本发明公开的弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法，属于深空探测技术领域。本发明的实现方法为：首先，定义小天体着陆点切法向坐标系，并推导小天体附近着陆器投放状态、着陆状态、着陆时间之间的解析关系；接着，在切法系上建立满足主探测器安全回升要求的投放约束及满足着陆器安全着陆要求的着陆约束，并定义投放窗口；而后，根据着陆动力学解析关系及投放着陆约束，推导着陆速度约束在二维平面上的窗口的二维投影边界解析式；最后，设计表征着陆安全性的评价指标，得到带指标分布的安全投放窗口。本发明生成的安全投放窗口可为着陆器投放状态的快速选取提供依据，提高着陆安全性和着陆成功率。
1.弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法，其特征在于：包括如下步骤，步骤一、定义小天体着陆点切法向坐标系(以下简称切法系)，并根据小天体着陆动力学，推导切法系下着陆器投放状态、着陆状态、着陆时间之间的着陆动力学解析关系；
步骤二、在切法系下定义着陆器投放窗口，并根据主探测器安全回升要求及着陆器安全着陆要求，得到着陆器所受投放条件限制及着陆状态约束；
步骤三、考虑着陆速度约束在切法系XOLY平面上的情况，将该情况下的投放窗口投影在切法系XOLY平面上，根据投放条件、着陆状态约束及着陆动力学解析关系，推导二维窗口投影的边界表达式，实现有明确解析边界的投放窗口的快速生成；
步骤四、在二维窗口投影区域内，根据着陆器着陆速度约束，设计着陆安全性评价指标；根据投放条件、着陆状态约束及着陆动力学解析关系，计算窗口区域内不同位置点对应的指标取值，得到带安全指标分布的安全投放窗口；
所述的弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法，步骤一的具体实现方法为，定义小天体着陆点切法向坐标系OL‑XYZ；以给定的着陆点OL为坐标系原点，以OL处垂直于小天体表面向上方向为Y轴，Z轴垂直于OL处表观重力加速度 与Y轴构成的平面，X、Y、Z轴满足右手系法则；切法系与小天体固连坐标系(以下简称体固系)O‑XbYbZb之间的转换关系为：
其中，OL处表观重力加速度 gL＝[gLx,gLy,gLz]为体固T
系下OL处的引力加速度矢量，rL＝[xL,yL,zL] 为OL在体固系下的位置矢量，ω为小天体自旋T T
角速度；r＝[x,y,z] 与v＝[vx,vy,vz]为主探测器在切法系下的位置矢量与速度矢量，rb＝T T
[xb,yb,zb]与vb＝[vbx,vby,vbz]为主探测器在体固系下的位置矢量与速度矢量；Cb＝[et,T
en,ez] 为由体固系到切法系的转换矩阵，en为OL处小天体表面外法线方向在体固系下的单位向量，et为OL处与 及en共面的小天体表面切向单位向量，ez为OL处垂直 的小天体表面切向单位向量，表达式为：
体固系下，忽略所有摄动力，不施加控制力的着陆器在小天体附近的着陆动力学方程为：
主探测器在小天体附近所受引力与其相对小天体的位置有关，将引力加速度作线性化近似：
切法系下，由坐标系转换关系，线性化后的动力学方程为：将切法系下的线性化后的动力学方程写成状态空间表达式形式：T
其中，X＝[x,y,z,vx,vy,vz]表示主探测器在切法系下的状态变量，矩阵A和向量U表达式为：
对于确定的着陆点OL，矩阵A和向量U为常值；当投放时刻t＝0，线性化后的动力学方程状态空间表达式(7)有解析解：At ‑1 At
X(t)＝e X(0)+A [e ‑I]U (10)切法系下着陆器投放状态与着陆状态之间的着陆动力学解析关系为：其中，投放状态 r0为投放位置，v0为投放速度，tf为着陆时间，着陆状态 rf为着陆位置，vf为着陆速‑1
在切法系下，定义满足投放条件与着陆状态约束的可行投放状态的集合为着陆器投放窗口；
为保证投放后主探测器安全回升，不与着陆器或小天体表面发生碰撞，应在主探测器下降过程的最低点执行投放，且投放高度不能低于预设值，投放条件为：其中，h表示主探测器距小天体表面的高度，hmin表示保证主探测器能够安全回升的投放高度下限；
对于给定的着陆点OL，着陆速度约束由小天体逃逸速度及小天体表面恢复系数与摩擦系数决定，沿小天体表面切向和法向；此外，着陆位置约束为着陆器到达切法系原点；着陆状态约束为：
其中，vtf为切向着陆速度，vtfmax与vtfmin为其约束上限与下限；vnf为法向着陆速度，vnfmax与vnfmin为其约束上限与下限；实际的法向着陆速度一定垂直小天体表面向下，因此vnfmax＝
对于任意投放状态，由动力学解析关系式(11)得到其对应的着陆状态；自身满足式(12)投放条件且对应着陆状态满足式(13)着陆状态约束的投放状态的包络，将构成所求投放窗口；
用切法系下的变量表示投放条件及着陆状态约束；由切法系定义，主探测器距小天体表面的高度为切法系Y方向位置分量；投放条件式(12)以Y方向投放位置速度分量表示为：为简化问题至可解，考虑着陆速度约束在切法系XOLY平面上的情况，即切向着陆速度沿X方向；着陆状态约束式(13)以切法系下的着陆位置和速度分量表示为：由切法系的定义，着陆过程中着陆器在Z方向不受力，又由于Z方向的期望着陆速度为零，故而可行投放点在Z方向的位置分量相较于X、Y两个方向更小，将投放窗口投影在XOLY平面上，求二维窗口投影的边界；
二维窗口投影由左、右、上、下四条边界围成；左边界对应切向着陆速度取其上限值即vfx＝vtfmax的投放点、右边界对应切向着陆速度取其下限值即vfx＝vtfmin的投放点、上边界对应法向着陆速度取其下限值即vfy＝vnfmin的投放点、下边界对应投放高度y0＝hmin的投放点；
左边界(x ,y )对应切向着陆速度取其上限值即vfx＝vtfmax的投放点，代入式(11)得到以vfy为参变量的参数方程：其中，t1表示左边界上的投放点对应的着陆时间，与vfy的关系为：不考虑投放高度约束时，参变量取值范围为vfy∈[vnfmin,0]；
整理上式，得到y 随x 的变化关系：left left
其中，矩阵 为矩阵E 第i行第j列的元素，t1与x 的关系为：自变量取值范围为 且 表示左边界与上边界的交点的X坐标，表达式为：
边界与上边界交点为投放点对应的着陆时间，满足步骤3.2计算右边界；
右边界(x ,y )对应切向着陆速度取其下限值即vfx＝vtfmin的投放点，与左边界同right right
其中，矩阵 为矩阵E 第i行第j列的元素，t2表示右边界上的投放点right
对应的着陆时间，与x 的关系为：自变量取值范围为 且 表示右边界与上边界的交点的X坐标，表达式为：
表示以右边界与上边界交点为投放点对应的着陆时间，满足步骤3.3计算上、下边界；
上边界(x ,y )对应法向着陆速度取其下限值即vfy＝vnfmin的投放点，与左边界同理，up up
其中，矩阵 为矩阵E 第i行第j列的元素，t3表示上边界上的投放点对应up
考虑投放高度约束，投放窗口下边界(x ,y )为：down
二维窗口投影内任意点(xa,ya)作为投放位置，由着陆动力学解析关系式(11)及投放条件式(14)着陆状态约束式(15)中的等式约束，对应的投放状态、着陆状态、着陆时间有解析关系：
投放位置分量(xa,ya)为已知量，因此在式(29)所示解析关系中，共有za,vax,vaz,taf,vafx,vafy六个未知变量和六个等式方程，故每个投放点(xa,ya)对应的着陆状态有唯一解；
根据着陆速度约束，设计投放窗口着陆安全性评价指标Jv：在二维窗口投影区域内，各点对应的评价指标Jv∈[0,1]，Jv越大，着陆安全性越高；当Jv＝0的时候，着陆速度刚好到达着陆状态约束的边界值；
计算窗口区域内不同位置点对应的评价指标Jv取值，得到带安全指标分布的投放窗口；
带安全指标分布的投放窗口将为投放状态的快速选取提供依据，进而提高着陆器着陆安全性和着陆成功率。
弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法
技术领域
[0001] 本发明涉及着陆器投放窗口生成方法，尤其涉及弱引力小天体表面定点着陆任务中的安全投放窗口生成方法，属于深空探测技术领域。
背景技术
[0002] 小天体探测是深空探测领域的重要组成部分，也是我国航天事业发展规划中的主要任务之一。在日本“隼鸟”系列小天体探测任务中，数枚小型着陆器被主探测器投放到小
天体表面以完成各种科学探测任务。小天体表面引力弱，逃逸速度低，致使着陆器着陆时易
反弹失控，着陆约束较为严格。小型着陆器自身没有控制能力，被投放后仅在小天体引力作
用下到达小天体表面，其着陆状态由投放状态决定。因此，针对着陆约束选取恰当的投放状
态，是实现着陆器安全着陆的必要基础。
[0003] 所有满足投放条件与着陆约束的可行投放状态的集合可定义为投放窗口，该窗口是选取着陆器投放状态的重要依据。为得到给定着陆点对应的投放窗口，可对空间内的投
放状态进行遍历采样，并依次判断其对应的着陆状态是否满足约束，最终满足约束的投放
状态的包络即构成投放窗口。这种方法虽然能得到投放窗口，但计算量巨大，且不能得到严
格的窗口边界，也无法描述窗口内投放状态的安全程度。因此，有必要进一步分析可行投放
状态分布规律，生成具有明确解析边界和着陆安全性评价指标分布的投放窗口，为着陆器
投放状态的快速选取提供依据，以提高着陆安全性和着陆成功率。
发明内容
[0004] 本发明公开的弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法所解决的技术问题是：针对弱引力小天体表面定点着陆任务，分析满足投放条件与着陆约束的着陆器可行
投放状态分布规律，建立具有明确解析边界和着陆安全性评价指标分布的投放窗口生成方
法。本发明对小天体表面任意位置着陆点具有普适性，可为着陆器投放状态的快速选取提
供依据，提高着陆安全性和着陆成功率。
[0005] 本发明的目的是通过下述技术方案实现的：
[0006] 本发明公开的弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法，针对自身没有控制能力的小型着陆器在小天体表面的定点着陆问题，定义小天体着陆点切法向坐标系(以
下简称切法系)，根据小天体着陆动力学，得到切法系下着陆器投放状态、着陆状态、着陆时
间之间的动力学解析关系；定义着陆器投放窗口，根据主探测器安全回升要求及着陆器安
全着陆要求，得到着陆器所受投放条件限制及着陆状态约束；考虑着陆速度约束在切法系
二维平面上的情况，根据着陆动力学解析关系及投放着陆约束，得到二维窗口投影的边界
表达式；在二维窗口投影区域内，设计着陆安全性评价指标，根据着陆动力学解析关系及投
放着陆约束，得到带指标分布的安全投放窗口。
[0007] 本发明公开的弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法，包括如下步骤：
[0008] 步骤一、定义小天体着陆点切法向坐标系，并根据小天体着陆动力学，推导切法系下着陆器投放状态、着陆状态、着陆时间之间的动力学解析关系。
[0009] 步骤一的具体实现方法为：
[0010] 定义小天体着陆点切法向坐标系OL‑XYZ。以给定的着陆点OL为坐标系原点，以OL处垂直于小天体表面向上方向为y轴，z轴垂直于oL处表观重力加速度 与y轴构成的平面，x、
y、z轴满足右手系法则。切法系与小天体固连坐标系o‑xbybzb(以下简称体固系)之间的转换
关系为：
[0011]
[0012] 其中，OL处表观重力加速度 gL＝[gLx,gLy,gLz]TT
为体固系下OL处的引力加速度矢量，rL＝[xL,yL,zL]为OL在体固系下的位置矢量，ω为小天
T T
体自旋角速度。r＝[x,y,z]与v＝[vx,vy,vz]为探测器在切法系下的位置矢量与速度矢量，
T T
rb＝[xb,yb,zb] 与vb＝[vbx,vby,vbz]为探测器在体固系下的位置矢量与速度矢量。Cb＝[et,
T
en,ez] 为由体固系到切法系的转换矩阵，en为OL处小天体表面外法线方向在体固系下的单
位向量，et为OL处与 及en共面的小天体表面切向单位向量，ez为OL处垂直 的小天体表面
切向单位向量，表达式为：
[0013]
[0014]
[0015] 体固系下，忽略所有摄动力，不施加控制力的着陆器在小天体附近的着陆动力学方程为：
[0016]
[0017] 探测器在小天体附近所受引力与其相对小天体的位置有关，将引力加速度作线性化近似：
[0018]
[0019] 切法系下，由坐标系转换关系，线性化后的动力学方程为：
[0020]
[0021] 将切法系下的线性化动力学方程写成状态空间表达式形式：
[0022]
[0023] 其中，X＝[x,y,z,vx,vy,vz]T表示探测器在切法系下的状态变量，矩阵A和向量U表达式为：
[0024]
[0025]
[0026] 对于确定的着陆点OL，矩阵A和向量U为常值。当投放时刻t＝0，线性定常动力学系统式(7)有解析解：
[0027] X(t)＝eAtX(0)+A‑1[eAt‑I]U (10)
[0028] 切法系下着陆器投放状态与着陆状态之间的解析关系为：
[0029]
[0030] 其中，投放状态 r0为投放位置，v0为投放速度，tf为着陆时间，着陆状态 rf为着陆位置，vf为着
‑1
陆速度，常值向量B＝A U。
[0031] 步骤二、在切法系下定义着陆器投放窗口，并根据主探测器安全回升要求及着陆器安全着陆要求，得到着陆器所受投放条件限制及着陆状态约束。
[0032] 步骤二具体实现方法为：
[0033] 在切法系下，定义满足投放条件与着陆约束的可行投放状态的集合为着陆器投放窗口。
[0034] 为保证投放后主探测器安全回升，不与着陆器或小天体表面发生碰撞，应在主探测器下降过程的最低点执行投放，且投放高度不能过低，投放条件为：
[0035]
[0036] 其中，h表示主探测器距小天体表面的高度，hmin表示保证主探测器能够安全回升的投放高度下限。
[0037] 对于给定的着陆点OL，着陆速度约束由小天体逃逸速度及小天体表面恢复系数与摩擦系数决定，沿小天体表面切向和法向。此外，着陆位置约束为着陆器到达切法系原点。
着陆约束为：
[0038]
[0039] 其中，vtf为切向着陆速度，vtf max与vtf min为其约束上限与下限；vnf为法向着陆速度，vnf max与vnf min为其约束上限与下限。实际的法向着陆速度一定垂直小天体表面向下，
因此vnf max＝0。
[0040] 对于任意投放状态，由动力学解析关系式(11)得到其对应的着陆状态。自身满足式(12)投放条件且对应着陆状态满足式(13)着陆约束的投放状态的包络，将构成所求投放
窗口。
[0041] 步骤三、考虑着陆速度约束在切法系XOLY平面上的情况，将该情况下的投放窗口投影在切法系XOLY平面上，根据投放条件、着陆约束及着陆动力学解析关系，推导二维窗口
投影的边界表达式，实现有明确解析边界的投放窗口快速生成。
[0042] 步骤三具体实现方法为：
[0043] 用切法系下的变量表示投放条件及着陆约束。由切法系定义，主探测器距小天体表面的高度为切法系Y方向位置分量。投放条件式(12)以Y方向投放位置速度分量表示为：
[0044]
[0045] 为简化问题至可解，考虑着陆速度约束在切法系XOLY平面上的情况，即切向着陆速度沿X方向。着陆约束式(13)以切法系下的着陆位置和速度分量表示为：
[0046]
[0047] 由切法系的定义，着陆过程中着陆器在Z方向几乎不受力，又由于Z方向的期望着陆速度为零，故而可行投放点在Z方向的位置分量相较于X、Y两个方向更小，将投放窗口投
影在XOLY平面上进行研究，求二维窗口投影的边界。
[0048] 二维窗口投影由左、右、上、下四条边界围成。分析表明左边界对应切向着陆速度取其上限值即vfx＝vtf max的投放点、右边界对应切向着陆速度取其下限值即vfx＝vtf min的
投放点、上边界对应法向着陆速度取其下限值即vfy＝vnf min的投放点、下边界对应投放高
度y0＝hmin的投放点。具体的边界解析表达式如下：
[0049] 步骤3.1计算左边界。
[0050] 左边界(xleft,yleft)对应切向着陆速度取其上限值即vfx＝vtf max的投放点，代入式(11)得到以vfy为参变量的参数方程：
[0051]
[0052] 其中，t1表示左边界上的投放点对应的着陆时间，与vfy的关系为：
[0053]
[0054] 不考虑投放高度约束时，参变量取值范围为vfy∈[vnf min,0]。
[0055] 整理上式，得到yleft随xleft的变化关系：
[0056]left left
[0057] 其中，矩阵 为矩阵E 第i行第j列的元素，t1与x x的关系为：
[0058]
[0059] 自变量取值范围为 且 表示左边界与上边界的交点的X坐标，表达式为：
[0060]
[0061] 表示以左上交点为投放点对应的着陆时间，满足
[0062]
[0063] 步骤3.2计算右边界。
[0064] 右边界(xright,yright)对应切向着陆速度取其下限值即vfx＝vtf min的投放点，与左right right
边界同理，右边界y 随x 的变化关系：
[0065]lef
[0066] 其中，矩阵 为矩阵E 第i行第j列的元素，t2表示右边界上的投right
放点对应的着陆时间，与x 的关系为：
[0067]
[0068] 自变量取值范围为 且 表示右边界与上边界的交点的X坐标，表达式为：
[0069]
[0070] 表示以右上交点为投放点对应的着陆时间，满足
[0071]
[0072] 步骤3.3计算上、下边界。
[0073] 上边界(xup,yup)对应法向着陆速度取其下限值即vfy＝vnf min的投放点，与左边界up up
同理，上边界y 随x 的变化关系：
[0074]lef
[0075] 其中，矩阵 为矩阵E 第i行第j列的元素，t3表示上边界上的投放up
点对应的着陆时间，与x 的关系为：
[0076]
[0077] 自变量取值范围为
[0078] 考虑投放高度约束，投放窗口下边界(xdown,ydown)为：
[0079] ydown＝hmin (28)
[0080] 步骤四、在二维窗口投影区域内，根据着陆器着陆速度约束，设计着陆安全性评价指标；根据投放条件、着陆约束及着陆动力学解析关系，计算窗口区域内不同位置点对应的
指标取值，得到带安全指标分布的安全投放窗口。
[0081] 步骤四具体实现方法为：
[0082] 二维窗口投影内任意点(xa,ya)作为投放位置，由着陆动力学解析关系式(11)及投放条件式(14)着陆约束式(15)中的等式约束，对应的投放状态、着陆状态、着陆时间有解析
关系：
[0083]
[0084] 投放位置分量(x,y)为已知量，因此在式(29)所示解析关系中，共有z,vx,vz,tf,vfx,vfy六个未知变量和六个等式方程，故每个投放点(x,y)对应的着陆状态有唯一解。
[0085] 根据着陆速度约束，设计投放窗口着陆安全性评价指标Jv：
[0086]
[0087] 在二维窗口投影区域内，各点对应的评价指标Jv∈[0,1]，Jv越大，着陆安全性越高。当Jv＝0的时候，着陆速度刚好到达着陆约束的边界值。
[0088] 计算窗口区域内不同位置点对应的评价指标Jv取值，得到带安全指标分布的投放窗口。该窗口将为投放状态的快速选取提供依据，进而提高着陆器着陆安全性和着陆成功
率。
[0089] 有益效果：
[0090] 1、本发明公开的弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法，针对自身没有控制能力的小型着陆器在小天体表面的定点着陆问题，定义由满足投放条件与着陆约束的
可行投放状态构成的着陆器投放窗口，推导窗口解析边界，生成带着陆安全性评价指标分
布的安全投放窗口，为着陆器投放状态的快速选取提供依据，进而提高着陆器着陆安全性
和着陆成功率。
[0091] 2、本发明公开的弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法，根据实际的投放条件和着陆约束方向，定义小天体着陆点切法向坐标系，在该系上建立着陆器投放窗口，
使得小天体表面任意着陆点对应的投放窗口有统一的解析表达形式，投放窗口生成方法具
有普适性；利用线性化的小天体动力学解析式，推导窗口边界并计算着陆安全性指标，具有
形式简洁、计算速度快的优点，进而提高安全投放窗口生成效率。
附图说明
[0092] 图1为本发明公开的弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法流程图；
[0093] 图2为原动力学方程对应的数值着陆轨迹与线性化解析式对应的解析着陆轨迹对比；
[0094] 图3为二维窗口投影左、右、上、下四条解析边界；
[0095] 图4为带着陆安全性评价指标分布的着陆器安全投放窗口；
具体实施方式
[0096] 为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对发明内容做进一步说明。
[0097] 实施例1：
[0098] 为了验证方法的可行性，针对小行星433Eros的着陆器投放问题，采用多面体模型作为小天体的形状近似，建立小天体着陆动力学和引力场模型。假设小天体的自旋角速度
‑4
为常值ω＝3.31×10 rad/s，小天体固连坐标系(以下简称体固系)下的着陆点位置矢量为
T
rL＝[8.5426,‑3.9511,‑5.1855]km，小天体着陆点切法向坐标系(以下简称切法系)下切向
着陆速度约束下限vtf min＝‑1m/s、切向着陆速度约束上限vtf max＝1m/s、法向着陆速度约
束下限vnf min＝‑1m/s，保证主探测器能够安全回升的投放高度下限hmin＝10m。
[0099] 如附图1所示，本实施例公开的弱引力小天体表面着陆器安全投放窗口生成方法，具体实现步骤如下：
[0100] 步骤一、定义小天体着陆点切法向坐标系，并根据小天体着陆动力学，推导切法系下着陆器投放状态、着陆状态、着陆时间之间的动力学解析关系。
[0101] 定义小天体着陆点切法向坐标系oL‑xyz。以给定的着陆点oL为坐标系原点，以oL处垂直于小天体表面向上方向为y轴，z轴垂直于oL处表观重力加速度 与y轴构成的平面，x、
y、z轴满足右手系法则。切法系与体固系o‑xbybzb之间的转换关系为：
[0102]T
[0103] 其中，oL处表观重力加速度 gL＝[gLx,gLy,gLz]T
为体固系下oL处的引力加速度矢量，rL＝[xL,yL,zL] 为oL在体固系下的位置矢量。r＝[x,y,
T T T
z] 与v＝[vx,vy,vz] 为探测器在切法系下的位置矢量与速度矢量，rb＝[xb,yb,zb] 与vb＝
T T
[vbx,vby,vbz]为探测器在体固系下的位置矢量与速度矢量。Cb＝[et,en,ez] 为由体固系到
切法系的转换矩阵，en为oL处小天体表面外法线方向在体固系下的单位向量，et、ez为表示oL
处小天体表面切向的单位向量，表达式为：
[0104]
[0105]
[0106] 体固系下，忽略所有摄动力，不施加控制力的着陆器在小天体附近的着陆动力学方程为：
[0107]
[0108] 探测器在小天体附近所受引力与其相对小天体的位置有关，将引力加速度作线性化近似：
[0109]
[0110] 切法系下，由坐标系转换关系，线性化后的动力学方程为：
[0111]
[0112] 将切法系下的线性化动力学方程写成状态空间表达式形式：
[0113]
[0114] 其中，X＝[x,y,z,vx,vy,vz]T表示探测器在切法系下的状态变量，矩阵A和向量U表达式为：
[0115]
[0116]
[0117] 对于确定的着陆点rL＝[8.5426,‑3.9511,‑5.1855]Tkm，矩阵A和向量U为常值。当投放时刻t＝0，线性定常动力学系统式(37)有解析解：
[0118] X(t)＝eAtX(0)+A‑1[eAt‑I]U (40)
[0119] 切法系下着陆器投放状态与着陆状态之间的解析关系为：
[0120]
[0121] 其中，投放状态 r0为投放位置，v0为投放速度，tf为着陆时间，着陆状态 rf为着陆位置，vf为着
‑1
陆速度，常值向量B＝A U。
[0122] 附图2为同一投放状态分别通过真实动力学式(34)和线性化解析解式(40)得到的着陆轨迹。可以看到，近似解析解轨迹与原轨迹几乎重合。因此，后续步骤中，使用线性化解
析式求解投放窗口具有合理性。
[0123] 步骤二、在切法系下定义着陆器投放窗口，并根据主探测器安全回升要求及着陆器安全着陆要求，得到着陆器所受投放条件限制及着陆状态约束。
[0124] 在切法系下，定义满足投放条件与着陆约束的可行投放状态的集合为着陆器投放窗口。
[0125] 为保证投放后主探测器安全回升，不与着陆器或小天体表面发生碰撞，应在主探测器下降过程的最低点执行投放，且投放高度不能过低，投放条件为：
[0126]
[0127] 其中，h表示主探测器距小天体表面的高度。
[0128] 对于给定的着陆点oL，着陆速度约束由小天体逃逸速度及小天体表面恢复系数与摩擦系数决定，沿小天体表面切向和法向。此外，着陆位置约束为着陆器到达切法系原点。
着陆约束为：
[0129]
[0130] 其中，vtf为切向着陆速度，vtf max与vtf min为其约束上限与下限；vnf为法向着陆速度，vnf max与vnf min为其约束上限与下限。
[0131] 对于任意投放状态，由动力学解析关系式(41)得到其对应的着陆状态。自身满足式(42)投放条件且对应着陆状态满足式(43)着陆约束的投放状态的包络，将构成所求投放
窗口。
[0132] 步骤三、考虑着陆速度约束在切法系xoLy平面上的情况，再将该情况下的投放窗口投影在切法系xoLy平面上，根据投放条件、着陆约束及着陆动力学解析关系，推导二维窗
口投影的边界表达式，实现有明确解析边界的投放窗口的快速生成。
[0133] 用切法系下的变量表示投放条件及着陆约束。由切法系定义，主探测器距小天体表面的高度为切法系y方向位置分量。取保证主探测器能够安全回升的投放高度下限hmin＝
10m，投放条件式(42)以y方向投放位置速度分量表示为：
[0134]
[0135] 为简化问题至可解，考虑着陆速度约束在切法系xoLy平面上的情况，即切向着陆速度沿x方向。取着陆切向速度约束为|vtf|≤1m/s、法向速度约束为|vnf|≤1m/s，又由于实
际的法向着陆速度一定垂直小天体表面向下即vnf max＝0，着陆约束式(43)以切法系下的着
陆位置和速度分量表示为：
[0136]
[0137] 由切法系的定义，着陆过程中着陆器在z方向几乎不受力，又由于z方向的期望着陆速度为零，故而可行投放点在z方向的位置分量相较于x、y两个方向更小，将投放窗口投
影在xoLy平面上进行研究，求二维窗口投影的边界。
[0138] 二维窗口投影由左、右、上、下四条边界围成。分别求xoLy平面上各边界的解析式：
[0139] 步骤3.1计算左边界。
[0140] 左边界对应切向着陆速度取其上限值即vfx＝vtf max＝1m/s的投放点，代入式(41)得到以vfy为参变量的参数方程：
[0141]
[0142] 其中，t1表示左边界上的投放点对应的着陆时间，与vfy的关系为：
[0143]
[0144] 不考虑投放高度约束时，参变量取值范围为vfy∈[vnf min,0]。
[0145] 整理上式，得到y随x的变化关系：
[0146]
[0147] 其中，矩阵 为其第i行第j列的元素，t1与x的关系为：
[0148]
[0149] 自变量取值范围为 且 表示左边界与上边界的交点的x坐标，表达式为：
[0150]
[0151] 表示以左上交点为投放点对应的着陆时间，满足
[0152]
[0153] 步骤3.2计算右边界。
[0154] 右边界对应切向着陆速度取其下限值即vfx＝vtf min＝‑1m/s的投放点，与左边界同理，右边界y随x的变化关系：
[0155]
[0156] 其中，矩阵 为其第i行第j列的元素，t2表示右边界上的投放点对应的着陆时间，与x的关系为：
[0157]
[0158] 自变量取值范围为 且 表示右边界与上边界的交点的x坐标，表达式为：
[0159]
[0160] 表示以右上交点为投放点对应的着陆时间，满足
[0161]
[0162] 步骤3.3计算上、下边界。
[0163] 上边界对应法向着陆速度取其下限值即vfy＝vnf min＝‑1m/s的投放点，与左边界同理，上边界y随x的变化关系：
[0164]
[0165] 其中，矩阵 为其第i行第j列的元素，t3表示上边界上的投放点对应的着陆时间，与x的关系为：
[0166]
[0167] 自变量取值范围为
[0168] 考虑投放高度约束，取保证主探测器能够安全回升的投放高度下限hmin＝10m，投放窗口下边界为：
[0169] y＝10 (58)
[0170] 窗口的下边界可以随投放高度下限约束的改变而沿y轴上下移动，不存在投放高度约束时，左右边界相交于切法系原点形成闭合包络。附图3为二维窗口投影的左、右、上、
下四条解析边界及数值方法生成的大量可行投放点。可以看出，解析边界刚好对数值方法
生成的可行投放点形成包络。
[0171] 步骤四、在二维窗口投影区域内，根据着陆器着陆速度约束，设计着陆安全性评价指标；根据投放条件、着陆约束及着陆动力学解析关系，计算窗口区域内不同位置点对应的
指标取值，得到带安全指标分布的安全投放窗口。
[0172] 二维窗口投影内任意点(x,y)作为投放位置，由动力学解析关系式(41)及投放条件式(44)着陆约束式(45)中的等式约束，对应的投放状态、着陆状态、着陆时间有解析关
系：
[0173]
[0174] 投放位置分量(x,y)为已知量，因此在式(59)所示解析关系中，共有z,vx,vz,tf,vfx,vfy六个未知变量和六个等式方程，故每个投放点(x,y)对应的着陆状态有唯一解。
[0175] 投放窗口着陆安全性评价指标Jv表达式为：
[0176]
[0177] 其中，着陆速度约束取值为vtf min＝‑1m/s、vtf max＝1m/s、vnf min＝‑1m/s。
[0178] 计算窗口区域内不同位置点对应的评价指标Jv取值，得到带安全指标分布的安全投放窗口，如附图4所示。图中二维窗口投影区域内，各点对应的评价指标Jv∈[0,1]，Jv越
大，着陆安全性越高。如图所示，当Jv＝0的时候，着陆速度刚好到达着陆约束的边界值，Jv＝
0的投放点连线与解析边界重合。生成的安全投放窗口将为投放状态的快速选取提供依据，
进而提高着陆器着陆安全性和着陆成功率。
[0179] 以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范
围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明
的保护范围之内。
