本发明公开了埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法，将埋置弹性锚板对土体的作用视为均匀分布的圆形荷载，包括有效应力和孔隙流体压力分量，给出了锚板荷载作用下刚性地基上有限厚度饱和土层中孔隙水压力的计算公式。考虑土层厚度的影响，同时也能通过退化处理得到已有的半空间解或者全空间解；将锚板荷载考虑为三个土骨架有效应力分量和一个孔隙水压力组合的形式，能适应复杂荷载组合的情况。
1.埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法，其特征在于，包括：S1，饱和土层中埋置锚板，将埋置弹性锚板对土体的作用视为均匀分布的圆形荷载，包括有效应力和孔隙流体压力分量，以圆形荷载的圆心为圆心建立圆柱坐标系的模型，饱和土层的厚度为L，荷载埋置深度为s，荷载埋置深度将坐标系分成了上部区域Ⅰ和下部区域Ⅱ，r为径向坐标，θ为环向坐标，z为竖向坐标；用饱和多孔介质理论描述饱和土的动态特性，之后建立饱和土的动力控制方程；
S2，求解动力控制方程，利用势能函数方法分解土骨架和孔隙流体的位移矢量；引入标量势函数，得到四个独立波动方程；
S3，为求解独立波动方程进行Fourier‑Hankel积分变换，将独立的标量势沿周向θ进行复指数形式的傅里叶级数展开并带入到独立波动方程中，再进行n阶Hankel积分变换，得到势函数的Fourier级数分量进行n阶Hankel积分变换的变型量，得到变型量的通解；
S4，在圆柱坐标系和积分变换域内，给出了土骨架位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系、孔隙流体位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系、土骨架应力被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；
利用边界条件和界面接触条件确定通解的未知常数，给出土骨架位移、孔隙流体位移、土骨架应力被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系中所有场变量的积分变换解，进行Hankel逆变换带入S3中傅里叶级数展开的公式中，得到任意分布的内部激励源作用下饱和土层的谐和响应；
S5，确定点源、圆环源、圆盘源作用下饱和土层的谐和响应，并进行傅里叶级数展开，得到了锚板荷载作用下刚性地基上有限厚度饱和土层中孔隙水压力。
2.根据权利要求1所述的埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法，其特征在于，所述步骤S1中，建立该模型的动力控制方程的步骤是：用土骨架的位移矢量us＝(us,vs,ws)，孔隙流体的位移矢量uf＝(uf,vf,wf)和孔隙流体f压力p描述：
其中λ和μ代表土骨架的Lame常数，▽表示梯度算符，土骨架的体积密度ρ＝ρ n ，孔f fR f sR fR s f隙流体的体积密度ρ＝ρ n ，ρ 和ρ 分别表示土骨架、孔隙流体的真实密度，n和n分别表示土骨架、孔隙流体的体积分数， 为液固耦合系数，表示固相和液相的相互作用，其中kf为土体达西渗透系数，g为重力加速度；us、vs、ws代表r，θ和z三个方向上的土骨架位移，uf、vf、wf代表r，θ和z三个方向上的孔隙流体位移；
埋置锚板荷载等效看作竖向坐标z在荷载埋置深度为s的平面上任意分布的不连续的应力，在柱坐标系下，它们被表示为其中P(r,θ,t)，Q(r,θ,t)，和R(r,θ,t)分别表示径向、角向和垂直方向上的有效应力源分布，T(r,θ,t)代表孔隙流体压力源分布， 和 是土骨架应力的组成部分；πs(r,θ,s)是激励源在z＝s平面上的作用面积；
和 分别代表z平面上沿r，θ，z坐标方向的土骨架f ‑
有效应力分量，p (r,θ,z,t)代表z平面上的孔隙流体压力；当z＝s表示荷载作用面顶部的+应力，z＝s表示荷载作用面底部的应力；
同时，假设土层表面为自由表面且可渗透，土层底部与不透水的刚性基础紧密接触，即：us(r,θ,L,t)、vs(r,θ,L,t)、ws(r,θ,L,t)、wf(r,θ,L,t)括号中表示自变量且位置在土层底部z＝L；
此处考虑谐和激励力作用，时间因子为e ，锚板荷载分布与空隙流体压力源分布表示为：土骨架的位移矢量、孔隙流体的位移矢量和孔隙流体压力可以表示为如下形式：其中ω＝2πf为激振圆频率， f为激振频率；
将式(10)分别代入到式(1)‑(3)中并省略时间因子e ，s s s s f s 2
(λ+μ)▽(▽·us)+μ▽·(▽us)‑n▽p+ρωus+iωsv(uf‑us)＝0 (11)f f f 2‑n▽p+ρωuf‑iωsv(uf‑us)＝0 (12)s f▽·(nus+nuf)＝0 (13)。
3.根据权利要求2所述的埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法，其特征在于，所述步骤S2具体为：利用势能函数方法分解土骨架和孔隙流体的位移矢量，即其中，ez代表圆柱坐标系中z方向上的单位向量， χs，ηs为土骨架标量势函数， χf，ηf为孔隙流体的标量势函数，将式(14)和(15)带入到式(11)‑(13)中和
其中，土骨架和孔隙流体混合物的密度ρ＝ρ+ρ，剪切波波速相关量 中间变量 中间变量 矩阵
为完全求解式(16)，通过式(21)、(22)引入两个辅助标量势函数φs(r,θ,z)和φf(r,θ,z)，φs表示解耦后的土骨架的标量势函数，φf表示解耦后的孔隙流体的标量势函数，和T T
其中[t11,t21] ，[t12,t22] 和 分别表示矩阵E的特征向量和相应的特征值，将式(21)和(22)代入到式(16)中，得到两个不耦合的波动方程：其中，土骨架压缩波波速相关量 孔隙流体压缩波波速相关量式(17)和(23)组成四个独立波动方程。
4.根据权利要求3所述的埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法，其特征在于，所述步骤S3具体为：将四个独立的标量势φs，φf，χs和ηs沿周向θ进行复指数形式的傅里叶级数展开inθφsn(r,z)、φfn(r,z)、χsn(r,z)、ηsn(r,z)表示被分解原向量的标号为n的分量，e 表示自变量为nθ的复指数；
usn(r,z)、ufn(r,z)、vsn(r,z)、vfn(r,z)、wsn(r,z)、wfn(r,z)为被分解原向量的标号为n的分量；
分布的埋置锚板荷载激励源，由式(4)‑(7)表示为Pn(r)、Qn(r)、Rn(r)、Tn(r)为被分解原向量的标号为n的分量；
将式(24)代入到式(17)和(23)中，然后利用e 在区间(‑π≤θ≤π)上的正交性，得到进行n阶Hankel积分变换ξ属于Hankel变换域内的自变量，Jn(ξr)为自变量为ξr的n阶的第一类Bessel函数；
含义为对势函数φs、φf、χs、ηs的Fourier级数分量φsn(r,z)、φfn(r,z)、χsn(r,z)、ηsn(r,z)进行n阶的Hankel积分变换后的变型量；
(α)≥0，Re(β)≥0和Re(γ)≥0，16个未知的常数 可以通过边界条件和界面条件求得。
5.根据权利要求4所述的埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法，其特征在于，所述步骤S4具体为：在圆柱坐标系和积分变换域内给出了位移和势的关系和
式(33)表示土骨架位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；
分别表示us(r,z)、vs(r,z)、ws(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量；us(r,z)、vs(r,z)、ws(r,z)分别表示土骨架在r，θ和z方向上的位移分量；
式(34)表示孔隙流体位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；
分别表示uf(r,z)、vf(r,z)、wf(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量；uf(r,z)、vf(r,z)、wf(r,z)分别表示孔隙流体r，θ和z方向上的位移分量；中间变量 i为虚数单位，表示us(r,z)、vs(r,z)、uf(r,z)、vf(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量；
式(35)表示土骨架应力被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；
p (r,z)被Fourier级数展开和Hankel变换后的量，右上角的n、n+1和n‑
和 分别表示土层在r,θ和z方向上的有效应力分量，p(r,z)表示孔隙流体压力；
利用边界条件和界面接触条件确定式(31)和式(32)中的未知常数，式(33)，(34)和(35)中所有场变量的积分变换解表述为其中，系数 Xn,Yn,Zn,Wn和M为系数；
将式(36)‑(38)的Hankel逆变换代入式(24)‑(26)的Fourier级数展开，在任意分布的内部激励源作用下饱和土层的谐和响应如下
6.根据权利要求5所述的埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法，其特征在于，所述步骤S5具体为：点源分布的谐和力分量和孔隙流体压力源表示如下f
其中，δ代表一维Dirac函数，Fh and Fz分别表示水平方向和垂直方向的荷载大小，P 代表加载点处孔隙流体压力源的大小，er，eθ，和ez分别表示径向、角向和垂直方向上的单位向量，并且eh＝er cos(θ‑θ0)‑eθsin(θ‑θ0)表示使用初始角θ0表示的水平的单位向量；
适用于半径r0和深度z＝s处均匀环形源表示如下：适用于范围πs＝{(r,θ,z)|0＜r≤r0,0≤θ＜2π,z＝s}内的圆盘源表示如下：inθ
通过对式(40)‑(42)进行傅里叶级数展开，结合函数{e |n∈Z,‑π＜θ≤π}的正交性，由式(39)可得其中，对点源
埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法
技术领域
[0001] 本发明属于海岸土体工程技术领域，特别是涉及一种埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法。
背景技术
[0002] 在海岸工程中，锚板是一种重要的基础，通常埋置在充满流体的土体中，为结构提供锚固力。于此同时，锚板也对周围的土体产生作用力，使得土体中产生孔隙水压力，进一
步导致土体产生固结变形或者饱和砂土产生液化等问题。因此，在这样的荷载作用下，饱和
土体的孔隙水压力的计算具有重要作用，这对于相关工程中锚板结构的设计和施工具有重
要意义。
[0003] 现有技术中，土体通常被认为是流体填充的弹性多孔半空间或全空间介质，这种假设在土层的厚度足够大时是合理的。然而，在实际应用中，更为常见的是有限厚度的饱和
土层，其底部被坚硬的基岩所覆盖，这些基岩可被视为刚性基础。在这种物理力学系统中，
基岩的刚性边界的存在会导致波动力学中包含共振和截断频率现象等动力学行为。有限层
状介质和众所周知的无限半空间介质在几何和边界条件上存在显著差异，在设计和实践过
程中，显然需要注意上述因素的影响。而且，上述研究大多是针对个别或简单荷载情况，这
显然不方便，甚至限制了对复杂问题的分析。
[0004] 现有技术将饱和土体当作半无限的半空间或者无限的全空间介质处理，不能考虑当土层的厚度较薄或者土层的底部位于坚硬的岩层上的情况，忽略了土层厚度带来的影
响。并且对半空间或全空间现有技术适用的土层厚度尚不清楚。而实际工程中，土层通常位
于坚硬的岩石之上，且厚度是有限的。因此在这种情况下，需要改进现有技术，提出适用于
有限厚度土层孔隙水压力的计算方法。另一方面，现有技术大多将锚板荷载考虑为单一的
荷载形式，比如只考虑竖向荷载，或者水平荷载，荷载的形式也比较简单，适用范围有限，或者说对于复杂荷载组合的情况就难以考虑。比如锚板通常是不透水的混凝土结构，其对于
土体的作用，除了土骨架本身的有效应力之外，还有孔隙水压力的作用。而现有技术忽略了
土骨架有效应力和孔隙水压力的组合作用，使得此类问题难以全面考虑。换言之，土体厚度
以及复杂荷载组合条件下饱和土体中孔隙水压力的计算便不够准确。
发明内容
[0005] 本发明实施例的目的在于提供一种埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法，考虑土层厚度的影响，同时也能通过退化处理得到已有的半空间解或者全空
间解；将锚板荷载考虑为三个土骨架有效应力分量和一个孔隙水压力组合的形式，能适应
复杂荷载组合的情况。
[0006] 为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是，埋置锚板荷载作用下饱和土层中孔隙水压力的确定方法，包括：
[0007] S1，饱和土层中埋置锚板，将埋置弹性锚板对土体的作用视为均匀分布的圆形荷载，包括有效应力和孔隙流体压力分量，以圆形荷载的圆心为圆心建立圆柱坐标系的模型，
饱和土层的厚度为L，荷载埋置深度为s，荷载埋置深度将坐标系分成了上部区域Ⅰ和下部区
域Ⅱ，r为径向坐标，θ为环向坐标，z为竖向坐标；用饱和多孔介质理论描述饱和土的动态特性，之后建立饱和土的动力控制方程；
[0008] S2，求解动力控制方程，利用势能函数方法分解土骨架和孔隙流体的位移矢量；引入标量势函数，得到四个独立波动方程；
[0009] S3，为求解独立波动方程进行Fourier‑Hankel积分变换，将独立的标量势沿周向θ进行复指数形式的傅里叶级数展开并带入到独立波动方程中，再进行n阶Hankel积分变换，
得到势函数的Fourier级数分量进行n阶Hankel积分变换的变型量，得到变型量的通解；
[0010] S4，在圆柱坐标系和积分变换域内，给出了土骨架位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系、孔隙流体位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与
势函数的关系、土骨架应力被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；
[0011] 利用边界条件和界面接触条件确定通解的未知常数，给出土骨架位移、孔隙流体位移、土骨架应力被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系中所有场变量
的积分变换解，进行Hankel逆变换带入S3中傅里叶级数展开的公式中，得到任意分布的内
部激励源作用下饱和土层的谐和响应；
[0012] S5，确定点源、圆环源、圆盘源作用下饱和土层的谐和响应，并进行傅里叶级数展开，得到了锚板荷载作用下刚性地基上有限厚度饱和土层中孔隙水压力。
[0013] 本发明的有益效果：将埋置弹性锚板对土体的作用视为均匀分布的圆形荷载，对于有确定厚度的饱和土层问题，可直接通过本文确定方法进行计算，并分析土层厚度变化
的影响；对于基岩埋深比较远，土层厚度较厚的情况，也可通过设置本文确定方法中的土层
厚度变量为较大值进行计算。除此之外，现有的全空间或半空间解，以及单相土解(不含孔
隙水的情况)，亦可通过本发明方法进行退化确定。本发明的确定方法考虑了复杂荷载的组
合，可分别进行简单荷载作用下的土层响应计算，也可用于复杂的土结构相互作用分析中，
比如不透水结构埋置在饱和土体中的动力相互作用分析。通过本发明的具体实施例可以看
出，土层厚度对饱和土层中孔隙水压力的分布特点及具体大小有着显著影响，同时不同荷
载情况下土体中孔隙水压力的分布及大小亦不相同，在相关设计及施工中值得考虑。
附图说明
[0014] 为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本
发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以
根据这些附图获得其他的附图。
[0015] 图1是本发明实施例的饱和土层中埋置均匀分布谐和力源的力学模型示意图。
[0016] 图2是圆柱坐标系中的水平和垂直荷载方向图。
[0017] 图3是单位强度的均匀横向圆盘源作用下本发明实施例解与Pak纯弹性半空间体解的比较：(a)土层表面s＝0荷载作用；(b)荷载埋置深度s＝20r0。
[0018] 图4是单位强度的均匀垂直有效应力圆盘源作用下本发明实施例解与现有多孔弹性半空间解对比情况图：(a)土骨架径向位移实部；(b)土骨架径向位移虚部。
[0019] 图5是单位强度的均匀垂直有效应力圆盘源作用下本发明实施例解与有限元(ADINA)的对比情况：(a)ADINA中建立的轴对称有限元模型；(b)土骨架垂直位移；(c)孔隙
流体压力。
[0020] 图6是单位强度均匀水平有效应力圆盘源作用下流体位移和饱和土层孔隙流体压力图。
[0021] 图7是单位强度均匀垂直有效应力圆盘源作用下流体位移和饱和土层孔隙流体压力图。
[0022] 图8是单位强度均匀孔隙压力圆盘源作用下的位移和饱和土层孔隙流体压力。
[0023] 图9是单位强度均匀水平有效应力圆盘源作用下饱和土层渗透率对孔隙流体动力学行为的影响图。
[0024] 图10是单位强度均匀垂直有效应力圆盘源作用下饱和土层渗透率对孔隙流体动力学行为的影响图。
[0025] 图11是单位强度均匀孔隙流体压力圆盘源作用下饱和土层渗透率对孔隙流体动力学行为的影响图。
[0026] 图12是单位强度均匀水平有效应力圆盘源作用下饱和土层厚度对孔隙流体动力学行为的影响图。
[0027] 图13是单位强度均匀垂直有效应力圆盘源作用下饱和土层厚度对孔隙流体动力学行为的影响图。
[0028] 图14是单位强度均匀孔隙流体压力圆盘源作用下饱和土层厚度对孔隙流体动力学行为的影响图。
[0029] 图15是位强度均匀表面圆盘源作用下，加载区域中心流体位移和激振频率的关系：(a)横向有效应力源情况；(b)垂直有效应力源情况；(c)孔隙压力源情况。
[0030] 图16是本发明实施例的流程图。
具体实施方式
[0031] 下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于
本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他
实施例，都属于本发明保护的范围。
[0032] 流程参考图16，本发明所设计的多孔介质模型如图1所示。饱和土层的厚度为L，s是荷载埋置深度，分成了上部区域Ⅰ和下部区域Ⅱ，r为径向坐标，θ为环向坐标，z为竖向坐标；
[0033] 该模型的动力控制方程可以用土骨架的位移矢量us＝(us,vs,ws)，孔隙流体的位f
移矢量uf＝(uf,vf,wf)和孔隙流体压力p描述为如下形式：
[0034]
[0035]
[0036]
[0037] 其中λs和μs代表土骨架的Lame常数， 表示梯度算符，土骨架的体积密度ρs＝ρsR s f fR f sR fR s f
n ，孔隙流体的体积密度ρ＝ρ n，ρ 和ρ分别表示土骨架、孔隙流体的真实密度。n 和n
分别表示土骨架、孔隙流体的体积分数。 为液固耦合系数，表示固相和液相的相
互作用，其中kf为土体达西渗透系数，g为重力加速度；位移矢量上的一个点代表对时间t的
求导，两个点代表对时间t的二次求导。us、vs、ws代表r，θ和z三个方向上的土骨架位移，uf、vf、wf代表r，θ和z三个方向上的孔隙流体位移。需要注意式(1)和(2)表示液相和固相的动量平衡，式(3)代表液‑固混合物的质量平衡。
[0038] 式(1)中， 中带点表示散度算符， 中不带点表示梯度算符。us＝(us,vs,ws)表示固体位移向量含有三个分量。
[0039] 尽管运动方程(1)、(2)中没有明确包含体力场，这个埋置锚板荷载可以等效看做在z＝s平面上任意分布的不连续的应力。在柱坐标系下，它们可以被表示为
[0040]
[0041]
[0042]
[0043]
[0044] 其中P(r,θ,t)，Q(r,θ,t)，和R(r,θ,t)分别表示径向、角向和垂直方向上的有效应力源分布，T(r,θ,t)代表孔隙流体压力源分布， 和 是土骨架应力的组成部分。πs(r,θ,s)是激励源在z＝s平面上的作用面积。
[0045] 和 分别代表z平面上沿r，θ，z坐标方向的土f
骨架有效应力分量，p(r,θ,z,t)代表z平面上的孔隙流体压力。括号中的r,θ,z,t表示自变
‑ +
量，下同。当z＝s表示荷载作用面顶部的应力，z＝s表示荷载作用面底部的应力。
[0046] 凡是垂直于z轴的平面都是z平面，这里表示这些应力的作用面以及方向。属于任意一点处的应力分量。当该z平面处于s位置时，即表示该面与荷载作用面重合。
[0047] 同时，假设土层表面为自由表面且可渗透，土层底部与不透水的刚性基础紧密接触，即：
[0048]
[0049] us(r,θ,L,t)、vs(r,θ,L,t)、ws(r,θ,L,t)、wf(r,θ,L,t)这几个位移分量同前面us、vs、ws、wf的含义，括号中的表示自变量且位置在土层底部z＝L。
[0050] 此处考虑谐和激励力作用，时间因子为eiωt，锚板荷载分布与空隙流体压力源分布表示为表示为：
[0051]
[0052] 土骨架的位移矢量、孔隙流体的位移矢量和孔隙流体压力可以表示为如下形式(此处加粗为矢量表示法，包含三个分量u,v,w。公式B1中列出了每一个分量，属于分量表示
法，但均表示位移。)：
[0053]
[0054] 其中ω＝2πf为激振圆频率， f为激振频率。
[0055] us(r,θ,z)表示土骨架的位移矢量，uf(r,θ,z)表示孔隙流体的位移矢量，pf(r,θ,z)表示孔隙流体压力。说明：只写变量符号如us，与写变量符号及后面小括号如us(r,θ,z)，实质是一样的，只是后者更为具体表明了其自变量为(r,θ,z)，省略不写，是为避免繁复，本文均为这样表达。
[0056] 将式(10)分别代入到式(1)‑(3)中并省略时间因子eiωt，
[0057]
[0058]
[0059]
[0060] 这是后续推导的基础。
[0061] 为求解运动方程式(11)‑(13)，利用势能函数方法分解土骨架和孔隙流体的位移矢量，即
[0062]
[0063]
[0064] 其中 χs，χf，ηs和ηf是六个标量势函数，ez代表圆柱坐标系中z方向上的单位向量。 χs，ηs为土骨架标量势函数， χf，ηf为孔隙流体的标量势函数。
[0065] 文中下标s表示soil，即土体的意思；f表示fluid，即流体的意思。这里不同符号表示土骨架或者流体不同的标量势函数。相当于位移被我们采用了几个标量势函数给分解
了，而这几个势函数不相等。分解之后，再通过后续推导去确认这些势函数到底等于什么。
等价于将位移的确定转化为求解这些势函数。这么做的原因是：这样进行势函数分解可以
把偏微分方程组进行解耦而便于求解，同时保持了原方程组的等价。
[0066] 另外，位移本质是矢量，在空间中包含三个分量，us＝(us,vs,ws)表示土骨架的位移矢量的三个分量是us,vs,ws。us(r,θ,z)表示土骨架的位移矢量是空间坐标r,θ,z的函数。
它们本质是一样的，只是此时表示的目的不一样。这些表示法均属于数学领域内公知的。
[0067] 将式(14)和(15)带入到式(11)‑(13)中
[0068]
[0069]
[0070] 和
[0071]
[0072]
[0073] 其中，土骨架和孔隙流体混合物的密度ρ＝ρs+ρf，剪切波波速相关量中间变量 中间变量 矩阵
[0074]
[0075] 为完全求解式(16)，通过式(21)、(22)引入两个辅助标量势函数φs(r,θ,z)和φf(r,θ,z)，φs表示解耦后的土骨架的标量势函数，φf表示解耦后的孔隙流体的标量势函数，[0076]
[0077] 和
[0078]T T
[0079] 其中[t11,t21] ，[t12,t22] 和 分别表示矩阵E的特征向量和相应的特征值，将式(21)和(22)代入到式(16)中，得到两个不耦合的波动方程。
[0080]
[0081] 其中，土骨架压缩波波速相关量 孔隙流体压缩波波速相关量
[0082] 式(17)和(23)组成四个独立波动方程，但需要注意的是式(23)只有一个方程可以用来表征波动方程，因为矩阵E只有一个非零特征值。这表明正如de Boer所认为的那样，采
用流体饱和多孔介质时存在两个耦合的纵波和一个耦合的横波。
[0083] 为了求解式(17)和(23)，将四个独立的标量势φs，φf，χs和ηs沿周向θ进行复指数形式的傅里叶级数展开
[0084]
[0085] φsn(r,z)、φfn(r,z)、χsn(r,z)、ηsn(r,z)表示被分解原向量的标号为n的分量。einθ表示自变量为nθ的复指数。
[0086] 土骨架和孔隙流体位移分量表示为
[0087]
[0088] usn(r,z)、ufn(r,z)、vsn(r,z)、vfn(r,z)、wsn(r,z)、wfn(r,z)为被分解原向量的标号为n的分量。
[0089] 分布的埋置锚板荷载激励源，由式(4)‑(7)表示为
[0090]
[0091] Pn(r)、Qn(r)、Rn(r)、Tn(r)为被分解原向量的标号为n的分量。
[0092] 将式(24)代入到式(17)和(23)中，然后利用einθ在区间(‑π≤θ≤π)上的正交性，得到
[0093]
[0094] 进行n阶Hankel积分变换
[0095]
[0096] ξ属于Hankel变换域内的自变量，Jn(ξr)为自变量为ξr的n阶的第一类Bessel函数。
[0097] 其逆变换为
[0098]
[0099] 由式(27)可得
[0100]
[0101] 含义为对势函数φs、φf、χs、ηs的Fourier级数分量φsn(r,z)、φfn(r,z)、χsn(r,z)、ηsn(r,z)进行n阶的Hankel积分变换后的变型量。
[0102] 从图1可以看出，饱和土层由上部区域I(0≤z≤s)和下部区域II(s≤z≤L)组成，由此可得式(30)的通解为
[0103]
[0104] 和
[0105]
[0106] 其中，中间变量 具体取值需要满足下述要求，Re(α)≥0，Re(β)≥0和Re(γ)≥0。16个未知的常数 可以通
过边界条件和界面条件求得。具体而言，z＝0处为自由边界，即土层顶面无应力作用和表面
透水条件，结合z＝L处与不透水的刚性基础紧密接触，共可提供八个方程，见式(8)。在平面z＝s上的应力不连续条件提供四个方程，见式(4)‑(7)，以及载荷平面z＝s处的土骨架的三
个位移分量的连续条件，结合孔隙流体位移wf在纵向的连续性，提供了四个方程，见式(8)。
综上所述，通过这16个方程可解出这16个未知常数的封闭形式解。
[0107] 为便于进一步确定未知系数，在圆柱坐标系和积分变换域内给出了位移和势的关系
[0108]
[0109] 和
[0110]
[0111] 式(33)表示土骨架位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系； 分别表示us(r,z)、vs(r,z)、ws(r,z)被Fourier展开和
Hankel变换后的位移量；us(r,z)、vs(r,z)、ws(r,z)分别表示土骨架在r，θ和z方向上的位移分量；
[0112] 式(34)表示孔隙流体位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系； 分别表示uf(r,z)、vf(r,z)、wf(r,z)被Fourier展开和
Hankel变换后的位移量；uf(r,z)、vf(r,z)、wf(r,z)分别表示孔隙流体r，θ和z方向上的位移分量；中间变量 i为虚数单位，
[0113] 示us(r,z)、vs(r,z)、uf(r,z)、vf(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量。符号右上角的n、n+1或n‑1表示Hankel积分变换
的阶数，右下角的n表示Fourier展开后的分量的序号。
[0114] 应力和势的关系
[0115]
[0116]
[0117] 其中，中间变量
[0118] 式(35)表示土骨架应力被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关f
系； 分别表示 p
(r,z)被Fourier级数展开和Hankel变换后的量； 和 分别表示土层
f
在r,θ和z方向上的有效应力分量，p(r,z)表示孔隙流体压力；
[0119] 与上段几个应力分量符号的区别在于右上角的n、n+1和n‑1，如前所述，其表示Hankel积分变换的阶数。
[0120] 利用上述边界条件和界面接触条件确定式(31)和式(32)中的未知常数，式(33)，(34)和(35)中所有场变量的积分变换解表述为
[0121]
[0122]
[0123]
[0124] 其中，系数 i＝1～24，此公式中的i仅代表取值；
[0125] 系数 Xn,Yn,Zn,Wn和M，由公式A1‑A138中给出。
[0126] 将式(36)‑(38)的Hankel逆变换代入式(24)‑(26)的Fourier级数展开，在任意分布的内部激励源作用下饱和土层的谐和响应如下
[0127]
[0128] 其中，具体的表达式在公式B1‑B10中给出。
[0129]
[0130]
[0131]
[0132]
[0133]
[0134]
[0135]
[0136]
[0137]
[0138]
[0139]
[0140]
[0141]
[0142]
[0143]
[0144]
[0145]
[0146]
[0147]
[0148]
[0149]
[0150]
[0151]
[0152]
[0153]
[0154]
[0155]
[0156]
[0157]
[0158]
[0159]
[0160]
[0161]
[0162]
[0163]
[0164]
[0165]
[0166]
[0167]
[0168]
[0169]
[0170]
[0171]
[0172]
[0173]
[0174]
[0175]
[0176]
[0177]
[0178]
[0179]
[0180]
[0181]
[0182]
[0183]
[0184]
[0185]
[0186]
[0187]
[0188]
[0189]
[0190]
[0191]
[0192]
[0193]
[0194]
[0195]
[0196]
[0197]
[0198]
[0199]
[0200]
[0201]
[0202]
[0203]
[0204]
[0205]
[0206]
[0207]
[0208]
[0209]
[0210]
[0211]
[0212]
[0213] c1＝[(b5b2+b3b6)b7‑(b2b8+b7b9)b3]e‑γL2γξ22t11α‑(b2b8+b7b9)b2a11t11+(b5b2+b3b6)b2a1, (A85)
[0214] c2＝[(b5b2+b3b6)b7‑(b2b8+b7b9)b3]e‑γL2γξ22t12β‑(b2b8+b7b9)b2a13t12+(b5b2+b3b6)b2a2, (A86)
[0215] c3＝[(b5b2+b3b6)b7‑(b2b8+b7b9)b3]e‑γL‑(b2b8+b7b9)b22μs, (A87)
[0216] c4＝[(b5b2+b3b6)b7‑(b2b8+b7b9)b3]e‑γL2γξ22t11α+(b2b8+b7b9)b2a12t11‑(b5b2+b3b6)b2a1, (A88)
[0217] c5＝[(b5b2+b3b6)b7‑(b2b8+b7b9)b3]e‑γL2γξ22t12β+(b2b8+b7b9)b2a14t12‑(b5b2+b3b6)b2a2, (A89)
[0218]
[0219]
[0220]
[0221]
[0222]
[0223]
[0224]
[0225]
[0226]
[0227]
[0228]
[0229]
[0230]
[0231]
[0232]
[0233]
[0234]
[0235]
[0236]
[0237]
[0238]
[0239]
[0240]
[0241]
[0242]
[0243]
[0244]
[0245]
[0246]
[0247]
[0248] R＝(b2b8+b7b9)(b1b2+b3b42ξ2)t11‑(b5b2+b3b6)[b2(1+e‑2αL)a1+b7b42ξ2t11], (A120)[0249] b1＝a4+a3e‑2αL‑4μsξ2(γ2+ξ2)e‑(α+γ)L, (A121)
[0250] b2＝(γ2+ξ2)(a9+a7e‑2γL)‑4ξ2γαβ[t12(t21‑at11)e‑(β+γ)L‑t11(t22‑at12)e‑(α+γ)L], (A122)
[0251] b3＝a5t12(t21‑at11)αe‑βL‑a3t11(t22‑at12)βe‑αL‑2μs(γ2+ξ2)a7e‑γL, (A123)[0252] b4＝(γ2+ξ2)[e‑αL‑e‑(α+2γ)L]‑[e‑γL‑e‑(2α+γ)L]2γα, (A124)
[0253] b5＝a6t12(t21‑at11)α+a3t11(t22‑at12)βe‑(α+β)L‑2μs(γ2+ξ2)a8e‑(β+γ)L, (A125)[0254] b6＝a10(γ2+ξ2)e‑βL‑a8(γ2+ξ2)e‑(β+2γ)L‑4ξ2γβt12(t21‑at11)αe‑γL+4ξ2γαt11(t22‑‑(α+β+γ)Lat12)βe (A126)
[0255] b7＝a2(t21‑at11)αe‑βL‑a1(t22‑at12)βe‑αL, (A127)
[0256] b8＝a2(t21‑at11)α+a1(t22‑at12)βe‑(α+β)L, (A128)
[0257] b9＝(γ2+ξ2)[a10e‑βL‑a8e‑(β+2γ)L]‑4ξ2γαβ[t12(t21‑at11)e‑γL‑t11(t22‑at12)e‑(α+β+γ)L], (A129)
[0258]
[0259]
[0260]
[0261]
[0262] a7＝(ξ2+γβ)t12(t21‑at11)α‑(ξ2+γα)t11(t22‑at12)β, (A134)
[0263] a8＝(ξ2‑γβ)t12(t21‑at11)α+(ξ2+γα)t11(t22‑at12)β, (A135)
[0264] a9＝(γβ‑ξ2)(t21‑at11)t12α‑(γα‑ξ2)(t22‑at12)t11β, (A136)
[0265] a10＝(γβ+ξ2)(t21‑at11)t12α‑(γα‑ξ2)(t22‑at12)t11β, (A137)
[0266] 以上A1‑A137等号左面符号均为中间变量，起替换简化公式的作用。式A1‑A137中出现的R的表达式见式120。
[0267]
[0268] 表示埋置锚板荷载P(r)、Q(r)、R(r)、T(r)经Fourier级数展开和Hankel积分变换后的量，符号右上角的n‑1、n+1、n均表示Hankel积分变换的阶数。
[0269]
[0270]
[0271]
[0272]
[0273]
[0274]
[0275]
[0276]
[0277]
[0278]
[0279]
[0280] B1‑B10等号左面符号是土骨架和孔隙流体位移分量，土骨架有效应力分量，孔隙流体压力。
[0281] 点源、圆环源、圆盘源作用下饱和土层的动力学响应：
[0282] 作为对任意埋置锚板荷载激励源作用下所得解的应用说明，考虑了点源、均匀圆环源和均匀圆盘源作用下的基本解。这种解在用边界积分方程求解各种边值问题时有重要
作用。
[0283] 首先，图2描述了点源的情况。在柱坐标系下，点源分布的谐和力分量和孔隙流体压力源表示如下
[0284]
[0285] 其中，δ代表一维Dirac函数，Fh and Fz分别表示水平方向和垂直方向的荷载大小，fP代表加载点处孔隙流体压力源的大小，在图2中，er，eθ，和ez分别表示径向、角向和垂直方向上的单位向量，并且eh＝ercos(θ‑θ0)‑eθsin(θ‑θ0)表示使用初始角θ0表示的水平的单位向量。
[0286] 然后，用类似的方式，其它两种源分布荷载可以写为
[0287]
[0288] 适用于半径r0和深度z＝s处均匀环形源，
[0289]
[0290] 适用于范围πs＝{(r,θ,z)0
[0291] 通过对式(40)‑(42)进行傅里叶级数展开，结合函数{einθ|n∈Z,‑π<θ≤π}的正交性，由式(39)可得
[0292]
[0293]
[0294]
[0295]
[0296]
[0297]
[0298]
[0299]
[0300]
[0301]
[0302] 其中，对点源 4个等式为中间变量，可以看到其与外荷载强度大小相关，下同。
[0303] 对圆环源对圆盘源
[0304] 公式49‑52等号左面的符号为各个位移分量和应力分量。小括号里的表示自变量，有时包含时间t，有时没有，那是因为稳态荷载条件下，这些量可以统一表示为f(r,θ,z,t)
iωt
＝f(r,θ,z)e (这里f统一代表位移、应力分量)，时间项被分离出来了，而时间项前面的部
分f(r,θ,z)即表示该量f(r,θ,z,t)的幅值。
[0305] 实施例
[0306] 以数值计算为例，给出了单位强度均匀分布圆形荷载作用下的数值结果，通过与文献解和有限元结果的比较，验证了本发明解的有效性，同时研究了土层渗透率和厚度对
孔隙流体动力学响应的影响。如无特别说明，饱和土层的计算参数如表1所列，观测点坐标
为r＝0，θ＝θ0＝0。
[0307] 表1.饱和土层计算参数
[0308]
[0309] 解的验证与比较
[0310] 第一个算例，令ρfR→0，nf→0和L→∞，从而将本发明解退化到弹性半空间单相土情况，将其在单位强度的均匀圆盘源作用下的动力响应与Pak的计算结果相比较，结果如图
3(a)、(b)所示，无量纲频率为0.5。将作用在土层表面s＝0处和埋置深度s＝20r0处的横向
圆盘源作用引起的土层横向位移绘制成关于z的函数。从图中可以看出，本发明解与Pak的
弹性半空间解较为一致。
[0311] 在第二个算例中，通过设置L→∞(如L＝1050m)将现有问题退化到弹性半空间问题，并与Chen等人的埋置荷载作用下多孔弹性半空间的动力响应结果进行比较。对不同埋
置深度的单位强度横向圆盘源作用下饱和土层沿z轴变化的横向位移如图4(a)、(b)所示。
从图中可以看出，本发明解与Chen等人的解吻合程度良好。
[0312] 在第三个算例中,利用ADINA有限元软件建立了均匀分布的垂直有效应力圆盘源作用下的饱和土层有限元模型，然后将计算结果与本发明解进行比较，结果如图5(a)、(b)、(c)所示。在该有限元模型中，材料参数和激振频率参照表1，并采用9节点矩形单元模拟饱
和土；模型的左侧为轴对称边界，其表面为自由边界，底部为不透水的固定边界，右侧为透
水的固定边界，以此模拟无限边界条件，从而与图1规定的边界条件保持一致。值得注意的
是，在本算例中取50m的模型宽度已经可以获得稳态响应振幅，并较好地消除了右侧的边界
效应。通过以上比较，本发明解与有限元计算结果吻合程度较好，从而验证了本发明解的有
效性。
[0313] 均匀圆盘源作用下孔隙流体的动态响应
[0314] 图6‑图8给出了饱和土层内孔隙流体在三种激励源(单位强度的均匀水平、垂直有效应力和孔隙流体压力圆盘源)作用下位移和孔隙流体压力随层深的分布。整体上看，层底
f f
位移和土层表面孔隙流体压力p 为零，加载面πs上的不连续值p等于1/π的施加荷载值，这
些与规定的边界条件是一致的。
[0315] 图6展现了单位强度的均匀水平有效应力圆盘源引起的流体动力响应沿深度的变化。在载荷平面z＝s处，流体径向位移的实部最大，荷载作用面πs上的位移曲线不是单调变化的，它的虚部位移沿深度减小；饱和土层内流体垂直位移的极值出现在载荷面附近；孔隙
流体压力的峰值出现载荷面附近，特别是载荷面的边缘，在土层表面附近存在应力集中现
象。这是因为饱和土层表面时完全透水的，而土层内部的透水性相对较差，孔隙流体向土层
表面移动并在表面附近积累。在r＝0的轴线上，流体的垂直位移和孔隙压力可以忽略不计。
[0316] 图7描述了单位强度的均匀垂直有效应力圆盘源作用引起的流体动力响应沿深度的变化。流体径向位移的极值出现在载荷面的附近；流体垂直位移的实部曲线在荷载埋置
深度处不光滑，虚部曲线在荷载埋置深度处是光滑的；在饱和土层表面和荷载埋置深度附
f
近均存在p的应力集中现象，但后者的应力集中现象更为明显。
[0317] 图8描述了均匀孔隙流体压力圆盘源引起的流体动力响应沿深度的变化。由于有效应力正号与孔隙流体压力负号的符号规定不同,流体径向位移的变化趋势与垂直有效应
力源作用下的情况相比是相反的；流体垂直位移的最大值出现在载荷面处，变化曲线上没
f
有出现尖点，在土层表面附近同样出现了p的应力集中现象。
[0318] 土层渗透率对孔隙流体动力学行为的影响
[0319] 土层渗透率对孔隙流体位移和孔压的影响如图9‑图11所示。从图中可以看出，饱和土层的渗透率对流体位移和流体孔隙压力的影响是显著且复杂的。对于图9的水平均匀
f
有效应力圆盘源作用：孔隙流体的径向位移随渗透系数k 的变化不大，这表示在这种激励
源作用下，孔隙流体位移对土层的渗透率不是十分敏感。另一方面，随着渗透率的减小，孔
f
隙流体压力的实部增大，虚部曲线更加集中在载荷面深度处，其极限为不排水。随着k的减
f
小，孔隙流体压力最大值显著增大，土层表面附近出现p的应力集中现象，并且应力集中的
位置逐渐向土层表面移动。这是因为土层内部渗透性低，孔隙流体难以排出，逐渐聚集在土
f f
层表面附近。同样的，p的峰值随k的减小而增大，但峰值的位置基本不变。
[0320] 图10为垂直均匀有效应力圆盘源作用情况：在载荷平面上，流体的实部垂直位移f f
变化随k的变化更为明显；随着k的减小而增大；而虚部的变化则更为敏感和复杂，土层表
f f
面和载荷平面上的值先增大后减小。随着k的减小，载荷平面附近p的最大值增大，土层表
f
面附近p的应力集中更为明显，并且它们分别逐渐接近载荷平面和土层表面。
[0321] 图11为均匀孔隙流体压力圆盘源作用情况：随着kf的减小，土层表面处流体垂直f
位移的实部明显增大；相比于实部，虚部对k的变化更为敏感，并且随着其减小而减小。随
f
着k的减小，饱和土层表面附近的孔隙流体压力显著增大，且其峰值位置逐渐向土层表面
靠近，而土层底边的虚部减小。这些变化表明土层渗透率变小时，排水困难，流体的力学行
为会趋于局部化。
[0322] 饱和土层厚度对孔隙流体力学行为的影响
[0323] 图12‑图14描述了饱和土层厚度对流体的位移和孔隙流体压力的影响。从图中可以看出，饱和土层厚度对流体位移和孔隙压力的影响是显著而复杂的。图12描述了水平均
匀有效应力圆形载荷作用下的力学响应：随着土层厚度L的增大,流体径向位移最大值先增
大后减小，这表示在一定厚度下，流体的位移响应存在峰值，而孔隙流体压力的变化较小。
这表现了刚性基础对反射波的影响，且在这种载荷情况下，层厚对流体压力的影响较小。
[0324] 图13描述了均匀垂直有效应力圆盘源作用下的情况：随着L的增加，流体垂直位移的实部先增大后减小，同时其虚部增加。孔隙流体压力的最大值在表层附近先增大后减小，
在载荷面附近的最大值减小，而最小值增大。
[0325] 图14描述了均匀孔隙流体压力圆盘源作用下的情况：随着L的增加,流体垂直位移的实部先增大后减小，虚部增大。土层表面附近的孔隙流体压力的最小值先增大后减小。孔
隙流体压力的实部在载荷平面上的变化不大，但其突变值(即外加荷载)仍然保持不变，因
为施加的荷载没有改变。
[0326] 图15描述了单位强度的均匀表面圆盘源作用下，载荷中心的流体位移与激励频率的关系。与半空间情况不同，由于刚性基础对波的反射，在有限厚度的饱和土层中存在共振
现象。随着L的增大，静态流体位移增大，而土层的共振频率降低，这意味着土层弹性变大。
[0327] 当饱和土层的厚度足够大时，流体位移和孔隙流体压力与半空间情况下是吻合的。这表明为简化分析，当土层厚度足够大时，可采用常用方法，即将饱和土层假设为半空
间体。
[0328] 本发明以解析理论分析的方式，将埋置弹性锚板对周围土体的作用视为埋置均匀分布的圆形荷载，包括有效应力(公式4‑6)和孔隙流体压力分量(公式7)，给出了锚板荷载
作用下刚性地基上有限厚度饱和土层中孔隙水压力的计算公式(公式52)。在求解过程中，
用Boer饱和多孔介质理论描述饱和土的动态特性(式1‑3)。为求解饱和土的动力控制方程
(式11‑13)，引入四个标量势(6个标量势和2个辅助标量势。总共六个标量势中，有两对是相关的，非独立，见式19，只要知道了另外四个，那么通过式19就可以得到另外两个，所以只需考虑4个独立的。)，利用Pak(1987)提出的位移势法将饱和土的运动方程解耦为四个具有明
确物理意义的相互独立的运动方程(公式17和23)，接着通过Fourier‑Hankel积分变换，将
这些波动方程转换为常微分方程(公式30)，得到方程的解(公式31‑32)。结合饱和土层的边
界条件和内界面条件(连续性条件)，推导出土层内部任意分布激励源作用下的饱和土层的
动力响应解，可以求得所有场变量的解，并以Hankel变换的反演形式给出。然后，将所得解
与经典的弹性半空间解和有限元计算结果进行比较，验证了所得解的正确性。最后，通过数
值算例分析了饱和土层渗透率和厚度对孔隙水压力的影响。
[0329] 说明书中的各个实施例均采用相关的方式描述，各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处。尤其，对于系统实施
例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述的比较简单，相关之处参见方法实施例的
部分说明即可。
[0330] 以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换、改进等，均包含在本发明的保护范围
内。
