一种火电机组次同步振荡的阻抗分析法

摘要

一种火电机组次同步振荡的阻抗分析法，所述方法将待研系统分成电源和电网两部分，依次建立电源和电网部分的状态空间模型，分别计算电源、电网部分的导纳函数矩阵；然后将电源和电网导纳函数矩阵伯德图，绘制于同一张图中；最后拾取伯德图上的视在谐振点，并根据视在谐振点计算系统串联谐振频率及被激发的轴系模态。本发明基于阻抗分析法的基本原理，将火电机组电源部分以状态空间的形式统一建模，机组机械、控制系统的动态特性均包含于电源部分的状态空间中，并最终以电气量形式予以建模。同传统方法相比，该方法不仅能够得到足够的计算精度，而且可以进行连续频率的动态特性分析，从而为电力电子化电力系统的稳定性研究创造了有利条件。

权利要求

1.一种火电机组次同步振荡的阻抗分析法，其特征是，所述分析法将待研系统分成电源和电网两部分，采用分块建模的方法，依次建立电源和电网部分的状态空间模型，分别计算电源、电网部分的导纳函数矩阵；然后将电源和电网导纳函数矩阵伯德图，绘制于同一张图中；最后拾取伯德图上的视在谐振点，并根据视在谐振点计算系统串联谐振频率及被激发的轴系模态；

所述伯德图上的视在谐振点定义为：

假设dq坐标系下，某三相平衡交流系统由有2个子系统A、B串联而成，设系统A、B的导纳函数矩阵分别为YA(s)、YB(s)，定义系统的视在谐振点为：YA(s)、YB(s)在同一伯德图上幅值相交，且相位相差n×180°点处的角频率，n为奇数，定义Yplus(s)为系统的视在导纳，且有Yplus(s)＝YA(s)+YB(s)，则视在谐振点等于视在导纳的零点；

根据视在谐振点计算系统串联谐振频率的方法如下：

式中ωr1、ωr2、ωr3、ωr4这四个参数为LLC串联谐振系统的视在谐振点；k为串补度；ωr为串联谐振角频率；ωb为工频角速度；ωrLLC为LLC系统物理谐振点；n表示电源阻抗与电网阻抗电感之比；ωsum表示系统的视在导纳Yplus(s)主对角线元素的零点平方和，与副对角线元素的零点平方和相加；ωsub表示系统的视在导纳Yplus(s)主对角线元素的零点平方和，与副对角线元素的零点平方和相减；Yplus(s)＝YA(s)+YB(s)。

2.根据权利要求1所述的一种火电机组次同步振荡的阻抗分析法，其特征是，被激发的轴系模态的计算方法如下：当火电机组某个轴系扭振模态频率ωi接近ωb-ωr时，则该扭振模态被激发。

3.根据权利要求2所述的一种火电机组次同步振荡的阻抗分析法，其特征是，所述待研系统的电源部分包括火电机组轴系、调速器、励磁机和发电机，各部分状态空间模型的建立方法如下：首先列出描述各部分动态特性的微分方程，以及表征待研部分与外部系统/元件连接关系代数方程列出；然后建立待研元件的状态空间模型；最后，在稳态运行点附近线性化，得到各部分线性化的状态空间模型。

说明书

一种火电机组次同步振荡的阻抗分析法

技术领域

[0001] 本发明涉及一种利用火电机组次同步振荡研究阻抗的方法，属于发电技术领域。

背景技术

[0002] 次同步振荡是电力系统稳定问题之一，上世纪七十年代，在美国发生了两起因为次同步能量交换致使发电机组轴系严重扭转振荡，造成机组脱网、大轴损坏的事故，次同步谐振问题才真正引起电气工程界和学术界的高度关注，并由此掀起次同步振荡(SSO)的研究热潮。

[0003] 电力系统稳定性的线性化分析方法可大致分为两大类：基于状态空间模型(State-Space Models，SSM)的时域类分析法，以及基于阻抗模型(Impedance Models，IM)的频域类分析法。虽然上述两类方法从不同的角度对电力系统进行建模，但基本数学原理均源于电力系统两大约束：元件约束和拓扑约束。因此，时域类分析方法和频率类分析方法可以相互转换。

[0004] 时域类分析法需要建立待研系统完整模型，对系统结构变化较小的发输电系统，具有较高的适用性。但是，对于源网荷系统，当负荷变化对系统稳定性影响不容忽略时，基于SSM的分析方法，建模和分析的工作量较大。

[0005] 以阻抗分析法为代表的频域类分析法，将待研系统等效为电源和负荷两部分，分别用负荷输入阻抗和电源输出阻抗表示，根据电源与负荷的阻抗比是否满足奈奎斯特稳定性判据，判断系统的稳定性。阻抗法由于物理概念明晰，适用于理论分析与实验测试相结合，近年来在分布式电源稳定性分析方面，得到了广泛应用。

[0006] 然而，现有阻抗分析法从频域的角度进行建模，建模方法无法计及火电机组轴系的动态特性，主要用于分析电力电子设备并网的稳定性问题，并且大多将abc三相系统简化为单相，然后求解单相解析阻抗。这种做法难以直接应用于火电机次同步振荡的研究中，因为火电机组是旋转电源，abc坐标系下，火电机组不存在恒定阻抗值，因此也不存在单相解析阻抗。传统频率扫描法仅能计及火电机组电气特性，无法对轴系的机械特性进行建模，而火电机组的轴系动态对于其SSO的研究具有重要影响。

[0007] 此外，现有阻抗分析法以奈氏判据为判稳依据，涉及阻抗函数矩阵运算(相乘/求逆)，当源网子系统阻抗/导纳函数较为复杂时，复数矩阵运算存在较大误差，甚至可能导致无解。现有阻抗分析法判据的核心是计算系统串联谐振点。当三相平衡时，abc三相静止坐标系相间不耦合，可采用单相电路进行分析，此时串联谐振点＝阻抗函数的零点＝导纳函数的极点。而dq同步旋转坐标中，这一结论不再适用。串联谐振在dq同步旋转坐标中具有不同的表现形式。因此，迫切需要一种新的串联谐振判据，以便于判断dq同步旋转坐标下的串联谐振。

[0008] 在电力系统源、网、荷日趋电力电子化的进程中，火电机组仍然占据重要地位。新能源并网以逆变器为接口，必需由常规电源(火/水电机组)提供相位信息以保证与系统同步运行。因此，适用于新能源与火电机组多时间尺度的统一建模方法，对于从同一视角，研究电力电子化电力系统的稳定性具有重要意义。

发明内容

[0009] 本发明的目的在于针对现有技术之弊端，提供一种火电机组次同步振荡的阻抗分析法，为电力电子化电力系统的稳定性研究提供技术支持。

[0010] 本发明所述问题是以下述技术方案解决的：

[0011] 一种火电机组次同步振荡的阻抗分析法，所述方法将待研系统分成电源和电网(也称负荷)两部分，采用分块建模的方法，依次建立电源和电网部分的状态空间模型，分别计算电源、电网部分的导纳函数矩阵；然后将电源和电网导纳函数矩阵伯德图，绘制于同一张图中；最后拾取伯德图上的视在谐振点，并根据视在谐振点计算系统串联谐振频率及被激发的轴系模态。

[0012] 上述火电机组次同步振荡的阻抗分析法，所述伯德图上的视在谐振点定义为：

[0013] 假设dq坐标系下，某三相平衡交流系统由有2个子系统A、B串联而成，设系统A、B的导纳函数矩阵分别为YA(s)、YB(s)，定义系统的视在谐振点为：YA(s)、YB(s)在同一伯德图上幅值相交，且相位相差n×180°(n为奇数)点处的角频率。

[0014] 上述火电机组次同步振荡的阻抗分析法，根据视在谐振点计算系统串联谐振频率(即物理谐振点)的方法如下：

[0015]

[0016] 式中ωr1、ωr2、ωr3、ωr4这四个参数为LLC串联谐振系统的视在谐振点；k为串补度；ωr为串联谐振角频率；ωb为工频角速度；ωrLLC为LLC系统物理谐振点；n表示电源阻抗与电网阻抗电感之比；ωsum表示系统的视在导纳Yplus(s)主对角线元素的零点平方和，与副对角线元素的零点平方和相加；ωsub表示系统的视在导纳Yplus(s)主对角线元素的零点平方和，与副对角线元素的零点平方和相减；Yplus(s)＝YA(s)+YB(s)。

[0017] 上述火电机组次同步振荡的阻抗分析法，被激发的轴系模态的计算方法如下：

[0018] 当火电机组某个轴系扭振模态频率ωi接近ωb-ωr时，则该扭振模态被激发。

[0019] 上述火电机组次同步振荡的阻抗分析法，所述待研系统的电源部分包括火电机组轴系、调速器、励磁机和发电机，各部分状态空间模型的建立方法如下：

[0020] 对于一个动态线性系统/元件，描述其动态特性以及与外部系统/元件联系的微分代数方程，用下面的状态空间模型表示，如下所示：

[0021]

[0022] 其中x为系统的状态变量，u为系统的输入量，t为时间变量，y为输出量。假设某n阶系统，其输入量、输出量、状态量的阶次分别为m阶、q阶、n阶，则各变量可以表示为：

[0023]

[0024] 在稳态运行点附近，由泰勒级数可知，函数值的微小变化量可以用自变量的变化量乘以稳态点的导数值近似表示，因而在状态空间中则有：

[0025]

[0026] 表达式中，A、B、C、D是系统稳态运行点处(x0,u0)的导数或者偏导数组成的系数矩阵，具体如下所示：

[0027] n×n维系统矩阵

[0028] n×m维输入矩阵

[0029] q×n维输出矩阵

[0030] q×m维直接传递矩阵

[0031] 对于某一具体模型(例如轴系模型)，列出其如式(1)所示的微分代数方程，在稳态运行点进行线性化，即可得到如式(3)所示的线性化状态空间模型。

[0032] 以下说明火电机组轴系以及同步发电机的状态空间建模过程。

[0033] 火电机组轴系模型：

[0034] 典型汽轮发电机的轴系结构如图1所示，包括高压缸HP、中压缸IP、低压缸LPA、LPB、发电机和励磁机六个轴段。常用的轴系分段集中质量弹簧模型，将六个轴段分别视为一个等值的刚性集中质量模块，相邻质量块之间通过无质量的弹簧连接来模拟轴段之间的力矩传递关系。

[0035] 根据胡克定律和牛顿第二力学定律，列出轴系的运动方程式，将其线性化后，得到以下线性方程：

[0036]

[0037] 其中：

[0038] δi表示各个质量块的角位移(rad)

[0039] 表示各个质量块的角速度(rad/s)， 表示待研系统工频角频率(100πrad/s或者120πrad/s)，下同。

[0040] Ti表示施加在各个质量块的原始转矩(p.u)

[0041] Tji为各个质量块的惯性时间常数(s)

[0042] ki,i+1相邻质量块的之间的刚度系数标幺值(1/rad)

[0043] Dii各个质量块的自阻尼系数

[0044] Di,i+1相邻质量块的互阻尼系数

[0045] p表示微分算子，下同

[0046] 定义轴系的阻尼矩阵D和惯性常数矩阵K

[0047]

[0048]

[0049] 根据公式(4)列出火电机组轴系的状态方程

[0050]

[0051] 轴系的状态输出方程比较冗长，下面只给出了相关输出变量和各个相关的矩阵。设轴系状态空间模型的表达式

[0052]

[0053] 状态方程中，状态变量X1，输出量Y1，输入量u1以及各系数矩阵(A1、B1、C1、D1)分别为：

[0054]

[0055]

[0056] 同步发电机状态空间模型：

[0057] 同步电机方程通过Park变换后，原始方程式中的转子d轴方向各绕组和q轴方向各绕组以及零轴等效绕组直接不存在耦合关系。下面讨论的发电机方程均是经过Park变换后得的。发电机转子具有三个等值阻尼绕组D，g，Q的情况，转子d轴上有f,d两个绕组，q轴上有g，Q两个绕组。

[0058] 由于正常情况下系统三相对称，因此不考虑零轴分量，同时认为d轴和q轴上各绕组间的互感相等，分别等于Xad和Xaq。可以得到在运行点线性化后得d和q轴发电机各绕组的磁链(7)和电压平衡方程式(8)。

[0059]

[0060]

[0061] 其中：

[0062] ψ表示各绕组的磁链

[0063] i表示各绕组的电流

[0064] xd、xf、xD、xq、xg、xQ表示各绕组的电感

[0065] xad表示定子绕组d轴，转子绕组f，D绕组之间的互感

[0066] xaq表示定子绕组q轴，转子绕组g，Q绕组之间的互感

[0067] u表示各绕组的电压

[0068] R表示各绕组的电阻

[0069] 发电机的电磁转矩等于通过气隙传递的功率除以转子机械角速度。假设所研究的同步发电机的极对数为1，在运行点线性化后，发电机的电气转矩方程为：

[0070] ΔTe＝iq0Δψd+ψd0Δiq-id0Δψq-ψq0Δid   (9)

[0071] 为了简化变量个数，使系统的所有变量都是线性独立的，将变量Δψd，Δψf，ΔψD，Δψq，Δψg，ΔψQ用变量Δid，Δif，ΔiD，Δiq，Δig，ΔiQ表示。其中输出变量中的Δψd，Δψq也用这六个状态变量进行表示。

[0072] 记矩阵:

[0073]

[0074] 则：

[0075]

[0076] 由于状态变量已经确定为Δid,Δif,ΔiD,Δiq,Δig,ΔiQ，则微分方程中剩下的变量则为输入变量，将微分方程重新整理得到如下的状态空间方程

[0077]

[0078]

[0079] 设同步发电机的状态空间为：

[0080]

[0081] 则状态方程中，状态变量X4、输出量Y4、输入量u4以及各系数矩阵(A4、B4、C4、D4)为[0082]

[0083]

[0084]

[0085]

[0086] D4＝0

[0087] 串补线路状态空间建模：

[0088] 为与dq轴旋转坐标系一致，以实现模型接口的连接，将静止的三相坐标系进行派克变换。假设电力系统三相对称，三相系统的参数也对称。dq轴表示的RLC串补线路模型的状态空间为

[0089]

[0090] 状态变量XRLC、输入量uRLC、输出量YRLC以及各系数矩阵分别为：

[0091] XRLC＝[ΔiRLCd ΔiRLCq ΔuSCd ΔuSCq]T   (18)

[0092] uRLC＝[Δud1 Δuq1 Δud2 Δuq2]T   (19)

[0093] YRLC＝[ΔiRLCd ΔiRLCq]T   (20)

[0094]

[0095]

[0096]

[0097] DRLC＝0   (24)

[0098] 式(18)中状态变量取电感电流和电容电压的d、q轴分量；式(19)中输入量为线路两端电压的d、q轴分量；式(20)中输出量为电感电流的d、q轴分量；式(21)、(22)中R、Xc、XL分别表示线路的电阻、电抗和容抗。

[0099] 本发明基于阻抗分析法的基本原理，将火电机组电源部分以状态空间的形式统一建模，机组机械、控制系统的动态特性均包含于电源部分的状态空间中，并最终以电气量形式予以建模。同传统方法相比，该方法不仅能够得到足够的计算精度，而且可以进行连续频率的动态特性分析，从而为电力电子化电力系统的稳定性研究创造了有利条件。

附图说明

[0100] 图1是次同步振荡IEEE第一标准模型示意图；

[0101] 图2是阻抗分析法的原理示意图；

[0102] 图3是物理谐振点在伯德图上的表现形式；

[0103] 图4是LC串联系统视在谐振点；

[0104] 图5是LLC串联系统视在谐振点；

[0105] 图6是火电机组导纳函数矩阵伯德图；

[0106] 图7是火电机组导纳函数(Ydd)的零极点图；

[0107] 图8是源网子系统导纳函数伯德图；

[0108] 图9是等值阻抗频率特性计算模型；

[0109] 图10是同步电机示意图；

[0110] 图11是经派克变换的同步电机示意图。

[0111] 图中和文中各符号为：HP为高压缸,IP为中压缸,LPA为第一个低压缸,LPB为第二个低压缸,GEN为发电机(转子),EXC为励磁机(转子),R为线路电阻，Re为升压变等效电阻,Rline为输电线路电阻,rr为转子电阻,rs为定子电阻,Xe为升压变等效电抗,Lline为输电线路电感,Lr为转子漏感,LS为定子漏感,L为串联RLC线路电感,L1为电感(大小为L1),LC为电感L和电容C串联,Cline为线路串联电容,C为串联电容,∞为无穷大电源,ZS为电源阻抗,ZL为负荷阻抗,Zg为发电机阻抗,ZC为电容阻抗,ZLC为电感L电容C串联阻抗,YL为电感导纳,YC为电容导纳,YLC为电感电容串联导纳,ZL1LC为电感L1、电感L和电容C串联阻抗,YL1为电感L1导纳,Ydd为dd通道导纳,Yqd为qd通道导纳,Yddgen为发电机dd通道导纳,Yddrlc30为30％串补度下串联RLC线路dd通道导纳,Yddrlc50为50％串补度下串联RLC线路dd通道导纳,ψa、ψb、ψc为abc三相磁链,ψd为d轴磁链,ψq为q轴磁链,ψD为D绕组磁链,ψQ为Q绕组磁链,ψg为发电机磁链,ψf为励磁绕组磁链,ud为d轴电压,ua、ub、uc为abc三相电压,uq为q轴电压,uf为励磁电压,id为d轴电流,iq为q轴电流,iD为D绕组电流,iQ为Q绕组电流,ig为发电机出口电流,if为励磁电流,ia、ib、ic为abc三相电流,ω为角频率,VS为电源电压,Vg为机端电压,YA(s)、YB(s)分别为系统A、B的导纳函数矩阵，式中ωr1、ωr2、ωr3、ωr4这四个参数为LLC串联谐振系统的视在谐振点；k为串补度；ωr为串联谐振角频率；ωb为工频角速度；ωrLLC为LLC系统物理谐振点；n表示电源阻抗与电网阻抗电感之比；ωsum表示系统的视在导纳Yplus(s)主对角线元素的零点平方和，与副对角线元素的零点平方和相加；ωsub表示系统的视在导纳Yplus(s)主对角线元素的零点平方和，与副对角线元素的零点平方和相减。

具体实施方式

[0112] 下面结合附图对本发明作进一步说明。

[0113] 本发明主要涉及一种新型阻抗分析方法，以及为适应新方法提出的一种新判据。该方法基于阻抗分析法的基本原理，将火电机组电源部分模型以状态空间的形式统一建模，机组机械、控制系统的动态特性均包含于电源部分的状态空间中，并最终以电气量(导纳函数矩阵)形式予以建模。因此，相对于传统频率扫描，新型阻抗分析法，得到的系统阻抗/导纳将更为精确。同时，基于状态空间模型，新型阻抗分析法计算精度与特征值分析法持平，但是可以进行连续频率的动态特性分析，而特征值法只能获得孤立点(特征值频率处)的动态特性。

[0114] 本发明包括如下步骤：

[0115] 步骤1：根据阻抗分析法的原理，将待研系统分成电源和电网(也称负荷)两部分，采用分块建模的方法，依次建立电源和电网部分的状态空间模型，分别计算源、网部分的导纳函数矩阵；

[0116] 步骤2：在MATLAB中，将电源和电网导纳函数矩阵伯德图，绘制于同一张图中；

[0117] 步骤3：根据dq轴旋转坐标系下串联谐振判据，拾取伯德图上视在谐振点，计算系统串联谐振频率，以及被激发的轴系模态。

[0118] 其中，步骤1中，建立火电机组轴系、调速器、励磁机、发电机等各部分状态空间模型的方法见式(1)-(24)。本发明中分块建模方法，主要区别在于，建立的电源和电网部分状态空间模型是彼此分开的，以便于单独求解电源和电网子系统的导纳函数矩阵。

[0119] 其中，步骤3中，串联谐振判据为本发明所提新判据，其基于源、网子系统导纳函数视在谐振点，可计算串联系统(源子系统+网子系统)谐振频率。视在谐振点的定义见下文。此外，由串联谐振频率计算被激发轴系模态的方法。

[0120] 当火电机组某个轴系扭振模态频率ωi接近ωb-ωr，其阻尼较弱时，则该扭振模态被激发。

[0121] 本发明具体实施例，采用次同步振荡IEEE第一标准模型(IEEE First Benchmark Model for Sub-synchronous Resonance Studies，SSRF BM)，其示意图如图1。图1中，待研系统分为电源侧和电网侧两部分。轴系、发电机、调速器(图中未画出)、励磁机组成电源侧模型；升压变和RLC输电线路组成电网侧模型。

[0122] 表1火电机组转子等值电路参数(p.u.)

[0123]Rf RD RQ Rg xσf xσD xσQ xσg xad xaq xl
0.0014 0.041 0.014 0.0082 0.062 0.0055 0.326 0.095 1.66 1.58 0.13

[0124] 表1中，Rf表示励磁绕组电阻，RD表示D轴绕组电阻，RQ表示Q轴绕组电阻，Rg表示q轴绕组电阻，xσf表示励磁绕组漏抗，xσD表示励D轴绕组漏抗，xσQ表示Q轴绕组漏抗，xσg表示励磁绕组电阻，xσg表示q轴绕组漏抗，xad表示d轴电枢反应电抗，xaq表示q轴电枢反应电抗，xl表示线路电抗。

[0125] 表2发电机阻抗值及时间常数(p.u.)

[0126]xd x′d x″d T′d0 T″d0 xl
1.79 0.169 0.135 4.3 0.032 0.13
xq x′q x″q T′q0 T″q0 Ra
1.71 0.228 0.200 0.85 0.05 0.0

[0127] 表1中，xd表示d轴绕组电抗，x′d表示d轴绕组暂态电抗；x″d表示d轴绕组暂次暂态电抗，T′d0表示d轴绕组暂态时间常数，T″d0表示d轴绕组次暂态时间常数；xq表示q轴绕组电抗，x′q表示q轴绕组暂态电抗，x″q表示q轴绕组暂次暂态电抗，T′q0表示q轴绕组暂态时间常数，T″q0表示d轴绕组次暂态时间常数，Ra表示电枢绕组电阻，xl表示线路电抗。

[0128] 表3发电机转子质量块—弹簧模型参数

[0129]质量块 惯性时间常数M/s 轴段 弹性系数K/(p.u./rad)
HP 0.185794 HP-IP 19.303
IP 0.311178 IP-LPA 34.929
LPA 1.717340 LPA-LPB 52.038
LPB 1.768430 LPB-GEN 70.858
GEN 1.736990 GEN-EXC 2.822
EXC 0.068433    

[0130] 首先，简介基于状态空间的阻抗分析法。

[0131] 典型的状态空间模型如式(25)所示

[0132]

[0133] 对于(25)所示状态空间模型，x＝[x1，x2，x3，…，xn]T表示n维状态变量；u＝[u1，u2，u3，…，um]T表示m维输入量；y＝[y1，y2，y3，…，yr]T表示r维输出量。A、B、C、D分别表示状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵、直接传递矩阵。

[0134] 可以将(25)转换为传递函数模型，只需满足

[0135]

[0136] 其中，H(s)为r行m列的传递函数矩阵。

[0137] 在dq轴同步旋转坐标系下，建立电力系统以及元件的状态空间模型。当输入量选择电压u＝[ud，uq]T，输出量选择电流y＝[id，iq]T时，可将此状态空间转换为传递函数。由(26)可知，此传递函数即导纳函数矩阵，可表示为

[0138]

[0139]

[0140] 此外，当输入量选择电流u＝[id，iq]T，输出量选择电压y＝[ud，uq]T时，可将此时的状态空间转换为阻抗函数矩阵

[0141]

[0142]

[0143] 阻抗分析法的基本原理如图2所示，电源输出阻抗为Zs，电网输入阻抗为Zg。通过分析Zs/Zg是否满足奈奎斯特稳定性判据，进而判定串联系统的稳定性；当Zs和Zg为矩阵时，稳定性判据需采用广义奈奎斯特稳定性判据。

[0144] 理论上，基于状态空间，既可建立电力系统元件的阻抗函数模型，也可建立导纳函数模型。但是，电力系统大多数元件都含有电感，在对其进行状态空间建模时，电感电流常作为状态变量。以基尔霍夫电压方程为拓扑约束，输入量被限定为电压，输出量则限定为电流。则基于状态空间建立的阻抗函数模型，均为导纳函数矩阵。

[0145] 鉴于现有阻抗分析法，大多对源、网系统阻抗函数进行分析，为配合新型阻抗分析法的应用，本发明提出了一种新的串联谐振判据。

[0146] 然后，对本发明提出的新判据做简要说明。

[0147] 本发明提出了一种dq旋转坐标系下串联谐振判据。该判据通过拾取源网子系统导纳函数矩阵，在伯德图上的视在谐振点，即可计算出串联系统的物理谐振频率(点)。

[0148] 物理谐振频率(点)的定义为：

[0149] 在abc坐标系中，设串联RLC线路电感为L，串联电容为C，线路电阻为R，工频角速度为ωb(本发明设定120π)，串补度为k，串联谐振角频率为ωr。如式(31)所示，忽略电阻的影响，串联谐振点，既是阻抗函数ZLC(ω)的零点，也是导纳函数YLC(ω)的极点。图3给出了50％串补度下物理谐振点在伯德图上的表现形式。

[0150]

[0151] 视在谐振点的定义为：

[0152] 假设dq坐标系下，某三相平衡交流系统由有2个子系统A、B串联而成，设系统A、B的导纳函数矩阵分别为YA(s)、YB(s)。定义系统的视在谐振点：YA(s)、YB(s)在同一伯德图上幅值相交，相位相差n×180°(n为奇数)点处的角频率；定义Yplus(s)为系统的视在导纳，且有Yplus(s)＝YA(s)+YB(s)，则视在谐振点等于视在导纳的零点。

[0153] 由视在谐振点计算物理谐振点的方法：

[0154]

[0155] 式(32)中ωr1、ωr2、ωr3、ωr4为LLC串联谐振系统的视在谐振点，如图4所示。ωrLLC为LLC系统物理谐振点，n表示电源阻抗与电网阻抗电感之比。其中，LLC串联谐振系统，L表示电源子系统；LC表示电网子系统。ωsum表示Yplus(s)主对角线元素的零点平方和，与副对角线元素的零点平方和相加；ωsub表示Yplus(s)主对角线元素的零点平方和，与副对角线元素的零点平方和相减。

[0156] 对于LC串联谐振系统，其视在谐振点只有2个，如图5，则ωr1＝ωr2、ωr3＝ωr4，ωr的计算仍可采用式(32)。同理，LC串联谐振系统中，L表示电源子系统；C表示电网子系统。

[0157] 采用新判据，本发明所提新方法用于火电机组次同步振荡分析的过程如下。

[0158] 首先，建立火电机组(包含轴系、汽轮机、调速器、励磁机以及同步发电机，建模方法及主要流程如式(1)-(24))的状态空间模型。然后，基于公式(25)-(28)，获取火电机组的导纳函数，并作出其伯德图。电网部分(串补线路)导纳函数计算方法与此相同。图6给出了火电机组导纳函数矩阵第一列元素(Ydd、Yqd)的伯德图。对比图5中L1子系统的导纳函数伯德图可知，火电机组导纳函数伯德图，总体呈现电感特性，但是在次同步频率下，存在4处“峰谷点”。

[0159] SSR FBM火电机组轴系为6质量块模型，含有5个扭振模态(Torsional Mode，TM)，其频率由高到低分别是47.46Hz、32.32Hz、25.57Hz、20.22Hz、15.78Hz。将这5个，依频率由高到低分别命名为TM5-TM1。图6中，4个“峰谷点”分别对应TM1-TM4，TM5未能显现在火电机组导纳函数中，理由如下。

[0160] 图7为火电机组导纳函数(Ydd)的零极点图，由图可知，在火电机组轴系扭振频率处，导纳函数存在零极点并存的现象，这也是导致图6中，导纳函数的伯德图上存在“峰谷点”的原因。

[0161] 由于TM5模式的零极点几乎相等，乃至出现了零极点对消，最终导纳函数的伯德图上未出现“峰谷点”；同时，零极点阻尼比的大小，决定了“峰谷点”的深度。TM2(20.22Hz)和TM3(25.57Hz)零极点位置均较为接近，但是TM2阻尼比较大，故伯德图上，TM2“峰谷点”没有TM3明显。

[0162] 因此，本发明提出的新型阻抗分析法，比频率扫描法具有更高的精度。

[0163] 电网侧RLC线路模型的导纳函数伯德图与图2中YLC相近，由于线路电阻的存在，电网导纳函数的伯德图在谐振点处更为平缓，如图8所示。图8中，当RLC线路的串补度k分别为30％和50％时，电源侧与电网侧导纳函数在伯德图上均出现了视在谐振点。同上，图10中仅给出了Ydd和Yqd。

[0164] 图8中，Ygen表示电源侧导纳函数；Yrlc30、Yrlc50分别表示不同串补度(30％、50％)下电网侧导纳函数。根据定义1对视在谐振点的定义，两种串补度下，Ydd和Yqd各存在2个视在谐振点。

[0165] 由于Ygen在轴系模态频率处存在“峰谷点”，电源侧导纳函数与电网侧导纳函数幅值交点的个数偏多，结合相位相差180°，最终确定的视在谐振点个数依然与理论分析一致。

[0166] 将图8中视在谐振点放大，拾取角频率，结果如表1所示。基于表1中不同串补度下的视在谐振点，由公式(32)计算物理谐振频率ωr。由abc坐标系下的物理谐振点，计算激发的轴系模态ωb-ωr。

[0167] 表1不同串补度下的视在谐振点

[0168]

[0169]

[0170] 30％串补度下，轴系TM4模态频率与物理谐振频率接近互补而被激发；同理，50％串补度下，轴系TM3模态被激发。这一分析结果与现有关于SSR FBM模型的研究结论一致。因此，本发明中串联谐振判据，以及基于状态空间的阻抗分析法，具有较高的准确性。

[0171] 鉴于SSR FBM的时域仿真模型已在PSCAD/EMTDC中以example的形式搭建完成，相关的时域仿真结果较多，本发明书中不再单独列出时域仿真波形。

[0172] 本发明的有益效果

[0173] 1、本发明提出的新型阻抗分析法，相对于传统频率扫描，得到的系统阻抗/导纳将更为精确。

[0174] 2、基于状态空间模型，新型阻抗分析法计算精度与特征值分析法持平，但是可以进行连续频率的动态特性分析，而特征值法只能获得孤立点(特征值频率处)的动态特性，因此新型阻抗分析法比特征值法包含了更多信息。

[0175] 3、新型阻抗分析法实现了非电气元件与电气元件的统一建模。火电机组的轴系和调速器等属于非电气元件，而发电机、励磁机属于电气元件。新型阻抗分析法将火电机组机械系统、控制系统和电气系统的动态特性进行统一建模，与电气系统存在耦合的动态特性，最终以电气量阻抗/导纳的形式包含于阻抗/导纳函数矩阵中。

[0176] 4、本发明所提新的串联谐振判据，可用于dq旋转坐标系下，串联谐振的判断，基于源网子系统的视在谐振点，可以精确计算串联系统的谐振频率。

[0177] 5、基于导纳函数矩阵的伯德图，不仅可以实现串联谐振的可视化判定，而且，将子系统导纳函数矩阵直接用于串联谐振判断，避免了求串联系统总阻抗/导纳所需的复杂矩阵求逆运算。而复杂矩阵求逆运算，可能导致无解。

[0178] 专业术语解释：

[0179] 次同步振荡：

[0180] IEEE次同步工作组曾经三次给出了次同步问题的有关术语、定义和基本方法，下面介绍次同步工作组1985年发布的“Terms,definitions  and symbols for subsynchronous oscillations”中提及的次同步振荡的主要术语及定义，并对其中部分定义进行了进一步说明。次同步振荡是在电力系统运行平衡点受到扰动后产生的一种异常电磁及机械振荡现象，此时电网与汽轮发电机组之间，在其联合系统低于工频的一个或者多个自然振荡频率，进行显著的能量交换。

[0181] 特征值法：

[0182] 特征根分析法又称模态分析法，通过建立系统的小扰动线性化模型，求解特征根、特征向量等来分析系统的动态响应的方法。

[0183] 对于一个动态系统，建立其采用微分状态方程表示的动态模型，通过其特征矩阵可以计算得到其特征根，从而分析其动态特性、计算动态响应轨迹，这就是特征根分析，其中涉及下面的主要分析方法和基本概念。

[0184] 对于一个动态系统，在其运行点线性化可以得到式(A-1)所示的线性化模型，然后可以通过特征根来分析系统在小扰动下的动态响应特性。

[0185]

[0186] 式中，X为增量形式的系统状态变量，A为系统的状态矩阵，系统相应的特征方程为[0187] |λI-A|＝0   (A-2)

[0188] 满足式(A-2)的λ值称为矩阵A的特征根，当矩阵A为非奇异矩阵时，其特征根个数与矩阵维数相同。

[0189] 对于线性系统(A-1)，每个特征根对应一个动态响应分量，通常也称为一个模态，根据其所有特征根实部的正负可以判断系统的稳定性。对于特征根λi＝σi+jωi，当λi为实数时，对应于一个非振荡模态，负实数表示衰减模态，其绝对值越大，衰减越快；正实数表示发散模态，其绝对值越大，发散越快。当λi为复数时，由于矩阵A为实数矩阵，其复数特征根总以共轭复数对形式出现，每一对共轭复数特征根对应一种振荡模态；同样的，此时λi的实部σi表征了该振荡模态的衰减特性，负实部表示衰减振荡，正实部表示增幅振荡；而λi的虚部ωi则给出了该振荡模态的振荡角频率。

[0190] 对于机电振荡，对应的特征根都以共轭特征根对的形式出现，称为一个振荡模态(mode)，其对应的(右)特征向量称为振荡型态(简称振型，mode shape)。

[0191] 矩阵A的特征根λi对应的(右)特征向量为满足下式(A-3)定义的向量ui，

[0192] Aui＝λiui   (A-3)

[0193] 由全部特征根的特征向量组合构成了特征向量矩阵U＝(u1,u2,…un)，显然其满足式(A-4)。

[0194] U-1AU＝Λ   (A-4)

[0195] 其中Λ＝diag{λ1,λ2,…λn}为特征根组成的对角阵。

[0196] 作变换

[0197] X＝UZ   (A-5)

[0198] 代入原状态方程可得

[0199]

[0200] 此式实现了矩阵A的对角化，并且实现了系统模态的解耦，其中第i个方程为

[0201]

[0202] 显然Zi中只含有一个独立的振荡模态λi。

[0203] 联立(A-5)和式(A-6)可得

[0204] X＝UZ＝Σuizi，   (A-8)

[0205] 可知特征根λi对应模态的振型，即(右)特征向量ui反映了各状态量中含有该模态分量的相对幅值和相位。

[0206] 频率扫描法：

[0207] 阻抗扫描分析法是一种用于串联补偿系统次同步谐振分析工具，可以筛选出具有潜在谐振风险的系统运行条件。使用该方法时，需将研究的系统用正序网络来模拟；除了待研究发电机之外，网络中其他发电机用次暂态电抗等值，而待研究发电机采用其异步发电机等效模型等值。针对各个频率，计算从待研究发电机转子向系统侧看过去的SSO等值阻抗，并根据其实部(SSO等值电阻)和虚部(SSO等值电抗)随频率变化的曲线，对次同步谐振风险进行初步估计。

[0208] 次同步等值阻抗频率特性曲线扫描模型如图9所示，在加入单位电流源后，其两端电压的实部就是等值电阻，虚部就是等值电抗，当单位电流源频率从0Hz变化到50Hz时，就得到了等值阻抗频率特性曲线。

[0209] 派克变换

[0210] 如图10所示，同步发电机定子上有静止的a、b、c三相绕组，三相绕组的对称轴在空间互差120o。设转子逆时针旋转为正方向，则其依次与静止的a、b、c三轴相遇。定子三相绕组磁链的正方向分别与a、b、c三轴正方向一致。定子三相电流的正方向如图11所示。正值相电流产生相应相的负值磁动势和磁链。这种正方向设定与正常运行时定子电流的去磁作用(电枢反应)相对应，有利于分析计算。定子三相绕组端电压的极性与相电流正方向按发电机惯例来定义，即正值电流ia从端电压ua的正极性端流出发电机，b相和c相类同。转子励磁绕组中心轴为d轴，设q轴沿转子旋转方向领先于d轴90°，d轴和q轴与转子同步旋转，d轴与a相轴线之间的夹角设为θ。在d轴上有励磁绕组f和一个阻尼绕组D，在q轴上有两个阻尼绕组Q和g。也有些文献设q轴落后于d轴90°，这样，方程式中许多量的符号都随之改变。

[0211] 在静止的abc坐标下观察同步电机的电磁现象时，由于一些自感和互感与转子的位置有关，发电机的电压方程和磁链方程成为一组变系数的微分方程，使分析和计算十分困难。为了方便分析，一般采用转换变量的方法，或者称为坐标变换的方法来进行分析。目前已有多种坐标变换，这里介绍最常用的一种，也就是由美国工程师派克(Park)于1929年提出的派克变换。

[0212] 派克变换相当于将定子的a、b、c三相绕组用结构与它们相同的另外三个等值绕组——d绕组、q绕组和0绕组来代替，d绕组和q绕组的轴线方向分别与转子的直轴和交轴相同，且与转子同步旋转，如图11所示，0轴为独立轴线，图中未画出。0轴绕组在电磁方面是独立的，与其它绕组无电磁耦合关系。对于平衡的三相电流，即 0轴绕组可忽略。经派克变换的同步电机示意图如图11所示。派克变换可以看作是一种将定子量折算到转子侧的手段。

[0213]

[0214]

[0215]

[0216] Park变换矩阵P如式(A-10)所示，定子电压、电流、磁链在abc坐标系中的分量可以通过Park变换矩阵P运算成它们在dq0坐标系中的分量，如式(A-10)所示。式(A-10)中，F可以表示定子电压、电流或磁链。式(A-10)的逆变换如式(A-11)所示。