一种基于改进奇次重复控制的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法

摘要

本发明公开了一种基于改进奇次重复控制的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法，首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，然后采用基于MORC控制器的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法。其中，MORC能精确抑制谐波振动力，加速抑制的动态过程。同时，MORC采用相位补偿方式可以保证系统的绝对稳定性。本发明中的奇次重复控制器结构简单，在实际应用中很方便，能对磁悬浮转子中谐波振动力进行抑制，适用于存在质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统谐波振动力的抑制。

权利要求

1.一种基于改进奇次重复控制的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：步骤(1)：建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型应用对象为全主动磁轴承系统，全主动磁轴承控制系统包括磁轴承控制器、功率放大器、径向磁铁、轴向磁铁、磁悬浮转子和位移传感器，磁悬浮转子系统五个自由度均由主动可控的永磁偏置混合磁轴承控制，包括四对径向磁轴承、四对径向位移传感器、一对轴向磁轴承、一对轴向位移传感器、磁悬浮转子以及保护轴承，径向磁轴承和径向位移传感器分别对称分布于转子两端；转子沿两径向的两自由度平动和转动由径向磁轴承和径向位移传感器进行测量控制，一对轴向磁轴承和轴向位移传感器控制着转子沿轴向方向的平动；

在不考虑转子轴向平动时，针对径向磁轴承系统，建模如下：

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在径向的基本动力学方程如下：其中，M为广义质量矩阵，G为陀螺矩阵，f为径向磁轴承轴承力矢量，hI表示磁轴承惯性轴沿径向的位移；

对于全主动永磁偏置混合磁轴承，径向磁轴承轴承力矢量f由位移刚度力和电流刚度力两部分力合成，当转子悬浮在平衡位置附近做小位移运动时，对非线性轴承力方程进行泰勒展开可得到线性化方程为：f＝KiI+Khhg

其中，Kh、Ki分别为磁轴承系统位移刚度系数阵和电流刚度系数阵，I为径向磁轴承线圈电流矢量，hg表示磁轴承几何轴沿径向的位移；

假设磁悬浮转子给定任意悬浮位置为0，磁轴承控制器和功率放大器采用线性模型，则电流I可表示为：I＝-kadGw(s)Gc(s)hs

其中，Gc(s)为反馈控制器的传递函数矩阵，Gw(s)为功率放大器的传递函数矩阵，kad为AD采样的放大倍数，hs表示径向位移传感器输出的转子几何轴位移；

根据以上分析，磁轴承控制系统基本动力学方程为：

定义转子不平衡为：

Δh＝hg-hI

在实际转子系统中，由于机械加工精度和材料的不均匀因素的影响，传感器误差不可避免，表示为hsr，则位移传感器输出信号可表示为：hss＝Kshg+hsr

其中，Ks为位移传感器传递函数；

结合以上分析，可得含转子不平衡和传感器误差的磁悬浮转子动力学方程有：由上式可知，磁悬浮转子动力学方程是以转子惯性轴位移hI、磁悬浮转子几何轴位移hg和hs为变量的，由于存在质量不平衡以及传感器误差振动源的存在，导致这些变量与真值之间存在一定偏差，分析振动的原因包括：(1)当转子不平衡量存在时，使得磁悬浮转子的几何轴和惯性轴不重合，由于转子动力学方程的变量是相对于磁悬浮惯性轴位移的，从而产生不平衡振动力和力矩；(2)当传感器检测面的中心线与其电性能中心线、传感器电性能中心线与磁悬浮转子几何轴不一致时，就会引起谐波振动力；

步骤(2)：设计基于改进奇次重复控制MORC的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法控制器以并联的形式接入原闭环系统，将磁轴承控制器产生的谐波振动力作为误差信号输入MORC控制器模块，其输出反馈至原控制系统的功放输入端，该模块的设计包括以下两个方面：①改进奇次重复控制：根据实际磁悬浮转子系统在低转速下产生的谐波振动力主要为奇次谐波的特点，选择奇次重复控制结构；根据谐波振动力基频f0及系统实际采样频率fs，得到MORC控制器基本长度N＝fs/f0，这里只考虑N为整数的情况，当N为分数时，可根据Lagrange插值法设计相应FIR分数延时滤波器；

②通过理论分析和证明，得到并联MORC的MSR系统的稳定条件；根据实际磁悬浮转子系统的闭环特性，设计相应的相位补偿器，以满足相位稳定条件，其中，相位补偿环节由相位线性超前环节和相位低、中频补偿环节组成；补偿相位大小根据系统函数相频特性及系统稳定性条件得到；

所述的步骤(2)振动力抑制方法为：

①MORC：

ORC的传递函数Gorc(z)可以表示为：

其中，N/2为ORC控制器的长度，这里只考虑控制器长度为整数的情况，当出现分数时，需要利用Lagrange插值法设计相应FIR分数延时滤波器；

为保证ORC加入系统后系统整体的绝对稳定性，需要采取相应的补偿策略，采用相位超前环节补偿由于ORC的加入引起的系统相位的延后，和串联校正方式进行补偿，改进后的奇次重复控制MORC可表示为：其中，kc为控制器增益，Q(z)为使系统鲁棒稳定的低通滤波器，C(z)为是系统相位满足稳定条件的相位补偿器，L(z)＝zL为线性相位超前补偿器，L为该滤波器的超前阶数；

②闭环系统相位补偿环节设计：

相位补偿函数由两部分组成：线性相位超前环节L(z)＝zL以及中低频相位校正环节C(z)组成，线性相位超前补偿环节L(z)＝zL用来补偿由于并联MORC而引起的相位滞后，作用于高频段，其阶数L由具体补偿相位大小确定；补偿函数C(z)设计为：m

C(z)＝G1(z)G2(z)G3(z)，m＝0,1,2…其中，G1(z)为低频段补偿，其表达形式为：

其中，Z(·)为Tustin变换，变换周期为系统控制周期Ts＝1/fs；系数b根据系统实际补偿相位大小选取，使得系统低频段被有效校正又不严重影响高频段的特性；

G2m(z)为中频段超前补偿，表达形式为：

系数a、参数Ta、m根据具体系统选取，使得系统中频段被有效校正；

G3(z)为中低频段滞后校正，表达形式为：

系数c、参数Tb根据G2m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G2m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件；

采用以上三者相串联的方式，保证了系统的稳定性。

说明书

一种基于改进奇次重复控制的磁悬浮转子谐波振动力抑制

方法

技术领域

[0001] 本发明涉及磁悬浮转子谐波振动抑制的技术领域，具体涉及一种基于改进奇次重复控制MORC(Modified Odd Repetitive Control,MORC)的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法，用于对磁悬浮控制力矩陀螺转子系统中的奇次谐波振动力进行抑制，从而达到抑制在低转速下转子谐波振动的目的，为磁悬浮控制力矩陀螺在“超静”卫星平台上的应用提供技术支持。

背景技术

[0002] 磁悬浮控制力矩陀螺CMG(Control Moment Gyroscope，CMG)中的磁轴承采用电磁力使转子悬浮起来。由于轴承转子和定子之间无接触，与机械轴承相比，采用磁悬浮轴承的CMG具有以下四个方面的优点：首先，高速转子和定子之间没有接触和磨损，可以大幅提高转子转速，同时可以实现长寿命；其次，通过改变电磁线圈电流控制策略可以获得轴承刚度和阻尼，从而抑制各种激振；同时，可以通过软件算法主动振动控制消除转子剩余的全频段不平衡振动，获得极低的振动干扰噪声；再次，由于CMG框架等效转动惯量与转子支承刚度有关，采用磁轴承转子可以通过调低轴承刚度来增大框架等效转动惯量，从而使用相同力矩电机可以获得更高的框架角速率精度，这样可以获得更高力矩输出精度。

[0003] 磁悬浮CMG依据支承的转子的磁轴承主动控制自由度数量，可以分为主被动磁悬浮CMG和全主动磁悬浮CMG和两大类。对于一个实际转子系统，稳定地悬浮运转着的转子至少需对其五个自由度的运动(四个径向与一个轴向运动，绕轴的转动除外)实施有效的悬浮和控制。主被动磁悬浮CMG部分自由度由主动磁轴承(Active Magnetic Bearing,AMB)控制，剩余部分由被动磁轴承(Passive Magnetic Bearing,PMB)实现无源稳定悬浮，而全主动磁悬浮CMG五个自由度全部由AMB提供控制。相对于全主动磁悬浮CMG来说，主被动磁悬浮CMG功耗、结构复杂性、体积重量等有很大的降低，适合于对质量较为敏感的低功耗、高精度的敏捷机动型卫星应用场合。而全主动CMG由于五个自由度完全主动可控，控制精度会大幅度提高，振动抑制能力得到增强。

[0004] 单框架磁悬浮CMG(Single Gimbal CMG,SGCMG)作为一种航天器姿态控制系统的执行机构，利用陀螺效应通过改变角动量的方向来实现其控制功能。SGCMG有两个伺服电机，一个负责储存角动量，另一个用于驱动框架产生控制力矩，因而具有结构简单、更高转速、控制力矩变化范围大、系统效能高以及输出力矩可放大的特性。SGCMG的输出力矩在某一瞬时仅限于单自由度，因此，至少需要三个才能实现航天器三自由度姿态控制。双框架磁悬浮CMG(Double Gimbal CMG,DGCMG)具有内环和外环两个框架，内、外环转轴相互垂直。由于转子轴可绕内、外环转动，因此不具有输出力矩放大作用。DGCMG可以提供两个自由度的陀螺输出力矩，只需两个即可实现三自由度姿态控制，节省了姿态控制系统的功耗、质量以及体积等，综合效益高，并紧密结合磁悬浮长寿命、微振动的优势，国际空间站就采用了四个DGCMG实现冗余三轴姿态控制。然而，DGCMG结构复杂且输出力矩传递和框架运动有关，导致其可靠性不高。国际空间站上的四个DGCMG有三个出过故障。综上所述，基于AMB的高精度长寿命大型全主动SGCMG是我国空间站姿态控制执行机构的理想选择，具有迫切的应用需求。

[0005] 然而尽管有许多优点，由转子不平衡质量、传感器谐波和磁轴承的非线性引起的谐波电流，会引起谐波振动，其振动频率为转子旋转频率的整数倍，将导致转子产生不必要的谐波振动。特别是在太空中，产生的振动损害了船上精密指示设备的性能。

[0006] 谐波振动抑制可以分为零电流、零位移和零振动力三类，其中零振动力控制可实现振动力的完全抑制。现有技术主要针对单一频率的干扰进行抑制，对于谐波扰动抑制研究相对较少，主要有多陷波器、多LMS滤波器，重复控制RC以及谐振控制RSC等。但多陷波器、多LMS滤波器不能针对所有振动同时抑制，计算量大，且需要考虑不同滤波器间的收敛速度问题，设计起来比较复杂；相较于其他算法，重复控制RC可以无误差抑制周期信号，并且结构简单，是一种效率非常高的控制算法。但传统的重复控制CRC要补偿所有重复频率成分，包括基频分量和所有高阶谐波。而当磁悬浮转子处于低速范围内时，谐波振动力通常只表现为奇次谐波，因此，对偶次谐波频率点进行补偿是没必要的。同时，如果在这种只含有奇次谐波情况下采用CRC控制算法时，在所有谐波频率点处产生无穷增益，这样系统非但不能提高其动态性能，还会浪费系统控制资源，降低系统鲁棒稳定性。因此，CRC不是只这种情况下的控制算法的最佳选择，其瞬态响应也相对较慢。而奇次重复控制ORC(Odd Repetitive Control)则只在奇次谐波频率点处引入高增益，抑制奇次谐波。同时，相较于CRC，ORC的控制器长度减少了一半，有更高的增益，更快的动态响应速度，更宽的陷波带宽。因此，ORC更适合只存在奇次谐波的情况。而现有的应用于磁悬浮转子控制系统的重复算法均没有考虑当转子转速在低速情况下谐波振动力只包含奇次谐波情况下，控制器性能优化的问题。

发明内容

[0007] 本发明的目的为：克服现有技术的不足，提出了一种基于改进奇次重复控制的磁悬浮转子奇次谐波振动力抑制方法，通过只在奇次谐波频率点处引入高增益，不但能使系统抑制掉奇次谐波，提高动态响应速度，而且当谐波频率发生轻微波动时依旧可以保持很好的抑制效果。

[0008] 本发明采用的技术方案为：一种基于改进奇次重复控制的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法，包括以下步骤：

[0009] 步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的全主动磁悬浮转子动力学模型[0010] 本发明的应用对象为全主动磁轴承系统。全主动磁轴承控制系统一般包括磁轴承控制器、功率放大器、径向磁铁、轴向磁铁、磁悬浮转子和位移传感器。磁悬浮转子系统五个自由度均由主动可控的永磁偏置混合磁轴承控制，包括四对径向磁轴承、四对径向位移传感器、一对轴向磁轴承、一对轴向位移传感器、磁悬浮转子以及保护轴承，径向磁轴承和径向位移传感器分别对称分布于转子两端；转子沿两径向的两自由度平动和转动由径向磁轴承和径向位移传感器进行测量控制，一对轴向磁轴承和轴向位移传感器控制着转子沿轴向方向的平动；

[0011] 在不考虑转子轴向平动时，针对径向磁轴承系统，建模如下：

[0012] 根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在径向的基本动力学方程如下：

[0013]

[0014] 其中，M为广义质量矩阵，G为陀螺矩阵，f为径向磁轴承轴承力矢量，hI表示磁轴承惯性轴沿径向的位移；

[0015] 对于全主动永磁偏置混合磁轴承轴承力f由位移刚度力和电流刚度力两部分力合成。当转子悬浮在平衡位置附近做小位移运动时，对非线性轴承力方程进行泰勒展开可得到线性化方程为：

[0016] f＝KiI+Khhg

[0017] 其中，Kh、Ki分别为磁轴承系统位移刚度系数阵和电流刚度系数阵，I为径向磁轴承线圈电流矢量，hg表示磁轴承几何轴沿径向的位移；

[0018] 假设磁悬浮转子给定任意悬浮位置为0，磁轴承控制器和功率放大器采用线性模型，则电流I可表示为：

[0019] I＝-kadGw(s)Gc(s)hs

[0020] 其中，Gc(s)为反馈控制器的传递函数矩阵，Gw(s)为功率放大器的传递函数矩阵，kad为AD采样的放大倍数，hs表示径向位移传感器输出的转子几何轴位移；

[0021] 根据以上分析，磁轴承控制系统基本动力学方程为：

[0022]

[0023] 定义转子不平衡为：

[0024] △h＝hg-hI

[0025] 在实际转子系统中，由于机械加工精度和材料的不均匀因素的影响，传感器误差不可避免，表示为hsr，则位移传感器输出信号可表示为：

[0026] hss＝Kshg+hsr

[0027] 其中，Ks为位移传感器传递函数；

[0028] 结合以上分析，可得含转子不平衡和传感器误差的磁悬浮转子动力学方程有：

[0029]

[0030] 由上式可知，磁悬浮转子动力学方程是以转子惯性轴位移hI、磁悬浮转子几何轴位移hg和hs为变量的，由于存在质量不平衡以及传感器误差等振动源的存在，导致这些变量与真值之间存在一定偏差，分析振动的原因可以大致归为：(1)当转子不平衡量存在时，使得磁悬浮转子的几何轴和惯性轴不重合，由于转子动力学方程的变量是相对于磁悬浮惯性轴位移的，从而产生不平衡振动力和力矩；(2)当传感器检测面的中心线与其电性能中心线、传感器电性能中心线与磁悬浮转子几何轴不一致时，就会引起谐波振动；

[0031] 步骤(2)：设计基于改进奇次重复控制MORC的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法[0032] 控制器以并联的形式接入原预稳定闭环系统，这将极大方便工程实际应用。具体地，谐波振动力作为误差信号输入MORC控制器模块，其输出反馈至原控制系统的功放输入端，该模块的设计主要包括以下两个方面：

[0033] ①改进奇次重复控制：根据实际磁悬浮转子系统在低转速下产生的谐波振动力主要为奇次谐波的特点，选择奇次重复控制结构；根据谐波振动力基频f0及系统实际采样频率fs，得到MORC控制器基本长度N＝fs/f0。这里只考虑N为整数的情况，当N为分数时，可根据Lagrange插值法设计相应FIR分数延时滤波器；

[0034] ②通过理论分析和证明，得到并联MORC的MSR系统的稳定条件；根据实际磁悬浮转子系统的闭环特性，设计相应的相位补偿器，以满足相位稳定条件。其中，相位补偿环节由相位线性超前环节和相位低、中频补偿环节组成；补偿相位大小根据系统函数相频特性及系统稳定性条件得到。

[0035] 所述的步骤(2)振动抑制算法为：

[0036] ①MORC的提出及一般形式：

[0037] 重复控制RC(Repetitive Control,RC)是基于内模原理来抑制谐波信号的。传统的重复控制(Conventional Repetitive Control,CRC)通过利用前一周期误差信号来校正当前时刻的信号，从而达到消除所有倍频谐波信号分量的效果；然而，在实际情况下，谐波可能只集中于某一特定频率，而不是所有的谐波。例如，在MSR控制系统中，某些情况下，尤其是在低速范围内，谐波振动力通常只包含奇次成分。因此，对偶次谐波频率点进行补偿是没必要的。同时，如果在这种情况下采用CRC时，在所有谐波频率点处产生无穷增益，这样系统非但不能提高其动态性能，还会浪费系统控制资源，降低系统鲁棒性。因此，CRC不是抑制只存在奇次谐波情况下的最佳选择，瞬态响应相对较慢。而奇次重复控制ORC(Odd Repetitive Control)则只在奇次谐波频率点处引入高增益，以此抑制奇次谐波。同时，相较于CRC，ORC的控制器长度减少了一半，有更高的增益，更快的动态响应速度，更宽的陷波带宽。因此，ORC更适合只存在奇次谐波的情况。

[0038] ORC的传递函数Gorc(z)可以表示为：

[0039]

[0040] 其中，N/2为ORC控制器的长度。这里只考虑控制器长度为整数的情况，当出现分数时，需要利用Lagrange插值法设计相应FIR分数延时滤波器；

[0041] 为保证ORC加入系统后系统整体的绝对稳定性，需要采取相应的补偿策略。本发明中采用相位超前环节补偿由于ORC的加入引起的系统相位的延后，和串联校正方式进行补偿，改进后的奇次重复控制MORC可表示为：

[0042]

[0043] 其中，kc为控制器增益，Q(z)为使系统鲁棒稳定的低通滤波器，C(z)为是系统相位满足稳定条件的相位补偿器，L(z)＝zL为线性相位超前补偿器，L为该滤波器的超前阶数。

[0044] ②闭环系统相位补偿环节设计：

[0045] 相位补偿函数一般由两部分组成：线性相位超前环节L(z)＝zL以及中低频相位校正环节C(z)组成。线性相位超前补偿环节L(z)＝zL用来补偿由于并联MORC而引起的相位滞后，主要作用于高频段，其阶数L由具体补偿相位大小确定；补偿函数C(z)设计为：

[0046] C(z)＝G1(z)G2m(z)G3(z)(m＝0,1,2…)

[0047] 其中，G1(z)为低频段补偿，其表达形式为：

[0048]

[0049] 其中，Z(·)为Tustin变换，变换周期为系统控制周期Ts＝1/fs；系数b根据系统实际补偿相位大小选取，使得系统低频段被有效校正又不严重影响高频段的特性。

[0050] G2m(z)为中频段超前补偿，表达形式为：

[0051]

[0052] 系数a、参数Ta、m根据具体系统选取，使得系统中频段被有效校正。

[0053] G3(z)为中低频段滞后校正，表达形式为：

[0054]

[0055] 系数c、参数Tb根据G2m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G2m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件。

[0056] 采用以上三者相串联的方式，保证了系统的稳定性。

[0057] 本发明基本原理在于：对于磁悬浮转子来讲，其振动的主要来源是质量不平衡和传感器谐波。由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致磁悬浮转子系统中含有谐波振动力。当转子转速处于低速范围时，谐波振动力通常只表现为奇次谐波力的形式。通过建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，提出了一种基于改进奇次重复控制MORC的谐波振动力抑制方法。

[0058] 该方法重点从以下三个方面进行了论述：针对实际磁悬浮转子系统在特定转速下产生的谐波振动力，对转子谐波来源进行了动力学建模分析；根据转子转速和控制器采样频率得到MORC控制器的基本延时单元个数，继而得到基本控制算法构型；对系统稳定性进行分析，得到并联MORC后的转子系统渐近稳定条件，设计系统相位补偿器和控制增益，以满足系统稳定条件。

[0059] 本发明与现有技术相比的优点在于：传统的重复控制CRC算法虽然可以达到很高的抑制精度，但其动态性能相对很慢。在某些情况下，尤其当转子转速在低速范围内时，谐波振动力一般只表现为奇次谐波力，因此，对偶次谐波频率点进行补偿是没必要的。同时，如果在这种情况下采用CRC时，在所有谐波频率点处产生无穷增益，这样会使得系统非但不能提高其动态性能，还会浪费系统控制资源，降低系统鲁棒性。因此，CRC不是抑制只存在奇次谐波情况下的最佳选择，瞬态响应相对较慢。而奇次重复控制ORC则只在奇次谐波频率点处引入高增益，以此抑制奇次谐波。因此，ORC更适合只存在奇次谐波的情况。本发明提出一种基于改进奇次重复控制的奇次谐波振动力抑制方法，相较于CRC，ORC的控制器长度减少了一半，有更高的增益，更快的动态响应速度，更宽的陷波带宽。同时，采用相位补偿方式使得加入控制器后的系统可以达到绝对稳定。

附图说明

[0060] 图1为本发明的流程图；

[0061] 图2为磁悬浮转子系统结构示意图，其中，1为主动磁轴承，2为转子，3为转子几何轴，4为转子惯性轴；

[0062] 图3为磁悬浮转子基本控制系统框图；

[0063] 图4为转子不平衡示意图；

[0064] 图5为传感器谐波示意图，其中，5为圆度误差，6为传感器，7为定子；

[0065] 图6为含质量不平衡和传感器谐波的磁轴承控制系统框图；

[0066] 图7为MORC控制器具体结构框图；

[0067] 图8为MORC与主控制器复合控制系统框图。

具体实施方式

[0068] 下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

[0069] 如图1所示，一种基于改进奇次重复控制的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法的实施过程是：首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；然后设计一种基于MORC的控制器进行谐波振动力的抑制。

[0070] 步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

[0071] 全主动磁轴承控制系统一般包括磁轴承控制器、功率放大器、径向磁铁、轴向磁铁、磁悬浮转子和位移传感器。磁悬浮转子系统五个自由度均由主动可控的永磁偏置混合磁轴承控制，包括四对径向磁轴承、四对径向位移传感器、一对轴向磁轴承、一对轴向位移传感器、磁悬浮转子以及保护轴承。径向系统结构图如图2所示，其中，径向磁轴承和径向位移传感器分别对称分布于转子A、B两端；转子沿X轴和Y轴的两自由度平动和转动由径向磁轴承和径向位移传感器进行测量控制。一对轴向磁轴承和轴向位移传感器控制着转子沿Z轴(轴向方向)进行测量与控制。图2中，O和C分别对应磁悬浮转子惯性中心和几何中心，N为以磁悬浮转子平面与A、B两端磁轴承定子中心点连线的交点。

[0072] 在不考虑转子轴向平动时，根据陀螺技术方程和牛顿第二定律，可得径向磁轴承系统动力学平动模型为：

[0073]

[0074] 相应的转动模型为：

[0075]

[0076] 式中，高速电机控制磁悬浮转子绕i系Z轴高速旋转，转速为ω；Jrr和Jp分别为磁悬浮转子的赤道转动惯量和极转动惯量；m为磁悬浮转子的质量；lm表示径向磁轴承中心到广义坐标系坐标原点N的距离；fax、fbx、fay和fby分别为径向磁轴承四个通道的轴承力；fx和fy分别为转子在X轴和Y轴方向受到的轴承力合力；Mα和Mβ分别为转子在X轴和Y轴方向上受到的合力矩。

[0077] 将(1)式表示的平动模型和(2)式表示的转动模型合成矩阵，可得径向磁轴承系统动力学矩阵模型为：

[0078]

[0079] 式中，M为广义质量矩阵，G为陀螺矩阵，f为径向磁轴承轴承力矢量，其具体表达式为：

[0080] M＝diag[m,Jrr,m,Jrr]  (4)

[0081]

[0082] f＝[fx,Mβ,fy,-Mα]T  (6)

[0083] 对于永磁偏置混合磁轴承，当磁轴承转子在平衡位置附近做小位移运动时，对非线性轴承力方程进行泰勒展开得到线性化方程：

[0084] f＝KiI+Khhg  (7)

[0085] 其中，Im＝[iax,ibx,iay,iby]T为径向磁轴承线圈电流矢量；Ki＝diag[kiax,kibx,kiay,kiby]和Kh＝diag[khax,khbx,khay,khby]分别为磁轴承系统电流刚度系数阵和位移刚度系数阵，hg＝(xg,yg,βg,-αg)T为磁悬浮转子几何轴的位移，xg、αg为X轴方向上的平动和转动，yg、βg为Y轴方向上的平动和转动。

[0086] 假设磁悬浮转子给定任意悬浮位置为0，磁轴承控制器和功率放大器采用线性模型，则电流矢量I可表示为：

[0087] I＝-kadGw(s)Gc(s)hs  (8)

[0088] 其中，Gc(s)为反馈控制器的传递函数矩阵；Gw(s)为功率放大器的传递函数矩阵；kad为AD采样的放大倍数；hs＝(sas,sbs,say,sby)T，其各元素表示传感器输出的径向位移，且hs和hg的转换关系为hs＝Kshg，Ks为位移传感器传递函数。考虑到位移传感器截止频率远高于磁轴承系统带宽，可将其等效为放大倍数为ks的比例环节，同时假设径向四个位移传感器放大倍数均相同，则Ks＝ksI4×4。

[0089] 结合以上分析，磁悬浮转子动力学基本模型方程可写为：

[0090]

[0091] 根据以上分析，磁轴承转子控制系统基本框图如图3所示。

[0092] 由式(9)可知，磁悬浮转子动力学方程是以转子惯性轴位移hI、磁悬浮转子几何轴位移hg和hs为变量的。由于存在质量不平衡以及传感器误差等振动源的存在，导致这些变量与真值之间存在一定偏差。分析振动的原因可以大致归为：(1)当转子不平衡量存在时，使得磁悬浮转子的几何轴和惯性轴不重合，由于转子动力学方程的变量是相对于磁悬浮惯性轴位移的，从而产生不平衡振动力和力矩；(2)当传感器检测面的中心线与其电性能中心线、传感器电性能中心线与磁悬浮转子几何轴不一致时，就会引起谐波振动力。

[0093] 磁悬浮转子的不平衡主要是由转子质量分布不均匀导致的，分为静、动不平衡两种情况。静不平衡主要是指由于转子的质心偏离几何中心，转子惯性轴相对几何轴发生偏移而产生了扰动力；动不平衡则是指由于转子的惯性轴相对几何轴发生偏转，从而产生了扰动力矩，如图4所示。当同时存在静不平衡和动不平衡时，磁悬浮转子的几何轴和惯性轴既不相交也不平行。磁悬浮转子绕非惯性轴旋转时，磁轴承定子系统需要提供转子旋转时所需的向心力和力矩，从而其反作用力和力矩通过框架系统和基座传递给卫星平台。

[0094] 设CG和CI分别为磁悬浮高速转子几何轴和惯性轴的中点，则静不平衡即CG和CI的距离，动不平衡即几何轴和惯性轴的夹角。定义转子不平衡为：

[0095]

[0096] 其中， 和 分别为X轴方向的静不平衡和动不平衡分量； 和 分别为Y轴方向的静不平衡和动不平衡分量；ε和χ分别为静不平衡幅值和初始相位，σ和δ分别为动不平衡幅值和初始相位。

[0097] 在工程应用中，转子的不平衡质量虽然不可完全消除，但是可以通过离线动平衡极大限度地减小。相比而言，传感器谐波是不可避免的。由于机械加工精度和材料的不均匀等因素的影响，磁悬浮高速转子的位移传感器检测面会出现圆度不理想、材质不均匀、剩磁特性不同等因素，位移传感器的输出将会出现同频和倍频信号，即传感器谐波，以A端径向传感器为例，如图5所示。

[0098] 图中，Os、OI和Og分别表示位移传感器电性能中心、磁悬浮转子几何中心和惯性中心。u0为磁间隙，通常设计为双边0.22mm。

[0099] 则传感器误差在s系下可表示为：

[0100]

[0101] 式中hsrax、hsrbx、hsray和hsrby分别为X轴和Y轴四个通道的传感器误差分量；sax0、sbx0、say0和sby0分别是传感器误差中直流分量，主要由位移传感器电性能中心Os和传感器几何中心不重合造成，该直流分量不产生振动，且可由位移调理电路进行消除；i为谐波次数；sai和sbi分别为A、B两端传感器误差的第i次谐波分量幅值；asi和bsi为第i次谐波分量初始相位。

[0102] 由以上分析可知，位移传感器输出信号可表示为：

[0103] hss＝hs+hsr＝Kshg+hsr  (12)

[0104] 由于传感器误差的存在，使得磁悬浮转子几何轴位移无法直接得到。

[0105] 根据以上建模分析可得到含有转子质量不平衡与传感器谐波的磁悬浮转子控制系统方框图，如图6所示。通过图6可以很直观地看出，磁悬浮转子质量不平衡和传感器谐波是通过不同路径进入到磁悬浮转子闭环系统中的，两者都会引起磁悬浮转子系统产生振动，应该同时考虑这两个因素以设计主动振动抑制算法。

[0106] 将式(10)、(12)代入式(9)，可得含转子不平衡和传感器误差的磁悬浮转子系统动力学方程为：

[0107]

[0108] 由图6可知，以转子不平衡量△h、传感器误差hsr为输入，以轴承力f为输出的传递函数分别为：

[0109]

[0110]

[0111] 式中，S(s)为磁轴承系统的灵敏度函数，且可表示为：

[0112] S(s)＝(I4×4-P(s)Kh+kadKsP(s)KiGw(s)Gc(s))-1  (16)

[0113] 其中，P(s)＝(Ms2+Gs)-1为磁悬浮转子传递函数。

[0114] 因此，当转子不平衡△h和传感器误差hsr同时存在且作用于系统时，磁轴承系统的振动力为：

[0115] f＝S(s)[(Kh-kadKiGw(s)Gc(s)Ks)Δh-kadKiGw(s)Gc(s)hsr]  (17)

[0116] 永磁偏置混合磁轴承的轴承力fi可分解为位移刚度力fih和电流刚度力fii：

[0117] fii＝S(s)[-kadKiGw(s)Gc(s)(KsΔh+hsr)]  (18)

[0118]

[0119] 同样地，可按振动频率成分将fi分解为与转子转频相关的同频振动fsyn和倍频振动fhar：

[0120] fsyn＝S(s)[(Kh-kadKiGw(s)Gc(s)Ks)Δh-kadKiGw(s)Gc(s)hsrs]  (20)[0121] fhar＝-kadS(s)KiGw(s)Gc(s)hsrh  (21)

[0122] 式中，hsrs和hsrh分别为hsr的同频和倍频分量。

[0123] 由式(18)-(21)可知：转子不平衡△h不仅通过轴承本身产生位移刚度力fih，还通过磁轴承控制器和电流刚度系数产生电流刚度力fii；传感器误差hsr只通过磁轴承控制器产生电流刚度力。同时，磁轴承系统的同频振动fsyn与转子不平衡△h和传感器误差中同频分量hsrs有关；而倍频振动fhar只与传感器误差的倍频分量hsrh有关。

[0124] 步骤(2)设计一种基于改进奇次重复控制的磁悬浮转子谐波振动力抑制方法[0125] 针对步骤(1)线圈电流中存在谐波电流这一问题，本发明采用一种基于改进奇次重复控制MORC的控制器对谐波振动力进行抑制。

[0126] 由图7可知，MORC的传递函数Gmorc(z)可以表示为：

[0127]

[0128] 其中，N/2＝fs/2f0为控制器基本延时单元个数，fs为控制器采样频率，f0为谐波信号基波频率，kc为控制器增益，Q(z)为使系统鲁棒稳定的低通滤波器，C(z)为是系统相位满足稳定条件的相位补偿器，L(z)＝zL为线性相位超前补偿器，L为该滤波器的超前阶数。

[0129] MORC控制器设计过程如下：

[0130] 本发明应用的磁悬浮转子系统，在低转速情况下，根据频谱分析可知，转子有效谐波扰动力主要表现为奇次谐波力。根据奇次信号内模，选择奇次重复控制，确定控制器延时单元个数；对加入MORC控制器的整个转自系统进行稳定性分析，得到稳定性判据；采用相位补偿和增益补偿的方法设计相位补偿器C(z)、L(z)和控制增益kc使系统满足稳定条件。

[0131] 针对谐波振动，在原闭环系统基础上并入MORC控制器，如图8所示。并入之后的整个闭环系统由主控制器和MORC控制器复合控制。其中主控制器实现转子的稳定悬浮，对“0”参考位移量做出相应；在此基础上，MORC控制器实现对谐波振动力的抑制，对“0”参考振动力做出相应。由转子不平衡质量引起的位移偏差以及传感器谐波作为干扰信号xd(z)，经过控制器Gc(z)和功放Gw(z)后形成谐波振动力fi(z)，可通过两路不同方式反馈至输入端，一路通过转子系统Gp(z)，另一路则经过MORC控制器。图中，ks为位移传感器增益。

[0132] 定义

[0133]

[0134] 为闭环系统的系统函数。

[0135] 假定C(z)的频率响应为 其中Ac(ω)为幅值，θc(ω)为相位；同样地，设 其中Af(ω)为幅值，θf(ω)为其相位。定义M(ω)＝Ak(ω)Af
(ω)和θ(ω)＝θc(ω)+θf(ω)+LTsω。

[0136] 对于如图8所示的闭环系统，若同时满足下列条件，则闭环系统是渐进稳定的：

[0137] 条件1：闭环系统的系统函数F(z)渐进稳定；

[0138] 条件2：当闭环系统控制增益kc和相位θ(ω)满足以下条件，并联MORC渐进稳定的：

[0139]

[0140] 90°<θ(ω)<270°

[0141] 相位补偿函数一般由两部分组成：线性相位超前环节L(z)＝zL以及中低频相位校正环节C(z)组成。线性相位超前补偿环节L(z)＝zL用来补偿由于并联MORC而引起的相位滞后，主要作用于高频段，其阶数L由具体补偿相位大小确定；补偿函数C(z)设计为：

[0142] C(z)＝G1(z)G2m(z)G3(z)(m＝0,1,2…)

[0143] 其中，G1(z)为低频段补偿，其表达形式为：

[0144]

[0145] 其中，Z(·)为Tustin变换，变换周期为系统控制周期Ts＝1/fs；系数b根据系统实际补偿相位大小选取，使得系统低频段被有效校正又不严重影响高频段的特性。

[0146] G2m(z)为中频段超前补偿，表达形式为：

[0147]

[0148] 系数a、参数Ta、m根据具体系统选取，使得系统中频段被有效校正。

[0149] G3(z)为中低频段滞后校正，表达形式为：

[0150]

[0151] 系数c、参数Tb根据G2m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G2m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件。

[0152] 采用以上三者相串联的方式，保证了系统的稳定性。

[0153] 本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。