一种面向增材制造的磁-结构多物理场拓扑优化设计方法

摘要

本申请公开了一种面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法，包括：步骤10，结合待打印物体的单元打印密度，基于结构场和磁场材料插值模型和有限元分析方法，分析获得结构位移矢量和磁场矢量，据此建立目标函数，并结合体积约束条件，建立磁‑结构多物理场拓扑优化模型；步骤20，根据磁‑结构多物理拓扑优化模型，结合目标函数和约束对单元设计密度灵敏度，通过MMA算法对单元设计密度空间进行迭代更新，当判定磁‑结构多物理场拓扑优化模型中目标函数的相对误差小于预设阈值时，根据更新后的单元设计密度空间对待打印物体进行打印。通过本申请中的技术方案，在兼顾磁场和结构场性能的同时，实现了结构的自支撑打印，避免了支撑材料的使用。

权利要求

1.一种面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法，其特征在于，所述方法包括：

步骤10，将待打印物体的单元打印密度作为插值，计算整体位移向量和整体磁矢量势向量，并根据所述整体位移向量和所述整体磁矢量势向量，生成约束条件，建立磁‑结构多物理场拓扑优化模型，其中，所述单元打印密度由单元设计密度空间确定，所述磁‑结构多物理场拓扑优化模型中包括目标函数和所述约束条件，灵敏度为所述目标函数对所述单元设计密度空间的灵敏度，所述灵敏度的计算公式为：式中，ρsd,j‑1和ρsd,j分别表示支撑域的第j‑1和第j行的单元设计密度向量，c为所述目标函数，ρj为所述单元设计密度空间中第j个单元设计密度向量， 为所述单元打印密度空间中第j个单元打印密度向量，ns为支撑域中单元的个数，P为第一参数，ε为第二参数，Q为第三参数；

步骤20，根据所述灵敏度和所述磁‑结构多物理场拓扑优化模型，对所述单元设计密度空间进行迭代更新，当判定所述磁‑结构多物理场拓扑优化模型中目标函数的相对误差小于预设阈值时，根据更新后的所述单元设计密度空间对所述待打印物体进行打印。

2.如权利要求1所述的面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法，其特征在于，所述步骤10，其特征在于，具体包括：步骤11，将所述待打印物体的设计域进行有限元网格划分，并对有限元网格的单元设计密度空间进行过滤，生成单元打印密度空间，所述单元打印密度空间为向量矩阵，所述单元打印密度空间包括多个所述单元打印密度；

步骤12，根据所述单元打印密度空间中的所述单元打印密度，对每一个有限元网格的弹性模量和磁导率进行插值，获得单元弹性模量和单元磁导率；

步骤13，根据所述单元弹性模量和所述单元磁导率，分别对结构场初始单元刚度矩阵、静磁场初始刚度矩阵进行修正，并根据修正后的结构场单元刚度矩阵、静磁场刚度矩阵，计算整体位移向量和整体磁矢量势向量；

步骤14，根据所述整体位移向量和所述整体磁矢量势向量，计算多物理场问题优化目标函数，并结合体积约束条件，建立所述磁‑结构多物理场拓扑优化模型。

3.如权利要求2所述的面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法，其特征在于，所述单元设计密度空间和所述单元打印密度空间为向量矩阵。

4.如权利要求2或3所述的面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法，其特征在于，所述单元打印密度空间 的计算公式为：式中，ρs表示单元支撑域，P为第一参数，ε为第二参数， 为单元支撑域ρs中的第k个单元的单元打印密度，Q为第三参数，ρ为单元设计密度空间，ρe为单元设计密度。

5.如权利要求2所述的面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法，其特征在于，所述单元弹性模量 和所述单元磁导率 的计算公式为：其中， 为过滤后得到的单元打印密度，E0为材料的弹性模量，常数Emin为一常数，r是材料的相对磁导率，P_s是结构场惩罚参数，P_m是磁场惩罚参数。

说明书

一种面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法

技术领域

[0001] 本申请涉及工程结构与分析的技术领域，具体而言，涉及一种面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法。

背景技术

[0002] 近年来，伴随着装备自动化、智能化、轻量化的发展，对以新能源汽车电机和电磁执行器等为代表的部件的集成设计要求越来越高，这些部件既要满足磁场的性能要求，同
时还要满足刚度和强度等机械性能要求。通过开展磁‑结构多物理场的拓扑优化设计，使得
在兼顾轻量化下有效提升磁场和结构场性能。

[0003] 增材制造技术的发展，对磁‑结构多物理场拓扑设计构型，提供了制造保证。尽管增材制造相对于减材或等材制造而言，大大提高了设计和制造自由度。

[0004] 然而仍存在一些制造性约束，如当拓扑构型超过最大悬挂约束时，需要添加支撑材料才能进行打印加工，导致增加了不必要的材料成本和后处理成本。

[0005] 文献“Garibaldi M,Gerada C,Ashcroft I A.Free‑Form Design of Electrical Machine Rotor Cores for Production Using Additive Manufacturing.Journal of 
Mechanical Design.2019,141(7):1‑13”介绍了一种面向磁‑机械场耦合的拓扑优化方法，
并使用这种方法对电机转子进行设计。该文章中拓扑优化设计的目标函数是机械场柔度最
小和转子磁场能量最小，约束条件是体积分数，最终得到的转子结构大大提升了转矩性能
的同时减小了转子质量。但在考虑多物理场时没有考虑增材制造性约束，存在增材制造过
程中需要用到支撑材料的问题，增加了材料成本和后处理成本。

[0006] 文献“Langelaar M.An additive manufacturing filter for topology optimization of print‑ready designs.Structural and Multidisciplinary 
Optimization,2017,55(3):871–83.”介绍了一种嵌入到SIMP方法中的增材制造过滤器，能
够通过映射函数将蓝图密度转换为打印密度，最终得到的构型不违反45°的最大悬挂约束，
所以能够自支撑打印。该工作主要考虑面向增材制造的机械场性能的拓扑优化设计，但其
灵敏度优化运算较为复杂，对计算机硬件性能要求较高。

发明内容

[0007] 本申请的目的在于：提高复杂装备磁‑结构多物理场拓扑优化构型的增材制造性，在拓扑优化模型构建中充分考虑无支撑等增材制造约束。将增材制造约束嵌入磁‑结构拓
扑优化设计模型中，以实现结构的自支撑打印，提高结构的性能，减轻结构的质量，减少结
构的制造成本。可以在兼顾轻量化的同时，有效提升磁场和机械场性能。

[0008] 本申请的技术方案是：提供了一种面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法，该方法包括：步骤10，将待打印物体的单元打印密度作为插值，计算整体位移向量
和整体磁矢量势向量，并根据整体位移向量和整体磁矢量势向量，生成约束条件，建立磁‑
结构多物理场拓扑优化模型，其中，单元打印密度由单元设计密度空间确定；步骤20，根据
灵敏度和磁‑结构多物理场拓扑优化模型，对单元设计密度空间进行迭代更新，当判定磁‑
结构多物理场拓扑优化模型中目标函数的相对误差小于预设阈值时，根据更新后的单元设
计密度空间对待打印物体进行打印。

[0009] 上述任一项技术方案中，进一步地，步骤10，具体包括：步骤11，将待打印物体的设计域进行有限元网格划分，并对有限元网格的单元设计密度空间进行过滤，生成单元打印
密度空间，单元打印密度空间为向量矩阵，单元打印密度空间包括多个单元打印密度；步骤
12，根据单元打印密度空间中的单元打印密度，对每一个有限元网格的弹性模量和磁导率
进行插值，获得单元弹性模量和单元磁导率；步骤13，根据单元弹性模量和单元磁导率，分
别对结构场初始单元刚度矩阵、静磁场初始刚度矩阵进行修正，并根据修正后的结构场单
元刚度矩阵、静磁场刚度矩阵，计算整体位移向量和整体磁矢量势向量；步骤14，根据整体
位移向量和整体磁矢量势向量，计算多物理场问题优化目标函数，并结合体积约束条件，建
立磁‑结构多物理场拓扑优化模型。

[0010] 上述任一项技术方案中，进一步地，单元设计密度空间和单元打印密度空间为向量矩阵。

[0011] 上述任一项技术方案中，进一步地，单元打印密度空间 的计算公式为：

[0012]

[0013]

[0014] 式中，ρs表示单元支撑域，P为第一参数，ε为第二参数， 为单元支撑域ρs中的第k个单元的单元打印密度，Q为第三参数。

[0015] 上述任一项技术方案中，进一步地，单元弹性模量 和单元磁导率 的计算公式为：

[0016]

[0017]

[0018] 其中， 为过滤后得到的单元打印密度，E0为材料的弹性模量，常数Emin为一常数，vr是材料的相对磁导率，P_s是结构场惩罚参数，P_m是磁场惩罚参数。

[0019] 上述任一项技术方案中，进一步地，磁‑结构多物理场拓扑优化模型中包括目标函数和约束条件，灵敏度为目标函数对单元设计密度空间的灵敏度，灵敏度的计算公式为：

[0020]

[0021]

[0022]

[0023] 式中，ρsd,j‑1和ρsd,j分别表示支撑域的第j‑1和第j行的单元设计密度向量，c为目标函数，ρj为单元设计密度空间中第j个单元设计密度向量， 为单元打印密度空间中第j
个单元打印密度向量，ns为支撑域中单元的个数，P为第一参数，ε为第二参数，Q为第三参
数。

[0024] 本申请的有益效果是：

[0025] 本申请中的技术方案，通过磁‑结构多物理场拓扑优化技术，能够在实现轻量化的同时，大幅度提升磁场和机械场的性能，并通过引入增材制造约束成功的将多物理场拓扑
优化和增材制造结合起来，使得利用磁‑结构多物理场拓扑优化得到的结构，能够不借助支
撑材料打印出待打印物体，减少了材料成本和后处理成本。

[0026] 本申请提出的优化设计方法，稳定性较高、收敛速度较快，拓扑优化中出现的中间密度单元较少，能够很好地推广到面向增材制造其他多物理场拓扑优化设计应用。

附图说明

[0027] 本申请的上述和/或附加方面的优点在结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

[0028] 图1是根据本申请的一个实施例的面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法的示意流程图；

[0029] 图2是根据本申请的一个实施例的结构场‑磁场作用下的待打印物体的示意图；

[0030] 图3是根据本申请的一个实施例的密度空间的示意图；

[0031] 图4是根据本申请的一个实施例的单物理场作用和多物理场作用下的拓扑优化结果示意图；

[0032] 图5是根据本申请的一个实施例的不同打印方向下打印结果的示意图。

具体实施方式

[0033] 为了能够更清楚地理解本申请的上述目的、特征和优点，下面结合附图和具体实施方式对本申请进行进一步的详细描述。需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请的实施
例及实施例中的特征可以相互结合。

[0034] 在下面的描述中，阐述了很多具体细节以便于充分理解本申请，但是，本申请还可以采用其他不同于在此描述的其他方式来实施，因此，本申请的保护范围并不受下面公开
的具体实施例的限制。

[0035] 如图1和图2所示，本实施例提供了一种面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法，首先对设计域划分有限元网格，并设置初始单元设计密度空间，结合增材制造
过滤器的映射，得到单元打印密度空间，在单元打印密度空间的基础上对弹性模量和磁导
率进行插值，并利用有限元方法求得磁场机和机械场的响应，在此基础上构建多物理场拓
扑优化模型，并采用加权法构造目标函数，最后用优化准则法求解磁‑结构多物理场拓扑优
化模型，得到最终材料分布，以实现磁‑结构多物理场拓扑优化设计。

[0036] 该方法包括：

[0037] 步骤10，将待打印物体的单元打印密度作为插值，计算整体位移向量和整体磁矢量势向量，并根据所述整体位移向量和所述整体磁矢量势向量，生成约束条件，建立磁‑结
构多物理场拓扑优化模型，其中，所述单元打印密度由单元设计密度空间确定。

[0038] 在本实施例中，步骤10具体包括：

[0039] 步骤11，将待打印物体的设计域进行有限元网格划分，并对有限元网格的单元设计密度空间ρ进行过滤，生成单元打印密度空间 其中，单元设计密度空间ρ与单元打印密
度空间 为向量矩阵，包括多个元素，即ρ＝[ρe], ρe为单元设计密度空间ρ中的任
一单元的密度，称为单元设计密度， 为单元打印密度空间 中的任一单元的密度，称为
单元打印密度；

[0040] 具体的，如图3所示，设定待打印物体(执行器)的衔铁部分为设计域，它既受到了磁场的作用，又受到了结构场的作用，该设计域用于确定磁‑结构场作用的边界条件。对由
上至下对设计域进行有限元网格划分，划分为30×50的网格，网格类型为四边形单元，将每
一个有限元网格作为一个单元。

[0041] 需要说明的是，本实施例中的结构场可以为机械场。

[0042] 本实施例中，给定单元设计密度空间ρ中每一个有限元网格对应的单元设计密度ρe的初始值，设为0.6。设定打印方向为由下至上，对单元设计密度空间ρ进行过滤，得到单
元打印密度空间 本实施例中对的过滤方法并不限定，如可以采用增材制造过滤器进行
过滤。

[0043] 需要说明的是，本实施例对单元设计密度空间ρ的过滤是以层为单位，从最底层开始逐层过滤到最顶层，所以，单元打印密度空间 中最底层单元的密度即为单元设计密度
空间ρ中最底层单元的密度，单元打印密度空间 具体的计算公式如下：

[0044]

[0045]

[0046] 式中，ρs表示单元支撑域，即支撑该单元(有限元网格)所需下一层单元的所在区‑3
域，第一参数P为控制平滑性参数，第二参数ε为控制近似性参数，这里可以分别取60和10 ，
ns为支撑域中单元的个数，这里取值为3， 为单元支撑域ρs中的第k个单元的单元打印密
度，第三参数Q的计算方式如下：

[0047] ρs0＝0.5

[0048] 通过对第三参数Q的计算，能够提高单元支撑域计算的准确性，进而保证后续获取到的单元弹性模量 和单元磁导率 的可靠性，有助于提高磁‑结构多物理场拓
扑优化模型的精度，保证了待打印物体单元打印密度空间计算的准确性，最终实现了能够
不借助支撑材料打印出待打印物体，减少了材料成本和后处理成本。

[0049] 步骤12，根据所述单元打印密度空间 中的单元打印密度 对每一个有限元网格(单元)的弹性模量E和磁导率ν进行插值，获得单元弹性模量 和单元磁导率

[0050] 本实施例中，基于SIMP框架搭建拓扑优化算法，对材料的弹性模量和磁导率进行材料插值，得到弹性模量和磁导率对于单元打印密度空间 的函数，具体插值后的单元弹
性模量 和单元磁导率 的计算公式如下：

[0051]

[0052]

[0053] 其中， 为过滤后得到的单元打印密度，E0为材料的弹性模量，常数Emin为一较小‑3
弹性模量值，用于避免结构场整体刚度矩阵奇异，这里取值为10 ；vr是材料的相对磁导率，
P_s是结构场惩罚参数，P_m是磁场惩罚参数。

[0054] 步骤13，根据所述单元弹性模量 和所述单元磁导率 分别对结构场初始单元刚度矩阵、静磁场初始刚度矩阵进行修正，并根据修正后的结构场单元刚度矩阵、
静磁场刚度矩阵，计算整体位移向量和整体磁矢量势向量。

[0055] 根据插值后的单元弹性模量 和单元磁导率 修正结构场初始单元刚度矩阵和静磁场初始单元刚度矩阵，对应的计算公式为：

[0056]

[0057]

[0058] 其中， 为结构场初始单元刚度矩阵， 为静磁场初始刚度矩阵，两者可以由有限元方法中的能量原理推导而来。

[0059] 需要说明的是，在进行有限元网格划分之后，对每个有限元网格的节点，即有限元网格的顶点，进行编号，具体编号方式本实施例并不限定。

[0060] 根据有限元网格的节点编号，分别对修正后的结构场单元刚度矩阵ke,s、静磁场刚度矩阵ke,m进行组装，获得对应的整体刚度矩阵，通过求解结构场和静磁场控制方程，可获
得结构场响应—整体位移向量 和静磁场响应—整体磁矢量势向量 对应的计算
公式为：

[0061]

[0062]

[0063] 式中， 为组装后的结构场整体刚度矩阵， 是整体位移向量，F是整体力载荷向量， 为组装后的静磁场整体刚度矩阵， 是整体磁矢量势向量，P是整
体激励向量；

[0064] 步骤14，根据所述整体位移向量和所述整体磁矢量势向量，计算多物理场问题优化目标函数，并结合体积约束条件，建立磁‑结构多物理场拓扑优化模型，所述磁‑结构多物
理场拓扑优化模型中包括目标函数和所述约束条件。

[0065] 本实施例中，目标函数min c是机械柔度最小和磁柔度最小的归一化函数，约束条件至少包括物理场控制方程、构件体积约束和单元设计密度约束，其中，物理场控制方程包
括结构场和静磁场控制方程，由所述整体位移向量和所述整体磁矢量势向量决定，磁‑结构
多物理场拓扑优化模型的计算公式为：

[0066]

[0067]

[0068]

[0069]

[0070] 0<ρmin≤ρe≤1

[0071] 式中，cmeh为结构场目标函数值，cmag为磁场目标函数值，ue是单元位移向量，ae是单元磁矢量势向量，两者可以根据有限元原理通过有限元网格的节点编号分别从整体位移向
量 和整体磁矢量势向量 中提取，ρe是单元设计密度，ke,s为结构场单元刚度矩阵，
ke,m静磁场刚度矩阵，

[0072] Cref_mech和Cref_mag是归一化系数，N为设计域内单元个数，本实施例中为1500；ve和V0分别为单元体积和许用体积；ρmin为单元设计密度下限，通常为一较小数值，以防止刚度矩
阵奇异；w1和w2为权重系数，可以根据实际工程问题进行调节。

[0073] 本实例中示出一种权重系数调整的方法，即根据结构场目标函数值cmech、磁场目标函数值cmag,计算权重系数，对应的计算公式为：

[0074]

[0075]

[0076] 本实施例还示出一种灵敏度的计算方法。

[0077] 具体的，拓扑优化过程中灵敏度至关重要，它是单元设计密度空间更新的依据，因为增材制造过滤器的存在，所以目标函数对初始密度的灵敏度，需要通过链式法则求的：

[0078]

[0079] 式中c是目标函数， 是过滤后的单元密度，ρe是设计单元密度。式中， 需要借助伴随方法求得：

[0080]

[0081]

[0082]

[0083] 式中的 项目计算较为复杂，因为单元打印密度空间中每行元素都是其下层支撑域内单元设计密度空间所有单元的函数，设铺层的顶层为第1层，最底层为第n层，计算单
元打印密度空间中第i行对单元设计密度空间中第j行的导数：

[0084]

[0085] 式中，δij是克罗内克符号，i＝j,δij＝1或i≠j,δij＝0。单元打印密度空间第i行是其单元设计密度空间中下层所有行单元设计密度的函数，因此上式只在i≤j的时候成立，
当i>j时，

[0086] 本实施例中，目标函数对单元设计密度空间的灵敏度计算公式为：

[0087]

[0088] 式中未知项 和 的计算公式为：

[0089]

[0090]

[0091] 式中，ρsd,j‑1和ρsd,j分别表示支撑域的第j‑1和第j行的单元设计密度向量。

[0092] 步骤20，根据灵敏度和磁‑结构多物理场拓扑优化模型，通过MMA算法，对单元设计密度空间进行迭代更新，当判定磁‑结构多物理场拓扑优化模型中目标函数的相对误差小
于预设阈值时，根据更新后的单元设计密度空间对待打印物体进行打印。

[0093] 具体的，根据灵敏度和磁‑结构多物理场拓扑优化模型，通过优化准则法，对单元设计密度空间ρ进行迭代更新，其中，灵敏度为目标函数对单元设计密度空间的灵敏度，可
以通过上述计算公式进行计算确定。

[0094] 若目标函数的相对误差δ小于预设阈值，可设为0.1％，则认为单元设计密度空间ρ收敛，停止迭代，根据更新后的单元设计密度空间ρ，对所述待打印物体进行打印；如果没有
达到要求，即目标函数的相对误差δ大于或等于0.1％，则令ρk＝ρk+1并返回到步骤11，进行
下一轮单元设计密度空间ρ的求解，直到达到收敛条件，得到最终的单元设计密度空间。其
中，目标函数的相对误差δ的计算公式为：

[0095]

[0096] 式中，n为迭代次数。

[0097] 图4分别给出了仅考虑结构场(机械场)获得的拓扑构型(w1＝1,w2＝0)、仅考虑磁场作用获得的拓扑构型(w1＝0,w2＝1)、以及两场同时作用(w1≠0,w2≠1)获得的拓扑构型。
由获得的拓扑构型来看，最终结果都可满足45°的最大悬挂角约束，因此满足增材制造约
束。图5给出了不同打印方向下得到的磁‑结构多物理场拓扑优化构型。

[0098] 本发明最后输出的构型是单元打印密度空间中的单元呈现的优化构型，由于嵌入了增材制造过滤器的缘故，所有违反最大悬挂角度—45°的部分都被过滤掉，从而保证结构
能够实现自支撑打印。

[0099] 以上结合附图详细说明了本申请的技术方案，本申请提出了一种面向增材制造的磁‑结构多物理场拓扑优化设计方法，包括：步骤10，将待打印物体的单元打印密度作为插
值，计算整体位移向量和整体磁矢量势向量，并根据整体位移向量和整体磁矢量势向量，生
成约束条件，建立磁‑结构多物理场拓扑优化模型；步骤20，根据灵敏度和磁‑结构多物理场
拓扑优化模型，对单元设计密度空间进行迭代更新，当判定磁‑结构多物理场拓扑优化模型
中目标函数的相对误差小于预设阈值时，根据更新后的单元设计密度空间对待打印物体进
行打印。通过本申请中的技术方案，实现了结构的自支撑打印，避免了支撑材料的使用。

[0100] 本申请中的步骤可根据实际需求进行顺序调整、合并和删减。

[0101] 本申请装置中的单元可根据实际需求进行合并、划分和删减。

[0102] 尽管参考附图详地公开了本申请，但应理解的是，这些描述仅仅是示例性的，并非用来限制本申请的应用。本申请的保护范围由附加权利要求限定，并可包括在不脱离本申
请保护范围和精神的情况下针对发明所作的各种变型、改型及等效方案。