本发明提供一种3RPS并联机器人几何参数辨识方法，属于工业机器人的标定技术领域。构建与静平台相固联的工作参考系B‑xyz及与动平台相固联的局部参考系P‑x'y'z'，构建以双轴倾角仪为测量仪器的标定坐标系O‑uvw，规划测量位形，构建参数辨识方程组相容的约束方程组；以MATLAB为工具解算待辨识参数值。本发明不仅避免了对动平台位姿信息全集的测量，且充分发挥了双轴倾角仪对动平台绕x、y轴转角的测量精度与其安装位置精度无关这一特点，降低了参数辨识精度对测量仪器安装位置的精度的依赖性。
一种3RPS并联机器人几何参数辨识方法
技术领域
[0001] 本发明属于工业机器人的标定技术领域，具体涉及一种3RPS并联机器人的几何参数辨识方法。
背景技术
[0002] 与传统串联机器人相比，由于并联机器人具有刚度重量比大，响应速度快、无末端误差累积等优点，所以在当今科学研究、工业生产等领域中，后者得到了广泛的研究与应用。继六自由度并联机器人的研究热潮之后，由于少自由度并联机器人相较于六自由度并联机器人具有结构简单，及控制算法简便等特点，因此日渐成为国际机构混联机床和机器人领域的研究热点，其中以三自由度的3RPS并联机构作为少自由度并联机构的典型代表。
[0003] 运动精度作为衡量所有机器人工作性能的一项重要指标，在众多影响3RPS并联机器人末端动平台的位姿精度的误差源中，由零部件制造、装配引起的几何误差源是影响其运动精度的主要原因。运动学标定是提高并联机器人末端运动精度最为有效、经济的方式，而3RPS并联机器人运动学标定的核心内容在于如何准确、高效地实现对其实际几何参数的辨识过程。
[0004] 几何参数辨识的基本原理在于：依据辨识模型中理想参数与实际检测参数之间的残差构建误差泛函，即参数辨识方程组，进而由辨识方程组解算出实际几何参数值。根据检测方法的不同可将标定方法分为自标定及外标定方法两大类。
[0005] 自标定方法：通过在3RPS并联机器人被动关节铰链处安装冗余传感器以获取被动关节运动参数，依据该检测参数与理想参数之间的残差建立辨识方程组，进而以该方程组的极小范数解作为参数辨识结果。该方法避免了对动平台位姿信息的直接检测，具有易于实现运动误差的在线补偿等优点。然而冗余传感器的安装位置通常需要在设计阶段予以考虑，故无法适用于已生产成型的设备。
[0006] 外标定方法：通过外部检测仪器直接或间接地测量并联机器人动平台全部或部分位姿参数，进而依据实际测量参数和理想正解间的残差构造参数辨识方程组，进而以该方程组的极小范数解作为几何参数的辨识结果。该类标定方法具有原理简单、标定效果好等优点，然而要想直接获取高精度的空间刚体的位姿信息是非常困难的。
[0007] 以激光追踪仪直接测量3RPS并联机器人末端位姿为代表的外标定方法，尽管可以直接、有效地获取动平台的位姿信息，但是高昂的设备费用及复杂的检测过程使得大多数中、小型企业望而却步。
[0008] 以双球杆仪间接测量3RPS并联机器人动平台位姿信息的外标定方法，尽管有效地避免了对动平台位姿信息的直接测量，但是由于双球杆仪自身结构的局限性，使得其可检测空间受到了较大限制，因此需要通过静磁座的多个安装位置来扩大检测范围，该过程不仅人为的增加了参数辨识过程的复杂性，而且加剧了参数辨识效果对静磁座的安装位置精度的依赖性。
[0009] 由于并联机器人在其参考坐标系中沿、绕任意坐标轴的运动，为关节空间所有伺服运动的非线性映射。该性质决定了所有几何参数的误差源均可反映到末端位姿误差中的任一分量中。因此可以认为仅检测3RPS并联机器人动平台的部分位姿误差，便可辨识出系统的全部几何参数。
[0010] 为突破自标定方法应用的局限性，及尽可能的降低辨识结果对测量仪器安装精度的依赖性，结合3RPS并联机器人结构特点，提出以双轴倾角仪为测量仪器，通过在各规划位形下检测动平台绕x、y轴的实际转角信息与理论转角信息之间的残差构建参数辨识方程组，进而实现3RPS并联机器人的参数辨识。
[0011] 图1示出了以双轴倾角仪为测量仪器对3RPS并联机器人动平台绕x、y轴实际转角进行测量的结构图：其中3RPS并联机器人主要由静平台、以电动推杆为主动关节的驱动杆、动平台三大部分组成。各驱动杆与静平台之间以转动铰链连接，驱动杆与动平台之间以球铰连接；双轴倾角仪与定位板之间固定连接，通过调整定位板在动平台上的安装位置，使双轴倾角仪可以获得动平台绕x、y轴的实际转角信息。
发明内容
[0012] 本发明提供一种3RPS并联机器人几何参数辨识方法，是一种以双轴倾角仪为测量仪器，基于3RPS并联机器人动平台位姿误差子集信息的几何参数辨识方法，目的是有效降低了参数辨识结果对检测仪器位置精度的依赖性、避免了对3RPS并联机器人末端动平台位姿误差信息全集的测量。
[0013] 本发明采取的技术方案是，3RPS并联机器人已完成初始位形零点的标定工作，且在3RPS并联机器人位于初始位形时静平台与动平台具有相同的姿态，包括下列步骤：
[0014] 步骤(1)：构建与静平台相固联的工作参考系B-xyz及与动平台相固联的局部参考系P-x'y'z'，简化待辨识几何误差源；
[0015] 步骤(2)：调整双轴倾角仪在双轴倾角仪安装定位板上的安装位置，以下均以定位板代称双轴倾角仪安装定位板，以及定位板在动平台上的安装位置，构建以双轴倾角仪为测量仪器的标定坐标系O-uvw，使得3RPS并联机器人位于初始位形时，工作参考系B-xyz与标定坐标系O-uvw具有相同的姿态信息；
[0016] 步骤(3)：规划测量位形，并在各规划位形下，以双轴倾角仪检测动平台绕x、y轴的实际转角信息，进而依据动平台的位姿误差子集信息，即动平台绕x、y轴的误差构建误差泛函，获得规划测量位形下的参数辨识方程组；
[0017] 步骤(4)：结合双轴倾角仪测量特点，将约束方程组划分为两类，以千分表为工具检测标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间的姿态误差，构建与步骤(3)中的参数辨识方程组相容的约束方程组；
[0018] 步骤(5)：结合前述步骤(3)和步骤(4)，构建完备辨识方程组，以MATLAB为工具解算待辨识参数值。
[0019] 本发明所述的步骤(1)中包含如下内容：
[0020] 首先，构建固联于静平台的空间直角坐标系B-xyz作为3RPS并联机器人工作参考系：定义z轴沿重力反方向且通过由静平台三个转动铰链B1，B2，B3所确定的△B1B2B3的几何形心；B-xy平面垂直于z轴，且包含转铰中心点B1；原点B位于z轴与B-xy平面的交点处；x轴方向沿B指向转铰中心B1的方向；y轴方向依据右手定则予以确定；
[0021] 其次，构建固联于动平台的参考系P-x'y'z'：定义原点P位于动平台3个球铰中心P1，P2，P3所确定的△P1P2P3的几何形心P处；x'轴方向由P指向球铰中心P1；且z'轴垂直于三个球铰中心所确定的平面P1P2P3且沿背离动平台的方向；y'轴由右手定则予以确定；
[0022] 最终，简化3RPS并联机器人的几何误差源：
[0023] 3RPS并联机器人几何误差源△ε＝[△b1 △b2 △b3 △p1 △p2 △p3 △η △q]T；其中△ε包括工作参考系B-xyz下各转铰B1、B2、B3的位置误差△b1＝[△b1x △b1y △b1z]T、△b2＝[△b2x △b2y △b2z]T、△b3＝[△b3x △b3y △b3z]T；动平台参考系P-x'y'z'下各球铰P1、T T
P2、P3的位置误差△p1＝[△p1x' △p1y' △p1z'] 、△p2＝[△p2x' △p2y' △p2z'] 、△p3＝[△p3x ' △p3y ' △p3z']T；驱动杆Q1与转铰B1许动轴线间的垂直度误差△η1、驱动杆Q2与转铰B2许动轴线间的垂直度误差△η2、驱动杆Q3与转铰B3许动轴线间的垂直度误差△η3，记△η＝[△η1 △η2 △η3]T；以及与驱动杆Q1，Q2，Q3相对应的定位误差△q1、△q2、△q3，记△q＝[△q1 △T
q2 △q3] ，共计24项误差元素；通过坐标系B-xyz和P-x'y'z'的设置，则有在B-xyz坐标系下几何误差元素△b1y＝△b1z＝0；在P-x'y'z'坐标系下有几何误差元素△p1y'＝△p1z'＝△p2z'＝△p3z'＝0，因此待辨识误差元素的数目为18。
[0024] 本发明所述步骤(2)包含如下内容：
[0025] 首先，调整双轴倾角仪在定位板上的安装位置，具有如下要求：由双轴倾角仪两正交测量轴所确定的平面与定位板c面具有高精度的平行关系，其中定位板c面为定位板与动平台之间的安装面；双轴倾角仪测量轴2与定位板a面具有高精度的平行关系；且定位板面a和c面交线与测量轴2之间具有高精度平行关系；
[0026] 其次，调整定位板在动平台上的安装位置，构建标定坐标系O-uvw：在3RPS并联机器人位于初始位形时，调整定位板在动平台上的安装位置，使得定位板c面平行于由动平台的三个球铰中心P1，P2，P3所确定的平面P1P2P3，且双轴倾角仪测量轴2与PP1连线方向具有高精度平行关系；构建以双轴倾角仪为测量仪器的标定坐标系O-uvw，定义原点O与此时动平台的几何形心P重合，O-uv平面与定位板c面平行，且u轴与测量轴1平行，v轴与测量轴2平行。
[0027] 本发明所述步骤(3)包含如下内容：
[0028] 首先，依据动平台位姿误差子集信息即绕x，y轴的转角误差，构建如公式(1)所示参数辨识模型：
[0029]
[0030] 其中：△α为动平台绕x轴的转角误差，Jα为与转角误差△α对应的映射矢量；
[0031] △β为动平台绕y轴的转角误差，Jβ为与转角误差△β对应的映射矢量；
[0032] 其次，规划测量位形，以双轴倾角仪检测动平台绕x、y轴的实际转角信息，进而依据动平台的位姿误差子集信息，即动平台绕x、y轴的误差构建误差泛函，获得规划测量位形下的参数辨识方程组：
[0033] 将3RPS并联机器人工作空间沿z轴方向分别在z＝zi，i＝1,…,m处划分为m组测量位形，其中m∈N，且m≥2；于第i组测量位形中，在动平台绕y轴转角为0的初始角度下，控制动平台绕x轴转至规划转角αj处，j＝1,…,n，且n∈N，n≥2，以双轴倾角仪检测动平台的实际转角信息，进而获得动平台绕x轴的定位误差△αi,j(x)及绕y轴的转角误差△βi,j(x)；依据动平台位姿误差子集信息△αi,j(x)和△βi,j(x)，构建如公式(2)所示参数辨识方程组：
[0034] △θ(x)＝Hx·△ε……………………(2)
[0035] 其中：
[0036] △θi(x)为在第i组测量位形中，由各测量位形下动平台位姿误差子集△αi,j(x)和△βi,j(x)，j＝1,…,n，信息组成的列矢量；
[0037] △θ(x)是由m组测量位形中△θi(x)组成的列矢量；
[0038] Jα_i,j(x)为在第i组测量位形中第j测量位形下，与动平台与绕x轴的定位转角误差对应的误差映射矢量；
[0039] Jβ_i,j(x)为在第i组测量位形中第j测量位形下，与动平台与绕y轴的转角误差对应的误差映射矢量；
[0040] Hx,i为第i组测量位形中，与△θi(x)中各元素所对应的误差映射矢量组成的矩阵；
[0041] Hx是由各测量位形下Hx,i组成的矩阵；
[0042] 同样的，在z＝zi时，即在第i组测量位形中，在绕x轴转角为0的初始角度下，控制动平台绕y轴转至规划转角βk处，k＝1,2,…,l，其中有l∈N，且N≥2，
[0043] 以双轴倾角仪检测动平台的实际转角信息，进而获得动平台绕y轴的定位转角误差△βi,k(y)及绕x轴的转角误差△αi,k(y)，依据动平台位姿误差子集信息△βi,k(y)和△αi,k(y)，构建参数辨识方程，其数学描述如公式(3)所示；
[0044] △θ(y)＝Hy·△ε……………………(3)
[0045] 其中：
[0046] △θi(y)为在第i组测量位形中，由各测量位形下动平台姿态误差子集△βi,k(y)和△αi,k(y)，k＝1,2,…,l，信息组成的列矢量；
[0047] △θ(y)是由m组测量位形中△θi(y)组成的列矢量；
[0048] Jα_i,k(y)为第i组测量位形中第k测量位形下，与动平台绕x轴的转角误差对应的误差映射矢量；
[0049] Jβ_i,k(y)为第i组测量位形中第k测量位形下，与动平台绕y轴的定位转角误差对应的误差映射矢量；
[0050] Hy,i为第i组测量位形中，由与△θi(y)中各元素所对应的误差映射矢量组成的矩阵；
[0051] Hy是由各测量位形下Hy,i组成的矩阵；
[0052] m，n，l之间满足：m×(n+l)＞＞rank(ε)，其中rank(ε)为待辨识参数的独立个数。
[0053] 本发明所述步骤(4)中所述约束方程组的构建，包含如下内容：
[0054] 首先，依据标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz间的位置关系建立第一类约束方程，由于双轴倾角仪安装的位置精度对于动平台绕x，y轴的转角信息的测量精度并无影响，因此可以认为标定坐标系O-uvw与工作坐标系B-xyz之间无位置误差，则第一类约束方程组如公式(4)所示：
[0055] 0＝Jr0·△ε……………………(4)
[0056] 其中：
[0057] Jr0为在初始位形下，并联机器人末端运动平台的位置误差映射矩阵；
[0058] 其次，依据标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz间的姿态关系构建第二类约束方程，以千分表为检测工具，通过千分表表头在定位板两个表面沿某轴向移动过程中的变化量，得到标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间的姿态误差为△α0，△β0，△γ0，由此构建如公式(5)所示的第二组约束方程：
[0059] △θ0＝Jθ0·△ε……………………(5)
[0060] 其中：
[0061] △θ0＝[△α0 △β0 △γ0]T；
[0062] Jθ0为初始位形下，3RPS并联机器人动平台姿态误差映射矩阵。
[0063] 本发明所述千分表为检测工具，计算得到标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间的姿态误差为△α0，△β0，△γ0，包含如下内容：
[0064] 以千分表表头接触定位板a面，沿y方向运动距离△sa,y，千分表表头在沿x方向的增量为△xa,y；以千分表表头接触定位板b面，沿x方向运动距离△sb,x，千分表表头在沿z方向的增量为△zb,x；以千分表表头接触定位板b面，沿y方向运动距离△sb,y，千分表表头在沿z方向的增量为△zb,y；
[0065] 令标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间的姿态误差为△α0，△β0，△γ0，依据刚体位姿变换关系，可以得出公式(6)
[0066]
[0067] 由此综合公式(4)、(5)、(6)，得到如公式(7)所示的约束方程组，由于约束方程组是基于标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间实际刚体位移信息而构建的，因此该约束方程与辨识方程组具有相容性；
[0068] △x0＝H0·△ε……………………(7)
[0069] 其中：
[0070] 本发明所述步骤(5)包含如下内容：
[0071] 结合前述步骤(3)和(4)，构建包含辨识方程方程组和约束方程组的完备辨识方程组，其数学描述如公式(8)所示：
[0072] △x＝H·△ε……………………(8)
[0073] 其中：
[0074] 解算该完备参数辨识方程组，可获得如下公式(9)待辨识参数的极小范数解：
[0075] △ε＝CT·(BT·H·CT)-1·BT……………………(9)
[0076] 其中：H＝B·C即B、C为H的一个满秩分解。
[0077] 本发明要实现以双轴倾角仪对动平台绕x、y轴的实际转角参数的高精度测量，只需要保证双轴倾角仪的两个测量轴与x、y具有高精度的平行关系即可，而对于双轴倾角仪的位置精度并没有依赖性，因此降低了辨识结果对测量仪器安装位置精度的依赖性。
[0078] 本发明有效避免了对3RPS并联机器人运动平台位姿信息全集的检测，并克服了辨识效果对检测仪器安装的位置精度的依赖性，通过仿真分析验证，该方法可以有效地获取3RPS并联机器人待辨识几何参数，且具有较高的精度及鲁棒性和明显的有效性。
附图说明
[0079] 图1是以双轴倾角仪为测量仪器对3RPS并联机器人几何参数进行辨识的结构图；
[0080] 图2是3RPS并联机器人的结构示意图及相关参考系；
[0081] 图3是以双轴倾角仪于安装定位板的安装结构图；
[0082] 图4是以双轴倾角仪为测量仪器的标定坐标系示意图；
[0083] 图5是约束方程组的有无与相容性对于参数辩识结果的影响图。
具体实施方式
[0084] 3RPS并联机器人已完成初始位形零点的标定工作，且在3RPS并联机器人位于初始位形时静平台与动平台具有相同的姿态，包括下列步骤：
[0085] 步骤(1)：构建与静平台相固联的工作参考系B-xyz及与动平台相固联的局部参考系P-x'y'z'，简化待辨识几何误差源；
[0086] 步骤(2)：调整双轴倾角仪在双轴倾角仪安装定位板上的安装位置，以下均以定位板代称双轴倾角仪安装定位板，以及定位板在动平台上的安装位置，构建以双轴倾角仪为测量仪器的标定坐标系O-uvw，使得3RPS并联机器人位于初始位形时，工作参考系B-xyz与标定坐标系O-uvw具有相同的姿态信息；
[0087] 步骤(3)：规划测量位形，并在各规划位形下，以双轴倾角仪检测动平台绕x、y轴的实际转角信息，进而依据动平台的位姿误差子集信息，即动平台绕x、y轴的误差构建误差泛函，获得规划测量位形下的参数辨识方程组；
[0088] 步骤(4)：结合双轴倾角仪测量特点，将约束方程组划分为两类，以千分表为工具检测标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间的姿态误差，构建与步骤(3)中的参数辨识方程组相容的约束方程组；
[0089] 步骤(5)：结合前述步骤(3)和步骤(4)，构建完备辨识方程组，以MATLAB为工具解算待辨识参数值。
[0090] 本发明所述的步骤(1)中包含如下内容：
[0091] 首先，构建固联于静平台的空间直角坐标系B-xyz作为3RPS并联机器人工作参考系：定义z轴沿重力反方向且通过由静平台三个转动铰链B1，B2，B3所确定的△B1B2B3的几何形心；B-xy平面垂直于z轴，且包含转铰中心点B1；原点B位于z轴与B-xy平面的交点处；x轴方向沿B指向转铰中心B1的方向；y轴方向依据右手定则予以确定；
[0092] 其次，构建固联于动平台的参考系P-x'y'z'：定义原点P位于动平台3个球铰中心P1，P2，P3所确定的△P1P2P3的几何形心P处；x'轴方向由P指向球铰中心P1；且z'轴垂直于三个球铰中心所确定的平面P1P2P3且沿背离动平台的方向；y'轴由右手定则予以确定；
[0093] 最终，简化3RPS并联机器人的几何误差源：
[0094] 3RPS并联机器人几何误差源△ε＝[△b1 △b2 △b3 △p1 △p2 △p3 △η △q]T；其中△ε包括工作参考系B-xyz下各转铰B1、B2、B3的位置误差△b1＝[△b1x △b1y △b1z]T、△b2＝[△b2x △b2y △b2z]T、△b3＝[△b3x △b3y △b3z]T；动平台参考系P-x'y'z'下各球铰P1、T T
P2、P3的位置误差△p1＝[△p1x' △p1y' △p1z'] 、△p2＝[△p2x' △p2y' △p2z'] 、△p3＝[△p3x ' △p3y ' △p3z']T；驱动杆Q1与转铰B1许动轴线间的垂直度误差△η1、驱动杆Q2与转铰B2许动轴线间的垂直度误差△η2、驱动杆Q3与转铰B3许动轴线间的垂直度误差△η3，记△η＝[△η1 △η2 △η3]T；以及与驱动杆Q1，Q2，Q3相对应的定位误差△q1、△q2、△q3，记△q＝[△q1 △T
q2 △q3] ，共计24项误差元素；通过坐标系B-xyz和P-x'y'z'的设置，则有在B-xyz坐标系下几何误差元素△b1y＝△b1z＝0；在P-x'y'z'坐标系下有几何误差元素△p1y'＝△p1z'＝△p2z'＝△p3z'＝0，因此待辨识误差元素的数目为18。
[0095] 本发明所述步骤(2)包含如下内容：
[0096] 首先，调整双轴倾角仪在定位板上的安装位置，具有如下要求：由双轴倾角仪两正交测量轴所确定的平面与定位板c面具有高精度的平行关系，其中定位板c面为定位板与动平台之间的安装面；双轴倾角仪测量轴2与定位板a面具有高精度的平行关系；且定位板面a和c面交线与测量轴2之间具有高精度平行关系；
[0097] 其次，调整定位板在动平台上的安装位置，构建标定坐标系O-uvw：在3RPS并联机器人位于初始位形时，调整定位板在动平台上的安装位置，使得定位板c面平行于由动平台的三个球铰中心P1，P2，P3所确定的平面P1P2P3，且双轴倾角仪测量轴2与PP1连线方向具有高精度平行关系；构建以双轴倾角仪为测量仪器的标定坐标系O-uvw，定义原点O与此时动平台的几何形心P重合，O-uv平面与定位板c面平行，且u轴与测量轴1平行，v轴与测量轴2平行。
[0098] 本发明所述步骤(3)包含如下内容：
[0099] 首先，依据动平台位姿误差子集信息即绕x，y轴的转角误差，构建如公式(1)所示参数辨识模型：
[0100]
[0101] 其中：△α为动平台绕x轴的转角误差，Jα为与转角误差△α对应的映射矢量；
[0102] △β为动平台绕y轴的转角误差，Jβ为与转角误差△β对应的映射矢量；
[0103] 其次，规划测量位形，以双轴倾角仪检测动平台绕x、y轴的实际转角信息，进而依据动平台的位姿误差子集信息，即动平台绕x、y轴的误差构建误差泛函，获得规划测量位形下的参数辨识方程组：
[0104] 将3RPS并联机器人工作空间沿z轴方向分别在z＝zi，i＝1,…,m处划分为m组测量位形，其中m∈N，且m≥2；于第i组测量位形中，在动平台绕y轴转角为0的初始角度下，控制动平台绕x轴转至规划转角αj处，j＝1,…,n，且n∈N，n≥2，以双轴倾角仪检测动平台的实际转角信息，进而获得动平台绕x轴的定位误差△αi,j(x)及绕y轴的转角误差△βi,j(x)；依据动平台位姿误差子集信息△αi,j(x)和△βi,j(x)，构建如公式(2)所示参数辨识方程组：
[0105] △θ(x)＝Hx·△ε……………………(2)
[0106] 其中：
[0107] △θi(x)为在第i组测量位形中，由各测量位形下动平台位姿误差子集△αi,j(x)和△βi,j(x)，j＝1,…,n，信息组成的列矢量；
[0108] △θ(x)是由m组测量位形中△θi(x)组成的列矢量；
[0109] Jα_i,j(x)为在第i组测量位形中第j测量位形下，与动平台与绕x轴的定位转角误差对应的误差映射矢量；
[0110] Jβ_i,j(x)为在第i组测量位形中第j测量位形下，与动平台与绕y轴的转角误差对应的误差映射矢量；
[0111] Hx,i为第i组测量位形中，与△θi(x)中各元素所对应的误差映射矢量组成的矩阵；
[0112] Hx是由各测量位形下Hx,i组成的矩阵；
[0113] 同样的，在z＝zi时，即在第i组测量位形中，在绕x轴转角为0的初始角度下，控制动平台绕y轴转至规划转角βk处，k＝1,2,…,l，其中有l∈N，且N≥2，
[0114] 以双轴倾角仪检测动平台的实际转角信息，进而获得动平台绕y轴的定位转角误差△βi,k(y)及绕x轴的转角误差△αi,k(y)，依据动平台位姿误差子集信息△βi,k(y)和△αi,k(y)，构建参数辨识方程，其数学描述如公式(3)所示；
[0115] △θ(y)＝Hy·△ε……………………(3)
[0116] 其中：
[0117] △θi(y)为在第i组测量位形中，由各测量位形下动平台姿态误差子集△βi,k(y)和△αi,k(y)，k＝1,2,…,l，信息组成的列矢量；
[0118] △θ(y)是由m组测量位形中△θi(y)组成的列矢量；
[0119] Jα_i,k(y)为第i组测量位形中第k测量位形下，与动平台绕x轴的转角误差对应的误差映射矢量；
[0120] Jβ_i,k(y)为第i组测量位形中第k测量位形下，与动平台绕y轴的定位转角误差对应的误差映射矢量；
[0121] Hy,i为第i组测量位形中，由与△θi(y)中各元素所对应的误差映射矢量组成的矩阵；
[0122] Hy是由各测量位形下Hy,i组成的矩阵；
[0123] m，n，l之间满足：m×(n+l)＞＞rank(ε)，其中rank(ε)为待辨识参数的独立个数。
[0124] 本发明所述步骤(4)中所述约束方程组的构建，包含如下内容：
[0125] 首先，依据标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz间的位置关系建立第一类约束方程，由于双轴倾角仪安装的位置精度对于动平台绕x，y轴的转角信息的测量精度并无影响，因此可以认为标定坐标系O-uvw与工作坐标系B-xyz之间无位置误差，则第一类约束方程组如公式(4)所示：
[0126] 0＝Jr0·△ε……………………(4)
[0127] 其中：
[0128] Jr0为在初始位形下，并联机器人末端运动平台的位置误差映射矩阵；
[0129] 其次，依据标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz间的姿态关系构建第二类约束方程，以千分表为检测工具，通过千分表表头在定位板两个表面沿某轴向移动过程中的变化量，得到标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间的姿态误差为△α0，△β0，△γ0，由此构建如公式(5)所示的第二组约束方程：
[0130] △θ0＝Jθ0·△ε……………………(5)
[0131] 其中：
[0132] △θ0＝[△α0 △β0 △γ0]T；
[0133] Jθ0为初始位形下，3RPS并联机器人动平台姿态误差映射矩阵。
[0134] 本发明所述千分表为检测工具，计算得到标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间的姿态误差为△α0，△β0，△γ0，包含如下内容：
[0135] 以千分表表头接触定位板a面，沿y方向运动距离△sa,y，千分表表头在沿x方向的增量为△xa,y；以千分表表头接触定位板b面，沿x方向运动距离△sb,x，千分表表头在沿z方向的增量为△zb,x；以千分表表头接触定位板b面，沿y方向运动距离△sb,y，千分表表头在沿z方向的增量为△zb,y；
[0136] 令标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间的姿态误差为△α0，△β0，△γ0，依据刚体位姿变换关系，可以得出公式(6)
[0137]
[0138] 由此综合公式(4)、(5)、(6)，得到如公式(7)所示的约束方程组，由于约束方程组是基于标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间实际刚体位移信息而构建的，因此该约束方程与辨识方程组具有相容性；
[0139] △x0＝H0·△ε……………………(7)
[0140] 其中：
[0141] 本发明所述步骤(5)包含如下内容：
[0142] 结合前述步骤(3)和(4)，构建包含辨识方程方程组和约束方程组的完备辨识方程组，其数学描述如公式(8)所示：
[0143] △x＝H·△ε……………………(8)
[0144] 其中：
[0145] 解算该完备参数辨识方程组，可获得如下公式(9)待辨识参数的极小范数解：
[0146] △ε＝CT·(BT·H·CT)-1·BT……………………(9)
[0147] 其中：H＝B·C即B、C为H的一个满秩分解。
[0148] 以下结合附图对本发明做进一步详细描述；
[0149] 参见附图2‐4，一种基于末端动平台位姿误差子集信息的3RPS并联机器人几何参数辨识方法，该方法通过在各规划位形下，以双轴倾角仪检测动平台绕x、y轴的实际转角信息，进而构建参数辨识方程组；结合双轴倾角仪测量特点，构建与参数辨识方程组相容的约束方程；最终获得具有相容性的完备辨识方程组，以MATLAB为工具解算得到待辨识参数的极小范数解，该辨识方法具体有以下步骤；
[0150] 步骤(1)：如图2所示，构建固联于静平台的空间直角坐标系B-xyz作为3RPS并联机器人工作参考系：定义z轴沿重力反方向且通过由静三个转动铰链中心B1，B2，B3所确定的三角形B1B2B3的几何形心；B-xy平面垂直于z轴且包含转铰B1；原点B位于z轴与B-xy平面的交点处；x轴方向由B指向转铰中心B1；y轴方向依据右手定则予以确定。
[0151] 构建固联于动平台的参考坐标系P-x'y'z'：定义原点P位于动平台3个球铰中心P1，P2，P3所确定的△P1P2P3的几何形心处；x'轴方向由P指向球铰中心P1；z'轴垂直于三个球铰中心所确定的平面P1P2P3且沿背离动平台的方向；y'轴由右手定则予以确定。
[0152] 步骤(2)：要实现以双轴倾角仪对动平台绕x、y轴的实际转角参数的高精度测量，只需要保证双轴倾角仪的两个测量轴1、2与x、y具有高精度的平行关系即可，该测量精度对于双轴倾角仪的位置精度并没有依赖性。
[0153] 如图3所示，双轴倾角仪与双轴倾角仪安装定位板固定连接，其中要求双轴倾角仪的测量轴2与定位板a面具有高精度的平行关系，且由两正交测量轴所确定的平面与定位板c面具有高精度的平行关系，其中定位板c面为定位板与动平台之间的安装面，且定位板面a和c面交线与测量轴2之间具有高精度平行关系。
[0154] 如图4所示，在3RPS并联机器人位于初始位形时，构建以双轴倾角仪为测量仪器的标定坐标系O-uvw：定义原点O与此时动平台的几何形心P重合，O-uv平面与定位板c面平行，且u轴与测量轴1平行，v轴与测量轴2平行；调整定位板在动平台上的安装位置，使得定位板c面平行于由动平台的三个球铰中心所确定的平面P1P2P3，且测量轴2与OP1连线方向具有高精度平行关系。
[0155] 综合步骤(1)、(2)，在3RPS并联机器人位于初始位形时，工作参考系B-xyz、动平台参考系P-x'y'z'、标定坐标系O-uvw具有相同的姿态关系。因此有理由认为双轴倾角仪可获得动平台绕x，y轴转角信息，且具有较高精度。其中工作参考系B-xyz、标定坐标系O-uvw为空间固定坐标系，动平台参考系P-x'y'z'为活动参考系。
[0156] 步骤(3)：以3RPS并联机器人末端动平台误差子集(绕x，y轴的转角误差)构建参数辨识模型，其数学描述形式如下公式(1)所示：
[0157]
[0158] 其中：△α为3RPS并联机器人末端运动平台绕x轴的转角误差；
[0159] Jα为转角误差△α的映射矢量；
[0160] △β为3RPS并联机器人末端运动平台绕y轴的转角误差；
[0161] Jβ为转角误差△β映射矢量，△ε为3RPS并联机器人几何误差源。
[0162] 规划测量位形，将3RPS并联机器人工作空间沿z轴方向分别于z＝zi，i＝1,…,m处划分为m组测量位形，其中m∈N，且m≥2。于第i组测量位形中，在动平台绕y轴转角为0的初始角度下，控制动平台绕x轴转动规划转角αj，j＝1,…,n，且n∈N，n≥2，以双轴倾角仪检测动平台的实际转角信息，进而获得动平台绕x轴的定位误差△αi,j(x)及绕y轴的转角误差△βi,j(x)；依据动平台位姿误差子集信息△αi,j(x)和△βi,j(x)，构建参数辨识方程，其数学描述如公式(2)所示；
[0163] △θ(x)＝Hx·△ε……………………(2)
[0164] 其中：
[0165]
[0166] △θi(x)为在第i组测量位形中，由各测量位形下动平台姿态误差子集△αi,j(x)和△βi,j(x)，j＝1,…,n，信息组成的列矢量；
[0167] △θ(x)是由m组测量位形中△θi(x)组成的列矢量；
[0168] Jα_i,j(x)为在第i组测量位形中第j测量位形下，与动平台与绕x轴的定位转角误差对应的误差映射矢量；
[0169] Jβ_i,j(x)为在第i组测量位形中第j测量位形下，与动平台与绕y轴的转角误差对应的误差映射矢量；
[0170] Hx,i为第i组测量位形中，与△θi(x)中各元素所对应的误差映射矢量组成的矩阵；
[0171] Hx是由各测量位形下Hx,i组成的矩阵；
[0172] 同样的，在z＝zi时，即在第i组测量位形中，在绕x轴转角为0的初始角度下，控制动平台绕y轴转动规划转角βk，k＝1,2,…,l，其中有l∈N，且l≥2，
[0173] 以双轴倾角仪检测动平台的实际转角信息，进而获得动平台绕y轴的转角定位误差△βi,k(y)及绕x轴的转角误差△αi,k(y)。依据动平台位姿误差子集信息△βi,k(y)和△αi,k(y)，构建参数辨识方程，其数学描述如公式(3)所示；
[0174] △θ(y)＝Hy·△ε……………………(3)
[0175] 其中：
[0176] 其中：
[0177] △θi(y)为在第i组测量位形中，由各测量位形下动平台姿态误差子集△βi,k(y)和△αi,k(y)，k＝1,2,…,l，信息组成的列矢量；
[0178] △θ(y)是由m组测量位形中△θi(y)组成的列矢量；
[0179] Jα_i,k(y)为第i组测量位形中第k测量位形下，与动平台绕x轴的转角误差对应的误差映射矢量；
[0180] Jβ_i,k(y)为第i组测量位形中第k测量位形下，与动平台绕y轴的定位转角误差对应的误差映射矢量；
[0181] Hy,i为第i组测量位形中，由与△θi(y)中各元素所对应的误差映射矢量组成的矩阵；
[0182] Hy是由各测量位形下Hy,i组成的矩阵；
[0183] m，n，l之间满足：m×(n+l)＞＞rank(ε)，其中rank(ε)为待辨识参数的独立个数。
[0184] 步骤(4)：由于在辨识方程组中仅描述了动平台绕x，y轴的转角信息，因此缺乏描述标定坐标系O-uvw与工作坐标系B-xyz之间的刚体位移信息，在此构建约束方程以描述该刚体位移信息。值得指出的是，约束方程组与辨识方程组之间的相容性对辨识结果的精度具有较大影响，因此在本步骤中结合双轴倾角仪测量特点，构建与辨识方程组相容的约束方程组：
[0185] 由于双轴倾角仪安装的位置精度对于动平台绕x，y轴的转角信息的测量精度并无影响，因此可以认为标定坐标系O-uvw与工作坐标系B-xyz之间无位置误差，则第一类约束方程组描述如公式(4)所示
[0186] 0＝Jr0·△ε……………………(4)
[0187] 其中：
[0188] Jr0为在初始位形下，并联机器人末端运动平台的位置误差映射矩阵；
[0189] 由于双轴倾角仪安装的姿态精度对于动平台绕x，y轴的转角信息的测量精度具有绝对的影响，因此需要确切的测量O-uvw与B-xyz之间的姿态关系；
[0190] 令标定坐标系O-uvw与工作参考系B-xyz之间的姿态误差为△α0，△β0，△γ0，由此构建第二组约束方程(6)
[0191] △θ0＝Jθ0·△ε……………………(5)
[0192] 其中：
[0193] △θ0＝[△θ(x) △θ(y) △θ(z)]T；
[0194] Jθ0为初始位形下，3RPS并联机器人动平台姿态误差映射矩阵。
[0195] 为测量O-uvw与B-xyz之间的姿态误差，以千分表表头接触定位板a面，沿y方向运动距离△sa,y，千分表表头在沿x方向的增量为△xa,y；以千分表表头接触定位板b面，沿x方向运动距离△sb,x，千分表表头在沿z方向的增量为△zb,x；以千分表表头接触定位板b面，沿y方向运动距离△sb,y，千分表表头在沿z方向的增量为△zb,y；依据刚体位姿变换关系，可以得出(6)
[0196]
[0197] 由此综合公式(4)、(5)和(6)，得到如公式(7)所示的完整约束方程组
[0198] △x0＝H0·△ε……………………(7)
[0199] 其中：
[0200] 步骤(5)：结合前述步骤(四)和(五)，构建如公式(8)所示的完备辨识方程组以该约束方程及规划测量位形下的辨识方程构成相容的标定方程组，其数学描述形如：
[0201] △x＝H·△ε……………………(8)
[0202] 其中：
[0203] 解算该完备参数辨识方程组，可获得如下公式(9)待辨识参数的极小范数解：
[0204] △ε＝CT·(BT·H·CT)-1·BT……………………(9)
[0205] 其中：H＝B·C即B、C为H的一个满秩分解。
[0206] 为验证该参数辨识方法的有效性及鲁棒性，结合实验室五轴混联机床，该机床3RPS并联机构部分即为典型的3RPS并联机器人，对该3RPS并联机构进行仿真分析，其工作空间及主要几何参数如下表1所示。
[0207] 表1：五轴混联机床3RPS并联机构部分工作空间及主要几何参数
[0208]
[0209] 由于3RPS并联机器人通常在工作空间边缘部位精度表现较差，因此测量位形的选择具有非均匀的特点，在工作空间边缘部位选择较多的测量位形。在此，将3RPS并联机器人工作空间沿z轴方向分别于z1＝560，z2＝620，z3＝680处划分为3组测量位形。分别在第i组测量位形中，在绕y轴转角为0的初始角度下，控制3RPS并联机器人动平台绕x轴逐次转至规划转角αj处，j＝1,…,n，具体转角规划如下表2所示；依据步骤(3)中公式(2)构建参数辨识方程组△θ(x)＝Hx·△ε。
[0210] 表2：第i组测量位形中，动平台绕x轴转角αj规划
[0211]
[0212] 同样的，在第i组测量位形中，在绕x轴转角为0的初始角度下，控制3RPS并联机器人动平台绕y轴逐次转动规划转角βk，k＝1,…,l，具体转角规划如下表3所示；依据步骤(3)中公式(3)构建参数辨识方程组△θ(y)＝Hy·△ε
[0213] 表3：第i组测量位形中，动平台绕y轴转角βk规划
[0214]
[0215] 依据在各测量位形下构建的参数辨识方程组，结合约束方程组△x0＝H0·△ε，得到完备约束方程组△x＝H·△ε。为逼近真实环境下双轴倾角仪对动平台绕x，y轴的转角的T测量过程，在仿真过程中在△x＝[△θ(x) △θ(y) △x0] 中加入标准差大小为各误差绝对值的5％，均值为0的正态分布的随机噪声，并以10次均值作为的△x，作为测量环境对检测结果的影响。最终，误差源△ε中待辨识误差元素的设定值与辨识结果如表4所示；
[0216] 表4：3RPS并联机器人几何参数仿真辨识结果
[0217]
[0218] 为更直观的体现该辨识方法中约束方程组与规划位形下参数辨识方程组的相容性的重要性，分别以完备辨识方程组中约束方程组的有无及类型，进行参数辨识效果的对比，以辨识结果与设定值之间残差与设定值大小的比值作为辨识效果的衡量标准，图5中示出了不包含约束方程组、采用传统非相容性的约束方程组(认为标定坐标系与工作参考系之间无位姿误差而建立的约束方程组)、采用本发明所述具有相容性的约束方程组的对比辨识效果。结果显示采用本发明中具有相容性的约束方程组进行参数辨识，各误差元素的辨识结果与设定值之间的最大偏差不超过10％，且相较于不采用约束方程组和采用传统非相容性的约束方程组，具有更高的辨识精度。
[0219] 本发明有效避免了对3RPS并联机器人运动平台位姿信息全集的检测，并克服了辨识效果对检测仪器安装的位置精度的依赖性，且通过构建与辨识方程组相容的约束方程组提高了辨识结果的精度，且该方法具有较高的精度、鲁棒性及有效性。
