本发明公开了一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，首先，针对受等值角拉力的直边正多边形薄膜结构，确定其褶皱区域半径和褶皱形态参数；其次，针对正多边形弧边结构，根据应力场假设模型，得到最优的弧边形状。该方法利用应力分布理论，确定褶皱区域半径，通过假设褶皱形态描述方程和应变相容方程，推导出褶皱形态参数，包括褶皱幅值、褶皱数以及褶皱半波长，可以得出随着正多边形薄膜结构边数的增加，褶皱区域及褶皱幅值随之减小的规律。在此基础上，引入弧边结构用以减小褶皱，并提出了适用于正多边形弧边结构的应力场假设模型，给出最优弧边确定方法，保证无褶皱的有效面积最大，提高了薄膜表面精度。
1.一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，其特征是：它至少包括如下步骤：(1)确定直边正多边形受等值角拉力时的褶皱区域半径；
(2)在步骤(1)的基础上，通过假设褶皱形态描述方程
其中A为褶皱幅值，Rwrin为褶皱区域半径，r为距离顶点的距离，r1为施加拉力的长度，q为褶皱数，θ为距中心线任意一处的角度，α为多边形内角的一半；以及应变兼容方程εθg＝εθm+εθwrin，其中εθg为总的环向应变，εθm为薄膜本身的环向应变，εθwrin褶皱引起的环向应变，最终推导出褶皱区域内的褶皱幅值公式，并给出最大褶皱幅值；
(3)基于步骤(2)得到的褶皱幅值公式，引入褶皱区域面外平衡方程σrκr+σθκθ＝0，确定褶皱数以及褶皱半波长；其中，σr和σθ分别为薄膜的径向应力和环向应力，κr和κθ分别为褶皱的径向曲率和环向曲率；
(4)针对正四边形结构，以顶点为圆心，直边正方形内切圆与正四边形弧边结构的交点到相应顶点的距离为半径画弧，将薄膜结构分为两部分，一部分为受单向应力的角区域，一部分为受双向应力的中心区域，得到正四边形弧边结构的应力场假设模型，并将该模型推广到正多边形弧边结构；
(5)基于步骤(4)中得到的正四边形弧边结构的应力场假设模型，根据步骤(1)推出正四边形弧边结构受等值角拉力时的褶皱区域半径；
(6)在步骤(5)的基础上，根据最优弧边判定准则，即保证正四边形弧边结构内切圆内无褶皱出现，且其无褶皱有效面积不小于直边正方形内切圆面积的85％，得到正四边形的最优弧边形状；
(7)基于步骤(4)中得到的正多边形弧边结构的应力场假设模型，根据步骤(1)推出正多边形弧边结构受等值角拉力时的褶皱区域半径；
(8)在步骤(7)的基础上，根据所述最优弧边判定准则，得到正多边形的最优弧边形状；
步骤(4)中所述的得到正四边形弧边结构的应力场假设模型，并将该模型推广到正多边形弧边结构的具体方法为：针对正四边形弧边结构，连接各个顶点，得到正四边形弧边结构的外接直边正方形，画出该直边正方形的内切圆，则此内切圆与正四边形弧边结构的四个弧边有交点，然后以各顶点为圆心，内切圆与弧边的交点到相应顶点的距离为半径画弧，将薄膜结构分为两部分，一部分为受单向应力的角区域，一部分为受双向应力的中心区域，得到的模型即为正四边形弧边结构的应力场假设模型；
针对正多边形弧边结构，假设正多边形弧边结构的边数为n，连接其各顶点，得到正多边形弧边结构的外接直边正n边形，画出该直边正n边形的内切圆，则此内切圆与正n边形弧边结构的各边有交点，然后以各顶点为圆心，内切圆与正多边形弧边结构的交点到相应顶点的距离为半径画弧，将薄膜结构分为两部分，一部分为受单向应力的角区域，一部分为受双向应力的中心区域，得到的模型即为正多边形弧边结构的应力场假设模型；
此时受单向应力的角区域半径为R′，大小等于直边正多边形的内切圆与正多边形弧边结构的弧边的一个交点G到相应顶点A的距离。
2.根据权利要求1所述的一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，其特征是：步骤(1)中所述的确定直边正多边形受等值角拉力时的褶皱区域半径，其方法是：假设外接圆半径为Rm，其内接直边正多边形薄膜结构为各向同性的线弹性体，边长的一半为R，多边形边数为n，杨氏模量为E，泊松比为v，当受到等值角拉力T时，以顶点为圆心，R为半径画弧，划分的角区域只受径向应力，其余的中心区域受到均匀的双向应力；根据褶皱状态判断条件，在受单向应力作用的角区域中当第二主应力出现负值时薄膜为褶皱状态，在受双向应力作用的中心区域中薄膜为张紧状态；
分析在角拉力T作用下的直边正多边形的一个角区域的应力，直边正多边形内角的一半为α，距离顶点r处的圆弧上受到的径向应力σr可以表示为：其中t为薄膜厚度，且径向应力在圆弧上是均匀分布的，因此可以得到径向应变εr：其中E为杨氏模量；
在拉力T作用下产生的径向位移u相当于径向应变沿半径方向的积分：u＝∫εrdr+C (3)
假设在中心区域的边界线上，即r＝R时，u＝0，可以推导出常数C的表达式，最终整理可得：当外接圆半径Rm一定时，其内接直边正多边形边长的一半R可以表示为边数n的表达式：根据几何兼容性，环向应变为：
根据褶皱状态判断条件，在褶皱区域几何环向应变将大于材料应变,即εθg＞εθm，整理可得求解上式中r的最大值即为褶皱区域半径
因此确定褶皱区域为顶点附近r≤Rwrin的角区域。
3.根据权利要求2所述的一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，其特征是：步骤(2)中所述的推导出褶皱区域内的褶皱幅值公式，并给出最大褶皱幅值，其方法是：假设直边正多边形结构每个角被切去了一个直角三角形，角拉力T是均匀分布在一条很小的直边上，令此直边长度为r1＝R/10；
其中A为褶皱幅值，Rwrin为褶皱区域半径，r为距离顶点的距离，q为褶皱数，θ为距中心线任意一处的角度，α为多边形内角的一半；在褶皱区域，即r≤Rwrin，引入褶皱引起的环向应变εθwrin，满足如下应变兼容方程εθg＝εθm+εθwrin (11)
根据式(10)可以得到，褶皱的最大幅值位于 θ＝0处，此处的半波长为：则最大褶皱幅值为：
4.根据权利要求3所述的一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，其特征是：步骤(3)中所述的确定褶皱数以及褶皱半波长，其方法是：褶皱区域面外平衡方程为：
其中，σr和σθ分别为薄膜结构的径向应力和环向应力，κr和κθ分别为褶皱的径向曲率和环向曲率，通过对式(10)进行二次求导得到：产生褶皱的临界压应力表示为：
在褶皱区域认为σθ＝σc，将式(17)、(18)代入式(16)中可以推出褶皱数q为：将式(19)代入半波长的表达式 得到褶皱半波长为：
5.根据权利要求4所述的一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，其特征是：步骤(5)的具体方法为：根据正四边形弧边结构的应力分布模型，当外接圆半径Rm一定时，根据式(5)可得其内接直边正方形的边长的一半为 该直边正方形的内切圆半径也为R，则该直边正方形的内切圆四分之一圆弧方程为 x1≥0,y1≥0；正四边形弧边结构的弧边 所在圆的半径为 δ为弧边拱高，弧 的表达式为
0≤y2≤R；交点G(xg,yg)通过求解下面的方程组得到：顶点A的坐标为(R,R)，因此
然后根据式(9)，得到正四边形弧边结构在等值角拉力T作用下的褶皱区域半径为：
6.根据权利要求5所述的一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，其特征是：步骤(6)中所述的根据最优弧边判定准则，得到正四边形的最优弧边形状，的具体方法为：随着正四边形弧边结构弧边拱高δ的增大，受单向应力的角区域半径R′逐渐减小，由式(23)可知褶皱区域半径也随之减小，但是δ增大会减小薄膜结构面积，必须找到一个最优的拱高δ，减小褶皱的同时保证无褶皱的有效面积最大；
定义正四边形弧边薄膜结构的内切圆区域为有效区域，其半径为Ru，根据最优弧边判定准则：保证此内切圆内无褶皱出现，且其面积不小于85％×π(R)2，则保证了无褶皱有效面积足够大，此时的弧边拱高为最优值，即满足如下条件：求解式(24)，当无褶皱有效面积取得最大时，弧边拱高与直边边长的比值为δ/L＝
7.根据权利要求6所述的一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，其特征是：步骤(7)的具体方法为：当外接圆半径Rm一定时，根据式(5)得到其内接直边正多边形的边长的一半R与Rm的关系式，因此得到直边正多边形的内切圆的半径 则该直边正多边形的内切圆n分之一圆弧方程为 x1≥0,y1≥0，其中，n为直边正多边形的边数；正多边形弧边结构的弧边 所在圆的半径为 δ为弧边拱高，弧 的表达式为 0≤y2≤R；交点G(xg,yg)可以通过求解下面的方程组得到：
然后根据式(9)，可以得到正多边形形弧边结构在等值角拉力T作用下的褶皱区域半径为：
一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法
技术领域
[0001] 本发明属于机械工程领域，具体是一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，用于减小薄膜表面褶皱，提高表面精度。
背景技术
[0002] 薄膜材料由于质量轻、收藏体积小、成本低、易折叠等优点，在星载大口径阵列天线、空间太阳能电站聚光器、太阳帆等领域具有广阔的应用前景。但由于薄膜的弯曲刚度较小，受到外载荷时容易产生局部不稳定而引起褶皱，褶皱的出现会降低薄膜的形面精度，使得光、电性能急剧下降。因此有效抑制褶皱，提高表面精度成为亟待解决的问题。国内外的学者对此做出大量研究，其中一种方法是通过优化薄膜结构以消除局部褶皱，尽可能地提高表面精度，基本上可以分成三种结构：
[0003] 一种是索—膜结构，即在薄膜边界上粘贴边索，Sakamoto,H.,Park,K.,Miyazaki,Y.在《Acta Astronaut》，2007年5月第10期发表的论文“Evaluation of membrane structure designs using boundary web cables for uniform tensioning”中提出了一种索网结构。这种结构边界上增加多层边锁，可以提高边界刚度，在边界拉力作用下可抑制褶皱的形成，但是却增大了薄膜结构的质量。
[0004] 一种是贴片结构，即在薄膜结构拉力点附近粘贴薄膜贴片，通过增加薄膜厚度，提高拉力点附近刚度，Lim C.W.,Toropov C.W.,Ye J.在《Proceedings of the Eleventh International Conference on Computational Structures Technology》，2012年发表的论文“Shape Optimization of Membrane Structures based on Finite Element Simulation”通过优化贴片的形状和厚度达到减小褶皱的目的，这种方法只能影响局部区域的应力分布情况，在抑制褶皱方面效果不是很理想。
[0005] 还有一种是弧边结构，即将薄膜边界裁剪为弧形，Martin Mikulas，Aaron Adler在《44th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference》，2003年4月发表的论文“Rapid Structural Assessment Approach for Square Solar Sails Including Edge Support Cords”中提出了弧边结构，Xiaoyun Wang,Christian Sulik,Wanping Zheng,Yan-Ru Hu,Marie-Josee,Potvin在《49th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference》，2008年4月发表的论文“High-Fidelity Wrinkling Analysis of Membrane Structures and Elliptical Cut Optimization”中验证了弧边结构对抑制褶皱的有效性。这种结构在不增加薄膜结构质量的前提下可以减小褶皱，但是对于弧边裁剪形状并没有给出定量分析，无法保证无褶皱的有效面积最大。
发明内容
[0006] 本发明的目的是克服现有技术中存在的上述问题，提供一种正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，减少表面褶皱，同时保证有效面积最大。
[0007] 本发明的技术方案是：一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，它至少包括如下步骤：
[0008] (1)确定直边正多边形受等值角拉力时的褶皱区域半径；
[0009] (2)在步骤(1)的基础上，通过假设褶皱形态描述方程其中A为褶皱幅值，Rwrin为褶皱区域半径，r为距离顶点的距离，r1为施加拉力的长度，q为褶皱数，θ为距中心线任意一处的角度，α为多边形内角的一半；以及应变兼容方程εθg＝εθm+εθwrin，其中εθg为总的环向应变，εθm为薄膜本身的环向应变，εθwrin褶皱引起的环向应变，最终推导出褶皱区域内的褶皱幅值公式，并给出最大褶皱幅值；
[0010] (3)基于步骤(2)得到的褶皱幅值公式，引入褶皱区域面外平衡方程σrκr+σθκθ＝0，确定褶皱数以及褶皱半波长；其中，σr和σθ分别为薄膜的径向应力和环向应力，κr和κθ分别为褶皱的径向曲率和环向曲率；
[0011] (4)针对正四边形结构，以顶点为圆心，直边正方形内切圆与正四边形弧边结构的交点到相应顶点的距离为半径画弧，将薄膜结构分为两部分，一部分为受单向应力的角区域，一部分为受双向应力的中心区域，得到正四边形弧边结构的应力场假设模型，并将该模型推广到正多边形弧边结构；
[0012] (5)基于步骤(4)中得到的正四边形弧边结构的应力场假设模型，根据步骤(1)推出正四边形弧边结构受等值角拉力时的褶皱区域半径；
[0013] (6)在步骤(5)的基础上，根据最优弧边判定准则，即保证正四边形弧边结构内切圆内无褶皱出现，且其无褶皱有效面积不小于直边正方形内切圆面积的85％，得到正四边形的最优弧边形状；
[0014] (7)基于步骤(4)中得到的正多边形弧边结构的应力场假设模型，根据步骤(1)推出正多边形弧边结构受等值角拉力时的褶皱区域半径；
[0015] (8)在步骤(7)的基础上，根据所述最优弧边判定准则，得到正多边形的最优弧边形状。
[0016] 上述步骤(1)中所述的确定直边正多边形受等值角拉力时的褶皱区域半径，其方法是：假设外接圆半径为Rm，其内接直边正多边形薄膜结构为各向同性的线弹性体，边长的一半为R，多边形边数为n，杨氏模量为E，泊松比为v，当受到等值角拉力T时，以顶点为圆心，R为半径画弧，划分的角区域只受径向应力，其余的中心区域受到均匀的双向应力；根据褶皱状态判断条件，在受单向应力作用的角区域中当第二主应力出现负值时薄膜为褶皱状态，在受双向应力作用的中心区域中薄膜为张紧状态；
[0017] 分析在角拉力T作用下的直边正多边形的一个角区域的应力，直边正多边形内角的一半为α，距离顶点r处的圆弧上受到的径向应力σr可以表示为：
[0018]
[0019] 其中t为薄膜厚度，且径向应力在圆弧上是均匀分布的，因此可以得到径向应变εr：
[0020]
[0021] 其中E为杨氏模量；
[0022] 在拉力T作用下产生的径向位移u相当于径向应变沿半径方向的积分：
[0023] u＝ρεrdr+C (3)
[0024] 假设在中心区域的边界线上，即r＝R时，u＝0，可以推导出常数C的表达式，最终整理可得：
[0025]
[0026] 当外接圆半径Rm一定时，其内接直边正多边形边长的一半R可以表示为边数n的表达式：
[0027]
[0028] 根据几何兼容性，环向应变为：
[0029]
[0030] 而薄膜本身的环向应变与泊松比v有关，可以表示为：
[0031]
[0032] 根据褶皱状态判断条件，在褶皱区域几何环向应变将大于材料应变,即εθg＞εθm，整理可得
[0033]
[0034] 求解上式中r的最大值即为褶皱区域半径
[0035]
[0036] 因此确定褶皱区域为顶点附近r≤Rwrin的角区域。
[0037] 上述步骤(2)中所述的推导出褶皱区域内的褶皱幅值公式，并给出最大褶皱幅值，其方法是：为了避免出现应力不收敛的情况，假设直边正多边形结构每个角被切去了一个直角三角形，角拉力T是均匀分布在一条很小的直边上，令此直边长度为r1＝R/10；
[0038] 假设褶皱的面外变形函数w的表示形式为：
[0039]
[0040] 其中A为褶皱幅值，Rwrin为褶皱区域半径，r为距离顶点的距离，q为褶皱数，θ为距中心线任意一处的角度，α为多边形内角的一半；
[0041] 在褶皱区域，即r≤Rwrin，引入褶皱引起的环向应变εθwrin，满足如下应变兼容方程[0042] εθg＝εθm+εθwrin (11)
[0043] 假设单条褶皱的半波长为λ，且可表示为 则
[0044] 将式(6)、(7)代入式(11)，可以得到：
[0045]
[0046] 最终得到褶皱幅值公式为：
[0047]
[0048] 根据式(10)可以得到，褶皱的最大幅值位于 θ＝0处，此处的半波长为：
[0049]
[0050] 则最大褶皱幅值为：
[0051]
[0052] 上述步骤(3)中所述的确定褶皱数以及褶皱半波长，其方法是：
[0053] 褶皱区域面外平衡方程为：
[0054] σrκr+σθκθ＝0 (16)
[0055] 其中，σr和σθ分别为薄膜结构的径向应力和环向应力，κr和κθ分别为褶皱的径向曲率和环向曲率，通过对式(10)进行二次求导得到：
[0056]
[0057] 产生褶皱的临界压应力表示为：
[0058]
[0059] 在褶皱区域认为σθ＝σc，将式(17)、(18)代入式(16)中可以推出褶皱数q为：
[0060]
[0061] 将式(19)代入半波长的表达式 可以得到褶皱半波长为：
[0062]
[0063] 从式(20)可以看出，褶皱半波长与距离顶点的半径r有关，离顶点距离越大褶皱半波长也随之增大。
[0064] 上述步骤(4)中所述的得到正四边形弧边结构的应力场假设模型，并将该模型推广到正多边形弧边结构的具体方法为：
[0065] 针对正四边形弧边结构，连接各个顶点，得到正四边形弧边结构的外接直边正方形，画出该直边正方形的内切圆，则此内切圆与正四边形弧边结构的四个弧边有交点，然后以各顶点为圆心，内切圆与弧边的交点到相应顶点的距离为半径画弧，将薄膜结构分为两部分，一部分为受单向应力的角区域，一部分为受双向应力的中心区域，得到的模型即为正四边形弧边结构的应力场假设模型；
[0066] 针对正多边形弧边结构，假设正多边形弧边结构的边数为n，连接其各顶点，得到正多边形弧边结构的外接直边正n边形，画出该直边正n边形的内切圆，则此内切圆与正n边形弧边结构的各边有交点，然后以各顶点为圆心，内切圆与正多边形弧边结构的交点到相应顶点的距离为半径画弧，将薄膜结构分为两部分，一部分为受单向应力的角区域，一部分为受双向应力的中心区域，得到的模型即为正多边形弧边结构的应力场假设模型。
[0067] 此时受单向应力的角区域半径为R′，大小等于直边正多边形的内切圆与正多边形弧边结构的弧边的一个交点G到相应顶点A的距离。
[0068] 上述步骤(5)的具体方法为：
[0069] 根据正四边形弧边结构的应力分布模型，当外接圆半径Rm一定时，根据式(5)可得其内接直边正方形的边长的一半为 该直边正方形的内切圆半径也为R，则四分之一圆弧方程为 x1≥0,y1≥0；正四边形弧边结构的弧边 所在圆的半径
为 δ为弧边拱高，弧 的表达式为
0≤y2≤R；交点G(xg,yg)通过求解下面的方程组得到：
[0070]
[0071] 顶点A的坐标为(Rc,R)，因此
[0072]
[0073] 然后根据式(9)，得到正四边形弧边结构在等值角拉力T作用下的褶皱区域半径为：
[0074]
[0075] 上述步骤(6)中所述的根据最优弧边判定准则，得到正四边形的最优弧边形状，的具体方法为：
[0076] 随着正四边形弧边结构弧边拱高δ的增大，受单向应力的角区域半径R′逐渐减小，由式(23)可知褶皱区域半径也随之减小，但是δ增大会减小薄膜结构面积，必须找到一个最优的拱高δ，减小褶皱的同时保证无褶皱的有效面积最大；
[0077] 定义正四边形弧边薄膜结构的内切圆区域为有效区域，其半径为Ru，根据最优弧边判定准则：保证此内切圆内无褶皱出现，且其面积不小于85％×π(Rc)2，则保证了无褶皱有效面积足够大，此时的弧边拱高为最优值，即满足如下条件：
[0078]
[0079] 求解式(24)，当无褶皱有效面积取得最大时，弧边拱高与直边边长的比值为δ/L＝3.2％，即为正四边形的最优弧边形状。
[0080] 上述步骤(7)的具体方法为：
[0081] 当外接圆半径Rm一定时，根据式(5)得到其内接直边正多边形的边长的一半R与Rm的关系式，因此得到直边正多边形的内切圆的半径 则四分之一圆弧方程为 x1≥0,y1≥0；正多边形弧边结构的弧边 所在圆的半径为
δ为弧边拱高，弧 的表达式为 0≤
y2≤R；交点G(xg,yg)可以通过求解下面的方程组得到：
[0082]
[0083] 顶点A的坐标为(Rc,R)，因此
[0084]
[0085] 然后根据式(9)，可以得到正多边形形弧边结构在等值角拉力T作用下的褶皱区域半径为：
[0086]
[0087] 上述步骤(8)中所述的根据最优弧边判定准则，得到正多边形的最优弧边形状，的具体方法为：
[0088] 根据所述最优弧边判定准则，假设正多边形弧边薄膜结构的内切圆半径为Ru，相应的直边正多边形内切圆半径为Rc，则应满足：
[0089]
[0090] 当正多边形边数n＝6时，求解式(28)，可以得到其最优弧边形状，此时弧边拱高与直边边长的比值为δ/L＝4.8％。
[0091] 本发明的有益效果：本发明方法包括如下优点：
[0092] 1)给出了直边正多边形薄膜结构受等值角拉力作用下的褶皱区域半径和褶皱形态参数，得出褶皱区域及褶皱幅值随薄膜结构边数的增加而减小的规律。
[0093] 2)提出了一种新的适用于正多边形弧边薄膜结构的应力场分布模型，给出了最优弧边确定方法，有效地减少褶皱，同时保证无褶皱的有效面积最大。
[0094] 以下将结合附图对本发明做进一步详细说明。
附图说明
[0095] 图1是传统应力场假设模型；图1a是直边正方形结构的传统应力场假设模型；图1b是直边正六边形结构的传统应力场假设模型；图1c是直边正多边形结构的传统应力场假设模型；
[0096] 图2是角区域应力图；
[0097] 图3a是角区域褶皱形态；
[0098] 图3b是单条褶皱细节图；
[0099] 图4是正四边形弧边结构的应力分布模型；
[0100] 图5是正四边形最优弧边模型；
[0101] 图6是正多边形弧边结构的应力分布模型的局部图；
[0102] 图7是正六边形弧边结构的应力分布模型；
[0103] 图8是Ansys仿真分析得到的第二主应力分布云图；图8a是直边正方形结构云图；图8b是正四边形弧边结构(δ/L＝3.2％)云图；
[0104] 图9是Ansys仿真分析得到的褶皱形态图；图9a是直边正方形结构形态图；图9b是正四边形弧边结构(δ/L＝3.2％)形态图；
[0105] 图10是D-D处面外变形曲线；图10a是直边正方形结构曲线；图10b是正四边形弧边结构曲线。
具体实施方式
[0106] 本发明提供了一种空间正多边形平面薄膜结构的最优弧边确定方法，包括如下步骤及内容：
[0107] (1)正多边形薄膜结构受等值角拉力时的褶皱区域半径的确定
[0108] 对于图1所示的传统应力场假设模型，外接圆半径为Rm，其内接直边正多边形薄膜结构为各向同性的线弹性体，边长的一半为R，直边正多边形边数为n，杨氏模量为E，泊松比为v，当受到等值角拉力T时，角区域只受径向应力，中心区域受到均匀的双向应力。根据褶皱状态判断条件，在受单向应力作用的角区域中当第二主应力出现负值时薄膜为褶皱状态，在受双向应力作用的中心区域薄膜为张紧状态。其中图1a是直边正方形结构的传统应力场假设模型；图1b是直边正六边形结构的传统应力场假设模型；图1a是直边正多边形结构的传统应力场假设模型。
[0109] 图2给出了在角拉力T作用下的直边正多边形的一个角区域应力图，直边正多边形内角的一半为α，距离顶点r处的圆弧上受到的径向应力σr可以表示为：
[0110]
[0111] 其中t为薄膜厚度，且径向应力在圆弧上是均匀分布的，因此可以得到径向应变εr：
[0112]
[0113] 在拉力T作用下产生的径向位移u相当于径向应变沿半径方向的积分：
[0114] u＝∫εrdr+C (3)
[0115] 假设在中心区域的边界线上，即r＝R时，u＝0。可以推导出常数C的表达式，最终整理可得：
[0116]
[0117] 当外接圆半径Rm一定时，其内接直边正多边形边长的一半R可以表示为边数n的表达式：
[0118]
[0119] 根据几何兼容性，环向应变为：
[0120]
[0121] 而薄膜本身的环向应变跟泊松比v有关，可以表示为：
[0122]
[0123] 根据褶皱状态判断条件，在褶皱区域几何环向应变将大于材料应变,即εθg＞εθm，整理可得
[0124]
[0125] 求解上式中r的最大值即为褶皱半径
[0126]
[0127] 因此确定褶皱区域为顶点附近r≤Rwrin的角区域。
[0128] (2)褶皱区域内褶皱幅值的确定
[0129] 为了避免出现应力不收敛的情况，假设直边正多边形结构每个角被切去了一个直角三角形，角拉力T是均匀分布在很小的直边上的，如图3a所示,令r1＝R/10。图3b描述了单条褶皱形态参数。
[0130] 假设褶皱的面外变形函数w的表示形式为：
[0131]
[0132] 其中A为褶皱幅值，Rwrin为褶皱区域半径，r为距离顶点的距离，q为褶皱数，θ为距中心线任意一处的角度，α为多边形内角的一半；假设单条褶皱的半波长为λ，则：
[0133]
[0134] 在褶皱区域，即r≤Rwrin，引入褶皱引起的环向应变εθwrin，满足如下应变兼容方程[0135] εθg＝εθm+εθwrin (12)
[0136] 其中
[0137] 将式(6)、(7)代入式(12)，可以得到：
[0138]
[0139] 最终得到褶皱幅值公式为：
[0140]
[0141] 根据式(10)可以得到，褶皱的最大幅值位于 θ＝0处，此处的半波长为：
[0142]
[0143] 则最大褶皱幅值为：
[0144]
[0145] (3)褶皱区域内褶皱半波长和褶皱数的确定
[0146] 褶皱区域面外平衡方程为：
[0147] σrκr+σθκθ＝0 (17)
[0148] 其中，σr和σθ分别为薄膜的径向应力和环向应力，κr和κθ分别为径向曲率和环向曲率，如图3b所示，可以通过对式(10)进行二次求导得到：
[0149]
[0150] 产生褶皱的临界压应力可以表示为：
[0151]
[0152] 在褶皱区域认为σθ＝σc，因此将式(18)、(19)代入式(17)中可以推出褶皱数：
[0153]
[0154] 将式(20)代入半波长的表达式(11)中，可以得到褶皱半波长为：
[0155]
[0156] 从式(21)可以看出，褶皱半波长与距离顶点的半径r有关，离顶点距离越大褶皱波长也随之增大。
[0157] (4)正多边形弧边结构应力场假设模型的提出：
[0158] 将薄膜结构边界裁剪为弧边形状可有效减小褶皱，然而传统的应力场分布模型将不适用于弧边模型，因此本发明提出了一种新的弧边结构应力场假设模型如图4所示，针对正四边形弧边结构，连接各个顶点，得到正四边形弧边结构的外接直边正方形，画出该直边正方形的内切圆，则此内切圆与正四边形弧边结构的四个弧边有交点，然后以各顶点为圆心，内切圆与弧边的交点到相应顶点的距离为半径画弧，将薄膜结构分为两部分，一部分为受单向应力的角区域，一部分为受双向应力的中心区域，得到的模型即为正四边形弧边结构的应力场假设模型；
[0159] 该模型可以推广到正多边形弧边结构，假设正多边形弧边结构的边数为n，连接其各顶点，得到正多边形弧边结构的外接直边正n边形，画出该直边正n边形的内切圆，则此内切圆与正n边形弧边结构的各边有交点，然后以各顶点为圆心，内切圆与正多边形弧边结构的交点到相应顶点的距离为半径画弧，将薄膜结构分为两部分，一部分为受单向应力的角区域，一部分为受双向应力的中心区域，得到的模型即为正多边形弧边结构的应力场假设模型。
[0160] 此时受单向应力的角区域半径为R′(R′＜R)，大小等于直边正多边形的内切圆与正多边形弧边结构的弧边的一个交点G到相应顶点A的距离。
[0161] (5)正四边形弧边结构受等值角拉力时的褶皱区域半径的确定
[0162] 根据图4所示，当外接圆半径Rm一定时，根据式(5)可得其内接直边正方形的边长的一半为 则该直边正方形的内切圆半径也为R，则四分之一圆弧方程为x1≥0,y1≥0；正四边形弧边结构的弧边 所在圆的半径为
δ为弧边拱高，弧 的表达式为 0≤
y2≤R；交点G(xg,yg)可以通过求解下面的方程组得到：
[0163]
[0164] 顶点A的坐标为(Rc,R)，因此
[0165]
[0166] 然后根据式(9)，可以得到正四边形弧边结构在等值角拉力T作用下的褶皱区域半径为：
[0167]
[0168] (6)正四边形最优弧边形状的确定方法
[0169] 随着正四边形弧边结构弧边拱高δ的增大，受单向应力的角区域半径R′逐渐减小，由式(24)可知褶皱区域半径也随之减小，但是δ增大会减小薄膜结构面积，必须找到一个最优的拱高δ，减小褶皱的同时保证无褶皱的有效面积最大，图5给出了最优弧边形状模型；；
[0170] 定义正四边形弧边薄膜结构的内切圆区域为有效区域，其半径为Ru，根据最优弧边判定准则：保证此内切圆内无褶皱出现，且其面积大于85％×π(Rc)2，则保证了无褶皱有效面积足够大，此时的弧边拱高为最优值，即满足如下条件：
[0171]
[0172] 求解式(25)，当无褶皱有效面积取得最大时，弧边拱高与直边边长的比值为δ/L＝3.2％，即为正四边形的最优弧边形状。
[0173] (7)正多边形弧边结构受等值角拉力时的褶皱区域半径的确定
[0174] 图6给出了正多边形弧边结构应力场模型的局部图，当外接圆半径Rm一定时，根据式(5)可以得到其内接直边正多边形的边长的一半R与Rm的关系式，因此可以得到直边正多边形的内切圆的半径 则四分之一圆弧方程为 x1≥0,y1≥0；正多边形弧边结构的弧边 所在圆的半径为 δ为弧边拱高，弧 的
表达式为 0≤y2≤R；交点G(xg,yg)可以通过求解下面的
方程组得到：
[0175]
[0176] 顶点A的坐标为(Rc,R)，因此
[0177]
[0178] 然后根据式(9)，可以得到正多边形形弧边结构在等值角拉力T作用下的褶皱区域半径为：
[0179]
[0180] (8)正多边形最优弧边形状的确定方法
[0181] 根据最优弧边判定准则：一是正多边形弧边结构的内切圆区域内无褶皱；二是该内切圆面积应不小于相应的直边正多边形内切圆面积的85％。假设正多边形弧边薄膜结构的内切圆半径为Ru，相应的直边正多边形内切圆半径为Rc，则应满足：
[0182]
[0183] 当正多边形边数n＝6时，图7给出了正六边形弧边结构的应力分布模型，求解式(29)，可以得到其最优弧边形状，此时弧边拱高与直边边长的比值为δ/L＝4.8％。
[0184] 下面结合一个典型的正四边形薄膜结构说明本发明的具体实施过程，结构参数如表1所示。
[0185] 表1
[0186]
[0187] 在Ansys软件中选取SHELL181单元模拟薄膜结构进行仿真分析，并通过相关实验验证本发明方法的有效性。
[0188] 该方法的具体步骤如下：
[0189] (1)根据传统应力分布假设理论，确定直边正多边形受等值角拉力时的褶皱区域半径，并通过假设褶皱形态描述方程及应变相容方程，推导出褶皱幅值、波长以及褶皱数，分析了褶皱区域和幅值随直边正多边形结构边数的变化趋势。
[0190] (2)给出正多边形弧边结构的应力场分布模型，以及最优弧边设计步骤，确定最优的弧边拱高和直边边长比值。并通过Ansys软件进行仿真分析，选取SHELL181单元模拟薄膜结构。
[0191] (3)设计拉伸薄膜实验框架，薄膜边界与拉索连接，利用测力传感器确定拉索上施加的拉力值。采用摄影测量技术得到褶皱的面外变形信息，进一步验证方法的有效性。
[0192] (4)褶皱区域半径：图8给出了直边正方形结构和正四边形弧边结构的第二主应力分布云图，第二主应力为负值的区域即为褶皱区域。其中，图8a给出了直边正方形结构褶皱区域半径 图8b中标出了正四边形弧边结构褶皱区域半径，给出了理论值 和仿真值 表2给出了褶皱半径理论值和仿真值的对比结果；可以看出弧边幅度δ/L＝3.2％时，褶皱区域半径明显减小，有效减小了褶皱区域，但是仿真值比理论值要大一点，是因为在进行仿真分析时需要施加足够大的初始缺陷才可以产生褶皱，该初始缺陷导致仿真值比理论值偏大。
[0193] 表2
[0194]
[0195] (5)褶皱形态：图9是在角拉力T＝10N时由Ansys仿真得到的褶皱形态图，其中，图9a是直边正四边结构的褶皱形态；图9b是正四边形弧边结构的褶皱形态；可以看出在同样的角拉力作用下正四边弧边结构面外变形明显比直边正四边结构小，进一步提高了薄膜表面精度。
[0196] (6)面外变形曲线：图10是距离顶点70mm处(图9中直线DD处)的面外变形的实验结果与仿真结果对比曲线，其中，图10a是直边正方形结构的面外变形曲线；图10b是正四边形弧边结构的面外变形曲线；从对比曲线可以看出中间区域的实验结果与仿真分析结果基本保持一致，但是实验得到的曲线在边缘处出现了卷曲现象，导致边缘出幅值较大，此问题还有待进一步研究。表3给出了 θ＝0处的褶皱幅值对比结果；可以看出理论值、仿真值和实验值基本一致，验证了本方法的正确性，同时可以看出弧边结构最大褶皱幅值比直边结构最大褶皱幅值小很多，进一步证明了本发明给出的最优弧边模型在减小褶皱上的有效性。
[0197] 表3
[0198] 直边模型 弧边模型(δ/L＝3.2％)
理论值(式(15)) A＝0.401mm NAN
仿真值 A＝0.426mm A＝0.167mm
实验值 A＝0.404mm A＝0.089mm
[0199] 结果分析：本发明针对正多边形平面薄膜结构提出了相对有效的最优弧边确定方法，可以有效地减小褶皱，保证无褶皱有效面积最大，提高表面精度，这对实际的工程应用有着重要的指导价值。
[0200] 本实施方式中没有详细叙述的部分属本行业的公知的常用手段，这里不一一叙述。以上例举仅仅是对本发明的举例说明，并不构成对本发明的保护范围的限制，凡是与本发明相同或相似的设计均属于本发明的保护范围之内。
