本发明公开了一种基于样本拓展的非平衡数据多维度参数估计方法，应用于航空机载设备可靠性领域。该方法采用复用样本与衍生样本相结合的方法，可以有效地扩充样本空间；复用样本在加速寿命试验之前，已经有一定的初始损伤，应该将初始载荷谱造成的累积损伤进行折算后，再进行数据统计；衍生样本的载荷谱与正常样本存在差异，不同载荷强度下得到的数据不应该采用统一的数据统计权重，而应该按载荷强度的差异设置不同的权重；利用分组重抽样和载荷强度系数正态加权的方法，可以将不同类型的样本综合进行参数估计，解决了非平衡数据小样本参数估计问题。
1.一种基于样本拓展的非平衡数据多维度参数估计方法，其特征在于，包括以下几个步骤：步骤一、复用样本及其初始损伤折算；
按照摩擦磨损的累积损伤规律对初始损伤进行折算，单位时间内磨粒造成的转子-配流盘接触面体积损失，满足如下关系式：v＝aPbωcexp{dP+eω} (1)其中，a,b,c,d,e是待定参数，v为单位时间内磨粒造成的转子-配流盘接触面体积损失，ω为转子转速，P为液压泵工作压力；
假设样本加速寿命试验前经历了S1(P1,ω1)→S2(P2,ω2)→...→Sk(Pk,ωk)的载荷历程，其相应的试验时间为0→t1→t2→...→tk；其中，Sk为第k个载荷，Pk为在载荷Sk下的液压泵压力，ωk为在载荷Sk下的转子转速，则S1(P1,ω1)作用下，磨损造成的累积损伤为：b c
v1t1＝aP1ω1exp{dP1+eω1}t1 (2)若将S1(P1,ω1)的累积损伤折算到S2(P2,ω2)，则其等效折算时间τ1为：v1t1＝v2τ1 (3)
τ1为S1(P1,ω1)的累积损伤折算到S2(P2,ω2)载荷下的等效折算时间；
aP1bω1cexp{dP1+eω1}t1＝aP2bω2cexp{dP2+eω2}τ1 (4)整理得
将S1(P1,ω1)、S2(P2,ω2)的累积损伤折算到S3(P3,ω3)的等效折算时间τ2为：v2(t2-t1+τ1)＝v3τ2 (6)则
aP2bω2cexp{dP2+eω2}(t2-t1+τ1)＝aP3bω3cexp{dP3+eω3}τ2 (7)整理得
则初始载荷谱S1(P1,ω1)→S2(P2,ω2)→...→Sk(Pk,ωk)造成的累积损伤为：b c
vk(tk-tk-1+τk-1)＝aPkωkexp{dPk+eωk}(tk-tk-1+τk-1) (9)其中，
若继续进行加速寿命试验，假设第j个样本经历的时间为第j个样本经历的加速试验载荷谱为 根据累积损伤理论，初始损伤折算到Sj,1(Pj,1,ωj,1)的等效折算时间τk为：vk(tk-tk-1+τk-1)＝vj,1τk (11)则
aPkbωkcexp{dPk+eωk}(tk-tk-1+τk-1)＝aPj,1bωj,1cexp{dPj,1+eωj,1}τk (12)整理得损伤的故障概率为：
其中：Fre(t)为复用样本的损伤的故障概率， 第j个样本的第ij个持续时长， 为历史载荷 到当前载荷 的等效折算时间， 为第j个样本在 是的特征寿命，m为形状参数；
故障样本Zj的累积故障密度fre(Zj)为：截尾样本Yj的累积可靠度Rre(Yj)为：复用样本的极大似然函数Lre为：
其中，n1为加速寿命试验故障样本数，n2为加速寿命试验截尾样本数；
荷谱历程，首先进行载荷折算，折算到加速寿命试验载荷谱下的累积损伤量：其中：Fde(t)为衍生样本的损伤的故障概率， 为历史载荷 到当前载荷 的等效折算时间；
衍生样本的故障样本Zj的累积故障密度为：衍生样本的截尾样本Yj的累积可靠度为：衍生样本的极大似然函数为：
其中，n1为加速寿命试验故障样本数，n2为加速寿命试验截尾样本数；
设第j个样本的载荷强度系数为其载荷谱压力、转速与额定压力、转速的比值的平均值：在额定载荷谱S0(P0,ω0)下，样本的载荷强度系数为s0＝1；
假设第j个样本在极大似然估计中的权重w(sj)按载荷强度系数sj服从均值为1、方差为σ的正态分布，即：步骤三、非平衡数据分组重抽样和加权极大似然估计；
假设第j个样本经历 的载荷历程，其相应的累积故障时间为加速寿命试验样本的故障样本Zj的累积故障密度为：加速寿命试验样本的截尾样本Yj的累积可靠度为：其中， 为历史载荷 到当前载荷 的等效折算时间，从每组样本中分别抽取数量相等的样本，构成新的抽样总体，再对抽样总体进行参数估计；假设对J组样本进行抽样，第j个样本的样本数量为αj，样本观测值为 事先确定的抽样数为N，抽样方法具体为：
1.利用计算机生成N个0～1之间的随机数，记为a1,a2,…,aN；
2.将区间[0,1]划分为αj段，每段区间长度相等：
3.根据随机数取值进行抽样，若ak'∈Cl，k'＝1,2,…,N，l＝1,2,…,αj，则第k'个抽样样本为Zj,k'′＝Zj,l，得到的抽样样本序列为Zj,1′,Zj,2′,…,Zj,N′；
4.则抽样总体序列为Z1,1′,Z1,2′,…,Z1,N′…Zj,1′,Zj,2′,…,Zj,N′…ZJ,1′,ZJ,2′,…,ZJ,N′；
综合考虑所有加速寿命试验样本、复用样本和衍生样本，联合加权对数极大似然函数为：其中，n1为加速寿命试验故障样本数，n2为加速寿命试验截尾样本数，n1′为复用样本故障样本量，n2′为复用样本截尾样本量，n1″为衍生样本故障样本量，n2″为衍生样本截尾样本量；待估参数为额定载荷S0(P0,ω0)下的可靠性函数为：额定载荷下的故障概率密度函数为：
设第j个故障样本Zj的累积故障密度记为fj(Zj)，第j个截尾样本Yj的累积可靠度记为Rj(Yj)，则式(27)记为其中，N1为总故障样本量，N1＝n1+n1′+n1″，N2为总截尾样本量，N2＝n2+n2′+n2″。
一种基于样本拓展的非平衡数据多维度参数估计方法
技术领域
[0001] 本发明属于航空机载设备可靠性领域，具体涉及一种基于样本拓展的非平衡数据多维度参数估计方法。
背景技术
[0002] 现代飞机要求具备超高可靠度和超长寿命。航空液压泵作为飞机液压系统的核心部件，与普通液压系统液压泵相比，要求更加严格。液压泵为飞机液压系统提供高达21～35MPa的高压油液，用以驱动飞控舵面或是收放起落架等，其结构复杂、功能强大、寿命和可靠性要求越来越高。飞机液压泵一旦出现故障，轻则引起飞机液压系统工作异常，重则造成机毁人亡，带来巨大的经济损失和不良的社会影响，因此，现代飞机对于液压泵的寿命和可靠性要求越来越高。迫切需要研制高可靠长寿命的飞机液压泵。通常产品的寿命特征是通过在正常条件下做寿命试验的方法来获得的。然而，由于飞机液压泵属于高可靠性长寿命产品，其设计精密、织造工艺复杂、生产成本高、专用性强，一般不会进行大批量的生产，进行其全生命周期寿命试验和相关的破坏性寿命试验的情况就更少。常规寿命试验会造成常规寿命试验周期过长，不仅寿命试验成本巨大，还会导致研制周期过长，无法与飞机的快速研制需求相匹配，而使产品的市场竞争力下降。因此，工程上一般采用加速寿命试验的方法进行液压泵的寿命评估。
[0003] 加速寿命试验的基本思想是：通过采用更加严酷的载荷谱，使液压泵在失效机理不改变的情况下更快发生故障，以缩短试验时间；之后采用合适的加速寿命模型，对加速寿命试验结果进行分析统计，从而估计出液压泵在正常载荷谱作用下寿命。目前通用的加速寿命试验方法，主要是基于恒定加速载荷下的失效数据以及经典的统计分析模型，这类方法一般需要较大的试验样本量和长期的研制经验积累。然而，民机液压泵故障模式繁多、故障机理复杂、应力耦合严重且承受变应力载荷谱，因此传统的恒定应力加速寿命试验方法不再适用。因此，需要在深刻剖析液压泵失效机理的基础上，建立适用于飞机液压泵独特工况的加速寿命模型，并采用合适的方法扩展样本空间，进行小样本统计。
[0004] 目前，国外民机液压泵寿命估计基于充分的试验样本和飞行样本，而我国民机液压泵研究刚刚起步，其昂贵的成本和较短的研制周期必然导致样本量小，如何充分利用已有信息如何最大程度地共享同类产品的数据，是加速寿命试验参数统计中有效扩大样本量、提高参数估计精度、解决小样本估计难度的有效途径。
发明内容
[0005] 本发明为了解决在有限的试验样本下提升参数估计精度，提高加速寿命试验的参数估计精度，提出一种基于样本拓展的非平衡数据多维度参数估计方法，采用诸如性能试验、质量保证试验等非寿命试验的样本，继续加速寿命试验，形成复用样本；将军机液压泵历史数据经折算后，应用于民机液压泵加速寿命试验统计，形成衍生样本。充分考虑了复用样本的初始损伤特性，以及衍生样本由于军机、民机载荷谱差异带来的数据不平衡问题，采用基于分组重抽样和载荷强度系数正态加权极大似然估计的方法，进行非平衡数据小样本参数估计。
[0006] 本发明提出的一种基于样本拓展的非平衡数据多维度参数估计方法，具体为：
[0007] 步骤一、复用样本及其初始损伤折算。
[0008] 步骤二、衍生样本及其载荷强度分析。
[0009] 步骤三、非平衡数据分组重抽样和加权极大似然估计。
[0010] 本发明的优点和积极效果在于：
[0011] (1)解决液压泵加速寿命试验中由于成本和研制周期限制导致的样本量不足的难题；
[0012] (2)考虑了复用样本的初始损伤特性，以及衍生样本由于军机、民机载荷谱差异带来的数据不平衡问题样本量不平衡的难题；
附图说明
[0013] 图1是典型军机、民机寿命试验载荷谱；
[0014] 图2是权重w与载荷强度系数sj及方差σ的关系；
[0015] 图3是分组抽样方法流程图；
[0016] 图4是样本扩展后可靠性曲线；
[0017] 图5是本发明的方法流程图。
具体实施方式
[0018] 下面结合附图及实施例对本发明的基于样本拓展的非平衡数据多维度参数估计方法进行详细说明。
[0019] 如图5所示，基于样本拓展的非平衡数据多维度参数估计方法如下：
[0020] 步骤一、复用样本及其初始损伤折算。
[0021] 民机液压泵在研制过程中，会进行性能试验、质量保证试验等产品研制过程其它非寿命试验，试验结束后，有些样本还可以继续使用，作为复用样本，在加速寿命试验载荷谱下继续试验。例如，某台液压泵首先按与普通的加速寿命试验样本不同，这些复用样本在加速寿命试验之前，已经有一定的初始损伤，所以应该将初始载荷谱造成的累积损伤进行折算后，再进行数据统计。
[0022] 由于液压泵的主要故障模式是内部元部件的磨损失效，所以应该按照摩擦磨损的累积损伤规律对初始损伤进行折算。由于单位时间内磨粒造成的转子-配流盘接触面体积损失，满足如下关系式：
[0023] v＝aPbωcexp{dP+eω} (1)
[0024] 其中，a,b,c,d,e是待定参数，v为单位时间内磨粒造成的转子-配流盘接触面体积损失，ω为转子转速，P为液压泵工作压力。
[0025] 假设样本加速寿命试验前经历了S1(P1,ω1)→S2(P2,ω2)→...→Sk(Pk,ωk)的载荷历程，其相应的试验时间为0→t1→t2→...→tk。其中，Sk为第k个载荷，Pk为在载荷Sk下的液压泵压力，ωk为在载荷Sk下的转子转速，则S1(P1,ω1)作用下，磨损造成的累积损伤为：
[0026] v1t1＝aP1bω1cexp{dP1+eω1}t1 (2)
[0027] 若将S1(P1,ω1)的累积损伤折算到S2(P2,ω2)，则其等效折算时间τ1可按照如下公式计算：
[0028] v1t1＝v2τ1 (3)
[0029] τ1为S1(P1,ω1)的累积损伤折算到S2(P2,ω2)载荷下的等效折算时间。
[0030] 则
[0031] aP1bω1cexp{dP1+eω1}t1＝aP2bω2cexp{dP2+eω2}τ1 (4)
[0032] 整理得
[0033]
[0034] 类似的，将S1(P1,ω1)、S2(P2,ω2)的累积损伤折算到S3(P3,ω3)的等效折算时间τ2可按照如下公式计算：
[0035] v2(t2-t1+τ1)＝v3τ2 (6)
[0036] 则
[0037] aP2bω2cexp{dP2+eω2}(t2-t1+τ1)＝aP3bω3cexp{dP3+eω3}τ2 (7)
[0038] 整理得
[0039]
[0040] 以此类推，初始载荷谱S1(P1,ω1)→S2(P2,ω2)→...→Sk(Pk,ωk)造成的累积损伤为：
[0041] vk(tk-tk-1+τk-1)＝aPkbωkcexp{dPk+eωk}(tk-tk-1+τk-1) (9)
[0042] 其中，
[0043]
[0044] 若继续进行加速寿命试验，假设第j个样本经历的时间为
[0045]
[0046] 第j个样本经历的加速试验载荷谱为Sj,1→Sj,2→...→ 根据累积损伤理论，初始损伤折算到Sj,1(Pj,1,ωj,1)的等效折算时间τk可按照如下公式计算：
[0047] vk(tk-tk-1+τk-1)＝vj,1τk (11)
[0048] 则
[0049] aPkbωkcexp{dPk+eωk}(tk-tk-1+τk-1)＝aPj,1bωj,1cexp{dPj,1+eωj,1}τk (12)[0050] 整理得
[0051]
[0052] 这时的损伤的故障概率可以表示为：
[0053]
[0054]
[0055]
[0056] 其中：Fre(t)为复用样本的损伤的故障概率， 第j个样本的第ij个持续时长，为历史载荷 到当前载荷 的等效折算时间， 为第j个样本在 时的特征寿命，m为形状参数。
[0057] 故障样本Zj的累积故障密度fre(Zj)为：
[0058]
[0059] 截尾样本Yj的累积可靠度Rre(Yj)为：
[0060]
[0061] 复用样本的极大似然函数Lre为：
[0062]
[0063] 其中，n1为故障样本数，n2为截尾样本数。
[0064] 步骤二、衍生样本及其载荷强度分析
[0065] 衍生样本是采用以往历史军机液压泵寿命试验样本或外场实际飞行的载荷谱，根据不同载荷谱之间的对应关系，折算成民机液压泵的试验样本。
[0066] 设其载荷-时间历程为：
[0067] 要将其引入载荷谱历程，首先需要进行载荷折算，折算到加速寿命试验载荷谱下相关的累积损伤量：
[0068]
[0069]
[0070]
[0071] 其中Fde(t)为衍生样本的损伤的故障概率， 为历史载荷 到当前载荷 的等效折算时间，
[0072] 衍生样本的故障样本Zj的累积故障密度为：
[0073]
[0074] 衍生样本的截尾样本Yj的累积可靠度为：
[0075]
[0076] 衍生样本的极大似然函数为：
[0077]
[0078] 其中，n1为故障样本数，n2为截尾样本数。
[0079] 军机液压泵主要关心的是液压泵的高压、高速和大功率，而民机液压泵的设计理念完全不同。民机液压泵严格遵照适航条例进行设计和研制，其研究重点是安全性、经济性和舒适性。如图1所示，军机和民机液压泵试验载荷谱在载荷强度上有很大区别。
[0080] 因此，使用军机液压泵衍生样本参与数据统计时，应考虑到军机载荷谱的强度大于民机载荷谱，不同载荷强度下得到的数据不应该采用统一的数据统计权重，而应该按载荷强度的差异设置不同的权重。一般认为，试验样本载荷谱与额定载荷谱越接近，其置信度越高，在参数估计中所占的比重应该越大。
[0081] 首先定义载荷强度系数用以描述试验样本载荷谱与额定载荷谱的相似程度，设第j个样本的载荷强度系数为其载荷谱压力、转速与额定压力、转速的比值的平均值：
[0082]
[0083] 显然，在额定载荷谱S0(P0,ω0)下，样本的载荷强度系数为s0＝1。
[0084] 假设第j个样本在极大似然估计中的权重w(sj)按载荷强度系数sj服从均值为1、方差为σ的正态分布，即：
[0085]
[0086] 如图2所示，正态分布方差σ反应了权重w(sj)对载荷强度系数sj的变化是否敏感。σ越小，权重函数的曲线越陡峭，说明不同载荷强度的样本权重差距越大；较大的σ值意味着权重函数的曲线更为平缓，不同载荷强度的样本权重差距不大。
[0087] 步骤三、非平衡数据分组重抽样和加权极大似然估计。
[0088] 对于一般的加速寿命试验样本，假设第j个样本经历Sj,1→Sj,2→...→ 的载荷历程，其相应的累积故障时间为
[0089] 加速寿命试验样本的故障样本Zj的累积故障密度为：
[0090]
[0091] 加速寿命试验样本的截尾样本Yj的累积可靠度为：
[0092]
[0093] 其中， 为历史载荷 到当前载荷 的等效折算时间，
[0094]
[0095] 由于加速寿命试验样本的数量与复用样本和衍生样本相比往往小得多，为消除样本数量不平衡带来的估计误差，采用分组重抽样方法解决非平衡数据统计问题。
[0096] 从每组样本中分别抽取数量相等的样本，构成新的抽样总体，再对抽样总体进行参数估计。假设对m组样本进行抽样，第j组样本的样本数量为nj，样本观测值为事先确定的抽样数为N，抽样方法如图3所示，具体为：
[0097] 1.利用计算机生成N个0～1之间的随机数，记为a1,a2,…,aN；
[0098] 2.将区间[0,1]划分为nj段，每段区间长度相等：
[0099] 3.根据随机数取值进行抽样，若ak∈Cl，k＝1,2,…,N，l＝1,2,…,nj，则第k个抽样样本为Zj,k′＝Zj,l，得到的抽样样本序列为Zj,1′,Zj,2′,…,Zj,N′；
[0100] 4.则抽样总体序列为Z1,1′,Z1,2′,…,Z1,N′…Zj,1′,Zj,2′,…,Zj,N′…Zm,1′,Zm,2′,…,Zm,N′。
[0101] 综合考虑所有加速寿命试验样本、复用样本和衍生样本，联合加权对数极大似然函数可以表示为：
[0102]
[0103] 其中，n1为加速寿命试验故障样本量，n2为加速寿命试验截尾样本量，n1′为复用样本故障样本量，n2′为复用样本截尾样本量，n1″为衍生样本故障样本量，n2″为衍生样本截尾样本量。待估参数为
[0104] 额定载荷S0(P0,ω0)下的可靠性函数为：
[0105]
[0106] 额定载荷下的故障概率密度函数为：
[0107]
[0108] 平均故障时间(MTTF)为
[0109]
[0110] 为了便于表达和计算，采用统一的记号表示加速寿命试验样本、复用样本和衍生样本，将第j个故障样本Zj的累积故障密度记为fj(Zj)，将第j个截尾样本Yj的累积可靠度记为Rj(Yj)，则式(27)可以记为
[0111]
[0112] 其中，N1为总故障样本量，N1＝n1+n1′+n1″，N2为总截尾样本量，N2＝n2+n2′+n2″。
[0113] 本发明的一种基于样本拓展的非平衡数据多维度参数估计方法，应用于航空机载设备可靠性领域。该方法采用复用样本与衍生样本相结合的方法，可以有效地扩充样本空间；复用样本在加速寿命试验之前，已经有一定的初始损伤，应该将初始载荷谱造成的累积损伤进行折算后，再进行数据统计；衍生样本的载荷谱与正常样本存在差异，不同载荷强度下得到的数据不应该采用统一的数据统计权重，而应该按载荷强度的差异设置不同的权重；利用分组重抽样和载荷强度系数正态加权的方法，可以将不同类型的样本综合进行参数估计，解决了非平衡数据小样本参数估计问题。
[0114] 实施例
[0115] 下面通过加速寿命试验实例验证上述方法的有效性。
[0116] (1)加速寿命试验样本
[0117] 第1组试验样本为加速寿命试验样本，共有2台泵进行加速寿命试验：
[0118] 泵1为新泵，按表1所示的加速寿命试验载荷谱加速187.1小时失效。
[0119] 表1泵1加速寿命试验载荷谱
[0120]
[0121] 泵2为新泵，按表2所示的加速寿命试验载荷谱加速188.6小时失效。
[0122] 表2泵2加速寿命试验载荷谱
[0123]
[0124] (2)复用样本
[0125] 为了提高参数估计的精度，引入3台非寿命试验样本作为复用样本：
[0126] 泵3按表3所示的长试试验载荷谱运行425小时，再按表4所示的加速寿命试验载荷谱加速357.3小时失效。
[0127] 表3长试试验载荷谱
[0128]
[0129] 表4泵3加速寿命试验载荷谱
[0130]
[0131] 泵4按表3所示的长试试验载荷谱运行425小时，再按表5所示的加速寿命试验载荷谱加速64小时失效
[0132] 表5泵4加速寿命试验载荷谱
[0133]
[0134] 泵5按表3所示的长试试验载荷谱运行1275小时失效。
[0135] (3)衍生样本
[0136] 引入8台军机样本作为衍生样本，其加速寿命试验载荷谱如表6所示。试验的结果是有7台样本故障，1台试验样本截尾，各试验样本具体的失效时间和截尾时间如表7所示。
[0137] 表6衍生样本加速寿命试验载荷谱
[0138]
[0139]
[0140] 表7衍生样本失效或截尾时间
[0141]
[0142] 采用分组抽样方法，共有3组数据，对每组的抽样数为15。2个加速寿命实验样本对应的抽样区间为C1＝[0,0.5)，C2＝[0.5,1]；3个复用样本对应的抽样区间为C1＝[0,0.333)，C2＝[0.333,0.666)，C3＝[0.666,1]；8个衍生样本对应的抽样区间为C1＝[0,
0.125，)C2＝[0.125,0.25)，…，C8＝[0.875,1]。分组抽样结果如表8所示。
[0143] 表8分组抽样结果
[0144]
[0145]
[0146] 根据式(31)，采用遗传算法对上述数据进行加权极大似然估计，参数估计结果如表9所示。
[0147] 表9加权极大似然估计结果
[0148]
[0149]
[0150] 根据表9的参数估计结果，计算出额定工况下(压力21MPa，转速为4000r/min)的可靠性曲线如图4所示
[0151] 各实验样本的载荷强度系数以及在极大似然估计中的权重如表10所示，载荷强度系数越接近1，则在极大似然估计中所占的权重越大，也就是说，这种方法可以提高与额定载荷更接近的样本的权重。可以看出，复用样本的权重最大，而衍生样本的权重最小。
[0152] 表10各实验样本的载荷强度系数以及在极大似然估计中的权重
[0153]
