一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法

摘要

本发明公开了一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，为填补判断精密机床含参变量表征空间几何误差模型建模精度准确性的数值理论校验方法，从统计学和数值仿真方面，通过数值算法、迭代算法与高阶无穷小舍去算法，对迭代结果进行数值仿真类比分析，分离了基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小的迭代求解精度对其所造成的理论计算误差；量化了对于特征矩阵迭代求解中，不同处理方法所对应的数值偏差量级；检验其建模精度保证在一定数值量级的基础上，达到了精准校验和指导建模的目的。本方法具有成本低、周期短、验证准确性高等优点，可拓展应用于校验超精密机床空间几何误差模型建模精度准确性，故具有良好的市场应用前景与推广价值。

权利要求

1.一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，其特征在于，包括步骤如下：

第一步，采用一维分布的抽样方式，选取至少五组一维随机数组，并经其单位量级转换，依次与精密机床涉及的几何误差和几何位移量相对应；所述的单位量级转换是通过与精密机床含参变量表征几何误差与几何位移量项数匹配的五组一维随机数组，依次进行单位量级转换，转换为与实际工况相符的数值量级；

第二步，在空间几何误差模型原有迭代求解次数的条件下，通过a数值算法，b迭代算法

6

与c高阶无穷小舍去算法的迭代结果进行数值仿真类比分析，分别得到数值真实解Eij(a)、未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素6Eij(b)的数值解、舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素6Eij(c)'的数值解；所述a数值算法，是经随机数组的单位量级转换直接代入特征矩阵中相应的几何误差和几何位移量，然后通过特征矩阵数值迭代得到6

Eij(a)的数值结果，即含数值元素的4×4阶特征矩阵运算得到的真实值；所述b迭代算法，是将含参变量表征几何误差和几何位移量的特征矩阵，通过迭代方式得到6Eij(b)含参变量表征关系；所述c高阶无穷小舍去算法，是指基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，通过不同的求解方法得到6Eij(c)'含参变量表征关系，所述的c高阶无穷小舍去算法包含不同的舍去高阶无穷小算法c1…cn；

若c高阶无穷小舍去算法与a数值算法或者b迭代算法的数值解之间的数值量级有跨越量级的偏差，则存在建模精度和理论计算误差问题，建模方法需要进一步修正；反之，则进行第三步；

第三步，在b迭代算法下，以a数值算法为基准，得到未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中

6个误差项元素6Eij(b)(a)数值偏差量级的数值仿真结果，以验证未舍去高阶无穷小的含参变量表征空间几何误差模型6Eij(b)的准确性；同时，在c高阶无穷小舍去算法下，以a数值算法为基准，得到舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素6Eij(c)'(a)数值偏差量级的仿真结果，并进行类比分析，通过判断与仪器测量值、工况需求值、工艺改进实测值的数值量级，若处于同一级别或低于数值量级，则选用的c高阶无穷小舍去算法建模精度符合工况要求；

其中，涉及含参变量表征几何误差，包括相对转角误差δij、相对位移误差εij，其中i为精密机床所涉及的直线运动轴，j为机床所涉及的直线运动轴与旋转轴；含参变量表征几何位移量，包括X、Y、Z直线导轨轴的位移量x、y、z，沿X、Y、Z轴转动的A、B、C轴的转动量α、β、γ；含参变量表征误差特征矩阵，即刀具坐标系与工件坐标系包含几何误差项的变换矩阵，包括未舍去高阶无穷小的误差特征矩阵Eij、舍去高阶无穷小的误差特征矩阵Eij'，设误差特征矩阵Eij为：式中，ηx,ηy,ηz,Px,Py,Pz分别为特征矩阵迭代后刀具坐标系与工件坐标系沿精密机床X、Y、Z轴运动方向的相对位置误差和相对转角误差；含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素，包括未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为6Eij(b)，且满足舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为

6Eij(c)'，且满足 其中6Eij(a,b)包含6Eij(a)、6Eij(b)。

2.一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，其特征在于，包括步骤如下：

第一步，采用多维分布的抽样方式，将精密机床所涉及的含参变量表征几何误差与几何位移量均作为维度，选取一组一维随机数组，并经其单位量级转换，依次与精密机床涉及的几何误差和几何位移量相对应；所述的单位量级转换是通过与精密机床含参变量表征几何误差与几何位移量项数匹配的一维随机数组，依次进行单位量级转换，转换为与实际工况相符的数值量级；

第二步，在与计算机内存匹配的迭代次数下，首先，对于a数值算法，b迭代算法，得到

6Eij(a,b)数值域及其最值量级之间的变化规律；然后，对于c高阶无穷小舍去算法，得到

6

Eij(c)'数值域及其最值量级之间的变化规律；最后，以a数值算法为基准，在b迭代算法下，得到6Eij(b)(a)数值域、最值量级及其对应的迭代次数所存在的数值偏差，通过判断此数值偏差量级，若与a数值算法迭代结果有跨越量级的偏差，则含参变量表征的空间几何误差模型存在建模精度和理论计算误差问题，建模方法需要进一步修正，反之，则表明未舍去高阶6

无穷小含参变量表征空间几何误差模型Eij(b)是准确的，以进行第三步；所述a数值算法，是经随机数组的单位量级转换直接代入特征矩阵中相应的几何误差和几何位移量，然后通过特征矩阵数值迭代得到6Eij(a)的数值结果，即含数值元素的4x4阶特征矩阵运算得到的真实值；所述b迭代算法，是将含参变量表征几何误差和几何位移量的特征矩阵，通过迭代方式6

得到Eij(b)含参变量表征关系；所述c高阶无穷小舍去算法，是指基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，通过不同的求解方法得到6Eij(c)'含参变量表征关系；

第三步，在c高阶无穷小舍去算法下，以a数值算法为基准，得到6Eij(c)'(a)数值域、最值量级及其对应的迭代次数所存在的数值偏差，通过判断与仪器测量值、工况需求值、工艺改进实测值的数值量级，若处于同一级别或低于该数值量级，则选用的高阶无穷小舍去算法建模精度符合工况要求；最后，依次以a、b算法为基准，在b、a算法下，得到6Eij(b)(a)、6Eij(a)(b)数值域范围内的数值偏差平均值及其标准差；在c算法下，得到6Eij(c)'(a)、6Eij(c)'(b)数值域范围内的数值偏差平均值及其标准差，以定量分离和选择性使用不同处理环节所存在的理论计算误差；

其中，涉及含参变量表征几何误差，包括相对转角误差δij、相对位移误差εij，其中i为精密机床所涉及的直线运动轴，j为机床所涉及的直线运动轴与旋转轴；含参变量表征几何位移量，包括X、Y、Z直线导轨轴的位移量x、y、z，沿X、Y、Z轴转动的A、B、C轴的转动量α、β、γ；含参变量表征误差特征矩阵，即刀具坐标系与工件坐标系包含几何误差项的变换矩阵，包括未舍去高阶无穷小的误差特征矩阵Eij、舍去高阶无穷小的误差特征矩阵Eij'，设误差特征矩阵Eij为：式中，ηx,ηy,ηz,Px,Py,Pz分别为特征矩阵迭代后刀具坐标系与工件坐标系沿精密机床X、Y、Z轴运动方向的相对位置误差和相对转角误差；含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素，包括未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为6Eij(b)，且满足舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为

6Eij(c)'，且满足 其中6Eij(a,b)包含6Eij(a)、6Eij(b)。

说明书

一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法

技术领域

[0001] 本发明属于精密加工与测试技术领域，涉及一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法。

背景技术

[0002] 精密和超精密加工技术是以高精度为目标的制造技术，不仅成为各国重点发展的技术，而且成为衡量一个国家制造水平高低的标志。其中精密和超精密机床精度建模技术作为提高精密和超精密加工技术的有效途径之一，此项技术依据多体系统理论和齐次坐标变换方法，基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，同时借助不同测量仪器及其相应的测量方法、工艺改进的有关方法等，通过建立数控机床综合空间误差模型，以误差补偿的方式对精密和超精密机床进行精度改良和提升。然而，在上述建模技术中，必然会涉及到建立含参变量表征误差特征矩阵的空间几何误差模型。此外，在以含参变量表征空间几何误差模型为必要条件的有关误差分析中，其建模精度的提高和理论计算误差的降低则会显得更为重要。

[0003] 对于上述建立的空间几何误差模型的准确性通常采用不同测量仪器及其相应的测量方法、工艺改进的有关方法等实验方法进行验证，在受到环境、人员、机器设备精度等客观因素的影响条件下，不但校验过程存在成本高、周期长、稳定性差，而且其建模精度的数值偏差由于数值量级比较高难以通过实验方法直接进行准确验证。另外，对于超精密加工，空间几何误差模型建模精度的校验难以采用实验的方法进行验证。此外，当数控机床联动轴的轴数越多时，由于其建模精度的数值偏差量级存在进一步增大的现象，甚至会大于仪器测量值、工况需求值、工艺改进实测值的数值量级，即建模精度会进一步降低，故由此所产生的建模精度误差会造成较大的未确定的理论计算误差，并将对精密和超精密机床的加工精度和性能造成一定的影响，反向证明，校验精密机床空间几何误差模型建模精度的重要性。然而，上述现象所存在的理论建模精度准确性的判断缺少相应的理论校验方法。

[0004] 基于上述分析，理论建模精度在精密机床精度建模技术中尤为重要，若存在一定的理论计算误差，则由于系统误差的“连带作用”，使得数控机床建模精度与误差分析将产生较大的未确定性，同时对于相关的误差分析，造成一定的阻碍作用，尤其对于多轴联动的精密与超精密机床。如何对精密机床空间几何误差模型建模精度进行理论校验则显得更为亟需。

发明内容

[0005] 本发明为填补判断精密机床含参变量表征空间几何误差模型建模精度准确性的数值理论校验方法，从统计学和数值仿真方面，提出一种用于校验其建模精度的方法，通过数值算法、迭代算法与高阶无穷小舍去算法，对迭代结果进行数值仿真类比分析，分离了基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小的迭代求解精度对其所造成的理论计算误差；量化了对于特征矩阵迭代求解中，不同处理方法所对应的数值偏差量级；检验其建模精度保证在一定数值量级的基础上，达到了精准校验和指导建模的目的。本方法具有成本低、周期短、验证准确性高等优点，可拓展应用于校验超精密机床空间几何误差模型建模精度准确性。

[0006] 具体技术方案如下：

[0007] 本发明在揭示精密机床空间几何误差模型建模精度及其理论计算误差的基础上，从数学统计和数值仿真方面，结合引起精密机床建模精度降低及其理论计算误差增大的相关因素，对于精密机床空间几何误差模型建模精度准确性的判断，提出一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法。

[0008] 一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法(第一种方法)，包括步骤如下：

[0009] 第一步，采用一维分布的抽样方式，选取至少五组一维随机数组，并经其单位量级转换，依次与精密机床涉及的几何误差和几何位移量相对应；所述的单位量级转换是通过与精密机床含参变量表征几何误差与几何位移量项数匹配的五组一维随机数组，依次进行单位量级转换，转换为与实际工况相符的数值量级；

[0010] 第二步，在空间几何误差模型原有迭代求解次数的条件下，通过a数值算法，b迭代算法与c高阶无穷小舍去算法的迭代结果进行数值仿真类比分析，分别得到数值真实解6 6
Eij(a)、未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素 Eij(b)的数值解、舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素6Eij(c)'的数值解；所述a数值算法，是经随机数组的单位量级转换直接代入特征矩阵中相应的几何误差和几何位移量，然后通过特征矩阵数值迭代得到6Eij(a)的数值结果，即含数值元素的4×4阶特征矩阵运算得到的真实值；所述b迭代算法，是将含参变量表征几何误差和几何位移量的特征矩阵，通过迭代方式得到6Eij(b)含参变量表征关系；所述c高阶无穷小舍去算法，是指基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，通过不同的求解方法得到6Eij(c)'含参变量表征关系，所述的c算法包含不同的舍去高阶无穷小算法c1…cn；

[0011] 若c高阶无穷小舍去算法与a数值算法或者b迭代算法的数值解之间的数值量级有跨越量级的偏差，则存在建模精度和理论计算误差问题，建模方法需要进一步修正；反之，则进行第三步；

[0012] 第三步，在b迭代算法下，以a数值算法为基准，得到未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素6Eij(b)(a)数值偏差量级的数值仿真结果，以验证未舍去高阶无穷小的含参变量表征空间几何误差模型6Eij(b)的准确性；同时，在c高阶无穷小舍去算法下，以a数值算法为基准，得到舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素6Eij(c)'(a)数值偏差量级的仿真结果，并进行类比分析，通过判断与仪器测量值、工况需求值、工艺改进实测值的数值量级，若处于同一级别或低于数值量级，则选用的高阶无穷小舍去算法建模精度符合工况要求；

[0013] 一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法(第二种方法)，其特征在于，包括步骤如下：

[0014] 第一步，采用多维分布的抽样方式，将精密机床所涉及的含参变量表征几何误差与几何位移量均作为维度，选取一组一维随机数组，并经其单位量级转换，依次与精密机床涉及的几何误差和几何位移量相对应；所述的单位量级转换是通过与精密机床含参变量表征几何误差与几何位移量项数匹配的一维随机数组，依次进行单位量级转换，转换为与实际工况相符的数值量级；

[0015] 第二步，在与计算机内存匹配的迭代次数下，首先，对于a数值算法，b迭代算法，得到6Eij(a,b)数值域及其最值量级之间的变化规律；然后，对于c高阶无穷小舍去算法，得到6Eij(c)'数值域及其最值量级之间的变化规律；最后，以a数值算法为基准，在b迭代算法下，得到6Eij(b)(a)数值域、最值量级及其对应的迭代次数所存在的数值偏差，通过判断此数值偏差量级，若与a数值算法迭代结果有跨越量级的偏差，则含参变量表征的空间几何误差模型存在建模精度和理论计算误差问题，建模方法需要进一步修正，反之，则表明未舍去高阶
6
无穷小含参变量表征空间几何误差模型Eij(b)是准确的，以进行第三步；所述a数值算法，是经随机数组的单位量级转换直接代入特征矩阵中相应的几何误差和几何位移量，然后通过特征矩阵数值迭代得到6Eij(a)的数值结果，即含数值元素的4x4阶特征矩阵运算得到的真实值；所述b迭代算法，是将含参变量表征几何误差和几何位移量的特征矩阵，通过迭代方式
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得到Eij(b)含参变量表征关系；所述c高阶无穷小舍去算法，是指基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，通过不同的求解方法得到6Eij(c)'含参变量表征关系；

[0016] 第三步，在c高阶无穷小舍去算法下，以a数值算法为基准，得到6Eij(c)'(a)数值域、最值量级及其对应的迭代次数所存在的数值偏差，通过判断与仪器测量值、工况需求值、工艺改进实测值的数值量级，若处于同一级别或低于该数值量级，则选用的高阶无穷小舍去算法建模精度符合工况要求；最后，依次以a、b算法为基准，在b、a算法下，得到6Eij(b)(a)、6Eij(a)(b)数值域范围内的数值偏差平均值及其标准差；在c算法下，得到6Eij(c)'(a)、6Eij(c)'(b)数值域范围内的数值偏差平均值及其标准差，以定量分离和选择性使用不同处理环节所存在的理论计算误差。

[0017] 进一步地，上述一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，涉及含参变量表征几何误差，包括相对转角误差δij、相对位移误差εij，其中i为精密机床所涉及的直线运动轴，j为机床所涉及的直线运动轴与旋转轴(下同)；含参变量表征几何位移量，包括X、Y、Z直线导轨轴的位移量x、y、z，沿X、Y、Z轴转动的A、B、C轴的转动量α、β、γ；含参变量表征误差特征矩阵，即刀具坐标系与工件坐标系包含几何误差项的变换矩阵，包括未舍去高阶无穷小的误差特征矩阵Eij、舍去高阶无穷小的误差特征矩阵Eij'，设误差特征矩阵Eij为：

[0018]

[0019] 式中，ηx,ηy,ηz,Px,Py,Pz分别为特征矩阵迭代后刀具坐标系与工件坐标系沿精密机床X、Y、Z轴运动方向的相对位置误差和相对转角误差；含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素，包括未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为6Eij(b)，且满足舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为6Eij(c)'，且满足 其中6Eij(a,b)包含6Eij(a)、6Eij(b)。

[0020] 本发明的有益效果在于，本发明为填补判断精密机床含参变量表征空间几何误差模型建模精度准确性的数值理论校验方法，从统计学和数值仿真方面，提出一种用于校验其建模精度的方法，通过数值算法、迭代算法与高阶无穷小舍去算法，对迭代结果进行数值仿真类比分析，分离了基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小的迭代求解精度对其所造成的理论计算误差；量化了对于特征矩阵迭代求解中，不同处理方法所对应的数值偏差量级；检验其建模精度保证在一定数值量级的基础上，达到了精准校验和指导建模的目的。本方法具有成本低、周期短、验证准确性高等优点，可拓展应用于校验超精密机床空间几何误差模型建模精度准确性，故具有良好的市场应用前景与推广价值。

附图说明

[0021] 图1一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法。

[0022] 图2数控成型磨齿机SKMC-3000/20的运动原理及其拓扑结构。

[0023] 图中：0床身；1C轴(转台台面)；2工件；3X轴；4Z轴；5A轴；6Y轴；7砂轮。

具体实施方式

[0024] 现以五联动数控成型磨齿机SKMC-3000/20为实体建模对象进行举例说明，如图2所示，依据多体系统理论和齐次坐标变换方法，基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，利用一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，针对其建模精度问题，提出一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法。

[0025] 为方便下述表达，现进行有关定义和相关假设：

[0026] 1.依据多体系统理论和齐次坐标变换可知，成型磨齿机SKMC-3000/20的齐次坐标变换矩阵ΔT27相当于在理想状态条件下，砂轮坐标系相对工件齿轮坐标系的齐次坐标变换矩阵T27叠加一个误差特征矩阵E27，则：

[0027] E27＝ΔT27·(T27)-1   (2)

[0028] 式中，未舍去高阶无穷小的误差特征矩阵E27可以表示为：

[0029]

[0030] 基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，误差特征矩阵E27'可以表示为：

[0031]

[0032] 2.未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中含参变量表征6个几何误差元素为6E27(b)，且满足

[0033] 舍去高阶无穷小误差特征矩阵中含参变量表征6个几何误差元素为6E27(c)'，且满足

[0034] 3.在成型磨齿机SKMC-3000/20中各运动副理想状态条件下，砂轮坐标系相对于工件齿轮坐标系的齐次坐标变换矩阵T27可表示为：

[0035] T27＝(T01s)-1·T03s·T34s·T45s·T56s   (5)

[0036] 在成型磨齿机SKMC-3000/20中各运动副存在误差状态条件下，砂轮坐标系相对于工件齿轮坐标系的齐次坐标变换矩阵ΔT27可表示为：

[0037] ΔT27＝(T01s·ΔT01s)-1·(T03s·ΔT03s)·(ΔT34p·T34s·ΔT34s)·(T45s·ΔT45s)·(ΔT56p·T56s·ΔT56s)   (6)

[0038] 4.设在理想状态下特征矩阵对应的逆矩阵为N-1，其中令N1-1＝(T01s)-1，N2-1＝(T03s·T34s·T45s·T56s)-1，Tij-1＝((T01s)-1·(T03s·T34s·T45s·T56s))-1；

[0039] 设在存在误差状态条件下特征矩阵对应的逆矩阵为R-1，令R1-1＝(T01s·ΔT01s)-1，R2-1＝((T03s·ΔT03s)·(ΔT34p·T34s·ΔT34s)·(T45s·ΔT45s)·(ΔT56p·T56s·ΔT56s))-1；

[0040] 5.a数值算法，是经随机数组的单位量级转换直接代入特征矩阵中相应的几何误差和几何位移量，然后通过特征矩阵数值迭代得到6E27(a)数值结果，即含数值元素的4×4阶特征矩阵运算得到的真实值；b迭代算法，是将含参变量表征几何误差和几何位移量的特征矩阵，通过迭代方式得到6E27(b)含参变量表征关系；c高阶无穷小舍去算法，是指基于小误差6
假设理论且忽略高阶无穷小，得到E27(c)'含参变量表征关系；

[0041] 6.对于常用8G内存计算机而言，循环迭代次数最大可达到3x1017，但是为了利用Matlab进行后续的数据、图像处理，则需保留一部分内存，故本例证将在第二种校验方法的特征矩阵所涉及的循环迭代次数均设为3x1016(即为43,046,721,107，下同)；

[0042] 7.在第一种校验方法的基础上，为了使得第一种方法更具合理性，提出第二种校验方法，达到以不同方式相互校验的目的，与此同时，可以进一步验证第一种方法的准确性，并且拓展校验精密机床空间几何误差模型建模精度的使用范围以及精确性，可根据使用条件的变化，选用不同的校验方法。

[0043] 一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，包括步骤如下：

[0044] 第一步，对不同条件下特征矩阵所涉及的逆矩阵进行预处理；

[0045] 在理想状态条件下，由于体间静止、运动理想特征矩阵的逆矩阵N1-1,N2-1,T27-1中不含微元特征，即不含相对转角误差(δij)、相对位移误差(εij)和垂直度误差(Sxy,Szy,Szx)参变量的特征，其中i＝x,y,z；j＝x,y,z,a,c，首先将拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵N1，依据可逆矩阵的性质得到N1-1；然后得到砂轮坐标系相对于工件齿轮坐标系的体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换矩阵(N1-1·N2)(即T27)；最后对其整体直接求解(N1-1·N2)-1(即T27-1)。

[0046] 在存在误差状态条件下，由于拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换 既存在含 分母多项式项数的迭代，又存在含微元特征及其高阶无穷小项数的迭代，首先通过C轴的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换T01s·ΔT01s得到R1，然后直接求得

[0047] 第二步，去除逆矩阵中的分母多项式；

[0048] 对于理想状态条件下，体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换所需的逆矩阵中含 分母多项式的去除，利用可逆矩阵的性质，即通过除对角线以外的元素，经“+”、“-”号变换后互换位置，得到不含 分母多项式的逆矩阵；

[0049] 对于存在误差状态条件下，体间静止、运动误差特征矩阵齐次坐标变换所需的逆矩阵中含 分母多项式的去除，利用倒数将其转换为乘积形式或者采用手动去除分母的方法；

[0050] 最后，通过Simplify函数，实现 含分母多项式的去除并简化合并；

[0051] 第三步，转化经上述处理得到的含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素6E27(b)中每项之间的多项乘积相加形式；

[0052] 首先将误差特征矩阵E27的每个误差项元素6E27(b)中每项之间的多项乘积相加形式，由数学表征转化为字符串表征；其次去掉字符串中所包含的空格；然后通过Strsplit函数，依次按照“+”、“-”号进行分割，并将每个误差项元素中项数和符号分别进行储存；最后将6E27(b)中每项之间的多项乘积相加的数学表征转换为多项乘积相加形式的字符串表征关系；

[0053] 第四步，对第三步得到每个误差项元素6E27(b)的多项乘积相加形式的字符串表征关系，进行高阶无穷小的判断与舍去；

[0054] 首先，依据微元特征识别及其指数的判断，若为含多个字符串的Cell，则是高阶无穷小；若含单个字符串，则否；其次，对于上述得到的含多个字符串的Cell，按照“*”(乘号)、“^”(指数符号)进行分割，且通过微元特征的判断进行循环迭代，得到6E27(b)中每个误差项元素所包含的每一项微元特征指数，并统计和叠加微元特征的指数；再次，判断微元特征的指数，若微元特征的指数≥2，则舍去该项；若微元特征的指数＜2，则进一步判断符号数和项数是否一致，若一致，则表明第一个符号为负号，则直接一一对应保存；若不一致，则第一项为正号且已省略，进一步判断是否为第一个符号，若是，则后面项数需将其前一个符号进行保存；然后，将舍去高阶无穷小6E27(c)'每个误差项元素中分开的项合在一起，得到6E27(c)'中每个误差项元素的字符串表征形式；最后，经Eval函数得到的字符串表征形式作为Matlab求解命令进行运算。

[0055] 基于上述方法，从而有效的避免了影响建模精度的相关因素所导致的较大的计算量和高阶无穷小难以准确舍去以及难以保证理论计算精度等建模精度问题，通过依据微元特征识别，利用高阶无穷小判断和舍去算法的循环迭代，结合Strsplit函数和几何误差项的微元特征及其指数的统计判断，得到以字符串形式表征的舍去高阶无穷小的空间几何误差模型；然后经Eval函数进行Matlab求解运算；最后以Latex形式导入Mathtype中，得到优化后的含参变量表征几何误差项的空间几何误差模型6E27(c)'。

[0056] 综上所述，以五联动数控成型磨齿机SKMC-3000/20为实体建模对象进行举例说明，得到对于舍去高阶无穷小的含参变量表征几何误差项元素的空间几何误差模型6E27(c)'的建模精度为10-8～10-10数值偏差量级及以上，其中部分几何误差项元素的数值偏差量级达到了与数值迭代结果完全相符。

[0057] 一种用于校验精密机床空间几何误差模型建模精度的方法应用举例，包括两种方法：

[0058] 第一种校验方法，虽然计算量小，但是随机数组的产生存在伪数据以及其可靠性有待提高，可应用于精密机床精度建模技术中有关含参变量表征的空间几何误差模型建模精度的校验，包括步骤如下：

[0059] 第一步，采用一维分布的抽样方式，为了避免产生随机数组的系统误差，故借助Rand函数得到五组一维随机数组，并经其单位量级转换，依次与精密机床含参变量表征的33个几何误差和5个几何位移量一一对应；所述的单位量级转换是通过与精密机床含参变量表征几何误差与几何位移量项数匹配的五组一维随机数组，依次进行单位量级转换，转换为与实际工况相符的数值量级；

[0060] 第二步，在空间几何误差模型原有迭代求解次数条件下，通过a数值算法，b迭代算法与c高阶无穷小舍去算法的迭代结果进行数值仿真类比分析，分别得到数值真实解6E27(a)、未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素6E27(b)的数值解、舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素6E27(c)'的数值解；所述a数值算法，是经随机数组的单位量级转换直接代入特征矩阵中相应的几何误差和几何位移量，然后通过特征矩阵数值迭代得到6E27(a)的数值结果，即含数值元素的4×4阶特征矩阵运算得到的真实值；所述b迭代算法，是将含参变量表征几何误差和几何位移量的特征矩阵，通过迭代方式得到6E27(b)含参变量表征关系；所述c高阶无穷小舍去算法，是指基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，通过不同的求解方法得到6E27(c)'含参变量表征关系，所述的c算法包含一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法；

[0061] 若c高阶无穷小舍去算法与a数值算法或者b迭代算法的数值解之间的数值量级有跨越量级的偏差，则存在建模精度和理论计算误差问题，建模方法需要进一步修正；反之，则进行第三步，其中本例a、b、c算法得到的数值解无跨越量级的偏差，则进行第三步；

[0062] 第三步，在b迭代算法下，以a数值算法为基准，得到未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素6E27(b)(a)数值偏差量级的数值仿真结果，以验证未舍去高阶无穷小含参变量表征空间几何误差模型6E27(b)的准确性，其中此成型磨齿机所涉及的b算法得到6E27(b)数值偏差量级保证在10-9～10-10量级，甚至部分数值偏差为0，故对于后续理论误差分析可以忽略不计，即证明含参变量的迭代结果准确；同时，在c高阶无穷小舍去算法下，以a数6
值算法为基准，得到舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素 E27(c)'(a)数值偏差量级的仿真结果，并进行类比分析，通过判断与仪器测量值、工况需求值、工艺改进实测值的数值量级，其中本成型磨齿机所涉及的c算法得到6E27(c)'(a)数值偏差量级均保证在10-9～
10-10量级，甚至部分数值偏差为0，虽然c算法与a算法迭代结果，由于基于小误差假设且忽略高阶无穷小以及逆矩阵求解性质导致存在一定的微小数值偏差量级，但是，此微量
6E27(c)'(a)数值偏差量级均低于实际工况所需，故其影响可以忽略不计，则选用的高阶无穷小舍去算法建模精度符合工况要求；

[0063] 第二种校验方法，该方法能够实现计算密度的提升，并提高校验的可靠度，但是，存在计算量较大的问题。在与上述方法共同达到以不同方式相互校验建模精度为目的的基础上，分离了基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小的迭代求解精度对精密机床空间几何误差模型建模精度所造成的理论计算误差；量化了对于特征矩阵迭代求解中，不同处理方法所对应的数值偏差量级，本方法可应用于精密与超精密机床精度建模技术中涉及含参变量表征空间几何误差模型建模精度的校验，包括步骤如下：

[0064] 第一步，采用多维分布的抽样方式，将成型磨齿机SKMC-3000/20所涉及的含参变量表征33个几何误差与5个几何位移量均作为维度，以提升计算密度，选取一组一维随机数组，并经其单位量级转换，依次与精密机床涉及的几何误差和几何位移量相对应，同时借助Zeros函数进行储存；所述的单位量级转换是通过与精密机床含参变量表征几何误差与几何位移量项数匹配的一维随机数组，依次进行单位量级转换，转换为与实际工况相符的数值量级；

[0065] 第二步，在316循环迭代次数的高维空间网格抽样中，首先，对于a数值算法，b迭代算法，得到6E27(a,b)数值域及其最值量级之间的变化规律；然后，对于c高阶无穷小舍去算法，得到6E27(c)'数值域及其最值量级之间的变化规律，其中a、b算法得到6E27(a,b)与c算法得到6
E27(c)'的各误差项元素的数值域、最值量级及其对应的迭代次数，虽略有微小偏差，但是，a、b算法迭代得到6E27(a,b)与c算法得到6E27(c)'数值量级保证在同一数值量级，其数值域比较接近，且最值量级及其对应的迭代次数比较吻合；最后，以a数值算法为基准，在b迭代算法下，得到6E27(b)(a)数值域、最值量级及其对应的迭代次数所存在的数值偏差，通过判断此数值偏差量级，6E27(b)(a)中6个误差项元素的最大值偏差量级均为10-9～10-13，最小值偏差量级为10-9～10-10,则表明未舍去高阶无穷小含参变量表征空间几何误差模型6E27(b)是准确的，以进行第三步；所述a数值算法，是经随机数组的单位量级转换直接代入特征矩阵中相应的几何误差和几何位移量，然后通过特征矩阵数值迭代得到6E27(a)的数值结果，即含数值元素的4x4阶特征矩阵运算得到的真实值；所述b迭代算法，是将含参变量表征几何误差和几何位移量的特征矩阵，通过迭代方式得到6E27(b)含参变量表征关系；所述c高阶无穷小舍去算法，是指基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，通过不同的求解方法得到6E27(c)'含参变量表征关系；

[0066] 第三步，在c高阶无穷小舍去算法下，以a数值算法为基准，得到6E27(c)'(a)数值域、最值量级及其对应的迭代次数所存在的数值偏差，通过与仪器测量值、工况需求值、工艺改进实测值的数值量级进行对比分析，以判断其建模精度的准确性，其中在c算法下，6E27(c)'中6个误差项元素迭代得到的最大值偏差量级为10-8～10-13，最小值偏差量级为10-8～10-9；由于c算法通过基于小误差假设且忽略高阶无穷小、含分母多项式的去除算法，同时通过逆矩阵的性质对特征矩阵进行工程近似求解，以得到其数值解，故存在上述的数值量级偏差；
最后，依次以a、b算法为基准，在b、a算法下，得到6E27(b)(a)、.6E27(a)(b).数值域范围内的数值偏差平均值及其标准差；在c算法下，得到6E27(c)'(a)、6E27(c)'(b)数值域范围内的数值偏差平均值及其标准差，其中，在b、a算法，6E27(b)(a)、6E27(a)(b)迭代结果的数值偏差平均值及-10 -11 6 6
其标准差均保证在10 ～10 数值量级；在c算法下，E27(c)'(a)、E27(c)'(b)迭代结果的数值偏差平均值及其标准差保证在10-9～10-10数值量级，以实现不同处理环节所存在的理论计算误差的定量分离和选择性使用，并达到亚微米甚至纳米量级理论建模精度的校验。

[0067] 综上可得，从统计学和数值仿真角度，依据6E27(a,b)与6E27(c)'数值域、最值数值量级偏差以及数值域范围内的数值偏差平均值及其标准差，不仅论证了第二种方法比第一种方法校验稳定可靠，而且验证了一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，既可行又具有较高的建模精度。第二种校验方法能够实现计算密度提升，并提高校验的可靠度，但是，存在计算量较大的问题，故可通过使用条件，选择相应的校验方法或进行互补校验。

[0068] 此外，本方法可拓展应用于通过校验不同的舍去高阶无穷小算法c1…cn，揭示空间几何误差模型理论建模精度所存在的数值偏差，与此同时，可拓展应用于超精密多轴联动机床的精度建模技术中，从统计学和数值仿真方面，以达到有效地提升数控机床的精度，故本校验方法具有良好的市场应用前景与推广价值。