基于等式结构多重正则化的图像恢复方法及系统

摘要

本发明公开了基于等式结构多重正则化的图像恢复方法及系统，引入等式结构，构建测量高斯似然函数；基于构建的测量高斯似然函数，选择多个稀疏变换，以稀疏变换系数为基础，给出相互独立的多个概率密度函数来推算目标图像的条件先验概率密度；基于目标图像的条件先验概率密度，根据贝叶斯法则推算目标图像的均值估计模型；最后通过期望最大化方法结合共轭梯度法迭代实现目标图像的快速重建，克服了综合法引入稀疏表示的可逆性限制，并允许采用任意数量的稀疏变换，而且联合稀疏域能够有效提高算法的收敛速度。

权利要求

1.基于等式结构多重正则化的图像恢复方法，其特征在于，包括：接收待恢复图像后，将图像转化为一维信号后，用测量矩阵投影到观测向量；

将测量矩阵和观测向量输入基于等式结构多重正则化的图像恢复模型，得到目标图像均值；其中，图像恢复模型根据测量矩阵和观测向量，采用共轭梯度法计算目标图像均值和中间变量；利用计算得到的中间变量和目标图像均值，更新贝叶斯压缩感知的超参数向量和等式方差；判断是否满足收敛条件，若满足，输出目标图像均值；否则，利用更新后的超参数向量和等式方差，返回重新计算目标图像均值和中间变量；

所述观测向量为测量矩阵与一维向量化目标图像的乘积；

其中，将测量矩阵和观测向量输入基于等式结构多重正则化的图像恢复模型，得到目标图像均值的具体步骤为：(1)输入：获取稀疏变换Dj、观测向量y、测量矩阵A；选择J个复数域稀疏变换，j＝1，

2，...，J；

2

(2)初始化：超参数初始值γj和等式方差σ；

(3)根据测量矩阵A和观测向量y，利用共轭梯度法求解线性厄米特方程，得到目标图像均值和协方差，并计算中间变量，具体的：目标图像x的均值和协方差表达式为

2 H

μx＝σ∑xAy

其中，协方差矩阵Γj为对角阵，并且对角元素为超参数γj；

2 H

引入矩阵 目标图像x的均值表达式可以写成线性厄米特方程Lxμx＝σAy，将

2 H

公式线性厄米特方程写成线性方程形式Bx＝b，其中B＝Lx，x＝μx，b＝σAy，则求解步骤为(0) H (0) (0) (0) (0)(a)初始化：x ＝Bb，r ＝b‑Bx 和w ＝r ；

(b)对于第k次迭代，完成如下步骤：(k+1) (k) (k) (k)x ＝x +ζ w

(k+1) (k) (k) (k)r ＝r ‑ζ Bw

(k+1) (k+1) (k) (k)w ＝r +β w

(k)

其中，上角标k表示迭代次数，每次迭代的列向量组成矩阵Wk＝[Wk‑1w ]满足Lx共轭关(k) (k) H系，即 协方差矩阵 表示为∑x＝∑kw (w ) ，∑x的对角线元素(k) 2

表示为diag(∑x)＝∑k|w | ，引入辅助变量 ， 得到计算中间变量

(4)利用步骤(3)中计算得到的中间变量、目标图像均值，估计超参数向量和等式方差，具体的：其中， 表示上一次迭代得到的等式方差估计值；

(5)判断是否满足收敛条件，如不满足，返回步骤(3)继续迭代；若满足，结束迭代，输出目标图像均值。

2.如权利要求1所述的基于等式结构多重正则化的图像恢复方法，其特征在于，所述目标图像的条件后验概率密度满足正态分布。

3.如权利要求2所述的基于等式结构多重正则化的图像恢复方法，其特征在于，所述中间变量依据CGM向量参数与图像协方差之间的关系得到。

4.如权利要求1所述的基于等式结构多重正则化的图像恢复方法，其特征在于，所述目标图像的条件先验概率密度以稀疏表示系数为基础，结合相互独立的多个Delta概率密度函数得到。

5.基于等式结构多重正则化的图像恢复系统，其特征在于，包括：图像接收模块，其用于接收待恢复图像后，将图像转化为一维信号后，用测量矩阵投影到观测向量；

图像恢复模块，其用于将测量矩阵和观测向量输入基于等式结构多重正则化的图像恢复模型，得到目标图像均值；其中，图像恢复模型根据测量矩阵和观测向量，采用共轭梯度法计算目标图像均值和中间变量；利用计算得到的中间变量和目标图像均值，更新贝叶斯压缩感知的超参数向量和等式方差；判断是否满足收敛条件，若满足，输出目标图像均值；

否则，利用更新后的超参数向量和等式方差，返回重新计算目标图像均值和中间变量；

所述观测向量为测量矩阵与一维向量化目标图像的乘积；

其中，将测量矩阵和观测向量输入基于等式结构多重正则化的图像恢复模型，得到目标图像均值，的具体步骤为：(1)输入：获取稀疏变换Dj、观测向量y、测量矩阵A；选择J个复数域稀疏变换，j＝1，

2，...，J；

2

(2)初始化：超参数初始值γj和等式方差σ；

(3)根据测量矩阵A和观测向量y，利用共轭梯度法求解线性厄米特方程，得到目标图像均值和协方差，并计算中间变量，具体的：目标图像x的均值和协方差表达式为

2 H

μx＝σ∑xAy

其中，协方差矩阵Γj为对角阵，并且对角元素为超参数γj；

2 H

引入矩阵 目标图像x的均值表达式可以写成线性厄米特方程Lxμx＝σAy，将

2 H

公式线性厄米特方程写成线性方程形式Bx＝b，其中B＝Lx，x＝μx，b＝σAy，则求解步骤为(0) H (0) (0) (0) (0)(a)初始化：x ＝Bb，r ＝b‑Bx 和w ＝r ；

(b)对于第k次迭代，完成如下步骤：(k+1) (k) (k) (k)x ＝x +ζ w

(k+1) (k) (k) (k)r ＝r ‑ζ Bw

(k+1) (k+1) (k) (k)w ＝r +β w

(k)

其中，上角标k表示迭代次数，每次迭代的列向量组成矩阵Wk＝[Wk‑1w ]满足Lx共轭关(k) (k) H系，即 协方差矩阵 表示为∑x＝∑kw (w ) ，∑x的对角线元素(k) 2

表示为diag(∑x)＝∑k|w | ，引入辅助变量 ， 得到计算中间变量

(4)利用步骤(3)中计算得到的中间变量、目标图像均值，估计超参数向量和等式方差，具体的：其中， 表示上一次迭代得到的等式方差估计值；

(5)判断是否满足收敛条件，如不满足，返回步骤(3)继续迭代；若满足，结束迭代，输出目标图像均值。

6.如权利要求5所述的基于等式结构多重正则化的图像恢复系统，其特征在于，所述目标图像的条件后验概率密度满足正态分布。

7.如权利要求5所述的基于等式结构多重正则化的图像恢复系统，其特征在于，所述目标图像的条件先验概率密度以稀疏表示系数为基础，结合相互独立的多个Delta概率密度函数得到。

8.一种电子设备，其特征是，包括存储器和处理器以及存储在存储器上并在处理器上运行的计算机指令，所述计算机指令被处理器运行时，完成如权利要求1‑4任一项所述方法的步骤。

9.一种计算机可读存储介质，其特征是，用于存储计算机指令，所述计算机指令被处理器执行时，完成如权利要求1‑4任一项所述方法的步骤。

说明书

基于等式结构多重正则化的图像恢复方法及系统

技术领域

[0001] 本发明属于图像恢复领域，尤其涉及基于等式结构多重正则化的图像恢复方法及系统。

背景技术

[0002] 本部分的陈述仅仅是提供了与本发明相关的背景技术信息，不必然构成在先技术。

[0003] 压缩感知(compressive sensing,CS)作为一种稀疏重建技术，目前被广泛应用于多种领域，如雷达和医学成像、地震成像、图像处理等。根据CS理论，在信号满足稀疏性要求前提下，可以通过远小于Nyquist‑Shannon采样定律要求的采样数据量高精度地重建原信号。但是更为引人注意的是，CS在信号的高精度重建和估计方面也具有出色的性能。为了兼顾稀疏信号的重建精度与CS问题的求解难度，常常采用贪婪法近似求解，或将原CS的l0范数优化松弛化成为l1优化问题求解，称为LASSO。上述求解方法均具有较好的求解效率，然而信号的稀疏重建性能却无法保证。

[0004] 采用贝叶斯压缩感知方法(Bayesian compressive sensing,BCS)能够有效提高稀疏信号的重建性能，而且不需要用户定义重要的正则化参数，并给出不确定性估计结果。根据报道，BCS相对于CS，在低采样率、信号高稀疏度和低信噪比的恶劣条件下具有更高的重建成功率和更低的归一化均方误差(Normalized Mean Square Error，NMSE)。因此，BCS被越来越多地用于高分辨波束形成、成像和图像恢复算法。然而，对于复杂的图像，待重建目标本身不具有稀疏性，直接通过CS或BCS重建图像无法满足稀疏性要求，从而大幅度降低重建精度。

[0005] 在图像恢复方法中，结合正则化稀疏表示方法能够有效提高图像的恢复成功率和图像质量，其原理是，将原优化问题转化为稀疏表示系数的范数优化问题，在已知图像在特定稀疏表示域具有稀疏性前提下，重建稀疏系数，再恢复原图像。常用的稀疏表示方法包括，全变差(total variation,TV)及其变种，离散余弦变换、小波变换、剪切波变换等。各种方法具备各自优势，然而对复杂的图像，很难保证通过某一种正则化变换获得最佳稀疏表示。通过同时使用多重稀疏表示，即多重正则化能够有效提高稀疏表示能力。将CS方法与多重正则化结合，在原CS求解方法上扩展并不困难，例如交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)、优化最小法(majorization‑minimization,MM)及近端法(proximal method,PM)。

[0006] 然而，由于原BCS求解时，必须通过目标先验概率假设建立共轭匹配关系，然后通过贝叶斯推理计算所有概率参数，并在迭代中估计图像的均值和协方差矩阵。单重稀疏变换可以通过综合法修改线性模型来实现，但是对于不可逆的稀疏变换，或者要引入多重稀疏变换，综合法则无法使用。因此，在复杂图像恢复算法领域，具有完整理论基础和广泛适用性的多重正则化BCS方法尚未出现。

发明内容

[0007] 本发明为了解决上述问题，提出了基于等式结构多重正则化的图像恢复方法及系统，通过等式结构引入多个稀疏变换，即引入相互独立的多个Delta概率密度函数，通过贝叶斯定律，建立多重限制的多层次贝叶斯模型，对各个变换对应的变换系数给出稀疏性假设，从而建立各层次之间共轭匹配关系，最后通过期望最大化方法结合共轭梯度法迭代实现目标图像的快速重建，对所采用的稀疏变换方法不具有特定要求，克服了综合法引入稀疏表示的可逆性限制，并允许采用任意数量的稀疏变换，而且联合稀疏域能够有效提高算法的收敛速度。

[0008] 根据一些实施例，本发明采用如下技术方案：

[0009] 基于等式结构多重正则化的图像恢复方法，包括：

[0010] 接收待恢复图像后，将图像转化为一维信号后，用测量矩阵投影到观测向量；

[0011] 将测量矩阵和观测向量输入基于等式结构多重正则化的图像恢复模型，得到目标图像均值；其中，图像恢复模型根据测量矩阵和观测向量，采用共轭梯度法计算目标图像均值和中间变量；利用计算得到的中间变量和目标图像均值，更新贝叶斯压缩感知的超参数向量和等式方差；判断是否满足收敛条件，若满足，输出目标图像均值；否则，利用更新后的超参数向量和等式方差，返回重新计算目标图像均值和中间变量。

[0012] 基于等式结构多重正则化的图像恢复系统，包括：

[0013] 图像接收模块，其用于接收待恢复图像后，将图像转化为一维信号后，用测量矩阵投影到观测向量；

[0014] 图像恢复模块，其用于将测量矩阵和观测向量输入基于等式结构多重正则化的图像恢复模型，得到目标图像均值；其中，图像恢复模型根据测量矩阵和观测向量，采用共轭梯度法计算目标图像均值和中间变量；利用计算得到的中间变量和目标图像均值，更新贝叶斯压缩感知的超参数向量和等式方差；判断是否满足收敛条件，若满足，输出目标图像均值；否则，利用更新后的超参数向量和等式方差，返回重新计算目标图像均值和中间变量。

[0015] 一种电子设备，包括存储器和处理器以及存储在存储器上并在处理器上运行的计算机指令，所述计算机指令被处理器运行时，完成第一方面所述方法的步骤。

[0016] 一种计算机可读存储介质，用于存储计算机指令，所述计算机指令被处理器执行时，完成第一方面所述方法的步骤。

[0017] 本发明的有益效果是：

[0018] 1、本发明采用多重稀疏表示方法能够获得待恢复图像的最佳稀疏表示，结合贝叶斯压缩感知方法能够实现目标图像的高精度重建，并有效提高重建成功率。

[0019] 2、本发明对所采用的稀疏变换方法不具有特定要求，克服了综合法引入稀疏表示的可逆性限制，并允许采用任意数量的稀疏变换，而且在联合稀疏域能够有效提高算法的收敛速度。

[0020] 3、本发明引入CGM迭代计算图像估计均值，并利用迭代过程中的中间变量估计贝叶斯压缩感知的超参数和等式方差，避免了计算大尺度图像的协方差矩阵，有效降低了内存需求和计算量。

[0021] 4、本发明的基于等式结构多重正则化的图像恢复方法适用于高信噪比图像的恢复，由于采用了等式结构，在高信噪比条件下具有更高的重建精度，而且具有更快的收敛速度。

附图说明

[0022] 构成本发明的一部分的说明书附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。

[0023] 图1是本发明基于等式结构的多重正则化多层次模型结构图；

[0024] 图2是分段稀疏信号举例；

[0025] 图3是分段稀疏信号恢复不确定性性能曲线；

[0026] 图4是分段稀疏信号恢复稀疏度性能曲线；

[0027] 图5是分段稀疏信号恢复信噪比性能曲线；

[0028] 图6是用于图像恢复的原始图像：生物细胞；

[0029] 图7是用于图像恢复的原始图像：电子线路图；

[0030] 图8是用于图像恢复的原始图像：月亮；

[0031] 图9是用于图像恢复的原始图像：汽车轮胎；

[0032] 图10(a)是SNR＝20dB时，采用E‑MRSB生物细胞图像恢复结果；

[0033] 图10(b)是SNR＝20dB时，采用ADMM生物细胞图像恢复结果；

[0034] 图10(c)是SNR＝20dB时，采用proximal方法生物细胞图像恢复结果；

[0035] 图11(a)是SNR＝20dB时，采用E‑MRSB电子线路图像恢复结果；

[0036] 图11(b)是SNR＝20dB时，采用ADMM电子线路图像恢复结果；

[0037] 图11(c)是SNR＝20dB时，采用proximal方法电子线路图像恢复结果；

[0038] 图12(a)是SNR＝20dB时，采用E‑MRSB月亮图像恢复结果；

[0039] 图12(b)是SNR＝20dB时，采用ADMM月亮图像恢复结果；

[0040] 图12(c)是SNR＝20dB时，采用proximal方法月亮图像恢复结果；

[0041] 图13(a)是SNR＝20dB时，采用E‑MRSB汽车轮胎图像恢复结果；

[0042] 图13(b)是SNR＝20dB时，采用ADMM汽车轮胎图像恢复结果；

[0043] 图13(c)是SNR＝20dB时，采用proximal方法汽车轮胎图像恢复结果；

[0044] 图14(a)是SNR＝40dB时，采用E‑MRSB生物细胞图像恢复结果；

[0045] 图14(b)是SNR＝40dB时，采用ADMM生物细胞图像恢复结果；

[0046] 图14(c)是SNR＝40dB时，采用proximal方法生物细胞图像恢复结果；

[0047] 图15(a)是SNR＝40dB时，采用E‑MRSB电子线路图像恢复结果；

[0048] 图15(b)是SNR＝40dB时，采用ADMM电子线路图像恢复结果；

[0049] 图15(c)是SNR＝40dB时，采用proximal方法电子线路图像恢复结果；

[0050] 图16(a)是SNR＝40dB时，采用E‑MRSB月亮图像恢复结果；

[0051] 图16(b)是SNR＝40dB时，采用ADMM月亮图像恢复结果；

[0052] 图16(c)是SNR＝40dB时，采用proximal方法月亮图像恢复结果；

[0053] 图17(a)是SNR＝40dB时，采用E‑MRSB汽车轮胎图像恢复结果；

[0054] 图17(b)是SNR＝40dB时，采用ADMM汽车轮胎图像恢复结果；

[0055] 图17(c)是SNR＝40dB时，采用proximal方法汽车轮胎图像恢复结果。

具体实施方式

[0056] 下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

[0057] 应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本发明提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本发明所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

[0058] 需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本发明的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

[0059] 实施例1

[0060] 如图1所示，本实施例提供的基于等式结构多重正则化的图像恢复方法，通过等式结构引入多个稀疏变换，即引入相互独立的多个Delta概率密度函数，通过贝叶斯定律，建立多重限制的多层次贝叶斯模型，对各个变换对应的变换系数给出稀疏性假设，从而建立各层次之间共轭匹配关系，最后通过期望最大化(Expectation maximization,EM)方法结合共轭梯度法(conjugate gradient method,CGM)迭代实现目标图像的快速重建。

[0061] 基于等式结构多重正则化的图像恢复方法，包括如下步骤：

[0062] 步骤(1)：在已知测量矩阵和观测向量前提下，建立图像恢复的线性方程；即，根据线性关系，观测向量等于测量矩阵与一维向量化待重建目标图像的乘积，并构建贝叶斯推理中采用的测量似然函数，即公式(1)。

[0063] 具体为：假设待恢复目标图像表示为二维矩阵X，通过将X的所有列向量拼接为一个列向量x，假设 可以建立观测向量 与目标信号x的线性关系

[0064] y＝Ax+n         (1)

[0065] 其中， 为测量矩阵， 为复高斯白等式，一般满足M

[0066] 步骤(2)：基于构建的测量似然函数，选择多个稀疏变换，以稀疏变换系数为基础，给出相互独立的多个概率密度函数来推算目标图像的条件先验概率密度；

[0067] 根据先验信息，选择合理的稀疏表示方法，建立稀疏表示系数等式；即，根据所选择的多个稀疏变换方法，以稀疏表示系数为基础，给出相互独立的多个Delta概率密度函数来推算目标图像的条件先验概率密度。

[0068] 具体的：选择J个复数域稀疏变换以Dj表示，其中 Nj为第j个变换域稀疏系数的维度，j＝1,2,…,J，因此变换系数表示为

[0069] sj＝Djx          (2)

[0070] 其中

[0071] 可见，引入的x的条件先验概率密度函数为p(sj|x)＝δ(sj‑Djx)，其中，δ表示Delta函数。

[0072] 步骤(3)：基于目标图像的条件先验概率密度，根据贝叶斯法则推算目标图像的均值表达式；获取待恢复图像，基于目标图像的均值表达式，对待恢复图像进行目标图像均值估计。

[0073] 通过EM算法结合CGM迭代实现目标图像均值和协方差估计；具体的：

[0074] 步骤(3.1)：根据贝叶斯推算，采用CGM迭代计算待重建目标图像的均值，并提取CGM迭代中的向量参数；

[0075] 步骤(3.2)：根据CGM向量参数与图像协方差之间的关系，计算中间变量，用于后续的参数重建，而不必完整记录图像协方差矩阵；

[0076] 步骤(3.1)和步骤(3.2)的步骤为：

[0077] 根据EM原理得到条件后验概率密度p(x|y；ΓG,σ2)满足正态分布

[0078]

[0079] 即，p(x|y；ΓG,σ2)＝CN(μx,Σx)，其中，目标图像的均值表达式[0080] μx＝σ2∑xAHy           (4)

[0081]

[0082]

[0083] 均值μx即为估计均值，下标G表示稀疏的标号集，即G＝{1,2,…,J}。由于在后续步骤中，多次用到协方差矩阵∑x，因此一般采用直接计算公式(5)中的矩阵求逆，但是对于大尺度信号，如512×512像素图像，直接求逆不但在计算量上无法接受，而且常规计算机内存无法实现。本发明采用CGM方法迭代计算均值μx和与协方差矩阵∑x相关的中间变量，方法如下：

[0084] 引入矩阵 公式(4)可以写成线性厄米特方程

[0085] Lxμx＝σ2AHy          (7)

[0086] 根据CGM原理，将公式线性厄米特方程写成线性方程形式Bx＝b，其中B＝Lx，x＝μx，2 H
b＝σAy，则求解步骤为

[0087] (a)初始化：x(0)＝BHb，r(0)＝b‑Bx(0)和w(0)＝r(0)；

[0088] (b)对于第k次迭代，完成如下步骤：

[0089]

[0090] x(k+1)＝x(k)+ζ(k)w(k)

[0091] r(k+1)＝r(k)‑ζ(k)Bw(k)

[0092]

[0093] w(k+1)＝r(k+1)+β(k)w(k)

[0094] 其中，上角标k表示迭代次数，每次迭代的列向量组成矩阵Wk＝[Wk‑1w(k)]满足Lx共轭关系，即

[0095]

[0096] 因此协方差矩阵 可以表示为

[0097] ∑x＝∑kw(k)(w(k))H        (8)

[0098] 于是∑x的对角线元素可以表示为

[0099] diag(∑x)＝∑k|w(k)|2        (9)

[0100] 引入辅助变量

[0101]

[0102] 得到

[0103]

[0104] 最后，计算中间变量

[0105]

[0106] 步骤(3.3)：利用步骤(3.2)计算得到的中间变量，计算超参数和等式方差；具体的：

[0107] 假设变换系数sj服从独立等分布的高斯分布，即sj～CN(0,Γj)，其中协方差矩阵Γj为对角阵，并且对角元素为超参数γj。根据EM算法的M‑步骤，计算超参数γj：

[0108]

[0109] 其中， 采用公式(11)进行计算，而不必通过矩阵求逆计算∑x。同理，计算等式方差

[0110]

[0111] 其中， 表示上一次迭代得到的等式方差估计值；tr(∑x∑0)的计算方式如公式(12)所示，因此也不需要计算协方差矩阵。

[0112] 步骤(3.4)：判断迭代收敛性，若满足收敛条件之一，结束迭代输出图像均值的估计结果；若不满足，继续迭代。

[0113] 收敛条件包括：

[0114] (1) 其中tol为容差；

[0115] (2) 容差tol可与条件(1)设相同值，其中

[0116] (3)迭代次数k>预设最大迭代次数Imax。

[0117] 本申请的基于等式结构多重正则化的图像恢复方法，接收待恢复图像后，将图像转化为一维信号后，用测量矩阵A投影到观测向量y；将测量矩阵和观测向量输入基于等式结构多重正则化的图像恢复模型，得到目标图像均值；其中，基于等式结构多重正则化的图像恢复模型通过超参数和等式方差的迭代更新实现目标图像均值优化。

[0118] 基于等式结构多重正则化的图像恢复模型通过超参数和等式方差的迭代更新实现目标图像均值优化的具体步骤包括：

[0119] (1)输入：获取稀疏变换Dj、观测向量y、测量矩阵A；

[0120] (2)初始化：最大迭代次数Imax、容差tol，超参数初始值γj和等式方差σ2；

[0121] (3)根据测量矩阵A和观测向量y，利用共轭梯度法求解方程(7)，得到目标图像均值和协方差，并根据公式(11)和(12)计算中间变量，具体的：

[0122] 目标图像x的均值和协方差表达式为

[0123] μx＝σ2∑xAHy

[0124]

[0125]

[0126] 引入矩阵 目标图像x的均值表达式可以写成线性厄米特方程

[0127] Lxμx＝σ2AHy

[0128] 将公式线性厄米特方程写成线性方程形式Bx＝b，其中B＝Lx，x＝μx，b＝σ2AHy，则求解步骤为

[0129] (a)初始化：x(0)＝BHb，r(0)＝b‑Bx(0)和w(0)＝r(0)；

[0130] (b)对于第k次迭代，完成如下步骤：

[0131]

[0132] x(k+1)＝x(k)+ζ(k)w(k)

[0133] r(k+1)＝r(k)‑ζ(k)Bw(k)

[0134]

[0135] w(k+1)＝r(k+1)+β(k)w(k)

[0136] 其中，上角标k表示迭代次数，每次迭代的列向量组成矩阵Wk＝[Wk‑1w(k)]满足Lx共轭关系，即

[0137]

[0138] 协方差矩阵 表示为

[0139] ∑x＝∑kw(k)(w(k))H

[0140] ∑x的对角线元素表示为

[0141] diag(∑x)＝∑k|w(k)|2

[0142] 引入辅助变量

[0143]

[0144] 得到

[0145]

[0146] 计算中间变量

[0147]

[0148] (4)利用步骤(3)中计算得到的中间变量、目标图像均值，根据公式(13)和(14)，估计超参数向量和等式方差，具体的：

[0149]

[0150]

[0151] (5)判断是否满足收敛条件，如不满足，返回步骤(3)继续迭代；若满足，结束迭代，输出目标图像的估计均值。

[0152] 多重正则化多层次模型如图1所示，图中单圈节点表示需要推算的变量(或超参数)，双圈节点表示测量或观察到的参数。给定x，测量矢量y的后验概率密度表示为[0153]

[0154] 考虑到p(sj|x)概率之间的独立性，p(s1,s2,…,sJ|x)可以表示为

[0155]

[0156] 其中下标G表示稀疏的标号集，即G＝{1,2,…,J}，可以得到

[0157]

[0158] 其中，p(x)为无信息概率，这样可以保留相邻层之间的共轭关系。

[0159] 在实验中，本发明所述的基于等式结构的多重正则化的图像恢复方法被简称为E‑MRSB。待恢复的分段稀疏信号由三部分组成，分别对应恒等变换、一阶TV和Haar小波变换稀疏性，一个信号实例如图2所示。特别地，将分段稀疏信号的稀疏性定义为所有本征稀疏信号的稀疏度和，用K表示。测量矩阵A的列服从标准正态分布，各列被归一化为单位范数。每个实验重复200次，在无等式实验中，确定度定义为M/N，稀疏度定义为K/N。信号的恢复成功‑3率定义为，当归一化均方误差(NMSE)满足预设准则NMSE<10 时，信号被认为是成功恢复。
NMSE也是等式实验的测量性能指标，定义为

[0160]

[0161] 其中，xgen是待恢复的原始信号， 是方法恢复的估计结果。

[0162] 采用的用于比对的方法包括两种多重正则化CS方法：ADMM和proximal方法。从图3和图4的结果可以看出，E‑MRSBL在不确定性和稀疏度方面的成功率最高，显著优于ADMM和proximal方法。在多约束正则化的情况下，采用proximal方法分段稀疏信号的NMSE普遍大于0.6，这在本实验中被认为是恢复失败。为了清晰地展示信噪比(SNR)的恢复性能，图5中采用NMSE的对数形式(Log‑NMSE)，从结果看，在中等信噪比条件下，即20‑35dB，E‑MRSBL似乎优势较弱，而在低信噪比条件下有明显优势。

[0163] 为了验证多重正则化的有效性，采用多重正则化方法验证图像数据的恢复性能，分别采用恒等变换、一阶TV和非局部TV的联合稀疏表示。如图6‑9所示，采用四幅图像作为原始数据，包括生物细胞、电子电路图、月球和汽车轮胎。图像的大小是[256,256]。分别采用E‑MRSBL、ADMM和proximal方法3种方法用于图像恢复。测量矩阵A采用置乱块Hadamard集合生成，测量的不确定度比为0.625。实验中，分别在信噪比为20dB和40dB条件下比较图像恢复性能，恢复结果如图10‑17所示。采用NMSE和结构相似度(SSIM)指标定量衡量图像恢复性能，在信噪比为20dB和40dB条件下的结果分别总结在表1和2中。对于每一张图像，性能最好的用粗体突出显示。从恢复结果看，在信噪比为20～40dB之间，ADMM的结果过于平滑，等式对其影响较小。总体来看，E‑MRSBL在信噪比为20dB和40dB时均能达到最佳性能。

[0164] 表1信噪比为20dB时NMSE/SSIM估计结果

[0165]

[0166]

[0167] 表2信噪比为40dB时NMSE/SSIM估计结果

[0168]

[0169] 本发明采用多重稀疏表示方法能够获得待恢复图像的最佳稀疏表示，结合贝叶斯压缩感知方法能够实现目标图像的高精度重建，并有效提高重建成功率；而且对所采用的稀疏变换方法不具有特定要求，克服了综合法引入稀疏表示的可逆性限制，并允许采用任意数量的稀疏变换，而且在联合稀疏域能够有效提高算法的收敛速度；最后引入CGM迭代计算图像估计均值，并利用迭代过程中的中间变量估计贝叶斯压缩感知的超参数和等式方差，避免了计算大尺度图像的协方差矩阵，有效降低了内存需求和计算量。

[0170] 实施例2

[0171] 本实施例提供基于等式结构多重正则化的图像恢复系统，包括：

[0172] 图像接收模块，其用于接收待恢复图像后，将图像转化为一维信号后，用测量矩阵投影到观测向量；

[0173] 图像恢复模块，其用于将测量矩阵和观测向量输入基于等式结构多重正则化的图像恢复模型，得到目标图像均值；其中，图像恢复模型根据测量矩阵和观测向量，采用共轭梯度法计算目标图像均值和中间变量；利用计算得到的中间变量和目标图像均值，更新贝叶斯压缩感知的超参数向量和等式方差；判断是否满足收敛条件，若满足，输出目标图像均值；否则，利用更新后的超参数向量和等式方差，返回重新计算目标图像均值和中间变量。

[0174] 实施例3

[0175] 本实施例还提供了一种电子设备，包括存储器和处理器以及存储在存储器上并在处理器上运行的计算机指令，所述计算机指令被处理器运行时，完成实施例1所述方法的步骤。

[0176] 实施例4

[0177] 本实施例还提供了一种计算机可读存储介质，用于存储计算机指令，所述计算机指令被处理器执行时，完成实施例1所述方法的步骤。

[0178] 以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。