变化的情况。由目标泛函的连续可微性，得到的弹道函数有足够光滑性。由权重函数的权重分配性，不需多项式阶次的试算。

附图说明

[0022] 图1是本发明实施例中四阶基底、ΔL＝Δmin,ΔR＝Δi移动最小二乘法拟合数据图。

具体实施方式

[0023] 下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步的说明。

[0024] 本发明根据最小二乘法在弹道处理过程中存在的上述问题，本发明提供了一种基于移动最小二乘法的弹道曲线拟合方法，该方法首先依据传统最小二乘法对弹道实验数据进行拟合得到的弹道函数，计算该拟合弹道函数与实验数据的最小误差、平均误差和实验点误差；并根据得到最小误差、平均误差和实验点误差计算权重函数影响半径；然后根据权重函数影响半径构建权重函数；最后根据所构造的权重函数采用移动最小二乘法对弹道数据进行拟合，以得到相应的弹道曲线。

[0025] 其中移动最小二乘法(Moving least square method，MLSM)作为一种拟合算法是由Shepard于1968年提出，并最初应用在固体力学领域，1992年Nayroles等人最早将移动最小二乘法用于无网格法中求解偏微分方程，并逐渐在该领域内得到了广泛应用。MLSM的基本原理是，首先对全特性曲线在整个求解区域内分区，然后在不同的区域上用最小二乘法拟合，即采用分区局部拟合,这对拟合精度将会有较大改善，与理论值和最小二乘法拟合结果对比,结果表明移动最小二乘法通用性强,原始数据逼近精度高,可适用于弹道拟合。

[0026] 下面以某模型炸弹的实际飞行采样的实际飞行高度、时间作为原始实验数据，对本发明的具体实施过程进行详细描述。

[0027] 1.依据传统最小二乘法对弹道实验数据进行拟合得到的弹道函数[0028] 选取初次拟合函数获得权重函数误差夹逼估计指：选取一定阶次的基底，根据传统最小二乘法拟合得出的弹道函数，通过计算拟合弹道函数与实验数据的最小误差，平均误差，实验点误差，实验点误差由原始实验数据与经典二乘法依据L2模求得，其具体公式为[0029]

[0030] 其中u*表示实验数据，u表示由经典二乘法获得的数据，

[0031] 本实施例中采用传统最小二乘法进行拟合时选取的初次拟合函数的基底形式如下：

[0032] R＝a0+a1H+a2H2

[0033] 依据最小二乘法获得拟合时间，计算拟合时间与原始数据时间的最小误差、平均误差和实验点误差。最小误差、平均误差和实验点误差满足下列关系：

[0034]

[0035] 其中n表示实验点数，ΔL表示最小误差，ΔR1表示平均误差，ΔR2表示实验点误差，表示大于设定正常值的权重函数，Δ表示期望移动最小二乘法拟合函数。

[0036] 2.根据最小误差、平均误差、实验点误差和实验点初始权重计算权重函数影响半径di。

[0037] 权重函数影响半径的计算过程如下：

[0038] 第一步，引入De Giorgi迭代引理，设 是定义在[k0,∞)上的非负的单调不增函数，且满足

[0039]

[0040] 其中α＞0,β＞1。则

[0041]

[0042] 其中

[0043]

[0044] 第二步，给出定义

[0045] 将一个集合的测度记成|E|，同时定义

[0046] E(k)＝{x∈D|ω(x)＞k}

[0047] Di＝{x∈D|0≤||x-xi||＜Ri}

[0048] 设Γ(x)表示由观察数据通过经典最小二乘法拟合得到的函数，定义[0049]

[0050] Δi＝|Γ(xi)-u(xi)|

[0051]

[0052]

[0053] 其中n表示观察数据的个数，u(xi)表示观察数据。

[0054] 在全局上假设权重函数满足：

[0055]

[0056] 且满足

[0057]

[0058] 其中 (ωi-k)+＝max{(ωi-k),0}，0≤k≤1。

[0059] 对不等式(1)，注意到当h＞k时， 而在E(h)上 我们有

[0060]

[0061] 对(1)右端，由 不等式，我们有

[0062]

[0063] 其中p＞1,q＞1，且 考虑权函数不大于1，联合上式可得

[0064]

[0065] 即

[0066]

[0067] 由上式并结合De Giorgi迭代引理，则

[0068] |E(li+di)|＝0

[0069] 其中li＝ωi(xi)，可根据观察数据点数个数设置一个小初值，本文考虑每个观察点的权值相等，设置为 同时有

[0070]

[0071] 由E(k)定义，可知权重函数的影响半径为di。

[0072] 其中di表示实验点所对应的权重函数影响半径， 表示平均误差，Δi表示实验点误差，Δmin表示最小误差，i＝1,2,…n，n为实验点数。

[0073] 3.根据权重函数影响半径构建权重函数。

[0074] 所构建的权重函数：

[0075]

[0076] 其中ri＝|x-xi|/di表示紧支集影响半径，θ表示归一因子，CM＝ki，ki表示实验点初始权重，其值取 权重函数满足归一性，即：

[0077]

[0078] θ值可根据上式进行计算。

[0079] 4.根据所构造的权重函数采用移动最小二乘法对弹道数据进行拟合，以得到相应的弹道曲线。以某模型炸弹的实际飞行采样数据为例给专利方法计算弹道数据，原始数据为某型炸弹实际飞行时的高度条件下的武器射程。

[0080] 设Γ(x)表示由观察数据通过经典最小二乘法拟合得到的函数，定义[0081]

[0082] Δi＝|Γ(xi)-u(xi)|

[0083]

[0084] 其中n表示观察数据的个数，u(xi)表示观察数据。选取最小二乘法及移动最小二乘使用多项式基底为

[0085] b＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4

[0086] 选取ΔL＝Δmin,ΔR＝Δi，权重函数计算结果如下：

[0087] 10.0*exp(-0.752487*abs(x))-7.1751e-65

[0088] 10.0*exp(-0.552226*abs(x-10.0))-7.1751e-65

[0089] 10.0*exp(-0.9306*abs(x-20.0))-7.1751e-65

[0090] 10.0*exp(-2.50413*abs(x-30.0))-7.1751e-65

[0091] 10.0*exp(-0.880331*abs(x-40.0))-7.1751e-65

[0092] 10.0*exp(-0.984*abs(x-50.0))-7.1751e-65

[0093] 10.0*exp(-2.56958*abs(x-60.0))-7.1751e-65

[0094] 10.0*exp(-2.95324*abs(x-70.0))-7.1751e-65

[0095] 10.0*exp(-1.19171*abs(x-80.0))-7.1751e-65

[0096] 10.0*exp(-1.15845*abs(x-90.0))-7.1751e-65

[0097] 10.0*exp(-2.24491*abs(x-100.0))-7.1751e-65

[0098] 10.0*exp(-3.75*abs(x-110.0))-7.1751e-65

[0099] 10.0*exp(-1.1415*abs(x-120.0))-7.1751e-65

[0100] 10.0*exp(-1.29846*abs(x-130.0))-7.1751e-65

[0101] 10.0*exp(-1.2336*abs(x-140.0))-7.1751e-65

[0102] 其拟合结果如图1所示。