一种基于复模态的线性反馈增益调度控制方法

摘要

本发明提出了一种基于复模态的线性反馈增益调度控制方法。所述方法包括以下步骤：S1，建立被控对象的动力学模型，获取被控对象的复模态特征；S2，利用模态截断法对动力学模型进行模态缩减，基于线性黎卡提方程设计复空间下的线性反馈控制器；S3，考虑控制器饱和的情况，设计增益调度控制器，在保证闭环稳定的情况下最大限度地利用控制器效能。本发明解决了被控对象采用复模态表征时的控制器设计的问题。

权利要求

1.一种基于复模态的线性反馈增益调度控制方法，其特征在于，包含以下步骤：S1，建立被控对象的动力学模型，获取被控对象的复模态特征；

S2，利用模态截断法对动力学模型进行模态缩减，基于线性黎卡提方程设计复空间下的线性反馈控制器；

S3，考虑控制器饱和的情况，设计增益调度控制器，证明含增益调度控制器的闭环系统的稳定性；

所述的步骤S1包括以下步骤：S11，建立被控对象的动力学模型为：式中，δ(N×1)为系统自由度；M(N×N),K(N×N)分别为质量和刚度矩阵，为对称矩阵；C(N×N)为阻尼矩阵和陀螺矩阵之和；P(N×1)表示陀螺力向量，F(N×1)表示外载荷向量,N为系统自由度数；

S12，提取被控对象的复模态特征，系统方程表示为状态空间形式式中

通过复特征向量Φ进行状态变换，系统方程为式中，Π为复矩阵，λ为特征值向量，且；

所述的步骤S2包括以下步骤：S21，利用模态截断法对动力学模型进行模态缩减，写成状态空间的形式式中u为控制量；

S22，复空间下的线性反馈控制器为：u＝-BHPx

PHA+AHP-PBBHP+Qε＝0式中，u为控制量，Qε为正定矩阵，P为正定解；

所述的步骤S3包括以下步骤：S31，设计增益调度控制器为：式中， 为嵌套集，αi为增益系数；

S32，证明闭环系统的稳定性：李雅普诺夫函数V(Pi,t)对于时间的导数满足式中，ηi为正实数，ti表示系统状态达到第i个椭球集 边界的时刻。

说明书

一种基于复模态的线性反馈增益调度控制方法

技术领域

[0001] 本发明涉及振动控制研究领域，具体设计一种基于复模态的线性反馈增益调度控制方法。

背景技术

[0002] 振动控制问题是多个工程分支普遍存在的问题之一，尤其是大型柔性结构。在受到内部或外部载荷的激励时，该类系统产生严重的振动问题，影响系统定位精度、寿命、疲劳以及安全性等性能。因此，设计行之有效的控制器是工程师面临的重要问题之一。近几十年来，针对柔性结构的振动控制，学者开展了大量研究并提出了多种控制理论，例如直接速度控制、应变反馈控制、最优控制、滑模控制(SMC)、独立模态空间控制和鲁棒控制等。

[0003] 然而，目前绝大多数控制理论针对隶属于实空间的系统设计，即状态空间及其系数矩阵均属于实空间的系统。而对于含结构阻尼系统或考虑陀螺效应的系统而言，如旋转轴系系统的横向振动，高速柔性连杆系统等，采用模态坐标表征系统后其状态空间属于复空间。目前针对复模态系统的振动控制研究极少。

发明内容

[0004] 本发明的目的在于提出了一种基于复模态的线性反馈增益调度控制方法，解决了被控对象采用复模态表征时的控制器设计的问题。

[0005] 本发明一种基于复模态的线性反馈增益调度控制方法，包含以下步骤：

[0006] S1，建立被控对象的动力学模型，获取被控对象的复模态特征；

[0007] S2，利用模态截断法对动力学模型进行模态缩减，基于线性黎卡提方程设计复空间下的线性反馈控制器；

[0008] S3，考虑控制器饱和的情况，设计增益调度控制器，证明含增益调度控制器的闭环系统的稳定性。

[0009] 本发明与现有技术相比具有以下优点：

[0010] 本发明针对在复空间中表示的系统，提出并设计了一种线性反馈增益调度控制器，将控制器理论拓展至复空间，可用于采用复模态表征的系统。基本思想是在复空间中分析被控对象的复模态特征，基于复模态设计线性反馈控制器，且考虑控制器饱和的情况，根据吸引域将将系统的状态分为多个嵌套的椭球集，设计一种增益调度控制器，以达到最大利用控制器效能的目的。

附图说明

[0011] 图1本发明的方法流程图

[0012] 图2嵌套集示意图

具体实施方式

[0013] 下面结合附图说明具体实施方式。

[0014] 本发明主要有三步，如图1所示，下面将具体过程详细描述如下：

[0015] S1：建立被控对象的动力学模型，在复空间下分析获取被控对象的复模态特征；

[0016] 子步骤S11：建立被控对象的动力学模型；

[0017] 基于哈密顿原理建立被控对象的数学模型，控制方程如下

[0018]

[0019] 式中，δ(N×1,N系统自由度数)为系统自由度；M(N×N),K(N×N)分别为质量和刚度矩阵，为对称矩阵；C(N×N)为阻尼矩阵和陀螺矩阵之和。当忽略时阻尼矩阵，矩阵C为反对称矩阵。P(N×1)表示陀螺力向量，F(N×1)表示外载荷向量。

[0020] 子步骤S12：提取被控对象的复模态特征；

[0021] 系统方程表示为状态空间形式

[0022]

[0023] 式中

[0024]

[0025] 式(2)的共轭系统为

[0026]

[0027] 上标T表示转秩，H表示共轭转秩。

[0028] 上述系统和其共轭系统的自由振动方程可表示为

[0029]

[0030] 星号表示标量、向量或矩阵的共轭。上述两个系统的解可表示为[0031]

[0032] 式中，Φ为左特征向量，Ψ为右特征向量，将上式代入式(5)，可得[0033]

[0034] 矩阵Aδ非对称，因此特征值λ和特征向量可表示为复数共轭对

[0035]

[0036] 式中

[0037]

[0038] 矩阵可分块为

[0039]

[0040] 复左特征向量和复右特征向量满足以下正交条件

[0041]

[0042] ar和br为标量，满足下式

[0043]

[0044] 定义模态矩阵Φ为转换矩阵

[0045]

[0046] 向量x中的元素均为实数，因此模态坐标可分为两个共轭的子向量。

[0047] 将式(13)代入式(2)，并考虑式(11)，系统方程为

[0048]

[0049] 式中

[0050]

[0051] 步骤S2：利用模态截断法对动力学模型进行模态缩减，基于线性黎卡提方程设计复空间下的线性反馈控制器；

[0052] 子步骤S21：利用模态截断法对动力学模型进行模态缩减，写成状态空间的形式；

[0053] 一般情况下，系统主要受低阶模态的影响，因此仅保留前2n阶模态Φc，并忽略外载荷。系统表示为

[0054]

[0055] 式中

[0056]

[0057] 子步骤S22：基于线性黎卡提方程设计复空间下的线性反馈控制器；

[0058] 对于正定矩阵Q，存在唯一正定解P(2n×2n)使得

[0059] PHA+AHP-PBBHP+Q＝0  (18)

[0060] 具有以下形式的状态反馈控制器

[0061] u＝-BHPx  (19)

[0062] 满足u*＝u，且使系统(16)稳定。

[0063] 步骤S3：考虑控制器饱和的情况，设计增益调度控制器，在保证闭环稳定的情况下最大限度地利用控制器效能。

[0064] 子步骤S31：定义一系列吸引域，设计如下增益调度控制器；

[0065] 在作动向量u饱和的情况下，非线性系统可表示为

[0066]

[0067] 函数sat(u)表示作动器饱和，维数为m×1，分量sat(uj)如下定义[0068]

[0069] 式中，ujmax为第j个输入的极值，函数sign(·)表示sign函数。

[0070] 低增益控制律可表示为

[0071] uL＝FL(ε)x  (22)

[0072] 式中

[0073] FL(ε):＝-BHPε,ε∈(0,1]  (23)

[0074] 式中，Pε为以下方程的唯一正定解

[0075] PHA+AHP-PBBHP+Qε＝0  (24)

[0076] 对于任意ε>0，吸引域可定义为椭球集

[0077] ε(Pε){x∈2n:xHPεx≤c}  (25)

[0078] 其中，定义c>0为

[0079]

[0080] 考虑集合

[0081] ε＝{ε0,ε1,...,εN}εi∈+ and εi<εi+1(i＝0,1,...,N)  (27)[0082] 式中， 为正整数。

[0083] 如图2所示，对应的椭球集为

[0084]

[0085] 基于上述嵌套的椭球集，定义嵌套控制器为

[0086]

[0087] 具有时变的反馈增益

[0088]

[0089] 且

[0090]

[0091] ti表示系统状态达到第i个椭球集ε(Pi)边界的时刻，λmin(·)表示正定矩阵特征值实部的最小值。

[0092] 子步骤S32：证明含增益调度控制器的闭环系统的稳定性；

[0093] 含式(29)所示的增益调度控制器的闭环系统可表示为

[0094]

[0095] 选取李雅谱诺夫函数

[0096] V(Pi,t)＝x(t)HPix(t)  (33)

[0097] V(Pi,t)对于时间的导数为

[0098]

[0099] 因此对于任意t∈[ti,ti+1)

[0100]

[0101] 对于任意时刻t∈[ti,ti+1)，可得如下不等式

[0102]

[0103] 当t＝ti，系数αi为零，系统状态满足

[0104]

[0105] 即

[0106]

[0107] 引入中间变量

[0108]

[0109] 选取中间变量的李雅谱诺夫函数为

[0110]

[0111] 根据式(36)，可得

[0112]

[0113] 因此，中间变量位于吸引域中，此时系统未达到饱和，即

[0114]

[0115] 且

[0116]

[0117] 因此式(29)表示的控制器输入满足约束条件。

[0118] 以上所述仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是在本发明的发明构思下，利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构变换，或直接/间接运用在其他相关的技术领域均包括在本发明的专利保护范围内。