一种考虑正交异性板残余应力效应的组合板梁单元分析法

摘要

本发明公开了一种考虑正交异性板残余应力效应的组合板梁单元分析法，用于分析由桥面顶板与梯形肋焊接而成的正交异性钢桥面板。其中，桥面顶板用平板壳单元分析，而构成梯形肋的各子板件则用板梁单元分析，顶板与梯形肋的焊接残余应力通过残余应力自平衡条件得到，并通过应力‑应变关系得到顶板及梯形肋左、右腹板的初始变形，该组合板梁单元分析方法具有自由度少、计算精度高等优点，因此，特别适用于梯形肋正交异性板的结构分析。

权利要求

1.一种考虑正交异性板残余应力效应的组合板梁单元分析法，其特征在于：包括以下步骤：

S1：分析对象由桥面顶板与梯形肋焊接而成的正交异性钢桥面板，将梯形肋正交异性板离散为组合板梁单元，顶板采用平板壳单元分析，而构成梯形肋的各子板件采用板梁单元分析；

S2：顶板的四个节点为1、2、3、4，顶板的分析由平面应力问题和薄板小挠度弯曲问题叠加，每个节点有5个自由度，包括对应于平面应力问题的线位移自由度u和v，以及对应于薄板小挠度弯曲问题的线位移与转角自由度w、θx和θy，建立组合板梁单元的顶板节点位移列阵：T

δ＝[δ1 δ2 δ3 δ4]    (1)，式中，

S3：对于构成mn段梯形肋的各板梁子单元，其轴向位移在纵向采用一次多项式、竖向位移在纵向采用三次多项式，插值函数分别为：式中， d为mn段梯形肋的长度；

S4：根据顶板与梯形肋之间的变形协调条件，得到梯形肋各节点的位移，结合组合板梁单元横截面尺寸与位移参数以及平面应力单元的位移场，可得到梯形肋节点7、8的纵向位移：

式中，a为梯形肋腹板的上端间距；k为组合板梁单元的顶板宽度；

节点7、8绕y轴的转角为：结合薄板小挠度弯曲的位移场，得到节点7、8的竖向位移：S5：不考虑板梁子单元纵向纤维的挤压，考虑每个截面的转角相同，则m端左、右腹板绕y轴的转角分别与节点8、7绕y轴的转角相同，而底板中心绕y轴的转角在节点5、6之间进行线性插值，即：

S6：求m端的位移模式，m端左、右腹板质心处的纵向位移为：式中，h为梯形肋腹板的高度；

节点5、6的纵向位移为：u5＝u8‑hθlcm    (15)，u6＝u7‑hθrcm    (16)，在节点5、6之间进行线性插值，得到m端底板质心处的纵向位移：m端左、右腹板的竖向位移在质心处的竖向位移表示：wlcm＝w8    (18)，wrcm＝w7    (19)，在节点5、6之间进行线性插值，得到m端底板质心处的竖向位移：S7：根据S6求m端的位移模式方法，求n端的位移模式；

S8：求左腹板和底板的纵向和竖向位移，左腹板板梁子单元质心处的纵向及竖向位移的节点位移参数分别用 表示，则有：

其纵向及竖向位移分别为：式中，A为 与δ的转换矩阵；B为 与δ的转换矩阵；

S9：根据S8求左腹板和底板的纵向和竖向位移的方法，求右腹板和底板的纵向和竖向位移；

S10：根据S4‑S9求得的梯形肋各板梁子单元的位移模式，运用势能变分法得到梯形肋的刚度矩阵：

eT

Π＝Πq+Πl+Πr+Πb‑F δ    (25)，式中：Пq为顶板单元的应变能；Пl、Пr、Пb分别为梯形肋左、右腹板及底板单元的应变eT

能；F 为外力荷载列阵；

梯形肋左、右腹板及底板单元的应变能可分别表示为：式中： EAl、EIyl分别为梯形肋左腹板的刚度矩阵、轴向刚度及竖向弯曲刚度；

EAr、EIyr分别为梯形肋右腹板的刚度矩阵、轴向刚度及竖向弯曲刚度； EAb、EIyb分别为梯形肋底板的刚度矩阵、轴向刚度及竖向弯曲刚度；

S11：假设顶板中沿x方向的残余应力为恒值σpx0，梯形肋的纵向残余应力σsx(z)沿z方向由σpx0渐变至σsx0，由残余应力自相平衡条件得到：根据式(29)，由残余应力σpx0和σsx0可求得g1和g2，g1和g2分别表示两个方向残余应力的分布宽度，

对于顶板，将残余应力σpx0代入平面应变单元的应力矩阵，即可求得顶板的初始变形；

对于梯形肋，结合左、右腹板的刚度矩阵及其残余应力分布，可以求得左、右腹板的初始变形，其中，左腹板的刚度矩阵为 右腹板的刚度矩阵为 残余应力为σsx(z)。

说明书

一种考虑正交异性板残余应力效应的组合板梁单元分析法

技术领域

[0001] 本发明涉及焊接技术领域，具体为一种考虑正交异性板残余应力效应的组合板梁单元分析法。

背景技术

[0002] 交异性钢桥面板在大跨度桥梁中得到广泛的应用，对其力学特性进行准确、深入的分析具有非常重要的理论意义与工程价值。近年来，众多学者将构成正交异性钢桥面板
的加劲肋视为常规矩形截面，或者是按照刚度等效进行分析。事实上，对于正交异性钢桥面
板尤其是梯形肋正交异性钢桥面板而言，其板件数目多、受力复杂，如果简单地将由若干板
件组成的加劲肋按照刚度等效的方法进行研究，势必导致研究结果与实际情况产生一定的
偏差。相对而言，采用有限元分析方法，可以克服这类缺点，能够对正交异性钢桥面板的力
学特性进行准确而有效的定量研究。

[0003] 基于此，本发明设计了一种考虑正交异性板残余应力效应的组合板梁单元分析法，用于分析由桥面顶板与梯形肋焊接而成的正交异性钢桥面板。其中，桥面顶板用平板壳
单元分析，而构成梯形肋的各子板件则用板梁单元分析，顶板与梯形肋的焊接残余应力通
过残余应力自平衡条件得到，并通过应力‑应变关系得到顶板及梯形肋左、右腹板的初始变
形，该组合板梁单元分析方法具有自由度少、计算精度高等优点，因此，特别适用于梯形肋
正交异性板的结构分析。

发明内容

[0004] 本发明的目的在于提供一种考虑正交异性板残余应力效应的组合板梁单元分析法，以解决上述提到的问题。

[0005] 为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种考虑正交异性板残余应力效应的组合板梁单元分析法，包括以下步骤：

[0006] S1：分析对象由桥面顶板与梯形肋焊接而成的正交异性钢桥面板，将梯形肋正交异性板离散为组合板梁单元，顶板采用平板壳单元分析，而构成梯形肋的各子板件采用板
梁单元分析；

[0007] S2：顶板的四个节点为1、2、3、4，顶板的分析由平面应力问题和薄板小挠度弯曲问题叠加，每个节点有5个自由度，包括对应于平面应力问题的线位移自由度u和v，以及对应
于薄板小挠度弯曲问题的线位移与转角自由度w、θx和θy，

[0008] 建立组合板梁单元的顶板节点位移列阵：

[0009] δ＝[δ1 δ2 δ3 δ4]T  (1)，

[0010] 式中， i＝1，2，3，4；

[0011] S3：对于构成mn段梯形肋的各板梁子单元，其轴向位移在纵向采用一次多项式、竖向位移在纵向采用三次多项式，插值函数分别为：

[0012]

[0013]

[0014] 式中， d为mn段梯形肋的长度；

[0015] S4：根据顶板与梯形肋之间的变形协调条件，得到梯形肋各节点的位移，结合组合板梁单元横截面尺寸与位移参数以及平面应力单元的位移场，可得到梯形肋节点7、8的纵
向位移：

[0016]

[0017]

[0018] 节点7、8绕y轴的转角为：

[0019]

[0020]

[0021] 式中，a为梯形肋腹板的上端间距；k为组合板梁单元的顶板宽度；

[0022] 结合薄板小挠度弯曲的位移场，得到节点7、8的竖向位移：

[0023]

[0024]

[0025] S5：不考虑板梁子单元纵向纤维的挤压，考虑每个截面的转角相同，则m端左、右腹板绕y轴的转角分别与节点8、7绕y轴的转角相同，而底板中心绕y轴的转角在节点5、6之间
进行线性插值，即：

[0026]

[0027]

[0028]

[0029] S6：求m端的位移模式，

[0030] m端左、右腹板质心处的纵向位移为：

[0031]

[0032]

[0033] 式中，h为梯形肋腹板的高度；

[0034] 节点5、6的纵向位移为：

[0035] u5＝u8‑hθlcm  (15)，

[0036] u6＝u7‑hθrcm  (16)，

[0037] 在节点5、6之间进行线性插值，得到m端底板质心处的纵向位移：

[0038]

[0039] m端左、右腹板的竖向位移在质心处的竖向位移表示：

[0040] wlcm＝w8  (18)，

[0041] wrcm＝w7  (19)，

[0042] 在节点5、6之间进行线性插值，得到m端底板质心处的竖向位移：

[0043]

[0044] S7：根据S6求m端的位移模式方法，求n端的位移模式；

[0045] S8：求左腹板和底板的纵向和竖向位移，

[0046] 左腹板板梁子单元质心处的纵向及竖向位移的节点位移参数分别用 表示，则有：

[0047]

[0048]

[0049] 其纵向及竖向位移分别为：

[0050]

[0051]

[0052] 式中，A为 与δ的转换矩阵；B为 与δ的转换矩阵；

[0053] S9：根据S8求左腹板和底板的纵向和竖向位移的方法，求右腹板和底板的纵向和竖向位移；

[0054] S10：根据S4‑S9求得的梯形肋各板梁子单元的位移模式，运用势能变分法得到梯形肋的刚度矩阵：

[0055] Π＝Πq+Πl+Πr+Πb‑FeTδ  (25)，

[0056] 式中：Пq为顶板单元的应变能；Пl、Пr、Пb分别为梯形肋左、右腹板及底板单元eT
的应变能；F 为外力荷载列阵；

[0057] 梯形肋左、右腹板及底板单元的应变能可分别表示为：

[0058]

[0059]

[0060]

[0061] 式中： EAl、EIyl分别为梯形肋左腹板的刚度矩阵、轴向刚度及竖向弯曲刚度；EAr、EIyr分别为梯形肋右腹板的刚度矩阵、轴向刚度及竖向弯曲刚度； EAb、EIyb分
别为梯形肋底板的刚度矩阵、轴向刚度及竖向弯曲刚度；

[0062] S11：假设顶板中沿x方向的残余应力为恒值σpx0，梯形肋的纵向残余应力σsx(z)沿z方向由σpx0渐变至σsx0，

[0063] 由残余应力自相平衡条件得到：

[0064]

[0065] 根据式(29)，由残余应力σpx0和σsx0可求得g1和g2，g1和g2分别表示两个方向残余应力的分布宽度，

[0066] 对于顶板，将残余应力σpx0代入平面应变单元的应力矩阵，即可求得顶板的初始变形；

[0067] 对于梯形肋，结合左、右腹板的刚度矩阵及其残余应力分布，可以求得左、右腹板的初始变形，其中，左腹板的刚度矩阵为 右腹板的刚度矩阵为 残余应力为σsx(z)。

[0068] 与现有技术相比，本发明的有益效果是：

[0069] 本发明用于分析桥面顶板与梯形肋的组合板梁单元。其中，桥面顶板用平板壳单元分析，而构成梯形肋的各个子板件则用板梁单元分析。该组合板梁单元具有自由度少、计
算精度高等优点，因此，非常适用于梯形肋加劲板的结构分析。此外，对于桥面铺装，构造了
8节点实体板单元进行铺装层的模拟，并考虑竖向位移的线性变化，分析中考虑铺装层与桥
面板之间完全连续。该实体板单元的引进，不仅减少了单元划分的数量提高了计算效率，同
时亦满足了计算精度的要求。

附图说明

[0070] 为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例描述所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领
域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附
图。

[0071] 图1为本发明梯形肋加劲板结构图；

[0072] 图2为本发明梯形肋加劲板计算示意图；

[0073] 图3为本发明组合板梁单元结构示意图；

[0074] 图4为本组合板梁单元横截面尺寸与位移参数示意图；

[0075] 图5为本发明梯形肋加劲板焊接残余应力分布图。

具体实施方式

[0076] 下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于
本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其它
实施例，都属于本发明保护的范围。

[0077] 本发明以港珠澳大桥江海直达通道的钢箱梁梯形肋正交异性桥面板为工程背景，提出一种考虑正交异性钢桥面板焊接残余应力效应的组合板梁单元分析方法，用于分析由
桥面顶板与梯形肋焊接而成的正交异性钢桥面板。其中，桥面顶板用平板壳单元分析，而构
成梯形肋的各子板件则用板梁单元分析，顶板与梯形肋的焊接残余应力通过残余应力自平
衡条件得到，并通过应力‑应变关系得到顶板及梯形肋左、右腹板的初始变形，该组合板梁
单元分析方法具有自由度少、计算精度高等优点，因此，特别适用于梯形肋正交异性板的结
构分析。

[0078] 港珠澳大桥通航孔江海直达船航道桥采用中央单索面三塔钢箱梁斜拉桥，主跨标准段采用整箱形式，标准节段长15m，共54段，整箱断面为两侧带长悬臂的单箱三室结构，箱
梁的顶板宽38.8m，底宽20.7m，梁高4.5m，悬臂长度5.675m。顶板标准厚度为18mm，顶板加劲
肋采用刚度较大的梯形肋形式，肋厚8mm，标准段肋高300mm，上口宽300mm，下口宽180mm，横
桥向标准间距为600mm，桥面铺装层厚度70mm。桥面板结构如图1所示，相应于图1所示的梯
形肋加劲板材料及几何参数为：ρ＝7850kg/m3、E＝206GPa、μ＝0.3、b1＝0.6m、b2＝0.3m、b3
＝0.18m、hsx＝0.3m、tr＝0.008m、tp＝0.018m。

[0079] 本发明提供一种技术方案：一种考虑正交异性板残余应力效应的组合板梁单元分析法，包括以下步骤：

[0080] S1：分析对象如图1和图2所示，是由桥面顶板与梯形肋焊接而成的正交异性钢桥面板，将图2所示的梯形肋正交异性板离散为图3所示的组合板梁单元。顶板采用平板壳单
元分析，而构成梯形肋的各子板件采用板梁单元分析；

[0081] S2：如图3所示，顶板的四个节点为1、2、3、4，顶板的分析由平面应力问题和薄板小挠度弯曲问题叠加，每个节点有5个自由度，包括对应于平面应力问题的线位移自由度u和
v，以及对应于薄板小挠度弯曲问题的线位移与转角自由度w、θx和θy，

[0082] 建立组合板梁单元的顶板节点位移列阵：

[0083] δ＝[δ1 δ2 δ3 δ4]T  (1)，

[0084] 式中，式中， i＝1，2，3，4；

[0085] 梯形肋的位移模式

[0086] 由于构成梯形肋的各板件共同受力且类似于梁单元的受力特征，因此可将其视为板梁子单元进行分析。同时，梯形肋的主要作用是提高顶板的竖向弯曲刚度，因此文中分析
仅考虑各板梁子单元的竖向及纵向位移。

[0087] S3：如图3所示，对于构成mn段梯形肋的各板梁子单元，其轴向位移在纵向采用一次多项式、竖向位移在纵向采用三次多项式，插值函数分别为：

[0088]

[0089]

[0090] 式中， d为mn段梯形肋的长度；

[0091] S4：根据顶板与梯形肋之间的变形协调条件，得到梯形肋各节点的位移，结合图4所示的组合板梁单元横截面尺寸与位移参数以及平面应力单元的位移场，可得到梯形肋节
点7、8的纵向位移：

[0092]

[0093]

[0094] 式中，a为梯形肋腹板的上端间距；k为组合板梁单元的顶板宽度；

[0095] 节点7、8绕y轴的转角为：

[0096]

[0097]

[0098] 结合薄板小挠度弯曲的位移场，得到节点7、8的竖向位移：

[0099]

[0100]

[0101]

[0102] S5：不考虑板梁子单元纵向纤维的挤压，考虑每个截面的转角相同，则m端左、右腹板绕y轴的转角分别与节点8、7绕y轴的转角相同，而底板中心绕y轴的转角在节点5、6之间
进行线性插值，即：

[0103]

[0104]

[0105]

[0106] S6：求m端的位移模式，

[0107] m端左、右腹板质心处的纵向位移为：

[0108]

[0109]

[0110] 式中，h为梯形肋腹板的高度；

[0111] 节点5、6的纵向位移为：

[0112] u5＝u8‑hθlcm  (15)，

[0113] u6＝u7‑hθrcm  (16)，

[0114] 在节点5、6之间进行线性插值，得到m端底板质心处的纵向位移：

[0115]

[0116] m端左、右腹板的竖向位移在质心处的竖向位移表示：

[0117] wlcm＝w8  (18)，

[0118] wrcm＝w7  (19)，

[0119] 在节点5、6之间进行线性插值，得到m端底板质心处的竖向位移：

[0120]

[0121] S7：根据S6求m端的位移模式方法，求n端的位移模式；

[0122] S8：求左腹板和底板的纵向和竖向位移，

[0123] 左腹板板梁子单元质心处的纵向及竖向位移的节点位移参数分别用 表示，则有：

[0124]

[0125]

[0126] 其纵向及竖向位移分别为：

[0127]

[0128]

[0129] 式中，A为 与δ的转换矩阵；B为 与δ的转换矩阵；

[0130] S9：根据S8求左腹板和底板的纵向和竖向位移的方法，求右腹板和底板的纵向和竖向位移；

[0131] S10：根据S4‑S9求得的梯形肋各板梁子单元的位移模式，运用势能变分法得到梯形肋的刚度矩阵：

[0132] Π＝Πq+Πl+Πr+Πb‑FeTδ  (25)，

[0133] 式中：Пq为顶板单元的应变能；Пl、Пr、Пb分别为梯形肋左、右腹板及底板单元eT
的应变能；F 为外力荷载列阵；

[0134] 梯形肋左、右腹板及底板单元的应变能可分别表示为：

[0135]

[0136]

[0137]

[0138] 式中： EAl、EIyl分别为梯形肋左腹板的刚度矩阵、轴向刚度及竖向弯曲刚度；EAr、EIyr分别为梯形肋右腹板的刚度矩阵、轴向刚度及竖向弯曲刚度； EAb、EIyb分
别为梯形肋底板的刚度矩阵、轴向刚度及竖向弯曲刚度。

[0139] 正交异性钢桥面板的实际焊接残余应力分布十分复杂，但其横向分布影响较小，实际工程中主要考虑纵向残余应力的影响。对此，结构分析中可加以简化，近似地按图5分
布，

[0140] S11：如图5所示，假设顶板中沿x方向的残余应力为恒值σpx0，梯形肋的纵向残余应力σsx(z)沿z方向由σpx0渐变至σsx0，

[0141] 由残余应力自相平衡条件得到：

[0142]

[0143] 根据式(29)，由残余应力σpx0和σsx0可求得g1和g2，g1和g2分别表示两个方向残余应力的分布宽度，

[0144] 对于顶板，将残余应力σpx0代入平面应变单元的应力矩阵，即可求得顶板的初始变形；其中，平面应变单元的应力矩阵是一个通用的矩阵，可以从各种《有限单元法》的书籍中
查阅。

[0145] 对于梯形肋，结合左、右腹板的刚度矩阵及其残余应力分布，可以求得左、右腹板的初始变形，其中，左腹板的刚度矩阵为 右腹板的刚度矩阵为 残余应力为σsx(z)。

[0146] 在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“示例”、“具体示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施
例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。
而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合
适的方式结合。

[0147] 以上公开的本发明优选实施例只是用于帮助阐述本发明。优选实施例并没有详尽叙述所有的细节，也不限制该发明仅为所述的具体实施方式。显然，根据本说明书的内容，
可作很多的修改和变化。本说明书选取并具体描述这些实施例，是为了更好地解释本发明
的原理和实际应用，从而使所属技术领域技术人员能很好地理解和利用本发明。本发明仅
受权利要求书及其全部范围和等效物的限制。