本发明公开了一种基于多自由度控制量设计的输出跟踪鲁棒预测控制方法，针对一类光滑非线性系统，采用RBF‑ARX建模方法，辨识出包含系统有界不确定干扰的系统数学模型，充分利用该模型的结构特点，构造出能够包裹系统非线性动态的多个可变线性多面体模型。考虑到无穷时域目标函数中单自由度控制量设计中系统未来控制输入增量均由状态反馈控制率给出可能造成的保守性，本发明提出了一种基于多自由度控制量设计的基于RBF‑ARX模型的输出跟踪鲁棒预测控制方法。与现有技术相比，本发明方法考虑了系统的未知有界干扰，控制器设计中无需系统稳态平衡点信息且有效增加了优化控制增量的自由度，具有更高的鲁棒性和实用价值。
1.一种基于多自由度控制量设计的输出跟踪鲁棒预测控制方法，其特征在于，应用于CSTR系统，即连续搅拌反应器系统，包括以下步骤：
1)对CSTR系统进行离线辨识，建立包含CSTR系统有界不确定扰动的RBF-ARX模型：其中：y(t)是t时刻CSTR系统的输出；u(t)是t时刻CSTR系统的输入；ζ(t+1)表示CSTR系统有界不确定扰动，且|ζ(t+1)|≤ρ，ρ＞0为已知常数；ny和nu分别为模型的输出和输入阶次；w(t)为CSTR系统t时刻的状态变量；h为RBF神经网络中间层的结点个数；d＝dim{w(t)}为CSTR系统状态变量w(t)的维数；φ0,t，{ak+1,t|k＝0,...,kn-1}和{bk+1,t|k＝0,...,kn-1}为依存于状态变量w(t)的高斯基RBF神经网络自回归系数；
神经网络的中心向量， 为RBF神经网络中心向量的元素值；
为RBF神经网络的缩放因子； 为向量的2范数；上式中RBF-ARX模型的阶次包括：ny，nu，h和d；模型的线性参数和非线性参数包括：和 RBF-ARX模型的阶次和参数均通过SNPOM优化方法离线优化计算得到；
2)利用RBF-ARX模型的结构特点，构造包裹对象非线性动态、且考虑CSTR系统有界不确定扰动的多个可变线性多面体模型；
其中： 为t+i时刻的CSTR系统输出增量；y(t+i)为t+i时刻的CSTR系统输出量；yr为CSTR系统的期望输出； 为t+j时刻的CSTR系统输入增量；u(t+j)为t+j时刻的CSTR系统输入量；u(t+j-1)为t+j-1时刻的CSTR系统输入量；由上式得到t时刻模型一步向前预测的输出偏差 如下：其中：ζ(t+1|t)表示CSTR系统有界不确定扰动的一步向前预测，且|ζ(t+1|t)|≤ρ；
最后，得到用来描述CSTR系统当前非线性特性和未来非线性特性的多个可变线性多面体模型X(t+1|t)、X(t+2|t)和X(t+g+1|t)结构如下：其中，At,Bt是t时刻离线辨识得到的RBF-ARX模型参数矩阵；X(t|t)是t时刻离线辨识得到的RBF-ARX模型状态向量； 为t时刻CSTR系统输入增量，为待优化参数；At+1|t,Bt+1|t为t+1时刻的CSTR系统状态矩阵，X(t+1|t)为t+1时刻的CSTR系统状态向量； 为t+1时刻的CSTR系统输入增量；At+g|t,Bt+g|t为未来t+g时刻的CSTR系统状态矩阵，X(t+g|t)为未来t+g时刻的CSTR系统状态向量； 为t+g时刻的CSTR系统输入增量；上式中Ξ(t)由如下凸线性多面体动态包裹：
其中，Ξt,s(s＝1,2)是t时刻有界扰动项， 为多面体时变线性系数； 项代表等于 或 当s＝1时取 当s＝2时取 且 为变量ζ(t+1|t)的上限值， 为变量ζ(t+
1|t)的下限值；同理，得到Ξ(t+1|t)由如下凸线性多面体动态包裹：且
其中，Ξt+1|t,s(s＝1,2)是t+1时刻有界扰动项， 为多面体时变线性系数； 项代表等于 或 当s＝1时取 当s＝2时取 且 为变量ζ(t+2|t)的上限值，为变量ζ(t+2|t)的下限值；
CSTR系统未来t+g时刻的状态矩阵At+g|t,Bt+g|t由如下两个凸线性多面体动态包裹：h
其中： 和 为多面体时变线性系数，Lh＝2 ；多面体顶点为{Ak|k＝1,2,...,Lh}和{Bl|l＝1,2,...,Lh}，其中：Ak，Bl中的各元素由RBF-ARX模型中的状态相依函数型系数的上下限信息计算得到，其计算表达式为：其中： 即
其中， 项代表等于 或ey,m， 项代表等于 或eu,m；
3)基于上述构造的多个可变线性多面体模型，设计CSTR系统无穷时域的二次型目标函数，通过求解min-max优化问题，获得鲁棒预测控制的最优控制量；
基于上述构造的多个可变线性多面体模型，通过求解如下的min-max优化问题来获得对有界不确定干扰鲁棒稳定的最优预测控制量：其中，W≥0,R＞0为控制的加权系数；
在每个采样时刻t，通过求解上述min-max优化问题获得最优的CSTR系统输入增量进一步获得对应的作用于CSTR系统的最优控制量输入为
2.根据权利要求1所述的基于多自由度控制量设计的输出跟踪鲁棒预测控制方法，其特征在于，所述步骤3)具体为：将无穷时域二次型目标函数 分为 和 三个部分：其中，
制增量 和 均作为目标函数要优化计算的控制量， 中包含的CSTR系统未来控制输入增量 则由状态反馈控制率给出；
基于不变集的设计方法，将上述无穷时域的优化问题转化为如下求解凸优化的带线性矩阵不等式约束的线性规划问题：其中：符号*代表矩阵的对称结构；I表示单位矩阵；umax和umin分别为CSTR系统输入量的最大值和最小值； 为CSTR系统输入增量的最大值， 为CSTR系统输入增量的最小值，由CSTR系统输入增量的实际取值范围决定；Z为对称矩阵；F(t)＝YG-1为CSTR系统反馈增益矩阵；Qkl和Qef为求解凸优化问题的中间矩阵变量，其中k,l,e,f＝1,2,...,Lh；上述线性矩阵不等式中，Y，G，Qkl，Z， 和 均为最小化变量γ求解过程中的中间变量，Zjj为对称矩阵Z对角线上的元素；在求解最小化问题 时，优化函数会根据上述约束条件自动寻找满足使的γ最小的中间变量Y，G，Qkl，Z， 和 当找到合适的中间变量Y，G，Qkl，Z， 和 时，则t时刻最小化优化求解过程结束；
在每个采样时刻t，通过求解上述线性矩阵不等式的凸优化问题获得最优的CSTR系统输入增量 进一步获得对应的作用于CSTR系统的最优控制量输入为
一种基于多自由度控制量设计的输出跟踪鲁棒预测控制方法
技术领域
[0001] 本发明属于自动控制领域，涉及一种基于多自由度控制量设计的输出跟踪鲁棒预测控制方法。
背景技术
[0002] 模型预测控制是20世纪70年代在工业过程控制领域出现的一类新型计算机控制算法。作为先进过程控制的典型代表，因其控制机理对复杂工业过程的适应性，使之成为工业过程控制领域中最受青睐的先进控制算法并取得了大量的成功应用。在实际应用中，基于线性模型的预测控制算法最早被应用于复杂系统的控制中。然而，严格地讲，几乎所有的实际控制系统都是非线性的，基于线性模型的预测控制并不能很好的解决工业实际应用中大量存在的非线性问题。非线性模型预测控制是目前广泛研究的热点，并取得了一系列的理论成果和实际应用。但直接采用非线性模型的预测控制算法一般需要在线求解一个高阶带约束的非凸非线性优化问题，通常会造成较大的计算成本、甚至不能保证一定有可行解。
[0003] 近年来，随着预测控制稳定性设计理论和方法日渐成熟，对于复杂环境下不确定对象的鲁棒预测控制研究逐渐成为预测控制研究的热点。在该阶段，基于最小-最大(min-max)原理，利用不变集理论、线性矩阵不等式(LMI)求解等工具，鲁棒预测控制方法得到了广泛的研究。目前为止，大多数已提出的鲁棒预测控制方法是在已知系统状态工作点信息的前提下提出的状态调节或输出跟踪控制方法。如现有技术中针对非线性CSTR系统的建模及控制方法所申请的专利“基于模型预测控制的集结预测控制系统及其控制方法”(申请号：200910197512.0)，“一阶反应连续搅拌釜式反应器的混杂模型优化控制方法”(申请号：201010616956.6)，“具有多速率采样连续搅拌釜式反应器的滚动时域估计方法”(申请号：
201310311184.9)，“一种连续搅拌釜式反应器的一体化多模型控制方法”(申请号：
201510315584.6)。上述发明专利申请的技术特点为：均是在已知或给定非线性CSTR系统的状态稳态平衡点信息的假设下进行的系统动态状态空间模模型及控制器设计。在这类方法中，需假设系统的状态是完全可测的，然而，在实际应用中，由于不可测干扰或建模误差的存在，现实中存在一大类稳态工作点信息未知或难以获取的非线性系统。因此，针对系统平衡点信息未知或难以获取的复杂非线性系统的输出跟踪鲁棒预测控制方法才是实际控制中亟待解决的主要问题。2016年8月24日公开的申请号为“201610139588.8”的“一种一阶连续搅拌釜式反应器的鲁棒预测控制方法”，提出了一种在未知CSTR系统稳态平衡点信息的情况下，设计的基于非线性ARX模型的CSTR系统输出跟踪鲁棒预测控制算法。但是，该方法的控制器设计中并未考虑到系统的外部干扰，而在实际应用中，控制系统不可避免会受到各种复杂外部不确定干扰的影响，因此该方法仅适用于外部干扰较弱或对控制鲁棒性要求不高的CSTR系统的控制中，具有明显的局限性。此外，该方法的二次型目标函数设计时，系统未来控制输入增量均由相同的状态反馈控制率给出，是一种单自由度控制量设计方法，其控制器设计具有较强的保守性。
发明内容
[0004] 本发明的目的是，针对上述背景技术中的不足，提出了一种基于多自由度控制量设计的输出跟踪鲁棒预测控制方法，该方法考虑了非线性系统未知有界扰动的影响且在控制器目标函数设计中有效增加了控制量的自由度，适用性更广，具有更高的鲁棒性和实用价值。
[0005] 为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：
[0006] 一种基于多自由度控制量设计的输出跟踪鲁棒预测控制方法，包括以下步骤：
[0007] 1)对光滑非线性系统进行离线辨识，建立包含非线性系统有界不确定扰动的RBF-ARX模型：
[0008]
[0009]
[0010] 其中：y(t)是t时刻非线性系统的输出；u(t)是t时刻非线性系统的输入；ζ(t+1)表示非线性系统有界不确定扰动，且|ζ(t+1)|≤ρ，ρ>0为已知常数；ny和nu分别为模型的输出和输入阶次，且kn＝max(ny,nu)；w(t)为非线性系统t时刻的状态变量；h为RBF神经网络中间层的结点个数；d＝dim{w(t)}为非线性系统状态变量w(t)的维数；φ0,t，{ak+1,t|k＝0,...,kn-1}和{bk+1,t|k＝0,...,kn-1}为依存于状态量w(t)的高斯基RBF神经网络自回归系数；和 为RBF神经网络的线性
系数； 为RBF神经网络的中心向量，
为RBF神经网络中心向量的元素值； 为RBF神经网络的缩放因子；
为向量的2范数；上式中RBF-ARX模型的阶次包括：ny，nu，h和d；模型的线性参数和非线性参数包括： 和 RBF-ARX模型的阶次和参数均通过SNPOM优化
方法离线优化计算得到(SNPOM优化方法是一种由列维布格奈奎尔特方法(LMM)和线性最小二乘法(LSM)相结合的离线优化方法，详见：Peng H,Ozaki T,Haggan-Ozaki V,Toyoda Y.2003，A parameter optimization method for the radial basis function type models)；
[0011] 2)利用RBF-ARX模型的结构特点，构造包裹对象非线性动态、且考虑非线性系统有界不确定扰动的多个可变线性多面体模型；
[0012] 首先，定义如下系统偏差变量：
[0013]
[0014] 其中： 为t+i时刻的非线性系统输出增量；y(t+i)为t+i时刻的非线性系统输出量；yr为非线性系统的期望输出； 为t+j时刻的非线性系统输入增量；u(t+j)为t+j时刻的非线性系统输入量；u(t+j-1)为t+j-1时刻的非线性系统输入量；由上式得到t时刻模型一步向前预测的输出偏差 如下：
[0015]
[0016]
[0017] 其中：ζ(t+1|t)表示系统有界不确定扰动的一步向前预测，且|ζ(t+1|t)|≤ρ；为中间向量， 同理，推导出t时刻模型
两步向前预测的输出偏差 如下：
[0018]
[0019]
[0020] 最后，得到用来描述系统当前非线性特性和未来非线性特性的多个可变线性多面体模型(状态空间模型)X(t+1|t)，X(t+2|t)和X(t+g+1|t)结构如下：
[0021]
[0022]
[0023]
[0024] 其中，At,Bt是t时刻离线辨识得到的RBF-ARX模型参数矩阵；X(t|t)是t时刻离线辨识得到的RBF-ARX模型状态向量； 为t时刻非线性系统输入增量，为待优化参数；At+1|t,Bt+1|t为t+1时刻的非线性系统状态矩阵，X(t+1|t)为t+1时刻的非线性系统状态向量； 为t+1时刻的非线性系统输入增量；At+g|t,Bt+g|t为未来t+g时刻的非线性系统状态矩阵，X(t+g|t)为未来t+g时刻的非线性系统状态向量； 为t+g时刻
的非线性系统输入增量；上式中Ξ(t)由如下凸线性多面体动态包裹：
[0025]
[0026] 且
[0027]
[0028] 其中，Ξt,s(s＝1,2)是t时刻有界扰动项， 为多面体时变线性系数； 项代表等于 或 当s＝1时取 当s＝2时取 且 为变量ζ(t+1|t)的上限值，即为变量ζ(t+1|t)的下限值，即 同理，得到Ξ(t+
1|t)由如下凸线性多面体动态包裹：
[0029]
[0030] 且
[0031]
[0032] 其中，Ξt+1|t,s(s＝1,2)是t+1时刻有界扰动项， 为多面体时变线性系数；项代表等于 或 当s＝1时取 当s＝2时取 且 为变量ζ(t+
2|t)的上限值，即 为变量ζ(t+2|t)的下限值，即
[0033] 系统未来t+g时刻的状态矩阵At+g|t,Bt+g|t由如下两个凸线性多面体动态包裹：
[0034]
[0035]
[0036] 其中： 为多面体时变线性系数，Lh＝2h；多面体顶点为{Ak|k＝1,2,…,Lh}和{Bl|l＝1,2,…,Lh}，其中：Ak和Bl中的各元素由RBF-ARX模型中的状态相依函数型系数的上下限信息计算得到，其计算表达式为：
[0037]
[0038]
[0039] 其中： 即 且为模型中RBF神经网络的线性系数，均可通过SNPOM方法离线辨识得到。
[0040] 上式中 项和 项分别采用下式计算得到：
[0041]
[0042]
[0043] 其中， 项代表等于 或ey,m，且为关于变量w(t)的函数 的上限值，
为关于变量w(t)的函数 的下
限值； 项代表等于 或eu,m，且 为关于变
量w(t)的函数 的上限值， 为关
于变量w(t)的函数 的下限值；由上式获得 和 的变
化区间，由于Ak的表达式中包含h个 项(m＝1…h)，其中每个 项的取值
h h
有2种，因此，能构造出2 个如式Ak的顶点，其中k＝1…2 ；同理，由于Bl的表达式中包含h个项(m＝1…h)，其中每个 项的取值有2种，因此，能构造出2h个如式Bl的
顶点，其中l＝1…2h；从而，获得两个凸线性多面体ΩA和ΩB的2h个顶点 和
其中Lh＝2h； 为RBF神经网络的中心向量和缩放因子，
均可通过SNPOM方法离线辨识得到；
[0044] 3)基于上述构造的多个可变线性多面体模型，设计系统无穷时域的二次型目标函数，通过求解min-max优化问题，获得鲁棒预测控制的最优控制量；
[0045] 基于上述构造的多个可变线性多面体模型，通过求解如下的min-max优化问题来获得对有界不确定干扰鲁棒稳定的最优预测控制量：
[0046]
[0047]
[0048] 其中，W≥0,R>0为控制的加权系数；本发明中将无穷时域二次型目标函数 分为 和 三个部分 ：其中 ，本发明中， 中分别包含的
控制增量 均作为目标函数要优化计算的控制量， 中包含的系统未来
控制输入增量 则由状态反馈控制率给出。
[0049] 基于不变集的设计方法，可将上述无穷时域优化问题转化为求解凸优化的带线性矩阵不等式(LMI)约束的线性规划问题如下：
[0050]
[0051]
[0052]
[0053]
[0054]
[0055] 其中：符号*代表矩阵的对称结构；I表示单位矩阵；W≥0,R>0【W＝1,R＝0.02】；umax和umin分别为系统输入量的最大值和最小值； 为系统输入增量的最大值， 为系统输入增量的最小值，可由系统输入增量的实际取值范围决定；Z为对称矩阵；F(t)＝YG-1为系统反馈增益矩阵；Qkl和Qef为求解凸优化问题的中间矩阵变量，其中k,l,e,f＝1,2,…,Lh；上述线性矩阵不等式中，Y，G，Qkl，Z， 和 均为最小化变量γ求解过程中的中间变量，在求解最小化问题 时，优化函数会根据上述约束条件自动寻找满足使的γ最小的中间变量Y，G，Qkl，Z， 和 当找到合适的中间变量Y，G，Qkl，Z，和 时，则t时刻最小化优化求解过程结束；
[0056] 在每个采样时刻t，通过求解上述线性矩阵不等式的凸优化问题获得最优的系统输入增量 进一步获得对应的作用于非线性系统的最优控制量输入为
[0057] 与现有技术相比，本发明所具有的有益效果为：
[0058] 本发明针对一类光滑非线性系统，采用RBF-ARX建模方法，辨识出包含系统有界不确定干扰的系统数学模型，充分利用该模型的结构特点，构造出了能够包裹系统非线性动态的多个可变线性多面体模型。考虑到无穷时域目标函数中单自由度控制量设计中系统未来控制输入增量均由状态反馈控制率给出而造成的保守性，本发明提出了一种基于多自由度控制量设计的基于RBF-ARX模型的输出跟踪鲁棒预测控制方法。与现有技术相比，本发明方法考虑了系统的外部不确定干扰的影响，控制器设计中无需系统稳态平衡点信息且有效增加了优化控制增量的自由度，具有更高的鲁棒性和实用价值。
附图说明
[0059] 图1为本发明应用于CSTR系统的具体实施示意图。
具体实施方式
[0060] 本发明应用于CSTR(连续搅拌反应器)系统的具体实施示意图如图1所示。在该具体实施中，CSTR系统内发生放热的、不可逆反应，反应原料为A、生成物为B，反应原料A以一定流速流入反应器，生成的反应物料以同样的流速流出反应器。如图1所示CSTR系统中的相关参数为：反应器中的反应温度为T，冷却剂温度为Tc，反应原料A进料浓度为CAf＝1mol/L，进料流量为Qf＝100L/min，进料温度为Tf＝350K，反应器容积为V＝100L，比热为Cp＝0.25J/g·K，反应后A的浓度为CA，热传输系数与反应器表面积的乘积为UAh＝5.8×104J/(mingk)。该实施例中，CSTR系统的输入量为冷却剂温度Tc，输出量为反应温度T。
[0061] 本发明以上述CSTR系统为例说明其具体实施方式。
[0062] 1)采集上述CSTR系统的历史输入输出数据2000点，离线辨识获得CSTR系统的RBF-ARX模型，结构如下：
[0063]
[0064] 其中：T(t)是t时刻系统的输出；Tc(t)是t时刻系统的输入；ζ(t+1)表示系统有界不确定扰动，且|ζ(t+1)|≤5；φ0,t，{ak1+1,t|k1＝0,...,5}和{bk2+1,t|k2＝0,...,5}为依存于状态量w(t)的高斯基RBF网络型自回归系数；选择系统输出作为状态量，即w(t)＝T(t)；为RBF神经网络的中心向量； 为RBF神经网络的缩放因子；
为向量的2范数； 和 为RBF神经网
络的线性系数；式(1)中RBF-ARX模型的非线性参数 和线性参数
均可通过SNPOM优化方法离线优化计算获得(详见：Peng H,Ozaki
T,Haggan-Ozaki V,Toyoda Y.2003，A parameter optimization method for the radial basis function type models)；本实施例通过SNPOM优化方法离线优化计算获得非线性参数 线性参数
[0065] 2)利用RBF-ARX模型的结构特点，构造包裹CSTR系统非线性动态、且考虑系统有界不确定扰动的多个可变线性多面体模型。
[0066] 定义系统如下偏差变量：
[0067]
[0068] 其中： 为t+i时刻的系统输出增量；T(t+i)为t+i时刻的系统输出量；Tr为系统的期望输出； 为t+j时刻的系统输入增量；Tc(t+j)为t+j时刻的系统输入量；Tc(t+j-1)为t+j-1时刻的系统输入量；由上式可得t时刻模型一步向前预测的输出偏差如下：
[0069]
[0070]
[0071] 其中：ζ(t+1|t)表示系统有界不确定扰动的一步向前预测，且|ζ(t+1|t)|≤5；为中间向量， 同理，可推导出t时刻
模型两步向前预测的输出偏差 如下：
[0072]
[0073]
[0074] 最后，得到用来描述系统当前非线性特性和未来非线性特性的多个可变线性多面体模型(状态空间模型)X(t+1|t)，X(t+2|t)和X(t+g+1|t)结构如下：
[0075]
[0076]
[0077]
[0078] 其中，At,Bt是t时刻离线辨识得到的参数矩阵；X(t|t)是t时刻离线辨识得到的状态向量； 为t时刻系统输入增量，为待优化参数；At+1|t,Bt+1|t为t+1时刻的系统状态矩阵，X(t+1|t)为t+1时刻的系统状态向量； 为t+1时刻的系统输入增量；At+g|t,Bt+g|t为未来t+g时刻的系统状态矩阵，X(t+g|t)为未来t+g时刻的系统状态向量； 为未来t+g时刻的系统输入增量；上式中Ξ(t)由如下凸线性多面体动态包裹：
[0079]
[0080] 且
[0081]
[0082] 其中，{Ξt,s|s＝1或2}是t时刻有界扰动项； 为多面体时变线性系数，且项代表等于 或 且同理，可得Ξ(t+1|t)由如下凸线性多面体动态包裹：
[0083]
[0084] 且
[0085]
[0086] 其中，{Ξt+1|t,s|s＝1或2}是t+1时刻有界扰动项； 为多面体时变线性系数，且项代表等于 或 且
[0087] 系统未来t+g时刻的状态矩阵At+g|t,Bt+g|t由如下两个凸线性多面体动态包裹：
[0088]
[0089]
[0090] 其中： 为多面体时变线性系数，且多面体顶点为{Ak|k＝1,2}和{Bl|l＝1,2}，其中：Ak，Bl中的各元素可
从RBF-ARX模型中的状态相依函数型系数的上下限信息中计算得到，其计算表达式为：
[0091]
[0092]
[0093] 其中： 即
[0094]
[0095]
[0096] 其中， 项代表等于 或ey,1，且 为关于变量w(t)的函数 的上限值，
为关于变量w(t)的函数 的下限
值； 项代表等于 或eu,1，且 为关于变量w(t)
的函数 的上限值， 为关于变量w
(t)的函数 的下限值。
[0097] 3)基于上述构造的多个可变线性多面体模型，设计系统无穷时域的二次型目标函数，通过求解min-max优化问题，最终获得鲁棒预测控制的最优控制量。
[0098] 考虑到无穷时域目标函数中单自由度控制量设计中系统未来控制输入增量均由状态反馈控制率给出可能造成的保守性，本发明设计了一种基于多自由度控制量设计的基于RBF-ARX模型的输出跟踪鲁棒预测控制方法，该方法通过求解如下线性矩阵不等式组获得控制算法的最优控制量：
[0099]
[0100]
[0101]
[0102]
[0103]
[0104] 其中：符号*代表矩阵的对称结构；I表示单位矩阵；W＝1,R＝0.02；Tcmax＝400，Tcmin＝200分别为系统输入量的最大值和最小值； 为系统输入增量的-1
最大值和最小值；Z为对称矩阵；F(t)＝YG 为系统反馈增益矩阵；Qkl和Qef为求解凸优化问题的中间矩阵变量，其中k,l,e,f取值为1或2；上述线性矩阵不等式中，系数矩阵At，Bt，At+1|t和Bt+1|t是t时刻已测得的参数矩阵；X(t|t)是t时刻已测得的状态向量；Y，G，Qkl，Z，和 均为最小化变量γ求解过程中的中间变量，在求解最小化问题
时，优化函数会根据上述约束条件自动寻找满足使的γ最小的中间变量
Y，G，Qkl，Z， 和 当找到合适的中间变量Y，G，Qkl，Z， 和 时，
则t时刻最小化优化求解过程结束。在每个采样时刻t，通过求解上述线性矩阵不等式的凸优化问题获得最优的系统输入增量 对应的作用于系统的最优控制量输入为
从而，通过实时调节冷却剂温度Tc(t)，达到CSTR系统输出T(t)跟
踪期望输出轨迹。
