本发明提出了一种基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法，旨在实现轴承动态磨损过程中机床主轴径向跳动的时变性，提高主轴前端径向跳动的真实性。实现步骤为：基于赫兹点接触理论，对主轴前轴承和后轴承分别进行接触分析；计算前轴承的时变磨损和后轴承的时变磨损；计算主轴前轴承安装后的径向游隙和后轴承安装后的径向游隙；计算前轴承磨配间隙下主轴回转中心时变位移量和后轴承磨配间隙下主轴回转中心时变位移量；计算主轴前端的时变径向跳动。本发明可用于主轴系统的性能分析及优化设计。
1.一种基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法，其特征在于包括如下步骤：
(1)基于赫兹点接触理论，对机床主轴前角接触球轴承和后角接触球轴承分别进行接触分析：
(1.1)分别计算前角接触球轴承和后角接触球轴承的主曲率和及主曲率差，并利用前角接触球轴承的主曲率和及主曲率差，计算前角接触球轴承的载荷-位移系数Knf，利用后角接触球轴承的主曲率和及主曲率差，计算后角接触球轴承的载荷-位移系数Knb；
(1.2)基于主轴轴承的结构及安装方式，并利用主轴的基本设计参数，计算前角接触球轴承的理论轴向力Faf和理论径向力Frf，同时计算后轴承的理论轴向力Fab和理论径向力Frb；
(1.3)基于赫兹点接触理论，利用前角接触球轴承的载荷-位移系数Knf、前角接触球轴承的轴向力Faf和径向力Frf，计算机床主轴前角接触球轴承的承载角度ψf及每个受载滚动体的接触载荷Qi、接触变形δ0i、接触应力pi、每个受载滚动体与内圈接触椭圆区域的半长轴长度ai和半短轴长度bi；利用后角接触球轴承的载荷-位移系数Knb、后轴承的轴向力Fab和径向力Frb，计算后角接触球轴承的承载角度ψb及每个受载滚动体的接触载荷Qj、接触变形δ0j、接触应力pj、每个受载滚动体与轴承内圈接触椭圆区域的半长轴长度aj和半短轴长度bj；
(2)计算机床主轴前角接触球轴承的时变磨损Δf和后角接触球轴承的时变磨损Δb：
(2.1)利用机床主轴前角接触球轴承的承载角度ψf，计算机床主轴前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jf；利用机床主轴后角接触球轴承的承载角度ψb，计算机床主轴后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jb；
(2.2)利用机床主轴前角接触球轴承每个受载滚动体与内圈接触椭圆区域的半长轴长度ai，计算前角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Li；利用机床主轴后角接触球轴承每个受载滚动体与内圈接触椭圆区域的半长轴长度aj，计算后角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Lj；
(2.3)利用机床主轴前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jf和机床主轴前角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Li，计算机床主轴前角接触球轴承的时变磨损Δf；利用机床主轴后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jb和机床主轴后角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Lj，计算机床主轴后角接触球轴承的时变磨损Δb；
(3)计算机床主轴前角接触球轴承安装后的径向游隙δrf和后角接触球轴承安装后的径向游隙δrb；
(4)计算机床主轴前角接触球轴承磨配间隙下机床主轴回转中心时变位移量δ1和机床主轴后角接触球轴承磨配间隙下机床主轴回转中心时变位移量δ2：(4.1)通过分析机床主轴角接触球轴承的安装精度，得到安装后角接触球轴承内圈椭圆的长轴长度2a和短轴长度2b；
(4.2)根据机床主轴前角接触球轴承安装后的径向游隙δrf和机床主轴前角接触球轴承的时变磨损Δf，计算前角接触球轴承的时变磨配间隙ef；根据机床主轴后角接触球轴承安装后的径向游隙δrb和机床主轴后角接触球轴承的时变磨损Δb，计算后角接触球轴承的时变磨配间隙eb；
(4.3)根据前角接触球轴承的时变磨配间隙ef，计算前角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1f和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2f；根据后角接触球轴承的时变磨配间隙eb，计算后角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1b和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2b；
(4.4)利用前角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1f和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2f，计算机床主轴前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1；利用后角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1b和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2b，计算机床主轴后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2；
(i)当机床主轴前角接触球轴承与后角接触球轴承的径向跳动最高点在主轴回转中心异侧时，利用前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1和后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2，计算机床主轴前端的时变径向跳动Δ；
(ii)当机床主轴前角接触球轴承与后角接触球轴承的径向跳动最高点在主轴回转中心同侧时，利用前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1和后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2，计算机床主轴前端的时变径向跳动Δ。
2.根据权利要求1所述的基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法，其特征在于，步骤(2.1)中所述的机床主轴前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jf和后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jb，其计算公式分别为：机床主轴前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jf计算公式为：
后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jb计算公式为：
其中，Zf为前角接触球轴承滚动体的个数，nf为前角接触球轴承的内外圈相对转速，Df为前角接触球轴承滚动体直径，dmf为前角接触球轴承的中心距，αf前角接触球轴承接触角，ψf为前角接触球轴承的承载角度，Zb为后角接触球轴承滚动体的个数，nb为后角接触球轴承的内外圈相对转速，Db为后角接触球轴承滚动体直径，dmb为后角接触球轴承的中心距，αb为后角接触球轴承接触角，ψb为后角接触球轴承的承载角度。
3.根据权利要求1所述的基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法，其特征在于，步骤(2.2)中所述的机床主轴前角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Li和机床主轴后角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Lj，其计算公式分别为：前角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Li计算公式为：
后角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Lj计算公式为：
其中，Df为前角接触球轴承滚动体直径，ai为前角接触球轴承每个受载滚动体椭圆接触区域半长轴长度，Db为后角接触球轴承滚动体直径，aj为后角接触球轴承每个受载滚动体椭圆接触区域半长轴长度，x为前角接触球轴承与其内圈、后角接触球轴承与其内圈的椭圆接触区域上一点(x,y)的横坐标值，bx为在点(x，y)处垂直于x方向上的半长度。
4.根据权利要求1所述的基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法，其特征在于，步骤(4.2)中所述的前角接触球轴承的时变磨配间隙ef和后角接触球轴承的时变磨配间隙eb，其计算公式分别为：前角接触球轴承的时变磨配间隙ef的计算公式为：
其中， 为机床主轴前角接触球轴承安装后的径向游隙，Δf为机床主轴前角接触球轴承的时变磨损，δrb为机床主轴后角接触球轴承安装后的径向游隙，Δb为机床主轴后角接触球轴承的时变磨损。
5.根据权利要求1所述的基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法，其特征在于，步骤(4.3)中所述前角接触球轴承内圈长轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1f和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2f及后角接触球轴承内圈长轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1b和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2b，其计算公式分别为：前角接触球轴承内圈长轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1f的计算公式为：
前角接触球轴承内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2f的计算公式为：
后角接触球轴承内圈长轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1b的计算公式为：
后角接触球轴承内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2b的计算公式为：
其中，a为前角接触球轴承内圈椭圆的半长轴长度，b为前角接触球轴承内圈椭圆的半短轴长度，a′为后角接触球轴承内圈椭圆的半长轴长度，b′为后角接触球轴承内圈椭圆的半短轴长度，ef为前角接触球轴承的时变磨配间隙，eb为后角接触球轴承的时变磨配间隙。
6.根据权利要求1所述的基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法，其特征在于，步骤(4.4)中所述的机床主轴前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1和机床主轴后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2，其计算公式分别为：前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1计算公式为：
后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2计算公式为：
其中，y1f为机床主轴前角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量，y2f为机床主轴前角接触球轴承内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量，y1b为机床主轴后角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量，y2b为机床主轴后角接触球轴承内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量。
7.根据权利要求1所述的基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法，其特征在于，步骤(5)中所述的机床主轴前端的时变径向跳动Δ，其计算公式为：(i)当机床主轴前角接触球轴承与后角接触球轴承的径向跳动最高点位于主轴中心异侧时，主轴前端的时变径向跳动Δ计算公式为：(ii)当机床主轴前角接触球轴承与后角接触球轴承的径向跳动最高点位于主轴中心同侧时，主轴前端的时变径向跳动Δ计算公式为：其中，δ1为机床主轴前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量，δ2机床主轴后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量，λ为主轴悬伸量，L为主轴轴承跨距。
基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法
技术领域
[0001] 本发明属于机械工程领域，涉及一种机床主轴径向跳动计算方法，该方法考虑了机床主轴轴承的时变磨损过程，计算了主轴前端在轴承动态磨损过程中的时变径向跳动，可用于机床主轴系统的性能分析及优化设计。技术背景
[0002] 数控机床主轴系统作为数控装备中至关重要的子系统，用于安装刀具或工件，是装备实现加工的关键部件，其精度及性能是否优良将在很大程度上影响装备的加工精度及寿命，轴承作为主轴系统中最重要的关键功能部件，其主要可以分为滑动轴承及滚动轴承两大类，而滚动轴承由于启动所需力矩小、旋转精度高，选用方便等原因被普遍应用，滚动轴承由内圈、外圈、滚动体和保持架组成，其中滚动轴承又包括球轴承和滚子轴承，球轴承主要包括调心球轴承、推力球轴承、深沟球轴承、角接触球轴承等，其中角接触球轴承由于其可以同时承受径向载荷及轴向载荷，也可以单独承受轴向载荷，能够满足较高转速下的正常工作，被广泛应用于机床主轴。
[0003] 近年来，数控机床正不断向着高速、高精密和高可靠性的方向发展，这就对机床主轴性能提出了更高的要求，对主轴进行精度分析进一步提高机床主轴的性能变得至关重要，而机床主轴轴承的磨损是主轴系统最常见的一种失效形式，主轴轴承的磨损会使得轴承与主轴之间的间隙增大，使得主轴在外力作用下发生一定的静位移，造成主轴的回转轴线作复杂的周期运动，增大主轴前端的径向跳动量，同时如果间隙过大，承载滚动体的数量就会减小，其中某一滚动体的载荷肯定会增大，产生了不平衡载荷，因此降低了整个主轴的回转精度，主轴与轴承的这个随着磨损量的增大而增大的间隙称为磨配间隙，包括主轴轴承安装后的游隙和磨损产生的间隙两部分，因此，建立主轴轴承的磨损模型，并基于轴承磨配间隙计算机床主轴的前端径向跳动，可以为主轴的性能分析及优化设计提供一定的理论依据。
[0004] 从目前公开的资料来看，对主轴的径向跳动的获得主要通过三种方法，一种是通过径向跳动的检测装置来监测机床的径向跳动，该方法需要具备一定的试验环境，且很难实时检测到机床工作过程的径向跳动值；第二种是通过有限元仿真获得主轴前端的径向跳动，该方法在分析主轴前端径向跳动时，首先进行有限元建模，然后通过模态分析获得主轴的临界转速，再运用谐响应分析获得主轴前端径向跳动，但是该方法不能反映主轴在工作过程中，其主轴径向跳动的退化过程。最后一种方法则是通过轴承间隙计算主轴前端的径向跳动，该方法现有的技术中，只能计算某一确定间隙下的主轴前端径向跳动，无法进行主轴前端径向跳动的实时计算，例如，重庆理工大学的魏坤在其硕士论文“机床主轴回转精度的数字化建模与分析方法”中，公开了一种计算考虑轴承间隙的主轴径向跳动的计算方法，通过以确定的增幅(0.01mm)改变前后轴承外圈的半径值，结合建立的主轴系统回转精度几何误差模型，对前后轴承间隙的变化对主轴前端径向跳动的影响进行了分析，该方法在进行主轴前端径向跳动计算时，并没有根据轴承真实的间隙变化进行计算，导致最终的计算结果只能说明主轴前端径向跳动与轴承间隙之间的关系，并不能反映真实的主轴前端的时变径向跳动。
发明内容
[0005] 本发明的目的在于克服上述现有技术存在的缺陷，提出了一种基于轴承磨配间隙的机床主轴径向跳动计算方法，旨在实现轴承动态磨损过程中机床主轴径向跳动的时变性，提高主轴前端径向跳动的真实性。
[0006] 为了实现上述目的，本发明采用的技术方案包括如下步骤：
[0007] (1)基于赫兹点接触理论，对机床主轴前角接触球轴承和后角接触球轴承分别进行接触分析：
[0008] (1.1)分别计算前角接触球轴承和后角接触球轴承的主曲率和及主曲率差，并利用前角接触球轴承的主曲率和及主曲率差，计算前角接触球轴承的载荷-位移系数Knf，利用后角接触球轴承的主曲率和及主曲率差，计算后角接触球轴承的载荷-位移系数Knb；
[0009] (1.2)基于主轴轴承的结构及安装方式，并利用主轴的基本设计参数，计算前角接触球轴承的理论轴向力Faf和理论径向力Frf，同时计算后轴承的理论轴向力Fab和理论径向力Frb；
[0010] (1.3)基于赫兹点接触理论，利用前角接触球轴承的载荷-位移系数Knf、前角接触球轴承的轴向力Faf和径向力Frf，计算机床主轴前角接触球轴承的承载角度ψf及每个受载滚动体的接触载荷Qi、接触变形δ0i、接触应力pi、每个受载滚动体与内圈接触椭圆区域的半长轴长度ai和半短轴长度bi；利用后角接触球轴承的载荷-位移系数Knb、后轴承的轴向力Fab和径向力Frb，计算后角接触球轴承的承载角度ψb及每个受载滚动体的接触载荷Qj、接触变形δ0j、接触应力pj、每个受载滚动体与轴承内圈接触椭圆区域的半长轴长度aj和半短轴长度bj；
[0011] (2)计算机床主轴前角接触球轴承的时变磨损Δf和后角接触球轴承的时变磨损Δb：
[0012] (2.1)利用机床主轴前角接触球轴承的承载角度ψf，计算机床主轴前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jf；利用机床主轴后角接触球轴承的承载角度ψb，计算机床主轴后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jb；
[0013] (2.2)利用机床主轴前角接触球轴承每个受载滚动体与内圈接触椭圆区域的半长轴长度ai、半短轴长度bi及每个滚动体的接触应力pi，计算前角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Li；利用机床主轴后角接触球轴承每个受载滚动体与内圈接触椭圆区域的半长轴长度aj、半短轴长度bj及每个滚动体的接触应力pj，计算后角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Lj；
[0014] (2.3)利用机床主轴前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jf和机床主轴前角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Li，计算机床主轴前角接触球轴承的时变磨损Δf；利用机床主轴后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jb和机床主轴后角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Lj，计算机床主轴后角接触球轴承的时变磨损Δb；
[0015] (3)计算机床主轴前角接触球轴承安装后的径向游隙δrf和后角接触球轴承安装后的径向游隙δrb；
[0016] (4)计算机床主轴前角接触球轴承磨配间隙下机床主轴回转中心时变位移量δ1和机床主轴后角接触球轴承磨配间隙下机床主轴回转中心时变位移量δ2：
[0017] (4.1)通过分析机床主轴角接触球轴承的安装精度，得到安装后角接触球轴承内圈椭圆的长轴长度2a和短轴长度2b；
[0018] (4.2)根据机床主轴前角接触球轴承安装后的径向游隙δrf和机床主轴前角接触球轴承的时变磨损Δf，计算前角接触球轴承的时变磨配间隙ef；根据机床主轴后角接触球轴承安装后的径向游隙δrb和机床主轴后角接触球轴承的时变磨损Δb，计算后角接触球轴承的时变磨配间隙eb；
[0019] (4.3)根据前角接触球轴承的时变磨配间隙ef，计算前角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1f和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2f；根据后角接触球轴承的时变磨配间隙eb，计算后角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1b和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2b；
[0020] (4.4)利用角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1f和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2f，计算机床主轴前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1；利用后角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1b和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2b，计算机床主轴后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2；
[0021] (5)计算机床主轴前端的时变径向跳动Δ：
[0022] (i)当机床主轴前角接触球轴承与后角接触球轴承的径向跳动最高点在主轴回转中心异侧时，利用前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1和后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2，计算机床主轴前端的时变径向跳动Δ；
[0023] (ii)当机床主轴前角接触球轴承与后角接触球轴承的径向跳动最高点在主轴回转中心同侧时，利用前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1和后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2，计算机床主轴前端的时变径向跳动Δ。
[0024] 本发明与现有技术相比，具有如下优点：
[0025] 本发明在计算主轴前端径向跳动时，基于赫兹点接触理论及磨损理论，获得主轴轴承的时变磨损，并计算轴承的时变磨配间隙和轴承动态磨损过程中主轴前端的时变径向跳动，充分考虑了轴承的时变磨配间隙对主轴前端时变径向跳动的影响，避免了现有技术在试验环境不具备或没有足够样本数据的情况下，无法进行主轴前端径向跳动分析的缺陷，提高了机床主轴径向跳动的真实性。
附图说明
[0026] 图1为本发明实施例的主轴结构示意图；
[0027] 图2为本发明的实现流程图；
[0028] 图3为本发明实施例的主轴轴承内圈长轴位于垂直方向时的内外圈位置图；
[0029] 图4为本发明实施例的主轴轴承内圈短轴位于垂直方向时的内外圈位置图；
[0030] 图5为本发明实施例的主轴前端径向跳动示意图；
[0031] 图6为本发明实施例的主轴前端时变径向跳动仿真图。
具体实施方式
[0032] 下面结合附图和具体实施例，对本发明作进一步详细说明。
[0033] 参照图1，本实施例以低速重载精密数控车床的主轴系统为例，其采用的前轴承与后轴承型号均为7210B型角接触球轴承，故其基本参数相同，其中，前、后角接触球轴承的结构参数包括轴承内径Di、轴承外径Do、滚动体直径Df＝Db＝D、滚动体个数Zf＝Zb＝Z、初始接触角αf＝αb＝α0、轴承内圈滚道直径di，轴承外圈滚道直径do，轴承内圈曲率系数fi，轴承外圈曲率系数fo，轴承内外圈材料泊松比ν1，轴承滚动体材料泊松比ν2，轴承内外圈材料弹性模量E1，轴承滚动体材料弹性模量E2，各参数取值如表1所示：
[0034] 表1
[0035]
[0036] 主轴系统基本参数包括主轴转速n，主轴额定扭矩T，主电机30分钟额定功率P1，主电机功率连续额定值P2，主轴轴承跨距L，主轴悬伸量λ，各参数取值如表2所示：
[0037] 表2
[0038]
[0039] 参照图2，一种轴承磨配间隙对主轴轴端径向跳动影响的计算方法，包括如下步骤：
[0040] 步骤1)基于赫兹点接触理论，对机床主轴前角接触球轴承和后角接触球轴承分别进行接触分析：
[0041] 步骤1.1)分别计算前角接触球轴承和后角接触球轴承的主曲率和及主曲率差，并利用前角接触球轴承的主曲率和及主曲率差，计算前角接触球轴承的载荷-位移系数Knf，利用后角接触球轴承的主曲率和及主曲率差，计算后角接触球轴承的载荷-位移系数Knb；
[0042] 参考《滚动轴承分析计算与应用》中给出的赫兹点接触参数表，利用轴承内外沟道的主曲率差，通过插值方法计算获得参数δi*、δo*。由于本实施例中采用的前后轴承型号相同，则前后轴承的主曲率差和主曲率和相等，即：Knf＝Knb＝kn。则前轴承的载荷-位移系数Knf和后轴承的载荷-位移系数Knb的计算公式为：
[0043]
[0044] 其中，Σρi、Σρo分别为两轴承内外沟道的主曲率和。
[0045] 步骤1.2)基于主轴轴承的结构及安装方式，并利用主轴的基本设计参数，计算前角接触球轴承的理论轴向力Faf和理论径向力Frf，同时计算后轴承的理论轴向力Fab和理论径向力Frb；
[0046] 主轴轴系中，基于理论力学，根据主轴轴系所受的径向力只有其外加径向力有关，而在角接触球轴承的轴向力分析过程中，主轴系统所受的轴向力不仅与外加轴向力有关，而且当角接触球轴承承受径向力时，会产生派生轴向力，则轴向载荷应包含外加的轴向力和派生轴向力，建立主轴轴系的力平衡方程，求解前轴承的理论轴向力Faf、理论径向力Frf及后轴承的理论轴向力Fab和理论径向力Frb。
[0047] 步骤1.3)基于赫兹点接触理论，利用前角接触球轴承的载荷-位移系数Knf、前角接触球轴承的轴向力Faf和径向力Frf，计算机床主轴前角接触球轴承的承载角度ψf及每个受载滚动体的接触载荷Qi、接触变形δ0i、接触应力pi、每个受载滚动体与内圈接触椭圆区域的半长轴长度ai和半短轴长度bi；利用后角接触球轴承的载荷-位移系数Knb、后轴承的轴向力Fab和径向力Frb，计算后角接触球轴承的承载角度ψb及每个受载滚动体的接触载荷Qj、接触变形δ0j、接触应力pj、每个受载滚动体与轴承内圈接触椭圆区域的半长轴长度aj和半短轴长度bj；
[0048] 步骤2)计算机床主轴前角接触球轴承的时变磨损Δf和后角接触球轴承的时变磨损Δb：
[0049] 步骤2.1)利用机床主轴前角接触球轴承的承载角度ψf，计算机床主轴前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jf；利用机床主轴后角接触球轴承的承载角度ψb，计算机床主轴后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jb；
[0050] 机床主轴前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jf计算公式为：
[0051]
[0052] 后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jb计算公式为：
[0053]
[0054] 其中，Zf为前角接触球轴承滚动体的个数，nf为前角接触球轴承的内外圈相对转速，Df为前角接触球轴承滚动体直径，dmf为前角接触球轴承的中心距，αf前角接触球轴承接触角，Ψf为前角接触球轴承的承载角度，Zb为后角接触球轴承滚动体的个数，nb为后角接触球轴承的内外圈相对转速，Db为后角接触球轴承滚动体直径，dmb为后角接触球轴承的中心距，αb为后角接触球轴承接触角，ψb为后角接触球轴承的承载角度。
[0055] 步骤2.2)利用机床主轴前角接触球轴承每个受载滚动体与内圈接触椭圆区域的半长轴长度ai、半短轴长度bi及每个滚动体的接触应力pi，计算前角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Li；利用机床主轴后角接触球轴承每个受载滚动体与内圈接触椭圆区域的半长轴长度aj、半短轴长度bj及每个滚动体的接触应力pj，计算后角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Lj；
[0056] 前角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Li计算公式为：
[0057]
[0058] 后角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Lj计算公式为：
[0059]
[0060] 其中，Df为前角接触球轴承滚动体直径，Db为后角接触球轴承滚动体直径，aj为后角接触球轴承每个受载滚动体椭圆接触区域半长轴长度。
[0061] 步骤2.3)利用机床主轴前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jf和机床主轴前角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Li，计算机床主轴前角接触球轴承的时变磨损量Δf；利用机床主轴后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数Jb和机床主轴后角接触球轴承在每个接触区域内单次接触应力下的滑移距离Lj，计算机床主轴后角接触球轴承在的时变磨损Δb；
[0062] 前角接触球轴承的时变磨损Δf计算公式为：
[0063]
[0064] 后角接触球轴承的时变磨损Δb计算公式为：
[0065]
[0066] 其中，Jf为前角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数，HBf为前角接触球轴承的洛氏硬度，p0,p1…pi为前角接触球轴承每个受载滚动体的接触应力，L0,L1…Li分别为前角接触球轴承在对应的p0,p1…pi下的单次接触应力下的滑移距离，p0为受载最大滚动体的接触应力，p1为与受载最大的滚动体相邻的两个滚动体的接触应力，以此类推，Jb为后角接触球轴承内圈每分钟的应力循环次数，HBb为后角接触球轴承的洛氏硬度，p00,p11…pjj为后角接触球轴承每个受载滚动体的接触应力，L00,L11…Ljj分别为后角接触球轴承在对应的p00,p11…pjj下的单次接触应力下的滑移距离，p00为受载最大滚动体的接触应力，p11为与受载最大滚动体相邻的两个滚动体的接触应力，以此类推。G为磨损系数，m为经验系数。
[0067] 步骤3)计算机床主轴前角接触球轴承安装后的径向游隙δrf和后角接触球轴承安装后的径向游隙δrb；
[0068] 由于轴承与轴的配性质属于过盈配合，内圈膨胀，外圈收缩，因此使得径向游隙减小，计算公式分别为：
[0069] 前角接触球轴承安装后的径向游隙δrf计算公式为：
[0070]
[0071] 后角接触球轴承安装后的径向游隙δrb计算公式为：
[0072]
[0073] 其中，δrf0为前轴承的初始游隙，δrb0为后轴承的初始游隙，If为前轴承的有效过盈量，Ib为后轴承的有效过盈量，Dif、Dof分别为前轴承的内外圈直径，dif、dof分别为前轴承内外圈滚道直径，Dib、Dob分别为前轴承的内外圈直径，dib、dob分别为前轴承内外圈滚道直径。
[0074] 步骤4)计算机床主轴前角接触球轴承磨配间隙下机床主轴回转中心时变位移量δ1和机床主轴后角接触球轴承磨配间隙下机床主轴回转中心时变位移量δ2：
[0075] 步骤4.1)通过分析机床主轴角接触球轴承的安装精度，得到安装后角接触球轴承内圈椭圆的长轴长度2a和短轴长度2b；
[0076] 根据国家标准GB/T275—1993《滚动轴承与轴和外壳的配合》，选取轴承内孔与轴的配合为基孔制的过盈配合，并选取孔的公差等级和轴的公差等级，根据其公差等级查表获得轴与孔配合的最大过盈量，本实施例中选取轴承安装后内圈椭圆长轴长度为2a＝50mm，短轴长度2b＝49.985mm。
[0077] 步骤4.2)根据机床主轴前角接触球轴承安装后的径向游隙δrf和机床主轴前角接触球轴承的时变磨损Δf，计算前角接触球轴承的时变磨配间隙ef；根据机床主轴后角接触球轴承安装后的径向游隙δrb和机床主轴后角接触球轴承的时变磨损量Δb，计算后角接触球轴承的时变磨配间隙eb；
[0078] 前角接触球轴承的时变磨配间隙ef的计算公式为：
[0079]
[0080] 后角接触球轴承的时变磨配间隙eb的计算公式为：
[0081] eb＝δrb+Δb
[0082] 其中， 为机床主轴前角接触球轴承安装后的径向游隙，Δf为机床主轴前角接触球轴承的时变磨损，δrb为机床主轴后角接触球轴承安装后的径向游隙，Δb为机床主轴后角接触球轴承的时变磨损。
[0083] 步骤4.3)根据前角接触球轴承的时变磨配间隙ef，计算前角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1f和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2f；根据后角接触球轴承的时变磨配间隙eb，计算后角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1b和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2b；计算公式推导过程如下：
[0084] 当主轴前角接触球轴承内圈长轴位于垂直方向上时轴承内外圈位置如图3所示，此时主轴的回转中心时变位移量y1f的计算公式为：
[0085]
[0086] 当主轴前角接触球轴承内圈短轴位于垂直方向上时轴承内外圈位置如图4所示，此时轴承内圈椭圆的长轴与外圆相切，图中Do为前轴承外径，o为前轴承外圈回转中心，o′为前轴承内圈回转中心，主轴的回转中心的位移量如图5中y2f所示，推导过程如下：
[0087] 前轴承外圈圆的滚道方程式为：
[0088]
[0089] 前轴承内圈椭圆的滚道方程为：
[0090]
[0091] 令前轴承外圈圆滚道方程式中的y与前轴承内圈椭圆滚道方程中的y值相等，化简可得当轴承短轴位于垂直方向上时，主轴的回转中心时变位移量y2f的计算公式为：
[0092]
[0093] 其中，a为前角接触球轴承内圈椭圆的半长轴长度，b为前角接触球轴承内圈椭圆的半短轴长度，ef为前角接触球轴承的时变磨配间隙；
[0094] 同理，后角接触球轴承内圈长轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1b的计算公式为：
[0095]
[0096] 后角接触球轴承内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2b的计算公式为：
[0097]
[0098] 其中，a′为后角接触球轴承内圈椭圆的半长轴长度，b′为后角接触球轴承内圈椭圆的半短轴长度，eb为后角接触球轴承的时变磨配间隙。
[0099] 步骤4.4)利用角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1f和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2f，计算机床主轴前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1；利用后角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y1b和内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量y2b，计算机床主轴后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2；
[0100] 前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1计算公式为：
[0101] δ1＝2(y2f-y1f)
[0102] 后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2计算公式为：
[0103] δ2＝2(y2b-y1b)
[0104] 其中，y1f为机床主轴前角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量，y2f为机床主轴前角接触球轴承内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量，y1b为机床主轴后角接触球轴承内圈长轴在垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量，y2b为机床主轴后角接触球轴承内圈短轴位于垂直方向上时机床主轴的回转中心时变位移量。
[0105] 步骤5)计算机床主轴前端的时变径向跳动Δ：
[0106] (i)当机床主轴前角接触球轴承与后角接触球轴承的径向跳动最高点在主轴回转中心异侧时，利用前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1和后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2，计算机床主轴前端的时变径向跳动Δ；
[0107] 当机床主轴前角接触球轴承与后角接触球轴承的径向跳动最高点位于主轴中心异侧时：
[0108]
[0109] (ii)当机床主轴前角接触球轴承与后角接触球轴承的径向跳动最高点在主轴回转中心同侧时，利用前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ1和后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量δ2，计算机床主轴前端的时变径向跳动Δ：
[0110] 本实施例的前后轴承的最大径向跳动在主轴回转中心同侧时主轴，主轴前端径向跳动示意图如图5所示，当前后轴承无跳动时主轴中心线为AB，当后轴承无径向跳动时主轴中心线为AB′，前轴承无径向跳动时主轴中心线为A′B，当前后轴承都有径向跳动时主轴中心线为A′B′，这样主轴前端C处的径向跳动为CD，令其为Δ。根据相似三角形性质可得主轴前端径向跳动的计算公式为：
[0111]
[0112] 其中，δ1为机床主轴前角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量，δ2机床主轴后角接触球轴承在磨配间隙下主轴回转中心时变位移量，λ为主轴悬伸量，L为主轴轴承跨距。
[0113] 以下结合仿真试验，对本发明的技术效果作以说明：
[0114] 1.仿真条件和内容：
[0115] 利用MATLAB软件对本实施例的主轴系统的径向跳动进行仿真试验，其结果如图6所示。
[0116] 2.仿真结果分析：
[0117] 参照图6，横坐标表示时间，单位为分钟，纵坐标表示主轴前端的径向跳动，单位为毫米，图中的曲线即为当主轴前后轴承的径向跳动最高点在主轴中心同侧时主轴前端径向跳动，可以看出：主轴前端的径向跳动随着使用时间的增加呈现增长趋势，结果表明本发明可以获得主轴前端时变径向跳动，提高了径向跳动的真实性。
