一种基于参数拟合的电缆温度快速计算方法，首先根据电缆敷设特点，采用热路法，建立用于参数拟合的暂态电缆温度热路模型，列写电缆温度微分方程；针对电缆某一具体工况，将电缆处于零初始状态，对电缆施加额定电流，测量缆温度达到稳定状态过程中电缆缆芯及表面温度；根据实际测量电缆缆芯温度及电缆表面温度，采用信赖域算法拟合电缆微分方程中热容、热阻热参数；最后根据拟合热参数，求解电缆温度暂态热路并得出电缆温度简化计算式。本发明一种基于参数拟合的电缆温度快速计算方法，结合电缆额定传输容量下的实测温度能较快求解出折算模型的暂态热参数，并得出电缆的缆芯和表面温度的简化计算式，达到快速计算电缆温度的目的。
1.一种基于参数拟合的电缆温度快速计算方法，其特征在于包括以下步骤：步骤1：首先根据电缆敷设特点，采用热路法，建立用于参数拟合的暂态电缆温度热路模型，列写电缆温度微分方程；
步骤2：针对电缆具体工况，将电缆处于零初始状态，对电缆施加额定电流，测量缆温度达到稳定状态过程中电缆缆芯及表面温度；
步骤3：根据实际测量电缆缆芯温度及电缆表面温度，采用信赖域算法拟合电缆微分方程中热容、热阻热参数；最后根据拟合热参数，求解电缆温度暂态热路并得出电缆温度简化计算式；
根据电路中双口网络的理论，将电缆直埋时按各层材料和土壤不同温度层展开得到的电缆暂态热路模型简化为三节点暂态热路模型；
电缆损耗产生的热量与加载电流的平方近似成正比，忽略绝缘层损耗时，将电缆内部损耗等效为单一热源Q；在保证电缆的缆芯温度T1、电缆表面温度T2不变的前提下，对热源Q采用折算值进行计算，即：Q＝I2/k (1)
式中：Q为折算发热量；I为加载电流；k为选取的折算系数；
由于折算前后保证节点温度T1、T2不变，此时热路模型中热阻R1、R2，热容C1、C2的计算值是以发热量Q为基准所求得的折算值；
根据电缆暂态热路模型，对节点T1、T2列写微分方程如式(2)；为求解节点T1、T2温度，需先拟合微分方程中热参数R1、R2、C1、C2；若直接通过微分方程组的解析解拟合方程参数，将得到为未知量为4、方程组数为2n的非线性超定方程组；当温度采样点较多、表达式较复杂时，所得的大型非线性超定方程组不易求解；因此首先求取微分方程的数值解，再通过数值解拟合方程参数；采用4级Runge-Kutta法求解微分方程组的数值解；
式中：T1_0、T2_0为节点T1，T2初始温度；Q为折算发热量；T0为土壤温度；
将R1、R2、C1、C2视为已知常数时，用4级Runge-Kutta法求解微分方程组(2)在时间点t＝[t1,t2,…,tn]处的数值解为T’1＝[T’a1,T’a2,..,T’an]，T’2＝[T’b1,T’b2,..,T’bn]；
采用非线性最小二乘法构造目标函数F(C1,C2,R1,R2)，其中F以R1、R2、C1、C2为自变量，以计算误差平方和为函数值；F表达式如式(3)；寻求最优拟合热参数R1、R2、C1、C2使得F取值最小；
通过构造目标函数将微分方程参数拟合转化为求解非线性无约束条件的最优化问题；
为寻找热参数的全局最优解，首先通过Multi-Start算法设置大量计算初始点，再通过信赖域算法获取多个局部最优解；最后将多个局部最优解对应的函数值进行对比，其中函数值最小的解即为全局最优解的近似值；信赖域算法求解无约束最优化问题的基本步骤归纳如下：①、设置求解起始值Xk＝(C1k,C2k,R1k,R2k)，迭代上限次数n；选择初始信赖半径rk，函数近似度判断参数μ、η，且0<μ<η<1，置k＝1；
②、计算F(Xk)、F梯度 并判断 是否小于允许误差ε；如满足，则Xk即为局部最优解；如不满足，执行后续步骤；
③、在信赖域半径rk内，构造F近似函数G(x)如式(4)；下一迭代点为Xk+1，令d＝Xk+1-Xk；为求Xk+1，构造二阶子问题函数ψ(d)如式(5)；求解dk使ψ(d)在信赖域内取最小值；
④、构造近似度判断函数ρk(x)如式(6)，判断在Xk和Xk+1之间G(X)与F(X)间是否足够接近；当ρk(x)≤μ时，G(X)与F(X)间近似度不满足要求，表明近似范围选取过大，将信赖域半径缩小为rk+1＝0.5rk，且下一迭代点保持不变即Xk+1＝Xk；当μ<ρk(x)<η,表明近似度尚可接受，保持信赖域半径不变，设下一迭代点为Xk+1＝Xk+dk；当ρk(x)≥η时，表明近似度较好，扩大信赖半径rk+1＝2rk，下一迭代点为Xk+1＝Xk+d；反复迭代直至满足条件②或到达迭代上限次数，此时X值即为F(X)在初始迭代点附近的局部最优解；
将R1、R2、C1、C2最优拟合参数带入微分方组(2)中，计算T1、T2解析解即为电缆的缆芯、表面温度的简化计算式；将方程(2)写成矩阵形式如式(7)，即：式中：
对式(7)两边同时进行拉式变化得式(8)；式(8)为频域S下的二元线性方程组，计算得电缆的缆芯和表面温度的频域解为T(S)，如式(9)；最后将T(S)进行反拉式变换，即为到电缆的缆芯及表面在时域下的简化计算式；
T(S)＝(SE-A) (B+T(0-)) (9)
一种基于参数拟合的电缆温度快速计算方法
技术领域
[0001] 本发明一种基于参数拟合的电缆温度快速计算方法，涉及电缆温度计算领域。
背景技术
[0002] 计算电缆温度判断传输容量是否合理，对电缆经济与安全运行具有重要意义。目前直埋电缆温度计算的主要方法为：以有限元法、有限容积法、边界元法为主的数值计算方法和基于IEC60287、IEC60853标准的热路法。但上述方法在计算电缆温度时都将电缆绝缘层材料和敷设土壤的热参数作为已知值。然而实际计算直埋电缆温度时，电缆绝缘层和土壤的热参数不易获取，且电缆绝缘层热参数会因绝缘的老化而发生改变。此时使用传统的数值方法和热路法难以实现电缆温度的精确计算。
[0003] 为实现电缆温度准确的计算，需获取更加真实的电缆热参数，可采用实测温度拟合电缆的热参数。对于电缆热参数的拟合，目前大多是根据直埋电缆温度场的数值计算，再通过优化算法结合实测温度来获取电缆热参数。新加坡H.J.Li教授针对某沿海码头的6.6kV电缆因运行老化等原因使得电缆的热参数改变，给出一种通过DFP算法结合温度场的有限元计算对电缆的热参数进行拟合的方法。华北电力大学常文治教授中提出通过实测温度结合温度场的数值计算来修正已有热参数的方法，从而获取更加真实的电缆热参数，达到精确计算温度的目的。然而当电缆带应急性负载时，为保证电缆的安全运行，需根据电缆的现状快速计算电缆的暂态温度。此时通过温度场的数值方法来拟合电缆热参数存在求解时间较长的问题。
发明内容
[0004] 针对计算电缆温度时，存在电缆绝缘层和土壤的热参数难以获取，而通过温度场的数值方法拟合电缆热参数存在求解时间较长的问题。在传统热路法的基础上提出一种基于参数拟合的电缆温度快速计算方法，结合电缆额定传输容量下的实测温度能较快求解出折算模型的暂态热参数，并得出电缆的缆芯和表面温度的简化计算式，达到快速计算电缆温度的目的。
[0005] 本发明所采用的技术方案是：
[0006] 一种基于参数拟合的电缆温度快速计算方法，包括以下步骤：
[0007] 步骤1：首先根据电缆敷设特点，采用热路法，建立用于参数拟合的暂态电缆温度热路模型，列写电缆温度微分方程；
[0008] 步骤2：针对电缆某一具体工况，将电缆处于零初始状态，对电缆施加额定电流，测量缆温度达到稳定状态过程中电缆缆芯及表面温度；
[0009] 步骤3：根据实际测量电缆缆芯温度及电缆表面温度，采用信赖域算法拟合电缆微分方程中热容、热阻热参数；最后根据拟合热参数，求解电缆温度暂态热路并得出电缆温度简化计算式。
[0010] 本发明一种基于参数拟合的电缆温度快速计算方法，通过实测电缆的缆芯和表面温度拟合热路模型参数的方法，并由此得出电缆的缆芯和表面温度的简化计算公式，相对于数值计算和传统的热路法具有以下优点：
[0011] (1)、采用实测值拟合模型参数，解决了电缆绝缘和土壤热参数不易获取、或绝缘层热参数改变等问题。
[0012] (2)、对于模型的参数采用折算值计算，避免了实际热源的求解，在不失准确性的条件下减小了模型参数的计算量。
[0013] (3)、通过拟合参数模型得到的电缆的缆芯、表面温度简化计算式简化了电缆暂态温度的计算，对于电缆载流量的合理分配、电缆温度预警具有重要意义。
[0014] (4)、除用于解决电缆温度暂态计算，当对电机开关柜等其他发热电气设备建立暂态等效热路模型时等，还可以通过实际温度拟合暂态热路模型中的热参数，进而实现其温度的暂态计算。
[0015] (5)、建立电缆温度暂态折算热路模型，简化了电缆暂态热参数的拟合。
[0016] (6)、将电缆温度采用简化计算式表达，方便不同传输容量和起始温度时电缆温度的计算。
附图说明
[0017] 图1为本发明方法的流程图。
[0018] 图2为单芯电缆的典型截面图；其中1-导体，2-导体屏蔽层，3-XLPE绝缘层，4-绝缘屏蔽层，5-缓冲层，6-皱纹铝层，7-外护套层，8-半导电涂层。
[0019] 图3为电缆直埋时按各层材料和土壤不同温度层展开得到的电缆暂态热路模型图。
[0020] 图4为本发明中三节点暂态热电路图。
[0021] 图5为本发明中电缆温升实验平台示意图。
[0022] 图6为本发明欠载实验实施例中电缆温度计算与实验值曲线图；
[0023] 图7为本发明欠载实验实施例中电缆计算相对误差曲线图。
[0024] 图8为本发明过载实验实施例中电缆温度计算与实验值曲线图；
[0025] 图9为本发明过载实验实施例中电缆计算相对误差曲线图。
具体实施方式
[0026] 一种基于参数拟合的电缆温度快速计算方法，包括以下步骤：
[0027] 步骤1：以电缆直埋敷设为例，根据电缆各绝缘层及土壤的热路参数，建立传统电缆等效热路模型。忽略电缆绝缘层损耗，根据双端口理论，将电缆等效热路模型化简为三节点热路模型，并对模型中发热量、热阻、热容等参数采用折算值进行等效。对三节点热路模型，列写电缆温度微分方程。
[0028] 步骤2：电缆开始处于零初始状态，即电缆温度与环境温度相等且施加电流为零。对电缆施加额定电流，每隔一分钟记录一次电缆缆芯及电缆表面温度，直至电缆缆芯及表面温度达到稳定。
[0029] 步骤3：根据实际测量电缆缆芯及表面温度，采用信赖域算法拟合电缆温度微分方程中的热参数，求解电缆微分方程得出缆芯及表面温度简化计算式。最后开展电缆温升实验，将电缆过载和欠载时的测量温度与简化计算式温度对比，仅存在较小的误差，证明了该方法的有效。
[0030] 1.三节点暂态热路模型的建立：
[0031] 当电缆直埋敷设时，电缆周围主要介质为土壤。离电缆表面大于一定距离后，土壤的温度将不受电缆运行的影响，因而可将较远处土壤温度视为恒定。当外界环境及土壤温度近似不变时，在暂态热路中可将温度恒定的土壤层类比于电压源，其与电缆表面之间的导热可视为串联一阻抗值恒定的热阻。图2为单芯电缆的典型截面图，图3为电缆直埋时按各层材料和土壤不同温度层展开得到的电缆暂态热路模型。
[0032] 在实际计算中，电缆各层的材料热参数(热阻、热容)往往不易获取，电缆各绝缘层的热参数也会因运行的老化而发生一定的改变，导致暂态热路的热参数求解存在困难。考虑到电缆运行时，载流量由电缆温度最高处的缆芯温度决定，对外散热情况则由电缆表面温度决定。因此计算电缆的缆芯和电缆表面温度即可满足一般实际工程计算的需求。再由于导体发热量远大于其余各绝缘层，可忽略绝缘层损耗，根据电路中双口网络的理论将图3中热路模型简化为图4中的三节点暂态热路模型。
[0033] 电缆损耗产生的热量与加载电流的平方近似成正比。忽略绝缘层损耗时，将可将电缆内部损耗等效为单一热源Q。在保证电缆的缆芯温度T1、电缆表面温度T2不变的前提下对热源Q采用折算值进行计算，即
[0034] Q＝I2/k (1)
[0035] 式中：Q为折算发热量；I为加载电流；k为选取的折算系数。
[0036] 由于折算前后保证节点温度T1、T2不变，此时热路模型中热阻R1、R2，热容C1、C2的计算值是以发热量Q为基准所求得的折算值。对于热源采用折算值计算避免了求解实际热源时因趋肤效应、导体氧化等因素造成的误差。
[0037] 2.列写节点微分方程组:
[0038] 根据图4中的电缆暂态热路模型对节点T1、T2列写微分方程如式(2)。为求解节点T1、T2温度，需先拟合微分方程中热参数R1、R2、C1、C2。若直接通过微分方程组的解析解拟合方程参数，将得到为未知量为4、方程组数为2n的非线性超定方程组。当温度采样点较多、表达式较复杂时，所得的大型非线性超定方程组不易求解。因此首先求取微分方程的数值解，再通过数值解拟合方程参数。本文采用4级Runge-Kutta法求解微分方程组的数值解。
[0039]
[0040] 式中：T1_0、T2_0为节点T1，T2初始温度；Q为折算发热量；T0为土壤温度。
[0041] 3.构造参数拟合的目标函数:
[0042] 将R1、R2、C1、C2视为已知常数时，用4级Runge-Kutta法求解微分方程组(2)在时间点t＝[t1,t2,…,tn]处的数值解为T’1＝[T’a1,T’a2,..,T’an]，T’2＝[T’b1,T’b2,..,T’bn]。采用非线性最小二乘法构造目标函数F(C1,C2,R1,R2)，其中F以R1、R2、C1、C2为自变量，以计算误差平方和为函数值。F表达式如式(3)。寻求最优拟合热参数R1、R2、C1、C2使得F取值最小。
[0043]
[0044] 4.信赖域法求解拟合参数:
[0045] 通过构造目标函数将微分方程参数拟合转化为求解非线性无约束条件的最优化问题。为寻找热参数的全局最优解，首先通过Multi-Start算法设置大量计算初始点，再通过信赖域算法获取多个局部最优解。最后将多个局部最优解对应的函数值进行对比，其中函数值最小的解即为全局最优解的近似值。信赖域算法求解无约束最优化问题的基本步骤可归纳如下：
[0046] (1)设置求解起始值Xk＝(C1k,C2k,R1k,R2k)，迭代上限次数n。选择初始信赖半径rk，函数近似度判断参数μ、η，且0<μ<η<1，置k＝1。
[0047] (2)计算F(Xk)、F梯度 并判断 是否小于允许误差ε。如满足，则Xk即为局部最优解。如不满足，执行后续步骤。
[0048] (3)在信赖域半径rk内，构造F近似函数G(x)如式(4)。下一迭代点为Xk+1，令d＝Xk+1-Xk。为求Xk+1，构造二阶子问题函数ψ(d)如式(5)。求解dk使ψ(d)在信赖域内取最小值。
[0049]
[0050]
[0051] (4)构造近似度判断函数ρk(x)如式(6)，判断在Xk和Xk+1之间G(X)与F(X)间是否足够接近。当ρk(x)≤μ时，G(X)与F(X)间近似度不满足要求，表明近似范围选取过大，将信赖域半径缩小为rk+1＝0.5rk，且下一迭代点保持不变即Xk+1＝Xk。当μ<ρk(x)<η,表明近似度尚可接受，保持信赖域半径不变，设下一迭代点为Xk+1＝Xk+dk。当ρk(x)≥η时，表明近似度较好，扩大信赖半径rk+1＝2rk，下一迭代点为Xk+1＝Xk+d。反复迭代直至满足条件2)或到达迭代上限次数，此时X值即为F(X)在初始迭代点附近的局部最优解。
[0052]
[0053] 5.电缆温度简化计算式:
[0054] 将R1、R2、C1、C2最优拟合参数带入微分方组(2)中，计算T1、T2解析解即为电缆的缆芯、表面温度的简化计算式。将方程(2)写成矩阵形式如式(7)，即
[0055]
[0056] 式中：
[0057]
[0058]
[0059]
[0060] 对式(7)两边同时进行拉式变化得式(8)。式(8)为频域S下的二元线性方程组，计算得电缆的缆芯和表面温度的频域解为T(S)，如式(9)。最后将T(S)进行反拉式变换，即为到电缆的缆芯及表面在时域下的简化计算式。
[0061] ST(S)-T(0_)＝AT(S)+B (8)
[0062] T(S)＝(SE-A)-1(B+T(0_)) (9)
[0063] 其中：
[0064] 6.有效性验证:
[0065] 为验证基于参数拟合的电缆温度快速计算方法的有效性，选取某电缆厂生产的YJLW03 60/110kV型高压电缆开展直埋电缆温升实验，模拟实际运行时电缆温度变化，将计算值与测量值进行对比。
[0066] 实验的基本装置如图5所示，电缆的外围设备可分为2个区域，其中区域一为高压运行区域，包括升流变压器、调压器、补偿电容、开关柜。区域二，为低压控制测量区域，包括实验木箱、温度测量探头、电流互感器及控制系统。其中控制系统通过调整调压器的电压来控制电缆回路的电流，并能实时记录测温模块获取的电缆温度和电流互感器获取的电流。
[0067] 6.1温度简化计算式参数求解:
[0068] 实验时，将电缆置于长2.4m、宽0.8m、高1.2m的大木箱中，在大木箱内装填干燥的某地区的土壤，模拟实际电缆直埋时的敷设情况。大木箱中土壤总深0.7m，电缆底部土壤深0.4m。考虑到木箱中部的受外界影响较小，与电缆直埋时的实际情况更为接近，实验时测量木箱中部的电缆温度。在本次试验中对于电缆温度的测量采用热电偶测温模块，其中热电偶T1测量电缆的缆芯温度，T2测量电缆表面温度。
[0069] 施加电流前，电缆处于零初始状态，此时电缆和土壤温度处处相等为24.7℃。给电缆通以额定电流，电缆运行10h后电缆的缆芯温度T1和电缆表面温度T2基本达到稳定状态。在此期间每隔一分钟记录一次温度数据，得T1＝[Ta1,Ta2,..Ta600]，T2＝[Tb1,Tb2,...Tb600]。根据第三节编写热路参数拟合程序，将I，T1，T2记录值带入，在CPU为Pentiu m
2.0GHz的计算机上运行约7分钟，得出最优拟合热参数C1＝18.0997、C2＝62.6088、R1＝
2.0790、R2＝2.5556。最后将热参数带入式(2)中，求得电缆处于零初始状态时，在实验室所模拟的敷设环境下，电缆的缆芯和表面温度T1＇、T2＇简化计算式如式(10)所示。
[0070] T'1＝A1+B1·e-0.239t+C1·e-0.00649t
[0071] T'2＝A2+B2·e-0.239t+C2·e-0.00649t (10)
[0072] 式中：
[0073] A1＝3.798Q+T0；
[0074] A2＝1.601Q+T0；
[0075] B1＝-0.00225Q+0.0214T1_0-0.0493T2_0+0.0279T0
[0076] B2＝0.0447Q-0.4242T1_0+0.979T2_0-0.554T0
[0077] C1＝-3.795Q+0.9786T1_0+0.0493T2_0-1.028T0
[0078] C2＝-1.645Q+0.424T1_0+0.0214T2_0-0.446T0；
[0079] Q＝I2/k，本文中取k＝1.000×105。
[0080] 6.2准确性检验：
[0081] (1)欠载实验。将土壤温度T0，电缆的缆芯和表面起始温度T1_0、T2_0，加载电流I带入式(10)中得该电缆在施加电流为500A、土壤温度为25.7℃时，在模拟敷设条件下的温度计算式如式(11)。最后将电缆运行10h内的电缆温度计算值T1＇、T2＇与实验值T1、T2进行对比，如图6、图7所示。并以两小时为时间段，记录运行期间电缆的缆芯及表面的最大相对误差及绝对误差，如表1所示。
[0082] T1'＝40.99-11.48e-0.00649t-0.00681e-0.239t
[0083] T2'＝34.34-4.977e-0.00649t+0.135e-0.239t (11)
[0084] 表1 550A各时段内最大计算误差
[0085]
[0086]
[0087] 由表1可知当电缆在上述运行环境下，采用热路参数拟合的方法仅存在较小的计算误差。在运行时间内，电缆的缆芯计算相对误差在0.5℃左右，计算绝对误差在1％左右；最大绝对误差为1.515℃，最大相对误差为5.318％，均出现在0～2h时间段内。电缆表面计算绝对误差在1℃左右，相对误差在3％左右，最大绝对误差为1.511℃，最大相对误差为-
5.736％，均出现在0～2h段内。表明计算结果与实际值之间十分接近，满足工程计算的要求，证明在欠载时电缆简化计算式的有效性。
[0088] (2)过载实验：考虑到电缆带应急负荷时，其载流量可能会超过额定值。给电缆施加大于额定电流20％值进行电缆过载的温升实验，用于检验电缆过载时温度计算式的有效性。同4.2中，开始电缆处于零初始状态，电缆与土壤温度处处相等为25.3℃。给电缆施加850A电流运行10小时后电缆的缆芯和表面温度基本到达稳定状态，记录电缆的缆芯和表面温度的测量值为T1，T2。
[0089] 与(1)中相似，将土壤温度T0，加载电流I，电缆的缆芯和表面起始温度T1_0、T2_0，带入式(10)中得该电缆在实验敷设条件下、施加电流为850A时的温度计算式如式(12)。计算电缆运行10h内的温度值T1＇、T2＇并与测量值T1、T2进行对比，如图8、图9所示。同(1)中，每两小时为时间段，纪录运行期间电缆的缆芯及表面的最大相对误差及绝对误差，如表2。
[0090] T1'＝56.44-27.42e-0.00649t-0.0163e-0.239t
[0091] T2'＝40.56-11.89e-0.00649t+0.323e-0.239t (12)
[0092] 表2 850A各时段内最大误差
[0093]
[0094]
[0095] 由表2可知，当电缆在上述运行环境下电缆的缆芯计算绝对误差在1.5℃左右，计算相对误差在3％左右。其中最大绝对误差为1.944℃，出现在6～8时间段；最大相对误差为4.375％，出现在0～2小时段。电缆表面计算绝对误差在3.5℃左右，相对误差在10％左右。
其中最大绝对误差为1.996℃，出现在2～4时间段；最大相对误差为6.059％，出现在1～2小时时间段内。表明了电缆过载时的计算误差满足工程计算的需求，证明了过载时电缆温度计算式的有效性。
