任意变截面梁式构件的固有频率检测方法

摘要

本发明公开了一种任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，通过建立梁式构件的应力与位移之间的关系方程和位移形式的振动微分方程，设定分离变量形式的位移方程，根据分离变量形式的位移方程确定Um(y)和Vm(y)，将Um(y)和Vm(y)代入位移形式的振动微分方程，得到二阶齐次常系数常微分方程组，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解，以根据σx的通解、σy的通解和τxy的通解确定变截面梁的边界条件，对变截面梁的边界条件进行傅里叶展开，以确定梁式构件中变截面梁式构件的固有频率，可以提高所确定的变截面梁式构件的固有频率等参数的精度，提升相应检测分析方案的灵活性。

权利要求

1.一种任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，其特征在于，包括如下步骤：S10，建立梁式构件的应力与位移之间的关系方程和位移形式的振动微分方程；

所述应力与位移之间的关系方程包括：

所述位移形式的振动微分方程包括：

式中，x和y分别为笛卡尔直角坐标系中的坐标，u是梁式构件在x方向的位移，v是y方向，σx梁式构件在x方向上的正应力，σy是梁式构件在y方向上的正应力，τxy是梁式构件的切应力，E是梁式构件的材料弹性模量，μ是梁式构件的泊松比，ρ是梁式构件的密度，t是梁式构件的移动时间；

S20，设定分离变量形式的位移方程，根据分离变量形式的位移方程确定Um(y)和Vm(y)，将Um(y)和Vm(y)代入位移形式的振动微分方程，得到二阶齐次常系数常微分方程组，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；所述分离变量形式的位移方程包括：式中，L为梁式构件中变截面梁的长度，Um(y)分别为梁式构件在x方向位移的分离出来的第m阶形函数，Vm(y)为梁式构件在y方向位移的分离出来的第m阶形函数；

S30，根据σx的通解、σy的通解和τxy的通解确定变截面梁的边界条件，对变截面梁的边界条件进行傅里叶展开，以确定梁式构件中变截面梁式构件的固有频率。

2.根据权利要求1所述的任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，其特征在于，所述变截面梁的边界条件包括：l1(x)σx(x,f1(x),t)+m1(x)τxy(x,f1(x),t)＝0，m1(x)σy(x,f1(x),t)+l1(x)τxy(x,f1(x),t)＝0，l2(x)σx(x,f2(x),t)+m2(x)τxy(x,f2(x),t)＝0，m2(x)σy(x,f2(x),t)+l2(x)τxy(x,f2(x),t)＝0，式中，0

3.根据权利要求2所述的任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，其特征在于，对变截面梁的边界条件进行傅里叶展开的过程包括：式中，n为正整数。

4.根据权利要求1所述的任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，其特征在于，所述二阶齐次常系数常微分方程包括：式中，V′m(y)为Vm(y)的一阶导数，U′m(y)为Um(y)的一阶导数，U″m(y)为Um(y)的二阶导数，V″m(y)为Vm(y)的二阶导数，ω为固有频率。

5.根据权利要求1所述的任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，其特征在于，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解的过程包括：求解 时的Um(y)和Vm(y)；

将求解得到的Um(y)和Vm(y)代入应力与位移之间的关系方程得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；其中：式中，ω为固有频率；αm为参数，表达式为 βm为参数，表达式为为参数，表达式为 为参数，表达式为

6.根据权利要求1所述的任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，其特征在于，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解的过程包括：求解 时的Um(y)和Vm(y)；

将求解得到的Um(y)和Vm(y)代入应力与位移之间的关系方程得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；其中：式中，ω为固有频率；αm为参数，表达式为 βm为参数，表达式为为参数，表达式为 为参数，表达式为

7.根据权利要求1所述的任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，其特征在于，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解的过程包括：求解 时的Um(y)和Vm(y)；

将求解得到的Um(y)和Vm(y)代入应力与位移之间的关系方程得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；其中：式中，ω为固有频率；αm为参数，表达式为 βm为参数，表达式为为参数，表达式为 为参数，表达式为

说明书

任意变截面梁式构件的固有频率检测方法

技术领域

[0001] 本发明涉及信息处理技术领域，尤其涉及一种任意变截面梁式构件的固有频率检测方法。

背景技术

[0002] 众所周知，在许多情况下，变截面梁能比等截面梁获得更好的强度和重量分布，能满足特殊的建筑和功能要求。因此，变截面梁式构件在航空航天、土木、机械工程、精密仪器仪表等领域中得到广泛应用。

[0003] 目前，对于变截面梁的研究大都基于经典的梁理论，但各种方法都有局限。比如，最经典的欧拉‑伯努利梁理论只能成功地应用于细长梁分析。该理论忽略了梁的横向剪切变形和转动惯量的影响，从而无法得到高精度的固有频率。在现代工业中，特别是在一些高科技领域，如航空航天工程和微型机械设备的设计中，常常需要对梁的动态特性进行精细化分析，然而传统的分析方案往往存在局限性，容易使相关参数的检测精度低。

发明内容

[0004] 针对以上问题，本发明提出一种任意变截面梁式构件的固有频率检测方法。

[0005] 为实现本发明的目的，提供一种任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，包括如下步骤：

[0006] S10，建立梁式构件的应力与位移之间的关系方程和位移形式的振动微分方程；

[0007] 所述应力与位移之间的关系方程包括：

[0008]

[0009]

[0010]

[0011] 所述位移形式的振动微分方程包括：

[0012]

[0013]

[0014] 式中，x和y分别为笛卡尔直角坐标系中的坐标，u是梁式构件在x方向的位移，v是y方向，σx梁式构件在x方向上的正应力，σy是梁式构件在y方向上的正应力，τxy是梁式构件的切应力，E是梁式构件的材料弹性模量，μ是梁式构件的泊松比，ρ是梁式构件的密度，t是梁式构件的移动时间；

[0015] S20，设定分离变量形式的位移方程，根据分离变量形式的位移方程确定Um(y)和Vm(y)，将Um(y)和Vm(y)代入位移形式的振动微分方程，得到二阶齐次常系数常微分方程组，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；所述分离变量形式的位移方程包括：

[0016]

[0017] 式中，L为梁式构件中变截面梁的长度，Um(y)分别为梁式构件在x方向位移的分离出来的第m阶形函数，Vm(y)为梁式构件在y方向位移的分离出来的第m阶形函数；

[0018] S30，根据σx的通解、σy的通解和τxy的通解确定变截面梁的边界条件，对变截面梁的边界条件进行傅里叶展开，以确定梁式构件中变截面梁式构件的固有频率。

[0019] 在一个实施例中，所述变截面梁的边界条件包括：

[0020] l1(x)σx(x,f1(x),t)+m1(x)τxy(x,f1(x),t)＝0，

[0021] m1(x)σy(x,f1(x),t)+l1(x)τxy(x,f1(x),t)＝0，

[0022] l2(x)σx(x,f2(x),t)+m2(x)τxy(x,f2(x),t)＝0，

[0023] m2(x)σy(x,f2(x),t)+l2(x)τxy(x,f2(x),t)＝0，

[0024]

[0025]

[0026]

[0027]

[0028] 式中，0

[0029] 作为一个实施例，对变截面梁的边界条件进行傅里叶展开的过程包括：

[0030]

[0031]

[0032]

[0033]

[0034] 式中，n为正整数。

[0035] 在一个实施例中，所述二阶齐次常系数常微分方程包括：

[0036]

[0037]

[0038] 式中，V′m(y)为Vm(y)的一阶导数，U′m(y)为Um(y)的一阶导数，U″m(y)为Um(y)的二阶导数，V″m(y)为为Vm(y)的二阶导数。

[0039] 在一个实施例中，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解的过程包括：

[0040] 求解 时的Um(y)和Vm(y)；

[0041] 将求解得到的Um(y)和Vm(y)代入应力与位移之间的关系方程得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；其中：

[0042]

[0043]

[0044]

[0045] 在一个实施例中，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解的过程包括：

[0046] 求解 时的Um(y)和Vm(y)；

[0047] 将求解得到的Um(y)和Vm(y)代入应力与位移之间的关系方程得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；其中：

[0048]

[0049]

[0050]

[0051] 在一个实施例中，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解的过程包括：

[0052] 求解 时的Um(y)和Vm(y)；

[0053] 将求解得到的Um(y)和Vm(y)代入应力与位移之间的关系方程得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；其中：

[0054]

[0055]

[0056]

[0057] 上述任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，通过建立梁式构件的应力与位移之间的关系方程和位移形式的振动微分方程，设定分离变量形式的位移方程，根据分离变量形式的位移方程确定Um(y)和Vm(y)，将Um(y)和Vm(y)代入位移形式的振动微分方程，得到二阶齐次常系数常微分方程组，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解，以根据σx的通解、σy的通解和τxy的通解确定变截面梁的边界条件，对变截面梁的边界条件进行傅里叶展开，以确定梁式构件中变截面梁式构件的固有频率，可以提高所确定的变截面梁式构件的固有频率等参数的精度，提升相应检测分析方案的灵活性。

附图说明

[0058] 图1是一个实施例的任意变截面梁式构件的固有频率检测方法流程图；

[0059] 图2是一个实施例的任意变截面梁式构件示意图；

[0060] 图3是一个实施例的典型下边界线性变化的楔形梁式构件示意图；

[0061] 图4是一个实施例的典型等厚度梁式构件示意图；

[0062] 图5是一个实施例的典型下边界为内凹抛物线的梁式构件示意图；

[0063] 图6是一个实施例的典型下边界为外凸抛物线的梁式构件示意图。

具体实施方式

[0064] 为了使本申请的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本申请进行进一步详细说明。应当理解，此处描述的具体实施例仅仅用以解释本申请，并不用于限定本申请。

[0065] 在本文中提及“实施例”意味着，结合实施例描述的特定特征、结构或特性可以包含在本申请的至少一个实施例中。在说明书中的各个位置出现该短语并不一定均是指相同的实施例，也不是与其它实施例互斥的独立的或备选的实施例。本领域技术人员显式地和隐式地理解的是，本文所描述的实施例可以与其它实施例相结合。

[0066] 参考图1所示，图1为一个实施例的任意变截面梁式构件的固有频率检测方法流程图，包括如下步骤：

[0067] S10，建立梁式构件的应力与位移之间的关系方程和位移形式的振动微分方程；

[0068] 所述应力与位移之间的关系方程包括：

[0069]

[0070]

[0071]

[0072] 所述位移形式的振动微分方程包括：

[0073]

[0074]

[0075] 式中，x和y分别为笛卡尔直角坐标系中的坐标，u是梁式构件在x方向的位移，v是y方向，σx梁式构件在x方向上的正应力，σy是梁式构件在y方向上的正应力，τxy是梁式构件的切应力，E是梁式构件的材料弹性模量，μ是梁式构件的泊松比，ρ是梁式构件的密度，t是梁式构件的移动时间。

[0076] 上述任意变截面梁式构件可以参考图2所示。

[0077] 上述步骤可以根据弹性力学基本方程，建立梁式构件的应力与位移之间的关系方程和位移形式的振动微分方程。

[0078] S20，设定分离变量形式的位移方程，根据分离变量形式的位移方程确定Um(y)和Vm(y)，将Um(y)和Vm(y)代入位移形式的振动微分方程，得到二阶齐次常系数常微分方程组，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；所述分离变量形式的位移方程包括：

[0079]

[0080] 式中，L为梁式构件中变截面梁的长度，Um(y)分别为梁式构件在x方向位移的分离出来的第m阶形函数，Vm(y)为梁式构件在y方向位移的分离出来的第m阶形函数。

[0081] 上述步骤可以考虑简支边界条件，设定分离变量形式的位移方程。

[0082] 在一个实施例中，所述二阶齐次常系数常微分方程包括：

[0083]

[0084]

[0085] 式中，V′m(y)为Vm(y)的一阶导数，U′m(y)为Um(y)的一阶导数，U″m(y)为Um(y)的二阶导数，V″m(y)为为Vm(y)的二阶导数。

[0086] S30，根据σx的通解、σy的通解和τxy的通解确定变截面梁的边界条件，对变截面梁的边界条件进行傅里叶展开，以确定梁式构件中变截面梁式构件的固有频率。

[0087] 在一个实施例中，所述变截面梁的边界条件包括：

[0088] l1(x)σx(x,f1(x),t)+m1(x)τxy(x,f1(x),t)＝0，

[0089] m1(x)σy(x,f1(x),t)+l1(x)τxy(x,f1(x),t)＝0，

[0090] l2(x)σx(x,f2(x),t)+m2(x)τxy(x,f2(x),t)＝0，

[0091] m2(x)σy(x,f2(x),t)+l2(x)τxy(x,f2(x),t)＝0，

[0092]

[0093]

[0094]

[0095]

[0096] 式中，0

[0097] 作为一个实施例，对变截面梁的边界条件进行傅里叶展开的过程包括：

[0098]

[0099]

[0100]

[0101]

[0102] 式中，n为正整数。

[0103] 上述任意变截面梁式构件的固有频率检测方法，通过建立梁式构件的应力与位移之间的关系方程和位移形式的振动微分方程，设定分离变量形式的位移方程，根据分离变量形式的位移方程确定Um(y)和Vm(y)，将Um(y)和Vm(y)代入位移形式的振动微分方程，得到二阶齐次常系数常微分方程组，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解，以根据σx的通解、σy的通解和τxy的通解确定变截面梁的边界条件，对变截面梁的边界条件进行傅里叶展开，以确定梁式构件中变截面梁式构件的固有频率，可以提高所确定的变截面梁式构件的固有频率等参数的精度，提升相应检测分析方案的灵活性。

[0104] 具体地，由于常系数的不确定性，所以需要根据常系数的大小，分情况讨论上述方程组的通解，从而求得σx、σy和τxy含有待定系数的通解。

[0105] 在一个实施例中，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解的过程包括：

[0106] 求解 时的Um(y)和Vm(y)；

[0107] 将求解得到的Um(y)和Vm(y)代入应力与位移之间的关系方程得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；其中：

[0108]

[0109]

[0110]

[0111] 具体地，当 时，

[0112] Vm(y)＝sh(αmy)Am+ch(αmy)Bm+sin(βmy)Cm+cos(βmy)Dm，

[0113]

[0114] 其中

[0115]

[0116] 将上述参数代入假设位移(分离变量形式的位移方程)及本构方程得到：

[0117]

[0118]

[0119]

[0120] 在一个实施例中，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解的过程包括：

[0121] 求解 时的Um(y)和Vm(y)；

[0122] 将求解得到的Um(y)和Vm(y)代入应力与位移之间的关系方程得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；其中：

[0123]

[0124]

[0125]

[0126] 具体地，当 时，

[0127] Vm(y)＝sin(αmy)Am+cos(αmy)Bm+sin(βmy)Cm+cos(βmy)Dm，

[0128]

[0129] 其中

[0130]

[0131] 将上述参数代入假设位移(分离变量形式的位移方程)及本构方程得到：

[0132]

[0133]

[0134]

[0135] 在一个实施例中，求解二阶齐次常系数常微分方程组得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解的过程包括：

[0136] 求解 时的Um(y)和Vm(y)；

[0137] 将求解得到的Um(y)和Vm(y)代入应力与位移之间的关系方程得到σx的通解、σy的通解和τxy的通解；其中：

[0138]

[0139]

[0140]

[0141] 具体地，当 时，

[0142] Vm(y)＝sh(αmy)Am+ch(αmy)Bm+sh(βmy)Cm+ch(βmy)Dm，

[0143]

[0144] 其中

[0145]

[0146] 将上述参数代入假设位移(分离变量形式的位移方程)及本构方程得到：

[0147]

[0148]

[0149]

[0150] 进一步地，在一个示例中，代入σx、σy和τxy含有待定系数的通解，并确定级数的截断项为N后，便可写成矩阵形式：

[0151]

[0152] 其中，系数矩阵中的元素分别表示对应待定系数前定积分的值，令系数矩阵的行列式等于零，便可求得变截面梁式构件的一系列高精度固有频率。

[0153] 上述意变截面梁式构件的固有频率检测方法，能够实现对任意变截面梁式构件振动问题的求解，并拥有着良好的收敛性和高精度，可用于具有高精度要求的各类精密构件受力分析，克服现有技术存在的问题，并可为各种数值方法提供校验标准。适用于任意形状变截面梁式构件振动的精确求解，其中没有采用任何经典梁理论简化假设，而是直接基于小应变线性弹性理论进行推导和求解，因此，应用本发明的方法能够更高精度地获得任意变截面梁式构件的应力和位移。将本发明应用于实例中，可以验证本发明良好的收敛性以及高精度。对于航空航天、国防军工、精密仪表等具有高精度要求的工程变截面梁式构件，能提供一种有效的高精度分析方法，并能为其他数值方法提供校验标准。

[0154] 在一个实施例中，以下边界线性变化的楔形梁式构件为例，来验证本发明良好的11
收敛性。如图3所示，梁的高跨比H/L＝0.05，弹性模量E＝2.06×10 Pa，泊松比μ＝0.3，密度
3
ρ＝7800kg/m。下表中给出了，高度比分别为H1/H＝1.5或2时，截断项分别取N＝10,20,30,
40,50时，用本发明计算的该变截面梁的前八阶固有频率ωi(rad/s)。从表1中可以看出截断项取N＝40和N＝50时的固有频率已经完全一致。N＝50的结果在两种情况下都已经精确到第四个有效数字。在N＝40和N＝50之间，固有频率的最大相对误差不超过0.1％。这证明了本发明的快速收敛性。

[0155] 表1

[0156]

[0157] 在一个实施例中，以等厚度梁式构件为例，如图4所示，将本发明的结果与经典梁理论(CBT)和有限单元法(FE)的结果作比较。该梁的材料参数与实施例1一致。下表中给出了不同高跨比H/L＝0.01,0.05,0.1情况下，三种方法计算的前八阶固有频率ωi(rad/s)。截断项取N＝40。从表2可以看出，随着梁厚度的增加，经典梁理论结果的相比于本发明的结果，误差迅速增大，特别是阶数较高的固有频率情况下。因此，本发明的解果比经典梁理论的解果更加精确。然而，从表中还可以看出，对于细长梁(H/L＝0.01)和中厚梁(H/L＝0.1)，本发明的结果与有限元的结果有很好的一致性。本发明的结果与有限元的结果的最大相对误差不超过0.1％。

[0158] 表2

[0159]

[0160]

[0161] 在一个实施例中，以下边界为内凹抛物线的梁式构件为例，如图5所示。该梁的材料参数与实施例1一致，最大高跨比H/L＝0.1。下表中给出了五种不同高度比H1/H＝0.5,0.6,0.7,0.8,0.9情况下，用本发明计算的该变截面梁的前八阶固有频率ωi(rad/s)。从表
3中可以看出，该梁的固有频率随深度比的增大而增大。本发明方法能精确获得该变截面梁式构件的每一阶振动频率，并反映其变化规律。

[0162] 表3

[0163]

[0164] 在一个实施例中，以下边界为外凸抛物线的梁式构件为例，如图6所示。该梁的材料参数与实施例1一致，最小高跨比H/L＝0.05。下表中给出了三种不同高度比H1/H＝1.2,1.6,2.0情况下，用本发明计算的该变截面梁的前八阶固有频率ωi(rad/s)。从表4中可以看出，高度比H1/H对变截面梁的固有频率有重要影响，高度比的减小使得变截面梁的固有频率降低。本发明方法能精确获得该变截面梁式构件的每一阶振动频率，并反映其变化规律。

[0165] 表4

[0166]

[0167]

[0168] 以上实施例的各技术特征可以进行任意的组合，为使描述简洁，未对上述实施例中的各个技术特征所有可能的组合都进行描述，然而，只要这些技术特征的组合不存在矛盾，都应当认为是本说明书记载的范围。

[0169] 需要说明的是，本申请实施例所涉及的术语“第一\第二\第三”仅仅是区别类似的对象，不代表针对对象的特定排序，可以理解地，“第一\第二\第三”在允许的情况下可以互换特定的顺序或先后次序。应该理解“第一\第二\第三”区分的对象在适当情况下可以互换，以使这里描述的本申请的实施例能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。

[0170] 本申请实施例的术语“包括”和“具有”以及它们任何变形，意图在于覆盖不排他的包含。例如包含了一系列步骤或模块的过程、方法、装置、产品或设备没有限定于已列出的步骤或模块，而是可选地还包括没有列出的步骤或模块，或可选地还包括对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或模块。

[0171] 以上所述实施例仅表达了本申请的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本申请构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本申请的保护范围。因此，本申请专利的保护范围应以所附权利要求为准。