时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法及装置

摘要

本发明涉及自动控制领域，提出一种时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法及装置，包括步骤：针对时滞多柔性摆臂系统构建分数阶非线性模型；通过有向拓扑图构建时滞多柔性摆臂系统的通信网络；引入通信网络中各柔性摆臂的各阶跟踪误差；通过分数阶非线性模型和跟踪误差，计算获得自适应控制器；通过自适应控制器控制时滞多柔性摆臂系统中各柔性摆臂的运动。本发明通过构建分数阶非线性模型，能够综合考虑模型的精确度以及复杂度，可以更好地描述时滞多柔性摆臂系统；提出了一种自适应控制方法，处理时滞多柔性摆臂系统中的不确定性因素；引入误差障碍函数与径向基神经网络，补偿系统中的时滞因素，实现多个柔性摆臂对参考信号的精确跟踪。

权利要求

1.一种时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法，其特征在于，包括步骤：针对时滞多柔性摆臂系统构建分数阶非线性模型；

所述分数阶非线性模型的表达式具体为：

yi＝xi，1

式中，i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号，N为大于1的正整数；j表示系统状态编号，j＝

1,...,n‑1， 表示对应柔性摆臂的状态量，n为大于1的正整数； 以及di,k(t)分别表示时滞多柔性摆臂系统中的未知非线性函数、未知时变时滞函数以及未知外部扰动；ui表示对应柔性摆臂的控制输入，yi＝xi,1表示对应柔性摆臂的输出，α∈(0,1)表示分数阶多智能体系统的阶数；

所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的表达式具体为：

式中，i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号；k＝2,…,n表示阶层数，n为大于2的正整数；l＝

1,…,N，N为大于1的正整数；ail表示子柔性摆臂之间的通讯权值；bi表示领导者柔性摆臂的通讯权值；si,1表示对应柔性摆臂的一阶跟踪误差，si,k表示对应柔性摆臂的其余各阶的跟踪误差；xi,k为状态变量；νi,k‑1为待设计的虚拟控制量，同时也是分数阶滤波器的输入信号；

表示分数阶滤波器的输出；zi,k‑1表示分数阶滤波器误差；yr表示时滞多柔性摆臂系统的参考信号，即领导者柔性摆臂的输出信号；

通过分数阶滤波器简化所述虚拟控制量的表达式复杂度，所述分数阶滤波器的表达式具体为：式中，k为阶层数，k＝2,…,n，n为大于2的正整数；hi,k‑1＝hi(k＝2)以及hi,k‑1＝1(k＝

3,…,n)为一组新的参数设计，ζi,k‑1为待设计的正常数， 为足够小的任意正常数， 为某一未知常数χi,k‑1的估计值；

通过有向拓扑图构建所述时滞多柔性摆臂系统的通信网络；

引入所述通信网络中各柔性摆臂的各阶跟踪误差；

通过所述分数阶非线性模型和所述跟踪误差，计算获得自适应控制器；

通过所述自适应控制器控制所述时滞多柔性摆臂系统中各柔性摆臂的运动。

2.根据权利要求1所述的时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法，其特征在于，通过神经网络算法提高所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的稳定性，具体步骤为：通过设计障碍函数限制所述柔性摆臂的各阶跟踪误差中的时滞项，具体公式为：|si,k|

构建所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的未知函数，所述未知函数的具体表达式为：通过径向基神经网络对所述未知函数进行逼近，获得最优逼近结果，所述最优逼近结果具体为： 其中，θi,k为径向基神经网络的最优输入，φi,k为高斯函数，∈i,k为逼近误差。

3.根据权利要求1所述的时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法，其特征在于，通过所述分数阶非线性模型和所述跟踪误差，计算获得自适应控制器，具体为：对第i号柔性摆臂的一阶Lyapunov函数Vi,1进行α阶求导，其中i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号，N为大于1的正整数；

向所述第i号柔性摆臂的一阶跟踪误差si,1和所述分数阶非线性模型中引入二阶状态变量xi,2，结合公式si,2＝xi,2‑zi,1‑νi,1进行等式变换，使得所述一阶Lyapunov函数Vi,1满足α条件DVi,1≤‑Li,1Vi,1+hi,1(s,z)+Hi,1，其中Li,1和Hi,1为正常数；

对所述第i号柔性摆臂的j阶Lyapunov函数Vi,j进行α阶求导，其中j＝2,…,n‑1，n为大于2的正整数；

将j+1阶状态变量xi,j+1视为已知的控制量并设计合适的j阶Lyapunov函数Vi,j与分数阶α自适应率和虚拟控制量，使得所述j阶Vi,jDVi,j≤‑Li,jVi,j‑hi,j‑1(s,z)+hi,j(s,z)+Hi,j；

对所述第i号柔性摆臂的n阶Lyapunov函数Vi,n进行α阶求导；

通过设计合适的分数阶自适应率以及控制输入，使得所述n阶Lyapunov函数Vi,n满足条α件DVi,j≤‑Li,jVi,j‑hi,j‑1(s,z)+hi,j(s,z)+Hi,j；

获得所述第i号柔性摆臂的闭环Lyapunov函数α

对所述闭环Lyapunov函数进行α阶求导，获得DVi≤‑LiV+Hi；

计算所述第i号柔性摆臂的控制输入ui；

重复上述步骤N次，获得所有柔性摆臂的控制输入，即自适应控制器。

4.根据权利要求3所述的时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法，其特征在于，所述分数阶自适应率的表达式具体为：式中，k＝1,…,n，j＝2,…,n，mi,1,…,mi,n外以及ni,1,…,ni,n均为待设计的正常数参* *数；pi,1＝hi，pi,2＝…＝pi,n＝1； 和 分别是θi,k，Δi,k和χi,j三组未知常数或向量的估计值； 和 为对应的估计误差。

5.根据权利要求4所述的时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法，其特征在于，所述计算所述第i号柔性摆臂的控制输入ui的具体公式为：式中，βi,1以及βi,k(k＝2,…,n‑1)为待设计的正常数参数。

6.一种时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制装置，其特征在于，包括以下模块：分数阶非线性模型构建模块，用于针对时滞多柔性摆臂系统构建分数阶非线性模型；

所述分数阶非线性模型的表达式具体为：

yi＝xi，1

式中，i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号，N为大于1的正整数；j表示系统状态编号，j＝

1,...,n‑1， 表示对应柔性摆臂的状态量，n为大于1的正整数； 以及di,k(t)分别表示时滞多柔性摆臂系统中的未知非线性函数、未知时变时滞函数以及未知外部扰动；ui表示对应柔性摆臂的控制输入，yi＝xi,1表示对应柔性摆臂的输出，α∈(0,1)表示分数阶多智能体系统的阶数；

所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的表达式具体为：

式中，i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号；k＝2,…,n表示阶层数，n为大于2的正整数；l＝

1,…,N，N为大于1的正整数；ail表示子柔性摆臂之间的通讯权值；bi表示领导者柔性摆臂的通讯权值；si,1表示对应柔性摆臂的一阶跟踪误差，si,k表示对应柔性摆臂的其余各阶的跟踪误差；xi,k为状态变量；νi,k‑1为待设计的虚拟控制量，同时也是分数阶滤波器的输入信号；

表示分数阶滤波器的输出；zi,k‑1表示分数阶滤波器误差；yr表示时滞多柔性摆臂系统的参考信号，即领导者柔性摆臂的输出信号；

通过分数阶滤波器简化所述虚拟控制量的表达式复杂度，所述分数阶滤波器的表达式具体为：式中，k为阶层数，k＝2,…,n，n为大于2的正整数；hi,k‑1＝hi(k＝2)以及hi,k‑1＝1(k＝

3,…,n)为一组新的参数设计，ζi,k‑1为待设计的正常数， 为足够小的任意正常数， 为某一未知常数χi,k‑1的估计值；

通信网络生成模块，用于通过有向拓扑图构建所述时滞多柔性摆臂系统的通信网络；

跟踪误差生成模块，用于引入所述通信网络中各柔性摆臂的各阶跟踪误差；

自适应控制器生成模块，用于通过所述分数阶非线性模型和所述跟踪误差，计算获得自适应控制器；

控制模块，用于通过所述自适应控制器控制所述时滞多柔性摆臂系统中各柔性摆臂的运动。

说明书

时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法及装置

技术领域

[0001] 本发明涉及自动控制领域，尤其涉及一种时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法及装置。

背景技术

[0002] 集成电路芯片是现代工业的基础，围绕集成电路芯片设计、制造、测试、封装形成的微电子和半导体制造技术是集成电路产业的核心，是我国工业发展的重要基石之一。随着科学技术的发展，电子制造业正朝着高效、高精方向发展，对芯片测试、分拣、封装的设备的效率以及精度的要求也越来越高。而柔性摆臂是电子制造装备中极为关键的功能部件，主要承担芯片贴片、元件分拣等任务。本发明将以多柔性摆臂为研究对象，重点研究带有时滞的多柔性摆臂系统的自适应控制问题。

[0003] 柔性摆臂具有运动频率较高、轨迹重复度高、系统结构柔性以及负载非恒定等特征，此外，多个柔性摆臂成组相互协作时也会使得系统具有多智能体系统的一些相关特征。图1为一个简单的双柔性摆臂系统，摆臂之间通过通信网络进行信息交换，上位机确定各摆臂控制输入再经由控制网络到达控制器，然后经过执行器(电机)实现对柔性摆臂的控制。
柔性摆臂的控制问题是一个极具理论与现实意义的热门话题。早在本世纪初，就已经有学者陆续展开对这一问题的研究，一直到持续至今。近十年，柔性摆臂的控制问题受到的关注逐年增长，目前相关领域已经有了一些杰出的研究成果。例如，上海交通大学的蔡国平等人于2011年发表的文章，以柔性摆臂作为研究对象，建立整数阶线性系统模型，采用时延正反馈法研究了一类柔性摆臂的输出控制问题。Claudia F.等人在2015年针对一种复合材料的二自由度柔性摆臂，建立整数阶模型，通过减少摆臂震动实现对该柔性摆臂的位置控制。刘金坤等人基于偏微分方程建立柔性摆臂的动力学模型，进而设计了一种柔性摆臂观测器，该观测器主要能够通过摆臂边界位置的实际测量值来估计摆臂运动过程中的振动，而基于该观测器的控制器可以有效地实现闭环系统的渐进稳定。

[0004] 以上控制方法主要是基于整数阶常微分方程(Ordinary  differential equations，ODE)模型或整数阶PDE(Partial differential equations，PDE)模型。但是随着摆臂结构越来越复杂，摆臂本身以及外界环境给系统带来了更多的不确定性，使用整数阶ODE建模时会产生较大的误差，由此设计的控制器的控制效果也会减弱。而整数阶PDE虽然可以建立较为精确的模型，然而由于其无穷维的特性，使得所设计出的控制器常常也是无穷维的，这就会导致控制器结构过于复杂，难以实现。

[0005] 上述内容仅用于辅助理解本发明的技术方案，并不代表承认上述内容是现有技术。

发明内容

[0006] 本发明的主要目的在于，解决现有技术中，控制器的控制效果不够，控制器结构过于复杂的技术问题。

[0007] 为实现上述目的，本发明提供一种时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法，包括步骤：

[0008] 针对时滞多柔性摆臂系统构建分数阶非线性模型；

[0009] 通过有向拓扑图构建所述时滞多柔性摆臂系统的通信网络；

[0010] 引入所述通信网络中各柔性摆臂的各阶跟踪误差；

[0011] 通过所述分数阶非线性模型和所述跟踪误差，计算获得自适应控制器；

[0012] 通过所述自适应控制器控制所述时滞多柔性摆臂系统中各柔性摆臂的运动。

[0013] 优选地，所述分数阶非线性模型的表达式具体为：

[0014]

[0015]

[0016] yi＝xi，1

[0017] 式中，i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号，N为大于1的正整数；j表示系统状态编号，j＝1,...,n‑1， 表示对应柔性摆臂的状态量，n为大于1的正整数； 以及di,k(t)分别表示时滞多柔性摆臂系统中的未知非线
性函数、未知时变时滞函数以及未知外部扰动；ui表示对应柔性摆臂的控制输入，yi＝xi,1表示对应柔性摆臂的输出，α∈(0,1)表示分数阶多智能体系统的阶数。

[0018] 优选地，所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的表达式具体为：

[0019]

[0020] 式中，i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号；k＝2,…,n表示阶层数，n为大于2的正整数；l＝1,…,N，N为大于1的正整数；ail表示子柔性摆臂之间的通讯权值；bi表示领导者柔性摆臂的通讯权值；si,1表示对应柔性摆臂的一阶跟踪误差，si,k表示对应柔性摆臂的其余各阶的跟踪误差；xi,k为状态变量；νi,k‑1为待设计的虚拟控制量，同时也是分数阶滤波器的输入信号； 表示分数阶滤波器的输出；zi,k‑1表示分数阶滤波器误差；yr表示时滞多柔性摆臂系统的参考信号，即领导者柔性摆臂的输出信号。

[0021] 优选地，通过分数阶滤波器简化所述虚拟控制量的表达式复杂度，所述分数阶滤波器的表达式具体为：

[0022]

[0023] 式中，k为阶层数，k＝2,…,n，n为大于2的正整数；hi,k‑1＝hi(k＝2)以及hi,k‑1＝1(k＝3,…,n)为一组新的参数设计，ζi,k‑1为待设计的正常数， 为足够小的任意正常数，为某一未知常数χi,k‑1的估计值。

[0024] 优选地，通过神经网络算法提高所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的稳定性，具体步骤为：

[0025] 通过设计障碍函数限制所述柔性摆臂的各阶跟踪误差中的时滞项，具体公式为：|si,k|

[0026] 构建所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的未知函数，所述未知函数的具体表达式为：

[0027] 通过径向基神经网络对所述未知函数进行逼近，获得最优逼近结果，所述最优逼近结果具体为： 其中，θi,k为径向基神经网络的最优输入，φi,k为高斯函数，∈i,k为逼近误差。

[0028] 优选地，通过所述分数阶非线性模型和所述跟踪误差，计算得自适应控制器，具体为：

[0029] 对第i号柔性摆臂的一阶Lyapunov函数Vi,1进行α阶求导，其中i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号，N为大于1的正整数；

[0030] 向所述第i号柔性摆臂的一阶跟踪误差si,1和所述分数阶非线性模型中引入二阶状态量xi,2，结合公式si,2＝xi,2‑zi,1‑νi,1进行等式变换，使得所述一阶Lyapunov函数Vi,1满α足条件DVi,1≤‑Li,1Vi,1+hi,1(s,z)+Hi,1，其中Li,1和Hi,1为正常数；

[0031] 对所述第i号柔性摆臂的j阶Lyapunov函数Vi,j进行α阶求导，其中j＝2,…,n‑1，n为大于2的正整数；

[0032] 将j+1阶状态变量xi,j+1视为已知的控制量并设计合适的j阶Lyapunov函数Vi,j与分α数阶自适应率以及虚拟控制量，使得所述j阶Lyapunov函数Vi,j满足条件D Vi,j≤‑Li,jVi,j‑hi,j‑1(s,z)+hi,j(s,z)+Hi,j；

[0033] 对所述第i号柔性摆臂的n阶Lyapunov函数Vi,n进行α阶求导；

[0034] 通过设计合适的分数阶自适应率以及控制输入，使得所述n阶Lyapunov函数Vi,n满α足条件DVi,j≤‑Li,jVi,j‑hi,j‑1(s,z)+hi,j(s,z)+Hi,j；

[0035] 获得所述第i号柔性摆臂的闭环Lyapunov函数

[0036] 对所述闭环Lyapunov函数进行α阶求导，获得DαVi≤‑LiV+Hi；

[0037] 计算所述第i号柔性摆臂的控制输入ui；

[0038] 重复上述步骤N次，获得所有柔性摆臂的控制输入，即自适应控制器。

[0039] 优选地，所述分数阶自适应率的表达式具体为：

[0040]

[0041] 式中，k＝1,…,n，j＝2,…,n，mi,1,…,mi,n外以及ni,1,…,ni,n均为待设计的正常数* *参数；pi,1＝hi，pi,2＝…＝pi,n＝1； 和 分别是θi,k，Δi,k和χi,j三组未知常数或向量的估计值； 和 为对应的估计误差。

[0042] 优选地，所述计算所述第i号柔性摆臂的控制输入ui的具体公式为：

[0043]

[0044] 式中，βi,1以及βi,k(k＝2,…,n‑1)为待设计的正常数参数。

[0045] 一种时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制装置，包括以下模块：

[0046] 分数阶非线性模型构建模块，用于针对时滞多柔性摆臂系统构建分数阶非线性模型；

[0047] 通信网络生成模块，用于通过有向拓扑图构建所述时滞多柔性摆臂系统的通信网络；

[0048] 跟踪误差生成模块，用于引入所述通信网络中各柔性摆臂的各阶跟踪误差；

[0049] 自适应控制器生成模块，用于通过所述分数阶非线性模型和所述跟踪误差，计算获得自适应控制器；

[0050] 控制模块，用于通过所述自适应控制器控制所述时滞多柔性摆臂系统中各柔性摆臂的运动。

[0051] 本发明具有以下有益效果：

[0052] 1、本发明通过构建分数阶非线性模型，能够综合考虑模型的精确度以及复杂度，可以更好地描述时滞多柔性摆臂系统；

[0053] 2、基于分数阶非线性模型，提出了一种新颖的分数阶分布式自适应控制方法，设计分数阶自适应律，处理时滞多柔性摆臂系统中的不确定性因素；

[0054] 3、引入误差障碍函数与径向基神经网络，补偿系统中的时滞因素，从而实现多个柔性摆臂对参考信号的精确跟踪。

附图说明

[0055] 图1为时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法流程图；

[0056] 图2为仿真一四个子柔性摆臂的控制输入；

[0057] 图3为仿真一四个子柔性摆臂的输出信号；

[0058] 图4为仿真二四个子柔性摆臂的输出信号；

[0059] 图5为仿真二四个子柔性摆臂的跟踪误差；

[0060] 图6为仿真二四个子柔性摆臂的控制输入；

[0061] 图7为时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制装置结构图；

[0062] 本发明目的的实现、功能特点及优点将结合实施例，参照附图做进一步说明。

具体实施方式

[0063] 应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

[0064] 本发明提供一种时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法，用于解决由N个时滞柔性摆臂组成的多柔性摆臂系统的自适应一致性控制问题；

[0065] 参考图1，所述时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法，具体包括步骤：

[0066] S1：针对时滞多柔性摆臂系统构建分数阶非线性模型；

[0067] S2：通过有向拓扑图构建所述时滞多柔性摆臂系统的通信网络；

[0068] S3：引入所述通信网络中各柔性摆臂的各阶跟踪误差；

[0069] S4：通过所述分数阶非线性模型和所述跟踪误差，计算获得自适应控制器；

[0070] S5：通过所述自适应控制器控制所述时滞多柔性摆臂系统中各柔性摆臂的运动。

[0071] 进一步地，在步骤S1中，需要针对时滞多柔性摆臂系统建立严格状态反馈的分数阶非线性模型，在严格状态反馈的条件下，时滞多柔性摆臂系统内的状态量可测并会被用来设计自适应控制器；所述分数阶非线性模型的表达式具体为：

[0072]

[0073]

[0074] yi＝xi，1   (1)

[0075] 式中，i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号，N为大于1的正整数；j表示系统状态编号，j＝1,...,n‑1， 表示对应柔性摆臂的状态量，n为大于1的正整数； 以及di,k(t)分别表示时滞多柔性摆臂系统中的未知非线性
函数、未知时变时滞函数以及未知外部扰动；ui表示对应柔性摆臂的控制输入，yi＝xi,1表示对应柔性摆臂的输出，α∈(0,1)表示分数阶多智能体系统的阶数。

[0076] 对于连续函数h(t)的α分数阶微分定义如下：

[0077]

[0078] 可以看出，针对时滞多柔性摆臂系统建立了一个分数阶非线性模型，系统建模更加精确，而且系统阶次有限，在一定程度上降低了自适应控制器设计难度，也能有效提高控制器控制效果；然后，考虑了未知非线性函数和时滞因素，有效模拟了柔性摆臂的非线性特性以及时滞特点；最后，考虑有界的外部扰动来模拟环境因素对系统的影响。

[0079] 进一步地，在步骤S2中，使用有向拓扑图来构建时滞多柔性摆臂系统的通信网络的通讯结构；针对含领导者柔性摆臂在内的N+1个柔性摆臂，有向通信图定义为其中， 是通信网络的节点集，代表了所有参与通信的柔性摆臂的集合；
被称为柔性摆臂的边界；而一个满足(m，l)∈ε的任意集合(m,l)表示信息可以由柔性摆臂l单向传输到柔性摆臂m，但无法反向传输，此时，柔性摆臂l就处于柔性摆臂m的“邻居”范围内；由此可见，柔性摆臂m的邻居定义为 而柔性摆臂m也仅能
T
接收到其邻居柔性摆臂的信息；参数aml代表为子柔性摆臂之间的通讯权值，b＝[b1,…,bN]代表从领导者柔性摆臂到子柔性摆臂的权值矩阵，此外， 本发明提出的是
时滞多柔性摆臂系统的输出跟踪问题，各个柔性摆臂之间以及柔性摆臂与参考信号之间的通讯存在“互斥”现象，即当某一柔性摆臂能够直接接收到参考信号时，便不再接收参考其他柔性摆臂的输出信息，只有当其无法直接感知到参考信号时，才会通过其他柔性摆臂的输出信号进行状态调整；由此可得，在上述通信图的基础上，当 时，bm＝1，aml＝0；当时，若 则aml＝1，否则aml＝0。此外，为简化分布式自适应控制器的设计，引入变量hm＝bm+dm，可见，hm≠0。

[0080] 进一步地，在步骤S3中，所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的表达式具体为：

[0081]

[0082] 式中，i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号；k＝2,…,n表示阶层数，n为大于2的正整数；l＝1,…,N，N为大于1的正整数；ail表示子柔性摆臂之间的通讯权值；bi表示领导者柔性摆臂的通讯权值；si,1表示对应柔性摆臂的一阶跟踪误差，si,k表示对应柔性摆臂的其余各阶的跟踪误差；xi,k为状态变量；νi,k‑1为待设计的虚拟控制量，同时也是分数阶滤波器的输入信号； 表示分数阶滤波器的输出；zi,k‑1表示分数阶滤波器误差；yr表示时滞多柔性摆臂系统的参考信号，即领导者柔性摆臂的输出信号。

[0083] 进一步地，由于分数阶微积分会极大地增加函数的复杂度，而使用反步法进行自适应控制器设计，会对某些函数进行多次微分，从而出现“复杂度爆炸”的问题，大幅增加了自适应控制器的设计难度；为解决这一问题，本发明通过分数阶滤波器简化所述虚拟控制量的表达式复杂度，所述分数阶滤波器的表达式具体为：

[0084]

[0085] 式中，k为阶层数，k＝2,…,n，n为大于2的正整数；hi,k‑1＝hi(k＝2)以及hi,k‑1＝1(k＝3,…,n)为一组新的参数设计，ζi,k‑1为待设计的正常数， 为足够小的任意正常数，为某一未知常数χi,k‑1的估计值；

[0086] 对于χi,k‑1的介绍如下：由式(3)和(4)可得

[0087]

[0088] 式中，γi,k‑1(·)＝Dανi,k‑1为虚拟控制量的分数阶微分结果，是一个未知的有界函数。因此，该函数存在上界，为未知的正常数χi,k‑1，满足|γi,k‑1(·)|≤χi,k‑1。同时，为处理系统模型中存在的未知分线性函数以及未知时变时滞函数，引入径向基神经网络函数来逼近未知函数，因此需要设置误差上界以确保函数有界，误差上界设置为|si,k|≤ci,k(k＝1,…,n)；

[0089] 而径向基神经网络函数的表达式为：

[0090]

[0091] 其中，θ是权重向量，φ(ω)一般选择高斯函数，ω是未知函数和径向基神经网络的输入向量。

[0092] 进一步地，通过神经网络算法提高所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的稳定性，具体步骤为：

[0093] 通过设计障碍函数限制所述柔性摆臂的各阶跟踪误差中的时滞项，具体公式为：

[0094] |si,k|

[0095] 构建所述柔性摆臂的各阶跟踪误差的未知函数，所述未知函数的具体表达式为：

[0096]

[0097] 通过径向基神经网络对所述未知函数进行逼近，获得最优逼近结果，所述最优逼近结果具体为： 其中，θi,k为径向基神经网络的最优输入，φi,k为高斯函数，∈i,k为逼近误差；由此可以在自适应控制器设计过程中使用神经网络对未知非线性函数进行逼近处理；值得注意的是系统中受到限制的未知非线性函数和时滞因素组成了新的未知非线性函数，通过径向基神经网络对其进行近似估计，大大简化了计算量。

[0098] 然而，径向基神经网络在逼近未知函数时会产生逼近误差，而系统本身会受到外部扰动的影响，为解决这类未知项对系统的影响，首先定义未知变量Δ＝∈+d，又因为逼近*误差以及外部扰动均有界，因此未知变量Δ也有界，满足|Δ|≤Δ。此外，将采用以下辅助不等式来设计自实行控制器：

[0099]

[0100] 式中，S为未知常数， 同样为一个任意小的正常数。

[0101] 进一步地，在步骤S4中，通过所述分数阶非线性模型和所述跟踪误差，计算获得自适应控制器；本发明的控制目标为实现子柔性摆臂输出对参考信号的跟踪，即实现si,1收敛在原点0的某一任意小的区间内；在每一步的设计中，首先如式(3)引入误差变量si,k(i＝1,…,N,k＝1,…,n)，同时使用模型(1)中的状态变量xi,1,xi,2,…,xi,n来设计相应的虚拟控制量νi,1,νi,2,…,νi,n‑1，并在最后一步在设计控制输入ui，结合构建的分数阶滤波器、用于逼近的径向基函数以及用于误差补偿的辅助不等式，构建合适的自适应控制率，实现自适应控制器的设计；具体步骤为：

[0102] 对第i号柔性摆臂的一阶Lyapunov函数Vi,1进行α阶求导，其中i＝1,…,N表示柔性摆臂的编号，N为大于1的正整数；

[0103] 向所述第i号柔性摆臂的一阶跟踪误差si,1和所述分数阶非线性模型中引入二阶状态变量xi,2，结合公式si,2＝xi,2‑zi,1‑νi,1进行等式变换，使得所述一阶Lyapunov函数Vi,1α满足条件DVi,1≤‑Li,1Vi,1+hi,1(s,z)+Hi,1，其中Li,1和Hi,1为正常数；

[0104] 对所述第i号柔性摆臂的j阶Lyapunov函数Vi,j进行α阶求导，其中j＝2,…,n‑1，n为大于2的正整数；

[0105] 将j+1阶状态变量xi,j+1视为已知的控制量并设计合适的j阶Lyapunov函数Vi,j与分α数阶自适应率和虚拟控制量，使所述j阶Vi,j满足DVi,j≤‑Li,jVi,j‑hi,j‑1(s,z)+hi,j(s,z)+Hi,j；

[0106] 对所述第i号柔性摆臂的n阶Lyapunov函数Vi,n进行α阶求导；

[0107] 通过设计合适的分数阶自适应率以及控制输入，使得所述第n阶Lyapunov函数Vi,nα满足条件DVi,j≤‑Li,jVi,j‑hi,j‑1(s,z)+hi,j(s,z)+Hi,j；

[0108] 其中，各步骤对Lyapunov函数的选择如下：

[0109]

[0110]

[0111] 获得所述第i号柔性摆臂的闭环Lyapunov函数

[0112] 对所述闭环Lyapunov函数进行α阶求导，获得DαVi≤‑LiV+Hi；由此可得，时滞多柔性摆臂系统内所有信号有界，确保了系统的稳定性，并且跟踪误差si,1收敛在0的任意小的区间内，实现任意子柔性摆臂输出对参考信号的跟踪；

[0113] 计算所述第i号柔性摆臂的控制输入ui；

[0114] 重复上述步骤N次，获得所有柔性摆臂的控制输入，即自适应控制器。

[0115] 进一步地，所述分数阶自适应率的表达式具体为：

[0116]

[0117] 式中，k＝1,…,n，j＝2,…,n，mi,1,…,mi,n外以及ni,1,…,ni,n均为待设计的正常数* *参数；pi,1＝hi，pi,2＝…＝pi,n＝1； 和 分别是θi,k，Δi,k和χi,j三组未知常数或向量的估计值； 和 为对应的估计误差。

[0118] 进一步地，所述计算所述第i号柔性摆臂的控制输入ui的具体公式为：

[0119]

[0120] 式中，βi,1以及βi,k(k＝2,…,n‑1)为待设计的正常数参数。进一步地，为了验证本发明提出的时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制方法的有效性和优越性，设计如下的时滞多柔性摆臂系统模型进行仿真验证；首先，该时滞多柔性摆臂系统的参考信号为yr，其次由4个柔性摆臂构成，即N＝4，建立分数阶非线性模型，时滞多柔性摆臂系统维数为n＝2，阶次为α＝0.85；非线性函数、时滞函数以及外部扰动选择如下：

[0121]

[0122] 此外，柔性摆臂之间的通讯权值为b1＝1，a21＝a31＝a41＝a43＝1，其余均为0。状态T T T初值设置为xi＝[0.1,‑0.1]，而误差上限设置为c＝[ci,1,ci,2]＝[1,1]；

[0123] 本实施例进行了两种不同的参考信号进行了仿真实验，首先，仿真一选择参考信号为yr＝0，得到仿真结果；图2展示的是仿真一四个子柔性摆臂的控制输入ui；由图3可以看出，仿真一四个子柔性摆臂的输出信号yi很好的收敛在原点0的足够小的范围内，跟踪了参考信号，可以明显看出，所提出的自适应控制器取得了很好的控制效果；随后，仿真二中，参考信号选择为yr＝sin(t)；由图4可以看出，仿真二四个子柔性摆臂的输出信号很好的跟踪了参考信号；图5展示了仿真二四个子柔性摆臂的跟踪误差，由图5可以看出，跟踪误差在5％以内，表明设计的自适应控制器具有良好的控制效果；在图6展示了仿真二四个子柔性摆臂的控制输入。

[0124] 进一步地，参考图7，本发明提出一种时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制装置，其特征在于，包括以下模块：

[0125] 分数阶非线性模型构建模块10，用于针对时滞多柔性摆臂系统构建分数阶非线性模型；

[0126] 通信网络生成模块20，用于通过有向拓扑图构建所述时滞多柔性摆臂系统的通信网络；

[0127] 跟踪误差生成模块30，用于引入所述通信网络中各柔性摆臂的各阶跟踪误差；

[0128] 自适应控制器生成模块40，用于通过所述分数阶非线性模型和所述跟踪误差，计算获得自适应控制器；

[0129] 控制模块50，用于通过所述自适应控制器控制所述时滞多柔性摆臂系统中各柔性摆臂的运动。

[0130] 本发明所述的时滞多柔性摆臂系统分数阶自适应控制装置的其他实施例或具体实现方式可参照上述各方法实施例，此处不再赘述。

[0131] 需要说明的是，在本文中，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者系统不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者系统所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括该要素的过程、方法、物品或者系统中还存在另外的相同要素。

[0132] 上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。在列举了若干装置的单元权利要求中，这些装置中的若干个可以是通过同一个硬件项来具体体现。词语第一、第二、以及第三等的使用不表示任何顺序，可将这些词语解释为标识。

[0133] 以上仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构或等效流程变换，或直接或间接运用在其他相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。