[0047] 3.2.1建立辅助扇面
[0048] 建立辅助扇面 直线OA1、OB1与圆Ω3相切，并与圆Ω1分别相交于点A1、B1，与椭圆P分别相交于点C1、D1，其中椭圆P焦点为O、W，长轴长为R+r。经几何特性分析，我方水面舰艇在圆Ω1内，敌机在扇面 内机动，均可发射空舰导弹实施攻击。
[0049] 3.2.2计算情况2下的敌机及导弹威胁区
[0050] (1)圆Ω1的方程
[0051] x2+y2＝R2
[0052] (2)椭圆P的方程
[0053]
[0054] 其中：长半轴a＝(R+r)/2；短半轴
[0055] (3)点A、B的坐标
[0056] 情况2.1时，圆Ω1、圆Ω3、椭圆P相交于点A、B；
[0057] 情况2.2时，圆Ω1、圆Ω3、椭圆P不相交。
[0058] 圆Ω3的方程为：
[0059] (x-d)2+y2＝r2
[0060] 情况2.1时，联立圆Ω1、圆Ω3、椭圆P的方程可求得点A、B的坐标：
[0061] 点A坐标，
[0062] 点B坐标，
[0063] (4)点C、D的坐标
[0064] 点C、D在椭圆P上，C点的横坐标为xC＝0；D点的横坐标xD＝0，代入椭圆P的方程可求得点C、D的坐标：
[0065] 点C坐标，
[0066] 点D坐标，
[0067] (5)点A1、B1的坐标
[0068] 直线OA1、OB1的方程：
[0069] ±kx-y＝0
[0070] 点F(d，0)到直线OA1、OB1的距离为r，据此可求得
[0071] 联立圆Ω1方程可求得点A1、B1的坐标：
[0072] 点A1坐标，
[0073] 点B1坐标，
[0074] 情况2时敌机机动区J2，同时满足如下条件：第一，不在作战半径圆Ω1外；第二，在椭圆P内或在扇面 内；第三，攻击时敌机不进行反向机动，即不包含区域Q1；因此，情况2时敌机机动区J2为：
[0075]
[0076] 其中：Q1为线段CD与弧CD围成的区域；
[0077] 情况2.1时，J2相对Ω1∩P-Q1增加了Q2∪Q3，其中Q2为线段A1D1、弧AD1、弧AA1围成的区域，Q3为线段B1C1、弧BC1、弧BB1围成的区域；
[0078] 情况2.2时，J2相对Ω1∩P-Q1增加了Q4，其中Q4为线段A1D1、B1C1，弧A1B1、C1D1围成的区域。
[0079] 情况2时导弹来袭区L2，同时满足如下条件：第一，在空舰导弹来袭圆Ω3内；第二，发射空舰导弹时，敌机在作战半径圆Ω1内，且在空舰导弹来袭圆Ω3内；因此，情况2时导弹来袭区L2为：
[0080] L2＝Ω1∩Ω3
[0081] 其中：情况2.1时，圆Ω1、圆Ω3相交于点A、B；
[0082] 情况2.2时，圆Ω1真包含圆Ω3。
[0083] 3.3情况3的算法
[0084] 3.3.1建立辅助扇面
[0085] 建立辅助扇面 直线OA1、OB1与圆Ω1分别相交于点A1、B1，依据攻击时敌机不进行反向机动的规则，点A1在y轴负向上、点B1在y轴正向上。经几何特性分析，我方水面舰艇在圆Ω1内，敌机在扇面 内机动，均可发射空舰导弹实施攻击。
[0086] 3.3.2计算情况3下的敌机及导弹威胁区
[0087] (1)圆Ω1的方程
[0088] x2+y2＝R2
[0089] (2)点A1、B1的坐标
[0090] 利用圆Ω1方程可求得点A1、B1的坐标：
[0091] 点A1坐标，
[0092] 点B1坐标，
[0093] (3)点E、F的坐标
[0094] 圆Ω3的方程为：
[0095] (x-d)2+y2＝r2
[0096] 点E、F在圆Ω3上，E点的横坐标为xE＝0，F点的横坐标为xF＝0，代入圆Ω3的方程可求得点E、F的坐标：
[0097] 点E坐标，
[0098] 点F坐标，
[0099] 情况3时敌机机动区J3，同时满足如下条件：第一，不在作战半径圆Ω1外；第二，椭圆P内或在扇面 内；第三，攻击时敌机不进行反向机动，即不包含区域Q1；因此，可建立J3的公式为：
[0100]
[0101] 其中：椭圆P焦点为O、W，长轴长为R+r；Q1为线段CD与弧CD围成的区域。
[0102] 经几何特性分析，扇面 真包含P-Q1，且真包含于Ω1。因此，情况3时敌机机动区J3为：
[0103]
[0104] 情况3时导弹来袭区L3，同时满足如下条件：第一，在空舰导弹来袭圆Ω3内；第二，发射空舰导弹时，敌机在机动区J3内，且在空舰导弹来袭圆Ω3内；因此，情况3时导弹来袭区L3为：
[0105] L3＝J3∩Ω3
[0106] 其中：敌机机动区J3与圆Ω3相交于点E、F。
[0107] 本发明的有益效果为：本发明提出的计算方法准确地计算了敌机及导弹威胁区的区域形状，能够直接作为对空防御需求分析及兵力配置的依据，并可成为作战筹划软件的重要功能点，将有效地辅助指挥员形成科学的对空防御作战方案。
附图说明
[0108] 附图1为算法坐标系。
[0109] 附图2为情况1下的敌机及导弹威胁区J1与L1。
[0110] 附图3为情况2.1下的敌机及导弹威胁区J2.1与L2.1。
[0111] 附图4为情况2.2下的敌机及导弹威胁区J2.2与L2.2。
[0112] 附图5为情况3下的敌机及导弹威胁区J3与L3。
[0113] 附图6为情况1下的敌机及导弹威胁区实例，d＝1300km。
[0114] 附图7为情况2.1下的敌机及导弹威胁区实例，d＝875km。
[0115] 附图8为情况2.2下的敌机及导弹威胁区实例，d＝450km。
[0116] 附图9为情况3下的敌机及导弹威胁区实例，d＝200km。
具体实施方式
[0117] 以下结合附图和技术方案，进一步说明本发明的具体实施方式。
[0118] 一种水面舰艇对空防御中敌机及导弹威胁区的计算方法，包括以下步骤：
[0119] 第一步，算法坐标系的建立
[0120] 建立平面直角坐标系xOy；设我方水面舰艇位置为点W、敌机场或敌航空母舰位置为点O，敌我距离为d＝|OW|，敌机作战半径为R，敌空舰导弹最大射程为r，敌攻击距离为R+r，以点O为原点，OW为x轴正向，设OW逆时针旋转90°为y轴正向。
[0121] 其中：
[0122] 圆Ω1为敌机作战半径圆，圆心为O，半径为R；
[0123] 圆Ω2为敌攻击圆，圆心为O，半径为R+r；
[0124] 圆Ω3为敌空舰导弹来袭圆，圆心为W，半径为r。
[0125] 第二步，敌机及导弹威胁区的算法分类
[0126] 随着敌我距离|OW|的变化，敌机及导弹威胁区的形状及其计算方法分为3种情况，对应|OW|取值范围如下：
[0127] 情况1，我方位于敌攻击圆内、敌机作战半径圆外，即R＜|OW|＜R+r；
[0128] 情况2，我方位于敌机作战半径圆内、敌我距离超出敌空舰导弹最大射程，即r≤|OW|≤R；
[0129] 情况3，我方位于敌机作战半径圆内、敌我距离未超出敌空舰导弹最大射程，即|OW|＜r。
[0130] 第三步，敌机及导弹威胁区的计算
[0131] 3.1情况1的算法
[0132] 3.1.1建立辅助椭圆
[0133] 敌机发射空舰导弹攻击我方水面舰艇时，敌机飞行距离与敌空舰导弹飞行距离之和的最大值为定值R+r。
[0134] 建立辅助椭圆P，焦点为O、W，长轴长为R+r；点A、B为椭圆P与圆Ω1、圆Ω3的交点，点C、D为椭圆P与y轴的交点。
[0135] 3.1.2计算情况1下的敌机及导弹威胁区
[0136] (1)圆Ω1的方程
[0137] x2+y2＝R2
[0138] (2)椭圆P的方程
[0139]
[0140] 其中：长半轴a＝(R+r)/2；短半轴
[0141] (3)点A、B的坐标
[0142] 点A、B为圆Ω1、圆Ω3、椭圆P的交点，其中圆Ω3的方程为：
[0143] (x-d)2+y2＝r2
[0144] 联立圆Ω1、圆Ω3、椭圆P的方程可求得点A、B的坐标：
[0145] 点A坐标，
[0146] 点B坐标，
[0147] (4)点C、D的坐标
[0148] 点C、D在椭圆P上，C点的横坐标为xC＝0；D点的横坐标xD＝0，代入椭圆P的方程可求得点C、D的坐标：
[0149] 点C坐标，
[0150] 点D坐标，
[0151] 情况1时敌机机动区J1，同时满足如下条件：第一，不在作战半径圆Ω1外；第二，不在椭圆P外；第三，攻击时敌机不进行反向机动，即不包含区域Q1；因此，情况1时敌机机动区J1为：
[0152] J1＝Ω1∩P-Q1
[0153] 其中，Q1为线段CD与弧CD围成的区域。
[0154] 情况1时导弹来袭区L1，同时满足如下条件：第一，在空舰导弹来袭圆Ω3内；第二，发射空舰导弹时，敌机在作战半径圆Ω1内，且在空舰导弹来袭圆Ω3内；因此，情况1时导弹来袭区L1为扇面SWAB。其中，扇面SWAB的圆弧的两个端点为A、B，圆心为W。
[0155] 3.2情况2的算法
[0156] 随敌我距离|OW|的变化，敌机及导弹威胁区的形状分为两种情况：
[0157] 情况2.1，R-r≤|OW|≤R；
[0158] 情况2.2，r≤|OW|
[0159] 与情况1的原理相同，敌机机动区的部分边界符合椭圆的几何特性。
[0160] 3.2.1建立辅助扇面
[0161] 建立辅助扇面 直线OA1、OB1与圆Ω3相切，并与圆Ω1分别相交于点A1、B1，与椭圆P分别相交于点C1、D1，其中椭圆P焦点为O、W，长轴长为R+r。经几何特性分析，我方水面舰艇在圆Ω1内，敌机在扇面 内机动，均可发射空舰导弹实施攻击。
[0162] 3.2.2计算情况2下的敌机及导弹威胁区
[0163] (1)圆Ω1的方程
[0164] x2+y2＝R2
[0165] (2)椭圆P的方程
[0166]
[0167] 其中：长半轴a＝(R+r)/2；短半轴
[0168] (3)点A、B的坐标
[0169] 情况2.1时，圆Ω1、圆Ω3、椭圆P相交于点A、B；
[0170] 情况2.2时，圆Ω1、圆Ω3、椭圆P不相交。
[0171] 圆Ω3的方程为：
[0172] (x-d)2+y2＝r2
[0173] 情况2.1时，联立圆Ω1、圆Ω3、椭圆P的方程可求得点A、B的坐标：
[0174] 点A坐标，
[0175] 点B坐标，
[0176] (4)点C、D的坐标
[0177] 点C、D在椭圆P上，C点的横坐标为xC＝0；D点的横坐标xD＝0，代入椭圆P的方程可求得点C、D的坐标：
[0178] 点C坐标，
[0179] 点D坐标，
[0180] (5)点A1、B1的坐标
[0181] 直线OA1、OB1的方程：
[0182] ±kx-y＝0
[0183] 点F(d，0)到直线OA1、OB1的距离为r，据此可求得
[0184] 联立圆Ω1方程可求得点A1、B1的坐标：
[0185] 点A1坐标，
[0186] 点B1坐标，
[0187] 情况2时敌机机动区J2，同时满足如下条件：第一，不在作战半径圆Ω1外；第二，在椭圆P内或在扇面 内；第三，攻击时敌机不进行反向机动，即不包含区域Q1；因此，情况2时敌机机动区J2为：
[0188]
[0189] 其中：Q1为线段CD与弧CD围成的区域；
[0190] 情况2.1时，J2相对Ω1∩P-Q1增加了Q2∪Q3，其中Q2为线段A1D1、弧AD1、弧AA1围成的区域，Q3为线段B1C1、弧BC1、弧BB1围成的区域；
[0191] 情况2.2时，J2相对Ω1∩P-Q1增加了Q4，其中Q4为线段A1D1、B1C1，弧A1B1、C1D1围成的区域。
[0192] 情况2时导弹来袭区L2，同时满足如下条件：第一，在空舰导弹来袭圆Ω3内；第二，发射空舰导弹时，敌机在作战半径圆Ω1内，且在空舰导弹来袭圆Ω3内；因此，情况2时导弹来袭区L2为：
[0193] L2＝Ω1∩Ω3
[0194] 其中：情况2.1时，圆Ω1、圆Ω3相交于点A、B；
[0195] 情况2.2时，圆Ω1真包含圆Ω3。
[0196] 3.3情况3的算法
[0197] 3.3.1建立辅助扇面
[0198] 建立辅助扇面 直线OA1、OB1与圆Ω1分别相交于点A1、B1，依据攻击时敌机不进行反向机动的规则，点A1在y轴负向上、点B1在y轴正向上。经几何特性分析，我方水面舰艇在圆Ω1内，敌机在扇面 内机动，均可发射空舰导弹实施攻击。
[0199] 3.3.2计算情况3下的敌机及导弹威胁区
[0200] (1)圆Ω1的方程
[0201] x2+y2＝R2
[0202] (2)点A1、B1的坐标
[0203] 利用圆Ω1方程可求得点A1、B1的坐标：
[0204] 点A1坐标，
[0205] 点B1坐标，
[0206] (3)点E、F的坐标
[0207] 圆Ω3的方程为：
[0208] (x-d)2+y2＝r2
[0209] 点E、F在圆Ω3上，E点的横坐标为xE＝0，F点的横坐标为xF＝0，代入圆Ω3的方程可求得点E、F的坐标：
[0210] 点E坐标，
[0211] 点F坐标，
[0212] 情况3时敌机机动区J3，同时满足如下条件：第一，不在作战半径圆Ω1外；第二，椭圆P内或在扇面 内；第三，攻击时敌机不进行反向机动，即不包含区域Q1；因此，可建立J3的公式为：
[0213]
[0214] 其中：椭圆P焦点为O、W，长轴长为R+r；Q1为线段CD与弧CD围成的区域。
[0215] 经几何特性分析，扇面 真包含P-Q1，且真包含于Ω1。因此，情况3时敌机机动区J3为：
[0216]
[0217] 情况3时导弹来袭区L3，同时满足如下条件：第一，在空舰导弹来袭圆Ω3内；第二，发射空舰导弹时，敌机在机动区J3内，且在空舰导弹来袭圆Ω3内；因此，情况3时导弹来袭区L3为：
[0218] L3＝J3∩Ω3
[0219] 其中：敌机机动区J3与圆Ω3相交于点E、F。
[0220] 为检验敌机及导弹威胁区算法，使用Qt开发了演示验证程序，可以实现计算任意敌机作战半径、敌空舰导弹最大射程、敌我距离组合情况下的敌机及导弹威胁区。
[0221] 已知我方水面舰艇位置为点W，敌机场或敌航空母舰位置为点O，敌机作战半径R取1100km，敌空舰导弹最大射程r取280km，对应情况1、情况2.1、情况2.2、情况3，敌我距离d分别取1300km、875km、450km、200km，计算得出敌机及导弹的威胁区，J1与L1，J2.1与L2.1，J2.2与L2.2，J3与L3，结果如图6至图9所示的阴影区域，其中灰色阴影区域为敌机机动区、斜实线阴影区域为导弹来袭区。
