本发明公开了一种飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法。该方法在对飞行器的姿态跟踪控制过程中，通过构建状态观测器、有限时间命令滤波器、误差补偿机制以及基于分数幂的控制律设计等步骤，使得飞行器的姿态参数向量与期望的姿态位置向量的跟踪误差收敛于期望的邻域内。本发明方法不仅能够避免传统反步法造成的计算复杂性问题，还能够确保飞行器在具有惯性不确定性、外部干扰和输入饱和的情况下，姿态跟踪误差收敛到任意期望的邻域内，并且闭环系统中的所有信号都在有限时间内有界。此外，本发明还给出了具体实例以验证本发明方法的有效性，通过仿真结果表明了本发明方法的有效性。
1.一种飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法，其特征在于，包括如下步骤：
I.飞行器在惯性系中的姿态参数向量 根据修正罗德里格参数定义为：
式中， 表示姿态参数向量 的第一个分量， 表示 的第二个分量， 表示 的第三个分量；θ∈(‑2π,2π)表示主旋转角的角度，α表示主旋转轴；
ω＝[ω1,ω2,ω3]∈R表示飞行器的角速度，其中ω1表示ω的第一个分量，ω2表示ω的第二个分量，ω3表示ω的第三个分量； 表示姿态参数向量 的斜对称矩阵，表达式为飞行器的动力学方程定义为：×
Jω＝‑ω Jω+sat(u)+d (3)× 3×3 ×
其中，ω ∈R 表示角速度向量ω的斜对称矩阵，表达式为ω ＝[0,‑ω3,ω2；ω3,0,‑T 3×3ω1；‑ω2,ω1,0]；J∈R 表示惯性矩阵；
J包括标称部分 和不确定部分ΔJ； 满足 ε∈R是任意向* *
量， 和 是已知的正常数；ΔJ满足||ΔJ||≤ΔJ，ΔJ是未知的正常数；
d∈R表示由外部干扰产生的控制扭矩，且满足||d||≤d1，d1是未知的正常数；
sat(u)＝[sat(u1),sat(u2),sat(u3)]是关于u的输入饱和函数矢量；
根据飞行器的运动学方程(2)和动力学方程(3)，得到描述飞行器的姿态运动方程为：* T T
其中， 表示 的逆矩阵；J ＝W JW，W 表示W的转置矩阵；
阵，其中η1表示 的第一个分量，η2表示 的第二个分量，η3表示 的第三个分量，表示为* T
进一步，将 代入公式(4)化简，重新定义变量 ΔJ＝WΔJW，公式(4)表示为：
其中， 指 的逆矩阵， 表示矩阵的斜对称矩阵，其中σ1表示 的第一个分量，σ2表示 的第二个分量，σ3表示 的第三个分量， 表示为‑1
是指 的逆矩阵，J 是指J的逆矩阵 ,定义新的变量
其中，x＝[x1,x2] ；F(x)＝‑P(y,x2)x2＝[f1(x),f2(x),f3(x)] ，f1(x)表示F(x)的第一个分量，f2(x)表示F(x)的第二个分量，f3(x)表示F(x)的第三个分量；
其中，g(u)＝[g(u1),g(u2),g(u3)]，其中，i＝1,2,3，tanh表示双曲正切函数；
II.下面构造飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法，以使飞行器的姿态参数向量 与期望的姿态位置向量 的跟踪误差收敛于期望邻域内；
为了估算飞行器不可测量的角速度，将建立状态观测器用于后续控制器的构建；
K表示观测器的增益矩阵，k1＞0、k2＞0为设计的观测器增益；是状态x的估计值；
ΔF是函数的估计误差，定义为通过选取增益矩阵K，使得矩阵A成为严格的赫尔维茨矩阵；
给出对称正矩阵Q＝Q＞0，必然存在一个满足AP+PA＝‑Q的对称正矩阵P＝P＞0；
其中， 是x1的估计值， 是x2的估计值，Θ是任意正常数，||·||表示向量的2范数；
根据利普西斯条件，如果上述紧集Ω1存在，则存在正常数h，使得 成立；
定义状态观测器的估计误差在反步控制方法的每一步中都将采用下面的有限时间命令滤波器；
μ2,1,i表示有限时间命令滤波器的状态；μ2,2,i表示有限时间命令滤波器的状态；
Ψ2,1,i表示有限时间命令滤波器的参数，Ψ2,2,i表示有限时间命令滤波器的参数；
ι2,1,i表示μ2,1,i的导数； 表示虚拟控制信号 的第i个分量，sign表示符号函数；
在控制器设计中，定义以下姿态跟踪误差：其中，z1表示姿态跟踪误差向量；
z2表示观测的状态向量与有限时间命令滤波器输出向量的误差；
l2＝[μ2,1,1,μ2,1,2,μ2,1,3]为有限时间命令滤波器的输出；
虚拟控制信号 为有限时间命令滤波器的输入， 表示 的第一个分量， 表示 的第二个分量， 表示 的第三个分量；
由公式(10)构造虚拟控制信号 为：其中，c1＞0为常数增益；φ1＞0为常数增益；γ定义为 c和d是正奇数；xd3
补偿的误差信号 和消除饱和影响的辅助信号ζ的定义将在下面给出；
构造控制力矩 其中 表示的 逆矩阵， 定义为：其中，c2＞0为常数增益；φ2＞0为常数增益；e1表示状态观测器的估计误差e的第一个分量，补偿的误差信号 的定义将在下面给出；
其中， 表示误差补偿信号， 表示 的初始条件， s＝1,2；
补偿的误差信号 定义为：消除饱和影响的辅助信号ζ定义为：选择状态观测器(8)、虚拟控制信号 和控制力矩 使得飞行器的姿态参数向量 与期望的姿态位置向量 的跟踪误差收敛于期望邻域内；
选取Lyapunov函数：由公式(7)和公式(8)得到：则有：
将公式(18)、公式(19)代入公式(16)得：其中，λmin(Q)表示矩阵Q的最小的特征值，选取Lyapunov函数：对V1求导得：
将公式(11)、公式(13)和公式(14)代入公式(22)，并根据不等式 得到：
将公式(12)、公式(13)、公式(14)、公式(15)代入公式(25)，得到：为误差补偿系统选取Lyapunov函数：对 求导得：
其中， 表示 的第i个分量，s＝1,2,i＝1,2,3；
对公式(29)求导得到：其中，S1表示任意的常数；λmax(P)表示矩阵P的最大的特征值；
根据下面给出的不等关系：其中， 表示 的第i个分量，s＝1,2,i＝1,2,3，则不等式(31)等价于：其中，
如果存在实数χ满足0＜χ＜1，则不等式(32)等价于：或
如果 则不等式(33)即能够化为 从而得到：状态观测器的估计误差e、误差信号 补偿误差信号 将在有限时间T1收敛到原点附近的期望邻域有限时间 表示 的初始条件；
如果 则不等式(34)即能够化为 从而得到：观测器误差e、误差信号 补偿误差信号 将在有限时间T2收敛到原点附近的期望邻域有限时间 表示 的初始条件；
综上，误差信号 补偿误差信号 将在有限时间T＝max{T1,T2}内收敛到邻域根据公式(14)，姿态跟踪误差向量z1将在有限时间T收敛到原点附近的邻域
一种飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法
技术领域
[0001] 本发明涉及一种飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法。
背景技术
[0002] 随着航空航天技术的发展，复杂多变的飞行任务需要飞行器精确、高效的姿态控制。飞行器高性能姿态跟踪控制作为其中重要的研究方向，已经得到了广泛的关注。目前，已经有许多采用不同方法研究飞行器的姿态跟踪的结果，例如结合鲁棒控制和自适应控制的姿态跟踪控制方法、基于终端滑模的姿态跟踪控制方法和基于反步法建立姿态跟踪控制器等。
[0003] 这些结果中大部分姿态跟踪控制器的构造都基于全状态反馈，这意味着算法设计需要飞行器的姿态和速度信息。然而，在恶劣的飞行条件下飞行器的状态难以精确全部测量，而且传感器容易发生故障，因此，基于全状态反馈的姿态跟踪控制方案具有很大的局限性。
[0004] 发明人认为，基于观测器的飞行器的控制器设计方法更为实用，但是目前大部分的输出反馈姿态控制方案都是渐近收敛的。相比于渐近收敛的控制方法，有限时间控制能够提供更快的收敛速度，从而提高飞行器的控制器的跟踪精度和抗干扰能力。
[0005] 目前常见的有限时间姿态跟踪控制器都是基于全状态反馈的，仅有的采用齐次方法研究输出反馈的有限时间姿态跟踪问题，但是不能处理具有扰动或不确定性的飞行器系统。
[0006] 反步法已被证明在不确定的非线性系统的自适应控制中表现良好，已经被用于飞行器的输出反馈控制。但是，在控制器设计中需要使用虚拟控制信号的导数，这会带来计算复杂性问题。引入加幂积分器的反步技术是一种基于反步技术的有限时间控制算法，但是它需要多次使用不等式缩放来确定控制器增益，这可能会带来高增益问题。动态面控制通过应用一阶滤波器计算复杂性问题，但是加入滤波器后产生的滤波误差得不到补偿，因而无法进一步提高控制性能。命令滤波反步法通过命令滤波器的输出逼近虚拟控制信号的导数，同时通过使用误差补偿信号消除过滤误差。相比于基于加幂积分的反步控制方法和动态面控制，它可以保证更好的控制性能。此外，控制器的饱和问题对提高飞行器的性能和稳定性有重要影响，需要考虑。因此，如何在只考虑输出反馈的基础上，使用命令滤波反步法构建具有抑制输入饱和影响的控制器使飞行器在有限时间内完成对目标姿态的高效跟踪有重要意义。
发明内容
[0007] 本发明的目的在于提出一种飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法，以解决飞行器存在惯性不确定性、外部干扰以及执行器饱和情况下的姿态跟踪控制问题。
[0008] 本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：
[0009] 一种飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法，包括如下步骤：
[0010] I.飞行器在惯性系中的姿态参数向量 根据修正罗德里格参数定义为：
[0011]
[0012] 式中， 表示姿态参数向量 的第一个分量， 表示 的第二个分量， 表示 的第三个分量；θ∈(‑2π,2π)表示主旋转角的角度，α表示主旋转轴；
[0013] 根据修正罗德里格参数，飞行器的运动学方程定义为：
[0014]3×3
[0015] 其中，I3×3∈R 为单位矩阵； 定义为
[0016] ω＝[ω1,ω2,ω3]T∈R3表示飞行器的角速度，其中ω1表示ω的第一个分量，ω2表示ω的第二个分量，ω3表示ω的第三个分量； 表示姿态参数向量 的斜对称矩阵，表达式为
[0017] 飞行器的动力学方程定义为：
[0018] Jω＝‑ω×Jω+sat(u)+d (3)
[0019] 其中，ω×∈R3×3表示角速度向量ω的斜对称矩阵，表达式为ω×＝[0,‑ω3,ω2；T 3×3
ω3,0,‑ω1；‑ω2,ω1,0]；J∈R 表示惯性矩阵；
[0020] J包括标称部分 和不确定部分ΔJ； 满足 ε∈R3是任* *
意向量， 和 是已知的正常数；ΔJ满足||ΔJ||≤ΔJ ，ΔJ是未知的正常数；
[0021] d∈R3表示由外部干扰产生的控制扭矩，且满足||d||≤d1，d1是未知的正常数；
[0022] u＝[u1,u2,u3]T∈R3表示控制力矩；
[0023] sat(u)＝[sat(u1),sat(u2),sat(u3)]T是关于u的输入饱和函数矢量；
[0024] 函数sat(ui)定义为 i＝1,2,3， 是已知的常数；
[0025] 根据飞行器的运动学方程(2)和动力学方程(3)，得到描述飞行器的姿态运动方程为：
[0026]
[0027] 其中， 表示 的逆矩阵；J*＝WTJW，WT表示W的转置矩阵；表示矩阵 的斜对称矩
阵，其中η1表示 的第一个分量，η2表示 的第二个分量，η3表示 的第三个分量，表示为
[0028] 进一步，将 代入公式(4)化简，重新定义变量 ΔJ*＝WTΔJW，公式(4)表示为：
[0029]
[0030] 其中， 指 的逆矩阵， 表示矩阵 的斜对称矩阵，其中σ1表示 的第一个分量，σ2表示 的
第二个分量，σ3表示 的第三个分量， 表示为
‑ 1
J 是 指J 的 逆矩 阵 ；
‑1
是指 的逆矩阵，J 是指J的逆矩阵 ,
[0031] 定义新的变量
[0032] 则公式(5)用新的变量表示为：
[0033]
[0034] 其中，x＝[x1,x2]T；F(x)＝‑P(y,x2)x2＝[f1(x),f2(x),f3(x)]T，f1(x)表示F(x)的第一个分量，f2(x)表示F(x)的第二个分量，f3(x)表示F(x)的第三个分量；
[0035] 表达式中的sat(u)表示为
[0036] 其中 ，g (u) ＝[ g (u1) ,g (u 2) ,g (u3) ] T ，其中，i＝1,2,3，tanh表示双曲正切函
数；
[0037] II.下面构造飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法，以使飞行器的姿态参数向量 与期望的姿态位置向量 的跟踪误差收敛于期望邻域内；
[0038] 为了估算飞行器不可测量的角速度，将建立状态观测器用于后续控制器的构建；
[0039] 首先将公式(6)重写为：
[0040]
[0041] 其中，
[0042] K表示观测器的增益矩阵，k1＞0、k2＞0为设计的观测器增益；是状态x的估计值；
[0043] ΔF是函数的估计误差，定义为
[0044] 通过选取增益矩阵K，使得矩阵A成为严格的赫尔维茨矩阵；
[0045] 给出对称正矩阵QT＝Q＞0，必然存在一个满足ATP+PA＝‑Q的对称正矩阵PT＝P＞0；
[0046] 根据公式(7)构建状态观测器，即：
[0047]
[0048] 构造紧集Ω1：
[0049] 其中， 是x1的估计值， 是x2的估计值，Θ是任意正常数，||·||表示向量的2范数；
[0050] 根据利普西斯条件，如果上述紧集Ω1存在，则存在正常数h，使得 成*立；进一步，存在正常数d，使得 也成立；
[0051] 定义状态观测器的估计误差
[0052] 在反步控制方法的每一步中都将采用下面的有限时间命令滤波器；
[0053]
[0054] 其中，i＝1,2,3；
[0055] μ2,1,i表示有限时间命令滤波器的状态；μ2,2,i表示有限时间命令滤波器的状态；
[0056] Ψ2,1,i表示有限时间命令滤波器的参数，Ψ2,2,i表示有限时间命令滤波器的参数；
[0057] ι2,1,i表示μ2,1,i的导数； 表示虚拟控制信号 的第i个分量，sign表示符号函数；
[0058] 在控制器设计中，定义以下姿态跟踪误差：
[0059]
[0060] 其中，z1表示姿态跟踪误差向量；z2表示观测的状态向量与有限时间命令滤波器输T出向量的误差；l2＝[μ2,1,1,μ2,1,2,μ2,1,3]为有限时间命令滤波器的输出；
[0061] 虚拟控制信号 为有限时间命令滤波器的输入， 表示 的第一个分量， 表示 的第二个分量， 表示 的第三个分量；
[0062] 由公式(10)构造虚拟控制信号 为：
[0063]
[0064] 其中，c1＞0为常数增益；φ1＞0为常数增益；γ定义为 c和d是正奇3
数；xd∈R表示飞行器的目标姿态轨迹；补偿的误差信号 和消除饱和影响的辅助信号ζ的定义将在下面给出；
[0065] 构造控制力矩 其中 表示的 逆矩阵， 定义为：
[0066]
[0067] 其中，c2＞0为常数增益；φ2＞0为常数增益；e1表示状态观测器的估计误差e的第一个分量，补偿的误差信号 的定义将在下面给出；
[0068] 选取误差补偿信号：
[0069]
[0070] 其中， 表示误差补偿信号， 表示 的初始条件， s＝1,2；
[0071] 补偿的误差信号 定义为：
[0072]
[0073] 消除饱和影响的辅助信号ζ定义为：
[0074]
[0075] 选择状态观测器(8)、虚拟控制信号 和控制力矩 使得飞行器的姿态参数向量 与期望的姿态位置向量 的跟踪误差收敛于期望邻域内；
[0076] 选取Lyapunov函数：
[0077] 由公式(7)和公式(8)得到：
[0078] 则有：
[0079] 由不等式放缩得到：
[0080]
[0081] 其中，
[0082] 将公式(18)、公式(19)代入公式(16)得：
[0083]
[0084] 其中，λmin(Q)表示矩阵Q的最小的特征值，选取Lyapunov函数：
[0085] 对V1求导得：
[0086]
[0087] 其中，
[0088] 将公式(11)、公式(13)和公式(14)代入公式(22)，并根据不等式得到：
[0089]
[0090] 选取Lyapunov函数：
[0091] 对V2求导：
[0092]
[0093] 将公式(12)、公式(13)、公式(14)、公式(15)代入公式(25)，得到：
[0094]
[0095] 为误差补偿系统选取Lyapunov函数：
[0096] 对 求导得：
[0097]
[0098] 其中， 表示 的第i个分量，s＝1,2,i＝1,2,3；
[0099] 定义李雅普诺夫函数：
[0100] 对公式(29)求导得到：
[0101]
[0102] 其中，S1表示任意的常数；λmax(P)表示矩阵P的最大的特征值；
[0103] 将上面公式求解得到的 代入公式(30)得到：
[0104]
[0105] 在有限时间T*内，存在 为未知常数；
[0106] 根据下面给出的不等关系：
[0107]
[0108]
[0109]
[0110] 其中， 表示 的第i个分量，s＝1,2,i＝1,2,3，则不等式(31)等价于：
[0111]
[0112] 其中，
[0113]
[0114]
[0115] 如果存在实数χ满足0＜χ＜1，则不等式(32)等价于：
[0116]
[0117] 或
[0118] 如果 则不等式(33)即能够化为 从而得到：
[0119] 状态观测器的估计误差e、误差信号 补偿误差信号 将在有限时间T1收敛到原点附近的期望邻域
[0120] 有限时间 表示 的初始条件；
[0121] 如果 则不等式(34)即能够化为 从而得到：
[0122] 观测器误差e、误差信号 补偿误差信号 将在有限时间T2收敛到原点附近的期望邻域
[0123] 有限时间 表示 的初始条件；
[0124] 综上，误差信号 补偿误差信号 将在有限时间T＝max{T1,T2}内收敛到邻域[0125] 根据公式(14)，姿态跟踪误差向量z1将在有限时间T收敛到原点附近的邻域[0126]
[0127] 本发明具有如下优点：
[0128] (1)与已有的飞行器基于状态观测器的姿态跟踪控制方法相比，本发明方法提出了考虑了有限时间输出反馈姿态跟踪控制，能够提供更快的收敛速度；此外，本发明考虑了控制器输入饱和问题，使本发明方法更具实用性和适用性。(2)与已有的飞行器有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法相比，本发明提出了一种新颖的有限时间命令滤波输出反馈控制方法，该方法不仅能够避免传统反步方法的计算复杂性问题，而且与基于动态面的姿态跟踪控制算法相比，本发明能够补偿使用命令滤波器引起的滤波误差，因而拥有良好的稳态和瞬态性能。
附图说明
[0129] 图1为本发明实施例中飞行器的有限时间输出反馈姿态控制方法的流程示意图。
[0130] 图2为本发明实施例中飞行器的姿态和目标姿态的运动曲线图。
[0131] 图3为本发明实施例中状态观测器的估计状态和实际状态的响应图。
[0132] 图4为本发明实施例中有限时间命令滤波器的输入信号和输出信号的响应图。
[0133] 图5为本发明实施例中控制力矩的响应图。
[0134] 图6为本发明方法与传统动态面控制方法的对比示意图。
具体实施方式
[0135] 下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
[0136] 如图1所示，一种飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法，包括如下步骤：
[0137] I.飞行器在惯性系中的姿态参数向量 根据修正罗德里格参数定义为：
[0138]
[0139] 式中， 表示姿态参数向量 的第一个分量， 表示 的第二个分量， 表示 的第三个分量；θ∈(‑2π,2π)表示主旋转角的角度，α表示主旋转轴。
[0140] 根据修正罗德里格参数，飞行器的运动学方程定义为：
[0141]3×3
[0142] 其中，I3×3∈R 为单位矩阵； 定义为
[0143] ω＝[ω1,ω2,ω3]T∈R3表示飞行器的角速度，其中ω1表示ω的第一个分量，ω2表示ω的第二个分量，ω3表示ω的第三个分量； 表示姿态参数向量 的斜对称矩阵，表达式为
[0144] 飞行器的动力学方程定义为：
[0145] Jω＝‑ω×Jω+sat(u)+d (3)
[0146] 其中，ω×∈R3×3表示角速度向量ω的斜对称矩阵，表达式为ω×＝[0,‑ω3,ω2；T 3×3
ω3,0,‑ω1；‑ω2,ω1,0]；J∈R 表示惯性矩阵。
[0147] J包括标称部分 和不确定部分ΔJ；满足 x∈R3， 和* *
是已知的正常数；ΔJ满足||ΔJ||≤ΔJ ，ΔJ是未知的正常数。
[0148] d∈R3表示由外部干扰产生的控制扭矩，且满足||d||≤d1，d1是未知的正常数。
[0149] u＝[u1,u2,u3]T∈R3表示控制输入力矩。
[0150] sat(u)＝[sat(u1),sat(u2),sat(u3)]T是关于u的输入饱和函数矢量。
[0151] 函数sat(ui)定义为 i＝1,2,3， 是已知的常数。
[0152] 假设1：J是正定对称的矩阵，包含标称部分 和不确定部分ΔJ。3
[0153] 假设2： 满足 ε∈R 是任意向量， 和 是已知的正* *
常数，ΔJ满足||ΔJ||≤ΔJ，ΔJ是未知的正常数，||·||表示向量或矩阵的2范数。
[0154] 假设3：||d||≤d1，d1是未知的正常数。
[0155] 假设4：假设期望的跟踪轨迹xd及其一阶导数是有界的，并且xd能够避免与修正罗德里格参数相关的运动学奇异点。当 接近±2π时，修正罗德里格参数具有奇异点，因此期望的主旋转角 应满足 其中 和 是常数。
[0156] 根据飞行器的运动学方程(2)和动力学方程(3)，得到描述飞行器的姿态运动方程为：
[0157]* T T
[0158] 其中， 表示 的逆矩阵；J ＝W JW，W 表示W的转置矩阵；表示矩阵 的斜对称矩
阵，其中η1表示 的第一个分量，η2表示 的第二个分量，η3表示 的第三个分量，表示为
[0159] 进一步，将 代入公式(4)化简，重新定义变量 ΔJ*＝WTΔJW，公式(4)可以表示为：
[0160]
[0161] 其中， 是指 的逆矩阵， 表示矩阵 的斜对称矩阵，其中σ1表示 的第一个分量，σ2表示
的第二个分量，σ3表示 的第三个分量， 表示为
‑1
J 是指J的逆矩阵 ；
‑1
是指 的逆矩阵，J 是指J的逆矩阵 ,
表示矩阵 的斜对称矩
阵，其中υ1表示 的第一个分量，υ2表示 的第二个分量，υ3表示 的第三个分量， 表示为
[0162] 定义新的变量
[0163] 则公式(5)可以用新的变量表示为：
[0164]
[0165] 其中，x＝[x1,x2]T；F(x)＝‑P(y,x2)x2＝[f1(x),f2(x),f3(x)]T，f1(x)表示F(x)的第一个分量，f2(x)表示F(x)的第二个分量，f3(x)表示F(x)的第三个分量。
[0166] 表达式中的sat(u)表示为
[0167] 其中，g(u)＝[g(u1),g(u2),g(u3)]T，其中，i＝1,2,3,
tanh表示双曲正切函数。
[0168] II.下面构造飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法，以使飞行器的姿态参数向量 与期望的姿态位置向量 的跟踪误差收敛于期望邻域内。
[0169] 为了估算飞行器不可测量的角速度，将建立状态观测器用于后续控制器的构建。
[0170] 首先将公式(6)重写为：
[0171]
[0172] 其中，
[0173] K表示观测器的增益矩阵，k1＞0、k2＞0为设计的观测器增益；是状态x的估计值。
[0174] ΔF是函数的估计误差，定义为
[0175] 通过选取增益矩阵K，使得矩阵A成为严格的赫尔维茨矩阵。
[0176] 给出对称正矩阵QT＝Q＞0，必然存在一个满足ATP+PA＝‑Q的对称正矩阵PT＝P＞0。
[0177] 根据公式(7)构建状态观测器，即：
[0178]
[0179] 其中，是x的估计值。
[0180] 构造紧集Ω1：
[0181] 其中， 是x1的估计值， 是x2的估计值，Θ是任意正常数，||·||表示向量的2范数。
[0182] 根据利普西斯条件，如果上述紧集Ω1存在，则存在正常数h，使得 成*立；进一步，存在正常数d，使得 也成立。
[0183] 定义状态观测器的估计误差
[0184] 在反步控制方法的每一步中都将采用下面的有限时间命令滤波器；
[0185]
[0186] 其中，i＝1,2,3；
[0187] μ2,1,i表示有限时间命令滤波器的状态；μ2,2,i表示有限时间命令滤波器的状态。
[0188] Ψ2,1,i表示有限时间命令滤波器的参数，Ψ2,2,i表示有限时间命令滤波器的参数。
[0189] ι2,1,i表示μ2,1,i的导数； 表示虚拟控制信号 的第i个分量，sign表示符号函数。
[0190] 引理1：若有限时间命令滤波器的输入不受噪声影响，即 则存在常数Ψ2,1,i，Ψ2,2,i使得 在有限时间满足；
[0191] 若输入噪声满足 κi为未知常数，则不等式 可在有限时间内满足，其中τi＞0， 均为常数，取决于滤波器的参数设
计。
[0192] 在控制器设计中，定义以下姿态跟踪误差：
[0193]
[0194] 其中，z1表示姿态跟踪误差向量。
[0195] z2表示观测的状态向量与有限时间命令滤波器输出向量的误差。
[0196] l2＝[μ2,1,1,μ2,1,2,μ2,1,3]T为有限时间命令滤波器的输出。
[0197] 虚拟控制信号 为有限时间命令滤波器的输入； 表示 的第一个分量， 表示 的第二个分量， 表示 的第三个分量。
[0198] 由公式(10)构造虚拟控制信号 为：
[0199]
[0200] 其中，c1＞0为常数增益；φ1＞0为常数增益；γ定义为 c和d是正奇3
数；xd∈R表示飞行器的目标姿态轨迹；
[0201] 补偿的误差信号 和消除饱和影响的辅助信号ζ的定义将在下面给出。
[0202] 构造控制力矩 其中 表示的 逆矩阵， 定义为：
[0203]
[0204] 其中，c2＞0为常数增益；φ2＞0为常数增益；e1表示状态观测器的估计误差e的第一个分量，补偿的误差信号 的定义将在下面给出。
[0205] 选取误差补偿信号：
[0206] 其中， 表示误差补偿信号， 表示 的初始条件， s＝1,2。
[0207] 误差信号 定义为：
[0208] ζ定义为：
[0209] 选择状态观测器(8)、虚拟控制信号 和控制力矩 使得飞行器的姿态参数向量 与期望的姿态位置向量 的跟踪误差收敛于期望邻域内。
[0210] 选取Lyapunov函数：
[0211] 由公式(7)和公式(8)得到：
[0212] 则有：
[0213] 由不等式放缩得到：
[0214]
[0215] 其中，
[0216] 将公式(18)、公式(19)代入公式(16)得：
[0217]
[0218] 其中，λmin(Q)表示矩阵Q的最小的特征值，选取Lyapunov函数：
[0219] 对V1求导得：
[0220]
[0221] 其中，
[0222] 将公式(11)、公式(13)和公式(14)代入公式(22)，并根据不等式得到：
[0223]
[0224] 选取Lyapunov函数：
[0225] 对V2求导：
[0226]
[0227] 将公式(12)、公式(13)、公式(14)、公式(15)代入公式(25)，得到：
[0228]
[0229] 为误差补偿系统选取Lyapunov函数：
[0230] 对 求导得：
[0231]
[0232] 其中， 表示 的第i个分量，s＝1,2,i＝1,2,3。
[0233] 定义李雅普诺夫函数：
[0234] 对公式(29)求导得到：
[0235]
[0236] 其中，S1表示任意的常数；λmax(P)表示矩阵P的最大的特征值；
[0237] 将上面公式求解得到的 代入公式(30)得到：
[0238]
[0239] 根据引理1，在有限时间T*内，存在 为未知常数。
[0240] 根据下面给出的不等关系：
[0241]
[0242]
[0243]
[0244] 其中， 表示 的第i个分量，s＝1,2,i＝1,2,3，则不等式(31)等价于：
[0245]
[0246] 其中，
[0247]
[0248]
[0249] 如果存在实数χ满足0＜χ＜1，则不等式(32)等价于：
[0250]
[0251] 或
[0252] 如果 则不等式(33)即能够化为 从而得到：
[0253] 状态观测器的估计误差e、误差信号 补偿误差信号 将在有限时间T1收敛到原点附近的期望邻域
[0254] 有限时间 表示 的初始条件。
[0255] 如果 则不等式(34)即能够化为 从而得到：
[0256] 观测器误差e、误差信号 补偿误差信号 将在有限时间T2收敛到原点附近的期望邻域
[0257] 有限时间 表示 的初始条件。
[0258] 综上，误差信号 补偿误差信号 将在有限时间T＝max{T1,T2}内收敛到邻域[0259] 根据公式(13)，姿态跟踪误差向量z1将在有限时间T收敛到原点附近的邻域[0260]
[0261] 由以上步骤能够得出，本发明方法不仅能够避免传统反步法造成的计算复杂性问题，还能够确保飞行器在存在惯性不确定性和外部干扰的情况下姿态跟踪误差收敛到原点附近的期望邻域内。此外，尽管存在输入饱和，但闭环系统中的所有信号都在有限时间内有界，因此，本发明控制方法不但具有较快的收敛速度快和抗干扰能力，而且具有很强的实用性。
[0262] 下面对本发明提出的飞行器的有限时间输出反馈姿态跟踪控制方法的有效性进行验证。
[0263] 本发明实施例中的飞行器参数为：
[0264] 惯性矩阵 定义为：
[0265]
[0266] 外部干扰定义为：d＝0.02[sin(t),cos(t),sin(t)]N·m2。
[0267] 初始状态为： ω(0)＝[0,0,0]T。
[0268] 期望的姿态位置向量定义为：
[0269] 控制增益分别选取为：
[0270]
[0271] 其中，uimax为对应于公式(3)中sat(ui)的上界ui*；k1,k2为对应于公式(6)中的矩阵参数；Ψ2,1,i,Ψ2,2,i为对应于公式(8)中的有限时间命令滤波器参数；c1,c2,φ1,φ2,γ为对应于式(10)、(11)、(12)中的常数增益。
[0272] 图2给出了飞行器的姿态参数向量 与期望的姿态位置向量 的响应曲线，由曲线表明飞行器在提出的控制方法下能够快速、良好地完成期望的姿态跟踪。
[0273] 其中， 分别表示 的三个分量。
[0274] 图3给出了 的响应曲线，其中，x1,1,x1,2,x1,3分别表示x1的三个分量， 分别表示x2的三个分量。由图3反映了状态观察器能够有效完成状态重建。
[0275] 图4给出了 l1,1,l1,2,l1,3的响应曲线，其中， 分别表示 的三个分量，l1,1,l1,2,l1,3分别表示l1的三个分量。由图4反映了有限时间命令滤波器的收敛性能。
[0276] 图5给出了控制转矩sat(u1),sat(u2),sat(u3)的响应曲线，由图5给出的响应曲线能够发现，本发明实施例中的控制输入没有违背输入饱和。
[0277] 此外，为了进一步检验本发明方法的有效性，还进一步对比了本发明方法与基于动态面的姿态跟踪控制算法的性能，选取整体跟踪误差||z1||进行控制性能对比，如图6所示。
[0278] 结果表明本发明提出的方法能够获得更好的暂态性能和稳态性能。
[0279] 当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。
