本发明属于信息与通讯科学领域，具体涉及一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法及其应用。该方法用于实现分数阶复值忆阻神经网络系统的投影同步，包括如下步骤：步骤S1：设计同步控制器，同步控制器的设计方法包括步骤：步骤S11：定义系统的同步误差；步骤S12：将同步误差分成实部误差和虚部误差；步骤S13：根据分离后的实部误差和虚部误差；把同步控制器通过两部分进行设计：实部自适应控制器和虚部自适应控制器。步骤S2：将实部自适应控制器引入到表征响应网络的实部部分的模型中；将虚部自适应控制器引入到表征响应网络的虚部部分的模型中。本发明解决现有技术下具有时变延迟的改进型分数阶复值忆阻神经网络难以实现投影同步的问题。
一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法及其应用
技术领域
[0001] 本发明属于信息与通讯科学领域，具体涉及一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法，一种分数阶复值忆阻神经网络系统的构建方法，一种分数阶复值忆阻神经网络
的投影同步装置，一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步终端，以及一种分数阶复值忆
阻神经网络的投影同步方法的应用。
背景技术
[0002] 忆阻器是第四种电气元件，忆阻器的电气特性包括：紧密的磁滞回线缩小到原点；激励频率与磁滞旁瓣面积呈负相关；当激励频率趋于无穷大时，紧密的磁滞回线将缩小为
单值函数。由于这些特殊的属性，忆阻器逐渐应用于模拟人脑的突触；这使MNN(忆阻神经网
络)的动态行为更加真实和丰富。目前，学者们致力于MNN的理论研究或MNN的电路实现并已
获得多项成果。分数阶微积分被认为是积分微积分到任意阶数的扩展；由于具有无限记忆
和多个自由度的独特特征，它被广泛应用于生物学，地震分析和控制系统。将分数演算与
MNN结合起来，可以用于分析复杂而丰富的动态行为，例如网络的稳定性，分叉性和同步性。
[0003] 常规在MNN稳定性分析局限于实值域内，除了实值域之外，复值域也是分析MNN稳定性的重要维度之一。复值域分析具有更复杂的属性和更丰富的分析方法，这使得MNN的研
究兴趣从传统的实值神经网络转移到了复杂值神经网络。另外，它还可以用于解决对称检
测和异或排除的问题，而实值方法无法解决它。因此，将复数值概念引入FMNN(分数阶忆阻
神经网络)中非常重要。由于神经元之间存在不同的通信延迟；因此，我们在研究FMNN时也
应该考虑模型中的时间延迟；例如离散延迟，时变延迟等等。在这一方面，由于FCVMNNs(分
数阶复值忆阻神经网络)的研究更接近于实际情况，因此其已成为一个新的研究热点。
[0004] 同步作为动态系统中的一种基本现象，由于其在图像加密，安全通信，密码系统等各个方面的实际应用，现已成为长期以来的研究重点。关于神经网络的同步方案的研究多
种多样，例如Mittag‑Leffler同步，指数同步，完全同步，自适应同步，准同步等。与上述同
步相比，投影同步通过调整比例因子在复杂同步和反同步之间起着特殊的作用，也具有更
广泛的应用前景。但是对于具有时变延迟特性的分数阶复值忆阻神经网络的投影同步问
题，目前还没有很好的技术方案来实现。
[0005] 此外，在实际应用中，有限时间同步比无限时间同步更为流行和合理。由于更好的抗干扰能力和更快的收敛速度，有限时间同步引起了学者和研究者的越来越多的关注。一
些技术方案通过选择不同的反馈控制器解决了有限时间投影同步的问题，这些控制器的分
析通常基于整数阶域。此外，还有学者通过一个简单的线性控制器研究了有限时间内的投
影同步。但是，对于具有时变时延的FCVMNNs的有限时间投影同步的问题，目前也并未得到
解决，这仍然是一个具有挑战性的问题。
[0006] 此外，实现分数阶复值忆阻神经网络在有限时间投影同步，对于提升保密通信的复杂性和加密效果将产生明显效果。
发明内容
[0007] 为了解决现有技术下具有时变延迟的改进型分数阶复值忆阻神经网络难以在有限时间内实现投影同步的问题，本发明提供一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步及其
应用。
[0008] 本发明采用以下技术方案实现：
[0009] 一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法，该方法用于实现分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络和响应网络在有限时间内达到投影同步，该投影同步方法包括如
下步骤：
[0010] 步骤S1：设计同步控制器ui(t)，同步控制器ui(t)的设计方法包括步骤：
[0011] 步骤S11：定义系统的同步误差ei(t)，表征同步误差ei(t)的函数为：
[0012] ei(t)＝yi(t)‑νxi(t)
[0013] 其中，xi(t)表示驱动网络的状态变量；yi(t)表示响应网络的状态变量；ν表示投影因子，反映的是驱动网络与响应网络之间的同步比例关系。
[0014] 步骤S12：将同步误差ei(t)分成实部误差 和虚部误差
[0015] 表征实部误差 的函数为：
[0016]
[0017] 其中， 表示驱动网络的状态变量的实部； 表示响应网络的状态变量的实部。
[0018] 表征虚部误差 的函数为：
[0019]
[0020] 其中， 表示驱动网络的状态变量的虚部； 表示响应网络的状态变量的虚部。
[0021] 步骤S13：根据分离后的实部误差 和虚部误差 把同步控制器ui(t)通过两部分进行设计：实部自适应控制器 和虚部自适应控制器
[0022] 实部自适应控制器 为：
[0023]
[0024] 其中，ξi是跟第i个神经元相关的反馈系数；ki(t)表示实部自适应控制器的反馈增益，ki(t)通过 得到，η表示比例常值。
[0025] 虚部自适应控制器 为：
[0026]
[0027] 其中，mi(t)表示虚部自适应控制器的反馈增益，mi(t)通过 得到，γ表示比例常值。
[0028] 步骤S2：将实部自适应控制器引入到表征响应网络的实部部分的模型中；将虚部自适应控制器引入到表征响应网络的虚部部分的模型中。
[0029] 进一步的，分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络的模型为：
[0030]
[0031] 其中， 表示对t求α次分数阶导数的标记，α表示分数阶的阶次，0＜α＜1；xi(t)表示驱动网络的状态变量；τ(t)表示时变延迟函数，能够在t∈[0,T]上可导并且满足
是一个常数；fj(xj(t))和gj(xj(t‑τ(t)))表示复值的激活函数；Ii表示外部输
入；aij(xj(t))和bij(xj(t))表示复值的忆阻连接权重；di(xi(t))表示神经元的自反馈函数，
其状态与忆阻连接权重aij(xj(t))和bij(xj(t))有关，并且满足：
[0032]
[0033] 其中，Ri表示电阻；Wfij和Wgij分别表示有关于忆阻器的忆阻参数。
[0034] 进一步的，分数阶复值忆阻神经网络系统的响应网络的模型为：
[0035]
[0036] 其中， 表示t求α次分数阶导数的标记；α表示分数阶的阶次，0＜α＜1；yi(t)表示响应网络的状态变量；τ(t)表示时变延迟函数，能够在t∈[0,T]上可导并且满足
是一个常数；fj(yj(t))和gj(yj(t‑τ(t)))表示复值的激活函数；Ii表示外部输入；ui(t)表
示有待设计的同步控制器；aij(yj(t))和bij(yj(t))表示复值的忆阻连接权重；di(yi(t))表
示神经元的自反馈函数，其状态与忆阻连接权重aij(yj(t))和bij(yj(t))有关，并且满足：
[0037]
[0038] 其中，Ri表示电阻；Wfij和Wgij分别表示有关于忆阻器的忆阻参数。
[0039] 进一步的，复值的忆阻连接权重aij(yj(t))和bij(yj(t))满足如下条件：
[0040]
[0041]
[0042]
[0043] 其中，Ci表示电容，signij表示符号函数。
[0044] 进一步的，步骤S2的实部自适应控制器和虚部自适应控制器的引入过程中，分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络被采用分离方法分为实部和虚部两个部分；分数阶复
值忆阻神经网络系统的响应网络也被采用分离方法分为实部和虚部两个部分。
[0045] 本发明还包括一种分数阶复值忆阻神经网络系统的构建方法，该分数阶复值忆阻神经网络系统包括驱动网络和响应网络，该构建方法在构建分数阶复值忆阻神经网络系统
时，为了实现驱动网络和响应网络在有限时间内达到投影同步，包括如下步骤：
[0046] 步骤S1：设计同步控制器ui(t)，同步控制器ui(t)的设计方法包括步骤：
[0047] 步骤S11：定义系统的同步误差ei(t)，表征同步误差ei(t)的函数为：
[0048] ei(t)＝yi(t)‑νxi(t)
[0049] 其中，xi(t)表示驱动网络的状态变量；yi(t)表示响应网络的状态变量；ν表示投影因子，反映的是驱动网络与响应网络之间的同步比例关系。
[0050] 步骤S12：将同步误差ei(t)分成实部误差 和虚部误差
[0051] 表征实部误差 的函数为：
[0052]
[0053] 其中， 表示驱动网络的状态变量的实部； 表示响应网络的状态变量的实部。
[0054] 表征虚部误差 的函数为：
[0055]
[0056] 其中， 表示所述驱动网络的状态变量的虚部； 表示所述响应网络的状态变量的虚部。
[0057] 步骤S13：根据分离后的实部误差 和虚部误差 把同步控制器ui(t)通过两部分进行设计：实部自适应控制器 和虚部自适应控制器
[0058] 实部自适应控制器 为：
[0059]
[0060] 其中，ξi是跟第i个神经元相关的反馈系数；ki(t)表示实部自适应控制器的反馈增益，ki(t)通过 得到，η表示比例常值。
[0061] 虚部自适应控制器 为：
[0062]
[0063] 其中，mi(t)表示虚部自适应控制器的反馈增益，mi(t)通过 得到，γ表示比例常值；
[0064] 步骤S2：将实部自适应控制器引入到表征响应网络的模型的实部部分中；将虚部自适应控制器引入到表征响应网络的模型的虚部部分中。
[0065] 进一步的，同步控制器ui(t)以实部自适应控制器 和虚部自适应控制器 两个部分的形式，分别引入到分离后的响应网络的实部部分的模型中和虚部部分的模型中。
[0066] 进一步的，对于构建的分数阶复值忆阻神经网络系统，系统的投影同步时间t的范围通过如下公式计算：
[0067]
[0068] 其中，α表示分数阶的阶次；ξ0表示ξ集合中取最小的数；Γ表示伽马函数的标记；V1(0)表示 的初值； 表示实部误差 的初值； 表示虚部误差
的初值。
[0069] 本发明还包括一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步装置，该装置用于实现分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络和响应网络在有限时间内达到投影同步，该投影同
步装置包括：同步误差定义模块、同步误差分离模块、同步控制器、投影同步时间计算模块
以及修正模块。
[0070] 其中，同步误差定义模块用于定义分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络和响应网络间的同步误差ei(t)；表征同步误差ei(t)的函数为：
[0071] ei(t)＝yi(t)‑νxi(t)
[0072] 其中，xi(t)表示驱动网络的状态变量；yi(t)表示响应网络的状态变量；ν表示投影因子，反映的是驱动网络与所述响应网络之间的同步比例关系。
[0073] 同步误差分离模块用于将同步误差定义模块定义的同步误差ei(t)分成实部误差和虚部误差
[0074] 表征实部误差 的函数为：
[0075]
[0076] 其中， 表示驱动网络的状态变量的实部； 表示响应网络的状态变量的实部。
[0077] 表征虚部误差 的函数为：
[0078]
[0079] 其中， 表示驱动网络的状态变量的虚部； 表示响应网络的状态变量的虚部。
[0080] 同步控制器包括实部自适应控制器和虚部自适应控制器；实部自适应控制器和虚部自适应控制器分别根据分离后的实部误差 和虚部误差 设计。
[0081] 实部自适应控制器 为：
[0082]
[0083] 其中，ξi表示跟第i个神经元相关的反馈系数；ki(t)表示实部自适应控制器的反馈增益，ki(t)通过 得到，η表示比例常值。
[0084] 虚部自适应控制器 为：
[0085]
[0086] 其中，mi(t)表示虚部自适应控制器的反馈增益，mi(t)通过 得到，γ表示比例常值。
[0087] 修正模块，其用于将实部自适应控制器和虚部自适应控制器分别引入到表征响应网络的实部部分的模型和虚部部分的模型中
[0088] 投影同步时间计算模块用于对分数阶复值忆阻神经网络系统达到投影同步的时间进行计算，系统的投影同步时间t的范围通过如下公式计算：
[0089]
[0090] 其中，α表示分数阶的阶次；ξ0表示ξ集合中取最小的数，Γ表示伽马函数的标记；V1(0)表示 的初值； 表示实部误差 的初值； 表示虚部误差
的初值。
[0091] 本发明还包括一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步终端，该终端包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，处理器执行所述程序
时实现如前述的分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法的步骤。
[0092] 本发明还包括一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法的应用，采用如前述的分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法，可以实现分数阶复值忆阻神经网络系统的驱
动网络和响应网络在有限时间内达到投影同步；应用达到投影同步状态的分数阶复值忆阻
神经网络系统中的驱动网络和响应网络可以实现保密通信。
[0093] 在一个具有信号发送端、信号接收端和信道的通信系统中，应用分数阶复值忆阻神经网络系统实现保密通信的方法如下：
[0094] (1)信号发送端通过分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络产生加密信号；并将包含有用信息的待发送的明文信号与加密信号进行加密运算得到密文信号。
[0095] (2)信号发送端通过信号发送密文信号，信号接收端通过信道接收密文信号。
[0096] (3)信号接收端通过分数阶复值忆阻神经网络系统的响应网络产生解密信号；并将密文信号与解密信号进行解密运算得到包含有用信息的明文信号。
[0097] 其中，加密信号和解密信号为完全同步的混沌信号；解密运算为加密运算的逆运算。
[0098] 本发明提供的技术方案，具有如下有益效果：
[0099] 1、为了解决具有时变延迟特性的分数阶复值忆阻神经网络的投影同步问题，本发明将改进的分数阶复值忆阻神经网络转换为两个等效的实值系统，然后针对实值系统分别
设计相应的实部自适应控制器和虚部自适应控制器；利用这两个自适应控制器作为同步控
制器，分别对分离后的系统的驱动网络和响应网络进行处理，从而实现了分数阶复值忆阻
神经网络系统的投影同步。本发明的技术方案可以更方便、系统地分析和考虑的复值系统
的稳定性，并改善分数阶复值忆阻神经网络实现投影同步的现有标准。
[0100] 2、本发明的技术方案还考虑到有限时间同步在抗干扰能力和收敛速度方面的优越性，因此在同步控制器的设计之初就将投影同步时间控制纳入到研究目标中。最终得到
的同步控制器能够在有限时间实现系统达到投影同步状态，同时，系统的投影同步时间还
可以通过同步控制器中的相关参数进行计算。
[0101] 3、本发明在分数阶复值忆阻神经网络模型的选择上，根据忆阻器电路的特性，特别引入了一个更复杂的网络模型。该模型与传统的具有状态相关参数不匹配和时变时延的
简化参数模型相比，结果更准确，也更符合实际需求；这也使得本发明的投影同步方法和投
影同步装置具有更强的实用性。尤其是在保密通信领域，本发明的方法解决了具有时变时
延的分数阶复值忆阻神经网络的有限时间投影同步问题之后，可以将该神经网络应用于在
保密通信系统中，显著提升保密通信系统的复杂性和破解难度。
附图说明
[0102] 图1为本发明实施例1中一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法的流程图；
[0103] 图2为本发明实施例3中，投影因子v＝1时，二维分数阶复值忆阻神经网络系统中驱动网络和响应网络的轨迹对照图(图中左上、右上、左下、右下四个部分的曲线分别为：第
一维度的实部部分、第一维度的虚部部分、第二维度的实部部分、第二维度的虚部部分)；
[0104] 图3为本发明实施例3中；投影因子v＝1时，二维分数阶复值忆阻神经网络的中同步误差的变化曲线(图中上下两个部分分别为实部误差和虚部误差的变化曲线)；
[0105] 图4为本发明实施例3中；投影因子v＝1时，二维分数阶复值忆阻神经网络系统中同步控制器反馈增益的变化曲线(图中上下两个部分分别为实部自适应控制器的反馈增益
和虚部自适应控制器的反馈增益)；
[0106] 图5为本发明实施例3中，投影因子v＝‑1时，二维分数阶复值忆阻神经网络系统中驱动网络和响应网络的轨迹对照图(图中左上、右上、左下、右下四个部分的曲线分别为：第
一维度的实部部分、第一维度的虚部部分、第二维度的实部部分、第二维度的虚部部分)；
[0107] 图6为本发明实施例3中；投影因子v＝‑1时，二维分数阶复值忆阻神经网络的中同步误差的变化曲线(图中上下两个部分分别为实部误差和虚部误差的变化曲线)；
[0108] 图7为本发明实施例3中；投影因子v＝‑1时，二维分数阶复值忆阻神经网络系统中同步控制器反馈增益的变化曲线(图中上下两个部分分别为实部自适应控制器的反馈增益
和虚部自适应控制器的反馈增益)；
[0109] 图8为本发明实施例3中，投影因子v＝1.7时，二维分数阶复值忆阻神经网络系统中驱动网络和响应网络的轨迹对照图(图中左上、右上、左下、右下四个部分的曲线分别为：
第一维度的实部部分、第一维度的虚部部分、第二维度的实部部分、第二维度的虚部部分)；
[0110] 图9为本发明实施例3中，投影因子v＝1.7时，二维分数阶复值忆阻神经网络的中同步误差的变化曲线(图中上下两个部分分别为实部误差和虚部误差的变化曲线)；
[0111] 图10为本发明实施例3中；投影因子v＝1.7时，二维分数阶复值忆阻神经网络系统中同步控制器反馈增益的变化曲线(图中上下两个部分分别为实部自适应控制器的反馈增
益和虚部自适应控制器的反馈增益)；
[0112] 图11为本发明实施例4中一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步装置的模块示意图；
[0113] 图12为本发明实施例6中，采用达到投影同步的分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络和响应网络实现保密通信的方法的逻辑示意图。
具体实施方式
[0114] 为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不
用于限定本发明。
[0115] 实施例1
[0116] 如图1所示，本实施例提供一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法，该方法用于实现分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络和响应网络在有限时间内达到投影同
步，该投影同步方法包括如下步骤：
[0117] 步骤S1：设计同步控制器ui(t)，同步控制器ui(t)的设计方法包括步骤：
[0118] 步骤S11：定义系统的同步误差ei(t)，表征同步误差ei(t)的函数为：
[0119] ei(t)＝yi(t)‑νxi(t)
[0120] 其中，xi(t)表示驱动网络的状态变量；yi(t)表示响应网络的状态变量；ν表示投影因子，反映的是驱动网络与响应网络之间的同步比例关系。
[0121] 步骤S12：将同步误差ei(t)分成实部误差 和虚部误差
[0122] 表征实部误差 的函数为：
[0123]
[0124] 其中， 表示驱动网络的状态变量的实部； 表示响应网络的状态变量的实部。
[0125] 表征虚部误差 的函数为：
[0126]
[0127] 其中， 表示驱动网络的状态变量的虚部； 表示响应网络的状态变量的虚部。
[0128] 步骤S13：根据分离后的实部误差 和虚部误差 把同步控制器ui(t)通过两部分进行设计：实部自适应控制器 和虚部自适应控制器
[0129] 实部自适应控制器 为：
[0130]
[0131] 其中，ξi是跟第i个神经元相关的反馈系数；ki(t)表示实部自适应控制器的反馈增益，ki(t)通过 得到，η表示比例常值。
[0132] 虚部自适应控制器 为：
[0133]
[0134] 其中，mi(t)表示虚部自适应控制器的反馈增益，mi(t)通过 得到，γ表示比例常值。
[0135] 步骤S2：将实部自适应控制器引入到表征响应网络的实部部分的模型中；将虚部自适应控制器引入到表征响应网络的虚部部分的模型中。
[0136] 本实施例中，分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络的模型为：
[0137]
[0138] 其中， 表示t求α次分数阶导数的标记；α表示分数阶的阶次，0＜α＜1；xi(t)表示驱动网络的状态变量；τ(t)表示时变延迟函数，能够在t∈[0,T]上可导并且满足
是一个常数；fj(xj(t))和gj(xj(t‑τ(t)))表示复值的激活函数；Ii表示外部输入；aij(xj
(t))和bij(xj(t))表示复值的忆阻连接权重；di(xi(t))表示神经元的自反馈函数，其状态与
忆阻连接权重aij(xj(t))和bij(xj(t))有关，并且满足：
[0139]
[0140] 其中，Ri表示电阻；Wfij和Wgij分别表示有关于忆阻器的忆阻参数。
[0141] 本实施例中，分数阶复值忆阻神经网络系统的响应网络的模型为：
[0142]
[0143] 其中， 表示对t求α次分数阶导数的标记，α表示分数阶的阶次，0＜α＜1；yi(t)表示响应网络的状态变量；τ(t)表示时变延迟函数，能够在t∈[0,T]上可导并且满足
fj(yj(t))和gj(yj(t‑τ(t)))表示复值的激活函数；Ii表示外部输入；ui(t)表示有
待设计的同步控制器；aij(yj(t))和bij(yj(t))表示复值的忆阻连接权重；di(yi(t))表示神
经元的自反馈函数，其状态与忆阻连接权重aij(yj(t))和bij(yj(t))有关，并且满足：
[0144]
[0145] 其中，Ri表示电阻；Wfij和Wgij分别表示有关于忆阻器的忆阻参数。
[0146] 其中，复值的忆阻连接权重aij(yj(t))和bij(yj(t))满足如下条件：
[0147]
[0148]
[0149]
[0150] 其中，Ci表示电容，signij表示符号函数。
[0151] 在本实施例中，步骤S2的实部自适应控制器和虚部自适应控制器的引入过程中，分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络被采用分离方法分为实部和虚部两个部分；分数
阶复值忆阻神经网络系统的响应网络也被采用分离方法分为实部和虚部两个部分。
[0152] 分离后的驱动网络的实部部分的模型为：
[0153]
[0154] 分离后的驱动网络的虚部部分的模型为：
[0155]
[0156] 其中，“·”为一种为缩短公式书写长度而创建的宏定义标志，公式内各函数中的“·”具体表示为
[0157] 同时，驱动网络分离后的实部部分的模型和虚部部分的模型，与分离前的复值网络模型相比：分离后的模型中，所有的带有上标R的量均为分离前的复值网络模型中对应量
的实部部分；所有的带有上标I的量均为分离前的复值网络模型中对应量的虚部部分；
[0158] 分离后的响应网络的实部部分的模型为：
[0159]
[0160] 分离后的响应网络的虚部部分的模型为：
[0161]
[0162] 其中，“··”为一种为缩短公式书写长度而创建的宏定义标志，公式内各函数中的“··”具体表示为
[0163] 以上两式中，驱动网络分离后的实部部分的模型和虚部部分的模型，与分离前的复值网络模型相比：分离后的模型中，所有的带有上标R的量均为分离前的复值网络模型中
对应量的实部部分；所有的带有上标I的量均为分离前的复值网络模型中对应量的虚部部
分。
[0164] 实施例2
[0165] 在实施例1的基础上，本实施例提供一种分数阶复值忆阻神经网络系统的构建方法，其中，分数阶复值忆阻神经网络系统包括驱动网络和响应网络，该构建方法在构建分数
阶复值忆阻神经网络系统时，为了实现驱动网络和响应网络在有限时间内达到投影同步，
包括如下步骤：
[0166] 步骤S1：设计同步控制器ui(t)，同步控制器ui(t)的设计方法包括步骤：
[0167] 步骤S11：定义系统的同步误差ei(t)，表征同步误差ei(t)的函数为：
[0168] ei(t)＝yi(t)‑νxi(t)
[0169] 其中，xi(t)表示驱动网络的状态变量；yi(t)表示响应网络的状态变量；ν表示投影因子，反映的是驱动网络与响应网络之间的同步比例关系。
[0170] 步骤S12：将同步误差ei(t)分成实部误差 和虚部误差
[0171] 表征实部误差 的函数为：
[0172]
[0173] 其中， 表示驱动网络的状态变量的实部； 表示响应网络的状态变量的实部。
[0174] 表征虚部误差 的函数为：
[0175]
[0176] 其中， 表示所述驱动网络的状态变量的虚部； 表示所述响应网络的状态变量的虚部。
[0177] 步骤S13：根据分离后的实部误差 和虚部误差 把同步控制器ui(t)通过两部分进行设计：实部自适应控制器 和虚部自适应控制器
[0178] 实部自适应控制器 为：
[0179]
[0180] 其中，ξi是跟第i个神经元相关的反馈系数；ki(t)表示实部自适应控制器的反馈增益，ki(t)通过 得到，η表示比例常值。
[0181] 虚部自适应控制器 为：
[0182]
[0183] 其中，mi(t)表示虚部自适应控制器的反馈增益，mi(t)通过 得到，γ表示比例常值；
[0184] 步骤S2：将实部自适应控制器引入到表征响应网络的模型的实部部分中；将虚部自适应控制器引入到表征响应网络的模型的虚部部分中。
[0185] 其中，同步控制器ui(t)以实部自适应控制器 和虚部自适应控制器 两个部分的形式，分别引入到分离后的响应网络的实部部分的模型中和虚部部分的模型中。
[0186] 对于本实施例构建的分数阶复值忆阻神经网络系统而言，采用实施例1中设计的自适应控制器作为同步控制器后，根据设计的同步控制器的参数，可以采用如下公式对本
实施例中系统的投影同步时间t进行计算：
[0187]
[0188] 其中，α表示分数阶的阶次；ξ0表示ξ集合中取最小的数，Γ表示伽马函数的标记；V1(0)表示 的初值； 表示实部误差 的初值； 表示虚部误差
的初值。
[0189] 投影同步时间t计算公式的推导过程如下：
[0190] 若要实现有限时间的投影同步，则根据：
[0191]
[0192] 假设存在一个函数F(t)≥0,则有：
[0193]
[0194] 对上式进行两边求分数阶积分，有
[0195]
[0196] 其中，
[0197]
[0198] 并且
[0199]
[0200] 经过整理可得
[0201]
[0202] 利用上式可以求得时间t为：
[0203]
[0204] 实施例3
[0205] 本实施例中主要包括两部分内容：
[0206] 其一是对实施例1的提供分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法中，设计出的同步控制器的有效性进行理论证明。
[0207] 其二是通过数值仿真的方法针对实施例2中构建的分数阶复值忆阻神经网络系统，验证驱动网络和响应网络在有限时间内达到投影同步的性能。
[0208] (理论证明和仿真实验均不用于限定本发明，在其它实施例中可以不进行仿真实验，也可以采用其他实验方案进行试验，对该神经网络系统的性能进行验证。)
[0209] 一、理论证明
[0210] 1、条件假设：首先，在不失一般性的前提下，有两种方法可以解决神经网络系统中的复值问题。一种是将复值系统分成两个等效的实值系统进行分析，另一种是直接分析复
数域中的所有参数。为了进行更有条理和系统的分析，本实施例采用分离方法。分离后的分
数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络和响应网络的模型分别如实施例1所述。
[0211] 其次，考虑到忆阻权重的不连续性，在Filioppov解的意义下，根据微分包含和极值映射理论，我们可以得到同步误差ei(t)变化后的实部误差 和虚部误差 两个部
分：
[0212] 表征实部误差 的函数为：
[0213]
[0214] 其中，所有带有上标R的量均为分离前原始的复值网络模型中相应量的实部部分，所有带有上标I的量均为分离前原始的复值网络模型中相应量的虚部部分。
[0215] 表征虚部误差 的函数为：
[0216]
[0217] 其中，所有带有上标R的量均为分离前原始的复值网络模型中相应量的实部部分，所有带有上标I的量均为分离前原始的复值网络模型中相应量的虚部部分；
和 分别
是经过微分包含和极值映射后的结果。“·”为一种为缩短公式长度而创建的宏定义标志，
公式内各函数中的“·”具体表示为 “··”为一种为缩短公式长度而创建的宏
定义标志，公式内各函数中的“··”具体表示为
[0218] 同时，为简化公式和证明过程中的书写，以下的理论证明过程中使用宏定义的符号“A”来表示 或 符号“B”来表示原始公式中对应的 或 符号“C”来表示
或 符号“D”来表示原始公式中对应的 或
[0219] 则有：
[0220]
[0221]
[0222]
[0223] 并满足：
[0224]
[0225]
[0226]
[0227] 其中，Tj表示切换跳跃时间，Tj＞0。
[0228] 对于任意系统的驱动网络和响应网络，如果需要通过设计的自适应控制器达到有限时间投影同步，则需要满足条件：
[0229] θ‑ω≥ε＞0,
[0230] 其中， θ＝min{θ1,θ2}， ξi＞0，ε是一个趋向于0的极其小的数，并且满足：
[0231]
[0232]
[0233]
[0234]
[0235] 上式中，
[0236] 为存在的一个正R I R I
常数，满足有关激活函数fj(·),fj(·),gj(·),gj(·)的不等式
[0237]
[0238]
[0239] 2、求解和证明：
[0240] 构造李雅普诺夫函数为：
[0241] V(t)＝V1(t)+V2(t),
[0242] 其中，
[0243] 而
[0244]
[0245]
[0246] 上式中， 表示对所构造的李雅普诺夫函数进行分数阶求导；
[0247] 进一步有：
[0248]
[0249]
[0250]
[0251] 根据假设：
[0252]
[0253]
[0254]
[0255]
[0256] 那么，
[0257]
[0258] 考虑到同步误差中的每个解都满足Razumikhin条件，因此根据Razumikhin理论，则有：
[0259]
[0260] 即，得出
[0261]
[0262]
[0263] V1(t)≤(V1(t0)+V2(t0))Eα[‑ε(t‑t0)α]
[0264] ≤V1(t0)Eα[‑ε(t‑t0)α]。
[0265]
[0266] ||e(t)||≤||e(t0)||Eα[‑ε(t‑t0)α]。
[0267] 解出：
[0268]
[0269] 由于解出的同步误差的确实现了归零，因此可以得出结论：本实施例提供的同步方法可以实现分数阶复值忆阻神经网络的投影同步。
[0270] 二、数值仿真
[0271] 在本实施例中，以二维具有时变时滞的分数阶复值忆阻神经网络系统为例，确定神经网络系统的驱动网络的模型为：
[0272]
[0273] 其中，分数阶的阶次α＝0.98；时变延迟函数 复值的激活函数取aij(xj(t))和bij(xj(t))表示复值的忆阻连接权重。
[0274] 复值的忆阻连接权重满足：
[0275]
[0276]
[0277]
[0278]
[0279]
[0280] 同时，对应的二维具有时变时滞的分数阶复值忆阻神经网络系统的响应网络的模型为：
[0281]
[0282] 其中，部分参数的取值为ξ1＝0.5,ξ2＝0.6,η＝γ＝25；其余参数的取值与驱动网络中一致。本实施例中分别设计投影因子v＝1、‑1和1.7三种情况下的驱动‑响应网络的同
步试验。
[0283] 其中，如图2、图5、图8分别显示v＝1、‑1和1.7三种情况下，驱动网络和响应网络的轨迹曲线；而图3、图6和图9则分别显示v＝1、‑1和1.7三种情况下，驱动网络和响应网络的
同步误差的变化曲线，图4、图7和图10分别显示显示v＝1、‑1和1.7三种情况下，实部自适应
控制器和虚部自适应控制器的反馈增益的变化曲线。
[0284] 综合上述仿真实验得到的仿真结果中曲线的变化趋势可以发现：本实施例提供的一种分数阶复值忆阻神经网络在采用不同投影因子的状态下，均可以在有限时间内实现系
统的投影同步。
[0285] 实施例4
[0286] 如图9所示，本实施例提供了一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步装置，该装置用于采用实施例1中的方法实现分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络和响应网络在
有限时间内达到投影同步，该投影同步装置包括：同步误差定义模块、同步误差分离模块、
同步控制器、投影同步时间计算模块以及修正模块。
[0287] 其中，同步误差定义模块用于定义分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络和响应网络间的同步误差ei(t)；表征同步误差ei(t)的函数为：
[0288] ei(t)＝yi(t)‑νxi(t)
[0289] 其中，xi(t)表示驱动网络的状态变量；yi(t)表示响应网络的状态变量；ν表示投影因子，反映的是驱动网络与所述响应网络之间的同步比例关系。
[0290] 同步误差分离模块用于将同步误差定义模块定义的同步误差ei(t)分成实部误差和虚部误差
[0291] 表征实部误差 的函数为：
[0292]
[0293] 其中， 表示驱动网络的状态变量的实部； 表示响应网络的状态变量的实部。
[0294] 表征虚部误差 的函数为：
[0295]
[0296] 其中， 表示驱动网络的状态变量的虚部； 表示响应网络的状态变量的虚部。
[0297] 同步控制器包括实部自适应控制器和虚部自适应控制器；实部自适应控制器和虚部自适应控制器分别根据分离后的实部误差 和虚部误差 设计。
[0298] 实部自适应控制器 为：
[0299]
[0300] 其中，ξi表示跟第i个神经元相关的反馈系数；ki(t)表示实部自适应控制器的反馈增益，ki(t)通过 得到，η表示比例常值。
[0301] 虚部自适应控制器 为：
[0302]
[0303] 其中，mi(t)表示虚部自适应控制器的反馈增益，mi(t)通过 得到，γ表示比例常值。
[0304] 修正模块，其用于将实部自适应控制器和虚部自适应控制器分别引入到表征响应网络的实部部分的模型和虚部部分的模型中；
[0305] 投影同步时间计算模块用于对分数阶复值忆阻神经网络系统达到投影同步的时间进行计算，系统的投影同步时间t的范围通过如下公式计算：
[0306]
[0307] 其中，α表示分数阶的阶次；ξ0表示ξ集合中取最小的数，Γ表示伽马函数的标记；V1(0)表示 的初值； 表示实部误差 的初值； 表示虚部误差
的初值。
[0308] 实施例5
[0309] 本实施例提供一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步终端，该终端包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，处理器执行所述程序
时实现如实施例1的分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法的步骤。
[0310] 实施例6
[0311] 本实施例提供一种分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法的应用，采用如实施例1的分数阶复值忆阻神经网络的投影同步方法，可以实现分数阶复值忆阻神经网络系统
的驱动网络和响应网络在有限时间内达到投影同步；应用达到投影同步状态的分数阶复值
忆阻神经网络系统中的驱动网络和响应网络可以实现保密通信。
[0312] 如图12所示，在一个具有信号发送端、信号接收端和信道的通信系统中，应用分数阶复值忆阻神经网络系统实现保密通信的方法如下：
[0313] (1)信号发送端通过分数阶复值忆阻神经网络系统的驱动网络产生加密信号；并将包含有用信息的待发送的明文信号与加密信号进行加密运算得到密文信号。
[0314] (2)信号发送端通过信号发送密文信号，信号接收端通过信道接收密文信号。
[0315] (3)信号接收端通过分数阶复值忆阻神经网络系统的响应网络产生解密信号；并将密文信号与解密信号进行解密运算得到包含有用信息的明文信号。
[0316] 其中，加密信号和解密信号为完全同步的混沌信号；解密运算为加密运算的逆运算。
[0317] 以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
