本发明提供一种轴对称径向非均质土中大直径桩纵向振动分析方法，包括如下步骤：桩周土体采用三维轴对称模型考虑竖向波动效应；桩周土体分为内部扰动区域和外部区域，内部扰动区域划分任意圈层，每圈层土体各自为均质、各向同性线性粘弹性体，外部区域土体径向无限延伸，土体材料阻尼采用黏性阻尼；桩土界面及各圈层土界面两侧位移连续、应力平衡，且桩土系统振动为小变形；桩身混凝土为线弹性，应力波在桩身中的传播满足平截面假定；建立三维轴对称条件下桩周土体和桩身纵向振动方程；使用Laplace变换和分离变量法，求解振动方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数。本发明更接近现实模型，可为桩基动力检测提供理论指导和参考作用。
1.一种轴对称径向非均质土中大直径桩纵向振动分析方法，其特征在于，包括如下步骤：S1：建模，桩周土体采用三维轴对称模型考虑竖向波动效应，且考虑桩身横向惯性效应，其中，桩身假定为均质等截面弹性体，桩体底部为黏弹性支承；
S2：将桩周土体沿径向分为内部扰动区域和外部区域，并将内部扰动区域沿径向划分任意个圈层，每一圈层土体各自为均质、各向同性线性粘弹性体，外部区域土体径向无限延伸，土体材料阻尼采用黏性阻尼，忽略土体径向位移；
S3：定义桩土界面及各圈层土界面两侧位移连续、应力平衡，且桩土系统振动为小变形；
S4：桩身混凝土为线弹性，应力波在桩身中的传播满足平截面假定，其中，桩周土与桩壁界面上产生的剪应力，通过桩土界面剪切复刚度传递给桩身；
S5：根据弹性动力学基本理论，建立三维轴对称条件下的桩周土体和桩身纵向振动方程及边界条件；
所述步骤S5中的桩周土体和桩身纵向振动方程分别为：桩周土体振动方程：
其中，内部扰动区域沿径向划分m个圈层， 和 分别代表第j圈层土体拉梅常数、剪切模量、黏性阻尼系数和密度，r为径向坐标，t为时间，z为纵向坐标，为桩周第j圈层土体位移；
对于黏性阻尼土，第i层段土对桩身单位面积的侧壁切应力 为：其中， 分别代表第1圈层土体剪切模量和黏性阻尼系数；
取桩身微元体作动力平衡分析，考虑横向惯性效应桩身纵向振动基本方程为：式中， fS为桩周土对桩身的侧壁剪切应力(摩阻力)，uP(z,t)为桩身质点纵向振动位移，mP为桩的单位长度质量，mP＝ρPAP，AP为桩身截面面积，AP＝πr12，vp为桩身泊松比；
上述式(1)、(3)即为基于黏性阻尼土模型的桩-土体系耦合纵向振动控制方程；
式中， 和 分别代表第j圈层土体弹性模量和土层底部黏弹性支承常数，代表外部区域土体竖向位移幅值；
其中，EP、ρP、vP、F和kP、δP分别代表桩身弹性模量、桩身密度、桩身泊松比、桩顶激振力和P桩底黏弹性支承常数，A为桩身截面积，H为桩长，r1为半径，其中，桩周土与桩位移及力连续条件： uP(z,t)为桩身位移；
S6：使用Laplace变换和分离变量法，求解步骤S5中所述的两个振动方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数，以对桩基的纵向振动进行分析；所述步骤S6包括以下具体步骤：对方程(1)进行Laplace变换得：其中，s为复变量， 是 的Laplace变换；
式中，R代表关于径向方向的函数，Z代表关于纵向方向的函数，将式(10)带入式(9)，化简可得：式(11)可以分解为两个常微分方程：式中， 为常数，并满足下列关系：由此可得，
则式(12)、(13)的解为：其中， 为零阶第一类，第二类虚宗量贝塞尔函数；
对土层边界条件式(4)、(5)、(6)进行Laplace变换可得：将式(18)代入(16)可得 而将式(19)代入(16)可得：式中 表示土层底部弹簧复刚度的无量纲参数， 和表示第j圈层土体弹性模量和土层底部黏弹性支承常数；
式(21)为超越方程，具体通过MATLAB编程求解得到无穷多个特征值 记为 并将代入式(15)可得综合式(18)、(19)和(20)可得：式中， 为一系列待定常数；
进一步地，圈层j与圈层j-1之间侧壁剪切应力可化简为：据各圈层位移连续条件、应力平衡条件及固有函数 的正交性可得：令 对式(23)进行化简计算可得常数 与 比值 为：当j＝m时，
当j＝m-1,...,2,1时，对式(3)进行Laplace变换，并将式(2)代入后可得：其中，公式(23)～(27)中， VP、EP、ρP和vP分别代表桩身的剪切波速、弹性模量、密度和泊松比， 为一阶第一类，第二类虚宗量贝塞尔函数，UP(z,s)是uP(z,t)的Laplace变换，取s＝iω， ω为激振频率，取ω2＝-s2，则方程(27)的通解为：且方程(27)的特解形式可写为其中， 为可由边界条件得到的常系数， 为待定系数，将式(29)代入式(27)并化简可以得到：其中，
进一步地，对式(9)进行Laplace变换，由式(22)、(32)可得：将式(30)、(31)代入式(33)并化简可得：其中，
均为无量纲参数；γn、γ′n、γ″n、 为桩土耦合相关系数，ω为纵向振动圆频率；
对桩顶及桩底边界条件即式(7)、(8)进行Laplace变换，可得：其中，P(s)为桩顶激振力p(t)的Laplace变换表达式；
由式(38)可得桩顶位移响应函数为：由此可得桩顶速度频率响应函数为：其中，
由式(38)可进一步得出桩顶复刚度为：式中， 为无量纲复刚度，H′v为导纳无量纲参数，令K′d＝Kr+iKi，其中Kr代表桩顶动刚度，Ki代表桩顶动阻尼；
根据傅里叶变换的性质，据桩顶速度响应函数式(40)可得单位脉冲激励作用下桩顶时域速度响应为：式中，t'＝t/Tc为无量纲时间，由卷积定理知，在任意激振力p(t)，P(iω)为p(t)的傅里叶变换，桩顶时域速度响应为：g(t)＝p(t)*h(t)＝IFT[P(iω)×H(iω)] (43)进一步地，基于桩顶速度频率响应函数和桩顶速度时域响应函数，可以对桩身振动特性及桩身完整性进行评价。
2.根据权利要求1所述的轴对称径向非均质土中大直径桩纵向振动分析方法，其特征在于，当桩顶处激振力p(t)为半正弦脉冲时，即其中，T为脉冲宽度，由式(43)可得半正弦脉冲激振力作用下桩顶时域速度响应半解析解答为：式中，Vv′为时域响应无量纲速度， T′＝T/Tc为无量纲脉冲宽度因子，Qmax为半正弦脉冲振幅。
轴对称径向非均质土中大直径桩纵向振动分析方法
技术领域
[0001] 本发明涉及土建领域，尤其涉及一种基于三维轴对称径向非均质黏性阻尼土体模型考虑桩身横向惯性效应的桩基纵向振动分析方法。
背景技术
[0002] 桩-土耦合振动特性研究是桩基抗震、防震设计及桩基动力检测等工程技术领域的理论基础，一直以来亦是岩土工程和固体力学的热点问题。
[0003] 众所周知，在桩基施工过程中，由于挤土、松弛以及其它扰动因素的影响，使得桩周土体沿桩基径向存在一定不均匀性，即径向非均质效应。为考虑此种径向非均质效应，国内外诸多学者取得了大量成果。这些成果可从不同角度加以分类，从作用的外荷载来看，可分为谐和荷载作用下的频域响应研究和任意荷载下时域、频域响应研究；从土体的材料阻尼来看，可分为滞回材料阻尼和黏性材料阻尼；从求解方法来看，可分为解析法、半解析法及数值方法。
[0004] 土体的材料阻尼是由土体内部颗粒摩擦所引起的能量耗散，这种内摩擦是由介质颗粒结晶结构的缺损、介质颗粒之间的非弹性连接及其他热弹性过程引起的，是不可避免的，为了考虑这一内摩擦效应，采用考虑阻尼效应的土体线性本构方程，来研究材料阻尼对桩动力响应的影响是非常必要的。
[0005] 在观测和实验基础上建立的常用线性阻尼本构方程可分为两类：时域本构方程和频域本构方程，前者从宏观物理模型线性粘弹性体出发直接在时域建立；后者则通过与经典的频域分析方法相匹配在频域内建立。
[0006] 线性粘弹性体的时域本构模型，可以由线性弹簧和线性阻尼元件构成，线性阻尼元件的粘性应力与应变率成正比，由这两种线性单元可以构成各种线性粘弹性本构模型，可以反映真实固体的应力-应变性质。
[0007] 对于三维波动效应明显，由于波的弥散性，采用传统一维波动理论得到的计算结果与实际情况存在明显误差。针对这一问题，提出了Rayleigh-Love杆模型，通过考虑杆件的横向惯性效应来近似模拟三维波动效应，采用该模型能够较好地模拟桩的实际振动特性。
[0008] 线性滞回阻尼主要体现在频域本构中的滞回阻尼比，频域本构可以理解为时域本构的逆傅里叶变换，滞回阻尼比通常假设为常数，即假设材料处于弹性工作区域内，滞回阻尼比的变化不大，或无明显趋向性变化。另外，对谐和荷载下的稳态振动问题的频域分析，能够近似地反映土体的材料阻尼特性。然而，对非谐和振动(瞬态振动或随机振动)问题，滞回阻尼模型是不适合的，特别是在研究瞬态激振条件下桩的时域响应时，土阻尼力与振幅有关也与应变速率有关，采用滞回阻尼模型在概念上会引起矛盾，从而产生所谓“动响应的非因果性”，而此时粘性阻尼模型则比较适合，在物理上也更合理。
[0009] 综上分析，目前在考虑桩身横向惯性效应研究桩体振动响应问题时，均采用平面应变模型理论，而该模型忽略了土体应力、位移分量沿深度的变化，不能反映土体在径向各层间的联系，也不能考虑桩周土体的三维应力状态、桩-土间的三维动力耦合效应。采用三维轴对称径向非均质土体模型解决上述问题更为合适，但也存在诸多弊端。因此，本发明提供一种基于三维轴对称径向非均质黏性阻尼土体模型考虑桩身横向惯性效应的桩基纵向振动分析方法，且尚属首次运用到桩基振动研究领域有着良好的应用前景。
发明内容
[0010] 根据上述提出的技术问题，考虑桩周土体施工扰动，土体采用黏性阻尼模型，基于复刚度传递多圈层三维轴对称模型，对任意激振力作用下径向非均质黏性阻尼土中桩基纵向振动特性进行解析理论研究，而提供一种轴对称径向非均质土中大直径桩纵向振动分析方法。
[0011] 本发明采用的技术手段如下：
[0012] 一种轴对称径向非均质土中大直径桩纵向振动分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
[0013] S1：建模，桩周土体采用三维轴对称模型考虑竖向波动效应，且考虑桩身横向惯性效应，其中，桩身假定为均质等截面弹性体，桩体底部为黏弹性支承；
[0014] S2：将桩周土体沿径向分为内部扰动区域和外部区域，并将内部扰动区域沿径向划分任意个圈层，每一圈层土体各自为均质、各向同性线性粘弹性体，外部区域土体径向无限延伸，土体材料阻尼采用黏性阻尼，忽略土体径向位移；
[0015] S3：定义桩土界面及各圈层土界面两侧位移连续、应力平衡，且桩土系统振动为小变形；
[0016] S4：桩身混凝土为线弹性，应力波在桩身中的传播满足平截面假定，其中，桩周土与桩壁界面上产生的剪应力，通过桩土界面剪切复刚度传递给桩身；
[0017] S5：根据弹性动力学基本理论，建立三维轴对称条件下的桩周土体和桩身纵向振动方程及边界条件；
[0018] S6：使用Laplace变换和分离变量法，求解步骤S5中所述的两个振动方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数，以对桩基的纵向振动进行分析。
[0019] 较现有技术相比，本发明通过采用基于三维轴对称径向非均质土体模型对考虑桩身横向惯性效应的桩基进行纵向振动分析，其采用的三维轴对称土体模型考虑了桩周土竖向波动效应，阻尼模型为桩土耦合振动体系提供的阻尼力与应变速率相关，能适用于非谐和激振问题特别是瞬态激振条件下时桩体时域振动响应问题，径向非均质性能考虑桩周土体施工扰动效应，更接近现实模型，同时，通过考虑桩身的横向惯性效应能够近似模拟三维波动效应，可为桩基动力检测提供理论指导和参考作用。
附图说明
[0020] 为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图做以简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
[0021] 图1为本发明轴对称径向非均质土中大直径桩纵向振动分析方法的流程图。
[0022] 图2为本发明桩土系统纵向耦合振动力学简化模型的示意图。
具体实施方式
[0023] 为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0024] 如图1所示，一种轴对称径向非均质土中大直径桩纵向振动分析方法，包括如下步骤：
[0025] S1：建模，桩周土体采用三维轴对称模型考虑竖向波动效应，且考虑桩身横向惯性效应，其中，桩身假定为均质等截面弹性体，桩体底部为黏弹性支承；
[0026] S2：将桩周土体沿径向分为内部扰动区域和外部区域，并将内部扰动区域沿径向划分任意个圈层，每一圈层土体各自为均质、各向同性线性粘弹性体，外部区域土体径向无限延伸，土体材料阻尼采用黏性阻尼，忽略土体径向位移；
[0027] S3：定义桩土界面及各圈层土界面两侧位移连续、应力平衡，且桩土系统振动为小变形；
[0028] S4：桩身混凝土为线弹性，应力波在桩身中的传播满足平截面假定，其中，桩周土与桩壁界面上产生的剪应力，通过桩土界面剪切复刚度传递给桩身；
[0029] S5：根据弹性动力学基本理论，建立三维轴对称条件下的桩周土体和桩身纵向振动方程及边界条件；
[0030] 本发明基于三维轴对称模型，对任意圈层土中的黏弹性支承桩基的纵向振动特性进行研究，力学简化模型如图2所示。桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，桩周土体内部扰动区域径向厚度为b，并将内部扰动区域沿径向划分m个圈层，第j圈层土体土体拉梅常数、剪切模量、弹性模量、黏性阻尼系数、密度和土层底部黏弹性支承常数分别为和 桩周土对桩身的侧壁剪切应力(摩阻力)为fS，第j-1个圈层与第j圈层的界面处半径为rj，特别地，内部扰动区域和外部区域界面处的半径为rm+1，外部区域则为径向半无限均匀黏弹性介质。设桩周第j圈层土体位移为 桩身位移
P P
为u(z,t)，r为径向坐标，t为时间，z为纵向坐标，A为桩身截面积。
[0031] 所述步骤S5中的桩周土体和桩身纵向振动方程分别为：
[0032] 桩周土体振动方程：
[0033]
[0034] 其中，内部扰动区域沿径向划分m个圈层， 和 分别代表第j圈层土体拉梅常数、剪切模量、黏性阻尼系数和密度，r为径向坐标，t为时间，z为纵向坐标；
[0035] 对于黏性阻尼土，第i层段土对桩身单位面积的侧壁切应力 为：
[0036]
[0037] 其中， 分别代表第1圈层土体剪切模量和黏性阻尼系数；
[0038] 取桩身微元体作动力平衡分析，考虑横向惯性效应桩身纵向振动基本方程为：
[0039]
[0040] 式中， fS为桩周土对桩身的侧壁剪切应力(摩阻力)，uP(z,t)P P P P P
为桩身质点纵向振动位移，m为桩的单位长度质量，m ＝ρA，A为桩身截面面积，vp为桩身泊松比；
[0041] 上述式(1)、(3)即为基于黏性阻尼土模型的桩-土体系耦合纵向振动控制方程；
[0042] Ⅰ、土层边界条件：
[0043] 土层顶面：
[0044]
[0045] 土层底面：
[0046]
[0047] 当r→∞时，位移为零：
[0048]
[0049] 式中， 和 分别代表第j圈层土体弹性模量和土层底部黏弹性支承常数，代表外部区域土体竖向位移幅值；
[0050] Ⅱ、桩身边界条件：
[0051] 桩身顶部边界条件：
[0052]
[0053] 桩身底部处边界条件：
[0054]
[0055] 其中，EP、ρP、vP、F和kP、δP分别代表桩身弹性模量、桩身密度、桩身泊松比、桩顶激振力和桩底黏弹性支承常数，AP为桩身截面积，H为桩长，r1为半径，其中，桩周土与桩位移及力连续条件： uP(z,t)为桩身位移。
[0056] S6：使用Laplace变换和分离变量法，求解步骤S5中所述的两个振动方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数，以对桩基的纵向振动进行分析。
[0057] 所述步骤S6包括以下具体步骤：
[0058] 对方程(1)进行Laplace变换得：
[0059]
[0060] 其中，s为复变量， 是 的Laplace变换；
[0061] 采用分离变量法求解，令：
[0062]
[0063] 式中，R代表关于径向方向的函数，Z代表关于纵向方向的函数，将式(10)带入式(9)，化简可得：
[0064]
[0065] 式(11)可以分解为两个常微分方程：
[0066]
[0067]
[0068] 式中， 为常数，并满足下列关系：
[0069]
[0070] 由此可得，
[0071]
[0072] 则式(12)、(13)的解为：
[0073]
[0074]
[0075] 其中， 为零阶第一类，第二类虚宗量贝塞尔函数；为由边界条件决定的积分常数；
[0076] 对土层边界条件式(4)、(5)、(6)进行Laplace变换可得：
[0077]
[0078]
[0079]
[0080] 将式(18)代入(16)可得 而将式(19)代入(16)可得：
[0081]
[0082] 式中 表示土层底部弹簧复刚度的无量纲参数，和 表示第j圈层土体弹性模量和土层底部黏弹性支承常数；
[0083] 式(21)为超越方程，具体通过MATLAB编程求解得到无穷多个特征值 记为并将 代入式(15)可得
[0084] 综合式(18)、(19)和(20)可得：
[0085]
[0086] 式中， 为一系列待定常数；
[0087] 进一步地，圈层j与圈层j-1之间侧壁剪切应力可化简为：
[0088]
[0089] 据各圈层位移连续条件、应力平衡条件及固有函数 的正交性可得：
[0090]
[0091] 令 对式(23)进行化简计算可得常数 与 比值 为：
[0092] 当j＝m时，
[0093]
[0094] 当j＝m-1,...,2,1时，
[0095]
[0096] 对式(3)进行Laplace变换，并将式(2)代入后可得：
[0097]
[0098]
[0099] 其中，公式(23)～(27)中， VP、EP、ρP和vP分别代表桩身的剪切波速、弹性模量、密度和泊松比， 为一阶第一类，第二类虚宗量贝塞尔函数，UP(z,s)是uP(z,t)的Laplace变换，取s＝iω， ω为激振频率，取ω2＝-s2，则方程(27)的通解为：
[0100]
[0101] 且方程(27)的特解形式可写为
[0102]
[0103] 其中 ， 为可由边界条件得到的常系数， 为待定系数，
[0104] 将式(29)代入式(27)并化简可以得到：
[0105]
[0106] 其中，
[0107] 整理式(30)可得出：
[0108]
[0109] 则式(27)的定解为：
[0110]
[0111] 进一步地，对式(9)进行Laplace变换，由式(22)、(32)可得：
[0112]
[0113] 将式(30)、(31)代入式(33)并化简可得：
[0114]
[0115] 其中，
[0116] 可得到桩的位移幅值表达式为：
[0117] 式中，
[0118]
[0119]
[0120]
[0121]均为无量纲参数；γn、γn′、γn″、 为桩土耦合相关系数，ω为
纵向振动圆频率；
[0122] 对桩顶及桩底边界条件即式(7)、(8)进行Laplace变换，可得：
[0123]
[0124]
[0125] 其中，P(s)为桩顶激振力p(t)的Laplace变换表达式；
[0126] 令 可得桩顶位移阻抗函数为：
[0127]
[0128] 式中，
[0129] 由式(38)可得桩顶位移响应函数为：
[0130]
[0131] 由此可得桩顶速度频率响应函数为：
[0132]
[0133] 其中，
[0134] 由式(38)可进一步得出桩顶复刚度为：
[0135]
[0136] 式中， 为无量纲复刚度，H′v为导纳无量纲参数，令K′d＝Kr+iKi，其中Kr代表桩顶动刚度，Ki代表桩顶动阻尼；
[0137] 根据傅里叶变换的性质，据桩顶速度响应函数式(40)可得单位脉冲激励作用下桩顶时域速度响应为：
[0138]
[0139] 式中，t'＝t/Tc为无量纲时间，由卷积定理知，在任意激振力p(t)，P(iω)为p(t)的傅里叶变换，桩顶时域速度响应为：
[0140] g(t)＝p(t)*h(t)＝IFT[P(iω)×H(iω)] (43)
[0141] 当桩顶处激振力p(t)为半正弦脉冲时，即
[0142]
[0143] 其中，T为脉冲宽度，由式(43)可得半正弦脉冲激振力作用下桩顶时域速度响应半解析解答为：
[0144]
[0145] 式中，V′v为时域响应无量纲速度， T′＝T/Tc为无量纲脉冲宽度因子，Qmax为半正弦脉冲振幅。
[0146] 进一步地，基于桩顶速度导纳函数和桩顶速度时域响应函数，可以对桩身振动特性及桩身完整性进行评价。
[0147] 本发明的基于三维轴对称径向非均质黏性阻尼土体模型考虑桩身横向惯性效应的桩基纵向振动分析方法，由于波的弥散性，采用传统一维波动理论得到的计算结果与实际情况存在明显误差，本发明采用的Rayleigh-Love杆模型能够考虑杆件的横向惯性效应来近似模拟三维波动效应，能适用于三维波动效应明显的大直径桩，而径向非均质性能考虑桩周土体施工扰动效应，可为桩基动力检测提供理论指导和参考作用。
[0148] 最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。
