一种含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法

摘要

本发明公开了一种含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法，首先利用关键分离原则和切换函数，由简单到复杂，借鉴已构建的带死区、间隙的三明治状态空间方程，构建能准确描述含有故障的间隙三明治系统的非光滑状态空间方程；其次，根据构建非光滑状态空间方程，当系统满足观测器存在条件时，构建能随系统工作区间变化而切换的切换比例积分观测器。本方法的优点是：通过引入切换函数更准确地描述该类系统；与传统的比例积分观测器相比，采用本方法的观测器能够更精确地估计系统的状态和故障。

权利要求

1.一种含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法，其特征在于，包含如下步骤：步骤1：利用关键项分离原则和切换函数，构建能准确描述含有故障的间隙三明治系统的非光滑状态空间方程；

步骤2：根据步骤1构建含故障的间隙三明治系统的非光滑状态空间方程，当系统满足观测器的存在性条件时，构造能随含有故障的间隙三明治系统工作区间变化而自动切换的切换比例积分观测器，并给出相应切换比例积分观测器的存在条件和有界性定理；

所述的步骤1包括如下步骤：

(1)含有故障的间隙三明治系统的前端线性子系统L1的状态空间方程为：(2)含有故障的间隙三明治系统的后端线性子系统L2的状态空间方程为：

1×1

上述公式(1)和公式(2) u∈R ，y∈R1×1，f∈R1×1，uf∈R1×1，af∈R1×1，bf∈R1×1，i＝1，2，x1i和x2i分别代表L1和L2的第i个状态，为状态转移矩阵， 为输入矩阵， 为输出矩阵， 为故障矩阵，u∈R1×1为输入，y∈R1×1为输出，f∈R1×1为系统的故障，可以看成以af为故障环节的系数，bf为故障环节的输入系数，uf∈R1×1为故障环节的输入的故障环节，假设uf是有界的，af的范数小于1，即|af|＜1，因此根据线性系统稳定性条件，故障系统是稳定的；ni为第i个线性系统的维数；设 且(3)间隙子系统的状态空间方程：

在含有故障的间隙三明治系统中，v1(k)和v2(k)分别为间隙的输入输出，定义中间变量m(k)为：定义中间变量w1(k)为：

w1(k)＝m(k)(v1(k)-D1g1(k)+D2g2(k))，       (4)其中，

且

根据间隙的输入输出关系可得：

v2(k)＝w1(k)+[v2(k-1)-w1(k)]g3(k)＝(1-g3(k))w1(k)+g3(k)v2(k-1)，        (5)其中 根据公式(2)、公式(4)和公式(5)得：(4)含有故障的间隙三明治系统的整体状态方程：根据公式(1)、(2)、(6)，且 可得系统的状态空间方程为：其中

其中，

根据系统的特性可知，只有输出y(k)能够被直接测量，则令 其中

0是相应阶数的零矩阵，设

则

其中ηi为由于间隙存在而产生的切换向量。

2.根据权利要求1所述的一种含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法，其特征在于，所述的步骤2包括如下步骤：(1)切换比例积分观测器的建模

根据步骤1中的公式(8)，建立如下式所示的切换比例积分观测器：其中

和 分别是第i个工作区间为比例增益和积分增益，分别为x(k)、y(k)、f(k)、ηi的估计值，其中当i＝j,j＝1,3时， 当j＝2时，

(2)比例积分观测器的估计误差分析

由公式(9)和公式(1)，可得下述公式(10)、公式(11)：f(k+1)＝aff(k)+bfuf(k)            (11)公式(10)减去公式(11)，且 和 则：由公式(9)减去公式(8)，并考虑区间估计误差有：e(k+1)＝(A-KpjC)e(k)+Def(k)+Δηos+ΔAosx(k)            (13)定义 ΔAos＝Aj-Ai，

由公式(12)和公式(13)，可得状态和故障估计误差式为：定义 且 则可得：

et(k+1)＝Aejet(k)+Δt(k)                        (15)设Δt(k)以及初始估计误差et(1)的范数就有界的，均小于φd，即φd(||Δt(k)||≤φd及||e(1)||≤φd)，当j＝1，2，3，时，若选择恰当的Kpj和Kij，使得Aej的特征值在单位圆内，则状态和故障估计误差的范数均是有界的，均小于 则切换比例积分观测器存在条件，即系统状态估计误差和故障估计误差有界的条件，是Aej的特征值在单位圆内。

说明书

一种含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法

技术领域

[0001] 本发明属于非线性系统的状态估计领域，特别涉及一种含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法。

背景技术

[0002] 间隙通常存在于齿轮机械传动系统、电动阀、数字电路、传感器、液压系统中。例如齿轮传动系统中，轮齿之间的齿侧空隙就会产生间隙现象。在实际应用中，间隙并不是单独存在的，而是夹在其他环节之间，即间隙非线性是夹在两个线性动态子系统之间，该系统能够描述为间隙三明治系统。在机械和电子系统中常常发生故障。故障的存在就可能导致系统恶化、振动、振荡、甚至不稳定因此。因此，在实际中的控制器设计和故障容错控制中，准确估计系统的状态和故障就显得尤为重要的。

[0003] 针对特定系统构造相应的观测器一直都是控制工程领域的一个研究热点。自在本世纪70年代D.J.Luenberger提出著名的Luenberger观测器以来，对于线性定常系统观测器的设计理论和方法就已成熟。但对于非线性系统却不同，首先，非线性系统的能观性是一个局部特性；其次，线性系统的能观性与系统输入无关，只取决于系统本身的结构，而非线性系统的能观性不但与系统结构有关，同时还与系统输入有关。正是由于非线性系统的复杂性，对于非线性系统我们很难找到一个统一的观测器构造方法，往往是针对某一类非线性系统构造一类特定的观测器。例如，2017年柳晨光等针对一个离散系统，提出了一个基于状态补偿的扩张状态观测器，实现了更精确的估计状态和抑制干扰。2014年Soken H E提出了一个鲁邦卡尔曼滤波方法，在测量系统含有故障的情况下，对航天器姿态进行估计。2015年Efimov D等对于一类时间延时的线性系统设计了一个内模观测器，当从故障输入到误差的传递函数满足规定的H∞范数，对于动态估计误差稳定的系统。

[0004] 中国专利CN105204332B公开了一种基于非光滑观测器的含有死区和迟滞的复合三明治系统状态估计方法。该发明是在三明治系统不含故障的情况下，对系统的状态进行了估计。但在实际系统中故障往往是不可必免，由于故障的存在系统的状态估计会产生一定的扰动，甚至导致估计误差发散，即估计不到系统的状态。由于忽略了故障影响，该发明也没有估计系统故障。

[0005] 迄今为止，尚未发现同时估计含有故障的间隙三明治系统的专利及文献。本发明提出了一种新的切换观测器来完成这个工作。在切换比例积分观测器中引入能够随系统工作区间切换的切换项，并分析状态和故障估计误差。最后给出了系统状态估计误差和故障的估计误差有界的条件。通过实施例比较了切换比例积分观测器和传统比例积分观测器的估计效果。结果表明切换比例积分观测器优于传统比例积分观测器。系统的状态和故障估计可用于将来系统控制和故障容错控制。

发明内容

[0006] 针对上述技术的不足，本发明公开了一种基于切换比例积分观测器的针对含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法，该方法提出的切换比例积分观测器包含了能随系统工作区间变化的切换向量，与传统的观测器比较，采用该方法的观测器能更准确地估计系统的状态和故障。

[0007] 实现本发明目的的技术方案是：

[0008] 一种含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法，包含如下步骤：

[0009] 步骤1：利用关键项分离原则和切换函数，构建能准确描述含有故障的间隙三明治系统的非光滑状态空间方程；

[0010] 步骤2：根据步骤1构建含故障的间隙三明治系统的非光滑状态空间方程，当系统满足观测器的存在性条件时，构造能随含有故障的间隙三明治系统工作区间变化而自动切换的切换比例积分观测器，并给出相应切换比例积分观测器的存在条件和有界性定理。

[0011] 所述的步骤1包括如下步骤：

[0012] (1)含有故障的间隙三明治系统的前端线性子系统L1的状态空间方程为：

[0013]

[0014] (2)含有故障的间隙三明治系统的后端线性子系统L2的状态空间方程为：

[0015]

[0016] 上述公式(1)和公式(2) u∈R1×1，y∈R1×1，f∈R1×1，uf∈R1×1，af∈R1×1，bf∈R1×1，i＝1，2，x1i和x2i分别代表L1和L2的第i个状态， 为状态转移矩阵， 为输入矩阵， 为输出矩阵， 为故障
矩阵，u∈R1×1为输入，y∈R1×1为输出，f∈R1×1为系统的故障，可以看成以af为故障环节的系数，bf为故障环节的输入系数，uf∈R1×1为故障环节的输入的故障环节，假设uf是有界的，af的范数小于1，即|af|<1，因此根据线性系统稳定性条件，故障系统是稳定的；ni为第i个线性系统的维数；设 且

[0017] (3)间隙子系统的状态空间方程：

[0018] 在含有故障的间隙三明治系统中，v1(k)和v2(k)分别为间隙的输入输出，定义中间变量m(k)为：

[0019]

[0020] 定义中间变量w1(k)为：

[0021] w1(k)＝m(k)(v1(k)-D1g1(k)+D2g2(k))，   (4)

[0022] 其中，

[0023]

[0024] 且

[0025] 根据间隙的输入输出关系可得：

[0026] v2(k)＝w1(k)+[v2(k-1)-w1(k)]g3(k)＝(1-g3(k))w1(k)+g3(k)v2(k-1)，   (5)[0027] 其中 根据公式(2)、公式(4)和公式(5)得：

[0028]

[0029] (4)含有故障的间隙三明治系统的整体状态方程：

[0030] 根据公式(1)、(2)、(6)，且x1n1(k)＝v1(k)，可得系统的状态空间方程为：

[0031]

[0032] 其中

[0033]

[0034] 其中，

[0035] 根据系统的特性可知，只有输出y(k)能够被直接测量，则令其中 0是相应阶数的零矩阵，设
则

[0036]

[0037] 其中hi为由于间隙存在而产生的切换向量。

[0038] 所述的步骤2包括如下步骤：

[0039] (1)切换比例积分观测器的建模

[0040] 根据步骤1中的公式(8)，建立如下式所示的切换比例积分观测器：

[0041]

[0042] 其中

[0043] 和 分别是第i个工作区间为比例增益和积分增益，分别为x(k)、y(k)、f(k)、hi的估计值，其中当i＝j,j＝1,3时，
当j＝2时，

[0044] (2)比例积分观测器的估计误差分析

[0045] 由公式(9)和公式(1)，可得下述公式(10)、公式(11)：

[0046]

[0047] f(k+1)＝aff(k)+bfuf(k)   (11)

[0048] 公式(10)减去公式(11)，且 和 则：

[0049]

[0050] 由公式(9)减去公式(8)，并考虑区间估计误差有：

[0051] e(k+1)＝(A-KpjC)e(k)+Def(k)+Δηos+ΔAosx(k)。   (13)

[0052] 定义 ΔAos＝Aj-Ai，

[0053] 由公式(12)和公式(13)，可得状态和故障估计误差式为：

[0054]

[0055] 定义 且 则可得：

[0056] et(k+1)＝Aejet(k)+Δt(k)。   (15)

[0057] 设Δt(k)以及初始估计误差et(1)的范数就有界的，均小于φd，即φd(||Δt(k)||≤φd及||e(1)||≤φd)，当j＝1，2，3，时，若选择恰当的Kpj和Kij，使得Aej的特征值在单位圆内，则状态和故障估计误差的范数均是有界的，均小于 所以切换比例积分观测器存在条件，即系统状态估计误差和故障估计误差有界的条件，是Aej的特征值在单位圆内。

[0058] 本发明的有益效果在于：本发明提供的一种含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法，该方法通过引入切换函数，能更加准确地描述含有故障的间隙三明治系统，模型精度更高，与传统的比例积分观测器相比，采用本方法的构建的切比例积分观测器能够更精确地估计系统的状态和故障。

附图说明

[0059] 图1为含有故障的间隙三明治系统的结构图；

[0060] 图2为伺服液压系统示意图；

[0061] 图3为阶跃故障下，切换比例积分观测器的状态结果图；

[0062] 图4为阶跃故障下，传统比例积分观测器的状态结果图；

[0063] 图5为阶跃故障下，切换比例积分观测器与传统比例积分观测器的状态误差对比图；

[0064] 图6为阶跃故障下，切换比例积分观测器与传统比例积分观测器的故障估计对比图；

[0065] 图7为幅值衰减的正弦故障下，切换比例积分观测器的状态结果图；

[0066] 图8为幅值衰减的正弦故障下，传统比例积分观测器的状态结果图；

[0067] 图9为幅值衰减的正弦故障下，切换比例积分观测器与传统比例积分观测器的状态误差对比图；

[0068] 图10为幅值衰减的正弦故障下，切换比例积分观测器与传统比例积分观测器的故障估计对比图。

[0069] 具体实施例方式

[0070] 下面结合附图和实施例对本发明做进一步阐述，但不是对本发明的限定。实施例：

[0071] 一种含有故障的间隙三明治系统的状态估计方法，包含如下步骤：

[0072] 步骤1：利用关键项分离原则和切换函数，构建能准确描述含有故障的间隙三明治系统的非光滑状态空间方程；

[0073] 步骤2：根据步骤1构建含故障的间隙三明治系统的非光滑状态空间方程，当系统满足观测器的存在性条件时，构造能随含有故障的间隙三明治系统工作区间变化而自动切换的切换比例积分观测器，并给出相应切换比例积分观测器的存在条件和有界性定理。

[0074] 所述的步骤1包括如下步骤：

[0075] (1)含有故障的间隙三明治系统的前端线性子系统L1的状态空间方程为：

[0076]

[0077] (2)含有故障的间隙三明治系统的后端线性子系统L2的状态空间方程为：

[0078]

[0079] 上述公式(1)和公式(2) u∈R1×1，y∈R1×1，f∈R1×1，uf∈R1×1，af∈R1×1,bf∈R1×1,i＝1，2，x1i和x2i分别代表L1和L2的第i个状态， 为状态转移矩阵， 为输入矩阵， 为输出矩阵， 为故
障矩阵，u∈R1×1为输入，y∈R1×1为输出，f∈R1×1为系统的故障，可以看成是以af为故障环节的系数，bf为故障环节的输入系数，uf∈R1×1为故障环节的输入的故障环节，假设uf是有界的，af的范数小于1，即|af|<1，因此根据线性系统稳定性条件，故障系统是稳定的；ni为第i个线性系统的维数；设 且

[0080] (3)间隙子系统的状态空间方程：

[0081] 如图1所示，在含有故障的间隙三明治系统中，v1(k)和v2(k)分别为间隙的输入输出，定义中间变量m(k)为：

[0082]

[0083] 定义中间变量w1(k)为

[0084] w1(k)＝m(k)(v1(k)-D1g1(k)+D2g2(k))，   (4)

[0085] 其中，

[0086]

[0087] 且

[0088] 根据间隙的输入输出关系可得：

[0089] v2(k)＝w1(k)+[v2(k-1)-w1(k)]g3(k)＝(1-g3(k))w1(k)+g3(k)v2(k-1)，   (5)[0090] 其中 根据公式(2)、公式(4)、公式(5)可得：

[0091]

[0092] (4)含有故障的间隙三明治系统的整体状态方程：

[0093] 根据公式(1)、(2)、(6)，且x1n1(k)＝v1(k)，可得系统的状态空间方程为：

[0094]

[0095] 其中

[0096]

[0097] 其中，

[0098] 根据系统的特性可知，只有输出y(k)能够被直接测量，则令其中 0是相应阶数的零矩阵，设
则

[0099]

[0100] 其中ηi为由于间隙存在而产生的切换向量。

[0101] 所述的步骤2包括如下步骤：

[0102] (1)切换比例积分观测器的建模

[0103] 根据步骤1中的公式(8)，建立如下式所示的切换比例积分观测器：

[0104]

[0105] 其中

[0106] 和 分别是第i个工作区间为比例增益和积分增益，分别为x(k)、y(k)、f(k)、ηi的估计值，其中当i＝j,j＝1,3时，
当j＝2时，

[0107] (2)比例积分观测器的估计误差分析

[0108] 由公式(9)和公式(1)，可得下述公式(10)、公式(11)：

[0109]

[0110] f(k+1)＝aff(k)+bfuf(k)   (11)

[0111] 公式(10)减去公式(11)，且 和 则

[0112]

[0113] 由公式(9)减去公式(8)，并考虑区间估计误差有：

[0114] e(k+1)＝(A-KpjC)e(k)+Def(k)+Δηos+ΔAosx(k)   (13)

[0115] 定义 ΔAos＝Aj-Ai，

[0116] 由公式(12)和公式(13)，可得状态和故障估计误差式为：

[0117]

[0118] 定义 且 则可得：

[0119] et(k+1)＝Aejet(k)+Δt(k)   (13)

[0120] 设Δt(k)以及初始估计误差et(1)的范数就有界的，均小于φd，即φd(||Δt(k)||≤φd及||e(1)||≤φd)，当j＝1，2，3，时，若选择恰当的Kpj和Kij，使得Aej的特征值在单位圆内，则状态和故障估计误差的范数均是有界的，均小于 则比例积分观测器存在的条件，即系统状态估计误差和故障估计误差有界的条件，是Aej的特征值在单位圆内。

[0121] 下面以图2所示的伺服液压系统为例，在图2所示的伺服液压系统中，直流电机可以看成是前端线性子系统L1，负载可以看成后端线性子系统L2，由齿轮、丝杆、螺母等部件组成的齿轮传动系统具有间隙特性BL，因此，伺服液压系统能够看成间隙三明治系统。在实际应用中，伺服液压系统的作用主要是力的放大。只需要给主阀一个较小的力，在负载上就能产生一个较大的输出力，仿真中系统的输入信号u(t)＝2sin(0.4πt)，第一类故障和第二类故障的采样时间分别是120s和240s，采样周期均是0.01s，状态和故障的所有初始值均设为0。

[0122] 线性子系统L1：

[0123]

[0124] 线性子系统L2:

[0125]

[0126] 间隙BL：

[0127]

[0128]

[0129] x11:代表主阀的旋转角速度，单位为rad/s，

[0130] x12:代表主阀旋转角度，单位为rad，对应图2中的v1，

[0131] x21:代表活塞的移动速度，单位为m/s，

[0132] x22:代表活塞移动位移，单位为m，对应图2中的y。

[0133] 因此，根据式(6)和式(14)，可得相应的矩阵如下：

[0134]C＝[0 0 0 1]，D＝[0.004107 0 0 0]T。

[0135] 传统比例积分观测器将间隙看成是一个比例环节，忽略了系统的切换，因此传统比例积分观测器中不包括切换项，具体表达式如下：

[0136]

[0137] 现分别对出两类故障进行仿真。第一类故障，假设在30s时有一个阶跃故障，代表突变故障，Af＝0.85，bf＝1，当0≤t≤30，uf(t)＝0，即前30秒是没有故障的；当300.9899]T；当j＝2时，Ae的特性值为[0.9900，0.4500，0.9900，0.5517，0.8438]T，均在单位圆内。

[0138] 第二类故障为幅值衰减的正弦信号，在实际应用中代表缓慢变化的故障。af＝0.99且bf＝1。当0≤t≤30时，uf(t)＝0，即第一个30秒是没有故障的。当300.7079，1.9574，0.5045]T，Kij＝1。当j＝1，3时，Ae的特性值为[0.4520，0.5358，0.9061，
0.9417，0.9899]T；当j＝2时，Ae的特性值为[0.9900，0.4500，0.9900，0.5517，0.8438]T，均在单位圆内。

[0139] 通过对比图3和图4，可以清楚的看到切换比例积分观测器比传统比例积分观测器能够更精确地估计系统的状态；切换比例积分观测器和传统观测器状态估计误差如图5所示，从图5可得切换比例积分观测器的估计误差比传统比例积分观测器更小。当在30s处有一个阶跃故障时，切换比例积分观测器和传统观测器状态估计效果如图3和图4所示，切换比例积分观测器和传统观测器的故障估计效果如图6所示，从图6可知，切换比例积分观测器能够及时准确地跟踪故障信号。但传统的比例积观测器一点也不能跟踪故障信号，总之，在状态估计和故障估计方面，切换比例积分观测器比传统比例积分观测器有一个更好的性能。

[0140] 当故障为幅值衰减的正弦信号时，切换比例积分观测器和传统观测器状态估计效果如图7和图8所示。与图3—图6类比，从图7—图10可以得到切换比例积分观测器比传统观测器模型精度更高，因此，切换比例积分观测器比传统观测器状态估计效果更好。