基于旋转法的三维多腔混沌系统的构建方法及伪随机序列的获得方法

摘要

本发明公开一种基于旋转法的三维多腔混沌系统的构建方法，先建立一个在特定条件下迭代序列始终和系统初值保持同一极性的一维混沌系统，再在一维混沌系统基础上建立三维空心多腔超混沌系统，最后在三维空心多腔超混沌系统的基础上对两个维度增加填充项得到三维实心多腔超混沌系统，建立方法简单；该三维多腔混沌系统具有三维多腔结构、信号极性可控、具有更好性能(吸引子相图清晰且具有丰富的动力学特性)等特性。本发明还公开一种伪随机序列的获得方法，基于上述三维多腔混沌系统获得，本发明所得伪随机序列通过了全部测试，具有优良的随机性，适用于加密等工程领域，应用广泛。

权利要求

1.一种基于旋转法的三维多腔混沌系统的构建方法，其特征在于，包括以下步骤：建立一维混沌系统，该混沌系统的模型为表达式1)：z(n+1)＝h×sin(π×sin(c×z(n)))       1)；

其中：z为状态变量；n为系统求解的迭代次数；h为混沌系统吸引子高度；c为内部扰动频率，c×h≤π；

建立三维空心多腔超混沌系统，该三维空心多腔超混沌系统的模型为表达式2)：其中：x、y为状态变量；r为吸引子在x‑y坐标平面的投影半径；g(·)为包络控制函数；

建立三维实心多腔超混沌系统，具体是：在三维空心多腔超混沌系统的基础上对x、y维度增加填充项得到三维实心多腔超混沌系统，该三维多腔混沌系统的模型为表达式3)：

2.根据权利要求1所述的构建方法，其特征在于，表达式1)的迭代序列始终和系统初值保持同一极性。

3.根据权利要求2所述的构建方法，其特征在于，c的取值范围均为(0,+∞)。

4.一种伪随机序列的获得方法，其特征在于，该伪随机序列基于权利要求1‑3任意一项所述构建方法所得三维多腔混沌系统获得；

该伪随机序列的获得方法是：根据模型表达式3)的某一维度产生的混沌序列；将混沌

6 5

序列中的每一个状态值扩大10倍或10倍后模256，得到一个值在0到255之间变化的整数序列；将该整数序列中的每个值转化为八位二进制数，即得伪随机序列；

该伪随机序列为表达式4)：

其中：PRBS为生成的伪随机序 列，floor为向下取整操作，mod为取模操作，xi代表所选定的混沌序列的第i个状态值。

说明书

基于旋转法的三维多腔混沌系统的构建方法及伪随机序列的

获得方法

技术领域

[0001] 本发明涉及非线性系统及数字信号技术领域，具体涉及一种基于旋转法的三维多腔混沌系统的构建方法及伪随机序列的获得方法。

背景技术

[0002] 混沌是确定系统由于对初值和参数的极端敏感性导致的不可预测的系统行为。混沌系统包括连续系统和离散系统。相较于连续系统，离散系统实现简单、算法开销小、能产
生复杂度更高的混沌序列，因此有更好的实用性。混沌系统可分为一维系统和高维系统。一
维混沌系统结构简单、参数少，混沌范围窄，其相空间轨道易被预测，难以抵抗参数估计等
攻击，故不能满足实际应用的安全需要。高维混沌系统结构更复杂、非线性性能更好，且容
易产生超混沌状态，是近年来的研究热点。超混沌状态是指混沌系统拥有两个及以上正的
Lyapunov指数，系统相空间轨道在多个维度上分离，动力学行为更加复杂。

[0003] 多腔混沌系统是高维离散混沌系统中的一类，其吸引子由若干个结构相似的腔体组成，相较于一般离散混沌系统有着更加丰富的拓扑结构和更加复杂的动力学行为。目前
已有的离散多腔混沌系统的一般化构建方法仅有闭环调制耦合模型，基于此方法构建的多
腔混沌系统仅在将吸引子投影到二维相平面时能观察到多腔结构。另外，在工程实践中，经
常对信号的极性有要求，希望信号不过零点。但目前的离散多腔混沌映射往往只能产生双
极性信号，不利于工程应用。同时，加密领域中伪随机序列的生成是加密系统的核心技术之
一，加密系统的安全性很大程度上受到伪随机序列的质量的影响。基于以上原因，提出了一
种新的信号极性可控的构建离散多腔混沌系统的一般化构建模型，并在模型基础上获得伪
随机序列，是十分有意义的发明。

发明内容

[0004] 本发明目的在于提供一种基于旋转法的三维多腔混沌系统的构建方法，具体包括以下步骤：

[0005] 建立一维混沌系统，该混沌系统的模型为表达式1)：

[0006] z(n+1)＝h×sin(π×sin(c×z(n)))  1)；

[0007] 建立三维空心多腔超混沌系统，该三维空心多腔超混沌系统的模型为表达式2)：

[0008]

[0009] 其中：g(·)为包络控制函数；

[0010] 建立三维实心多腔超混沌系统，具体是：在三维空心多腔超混沌系统的基础上对x、y维度增加填充项得到三维实心多腔超混沌系统；

[0011] 该三维多腔混沌系统的模型为表达式3)：

[0012]

[0013] 其中：x、y、z为状态变量；n为系统求解的迭代次数；c为内部扰动频率；h为混沌系统吸引子高度，c×h≤π；r为吸引子在x‑y坐标平面的投影半径。

[0014] 本发明的三维实心多腔超混沌系统的构建方法，步骤精简，利于工业化应用；该三维多腔混沌系统具有三维多腔结构、信号极性可控、具有更好性能(吸引子相图清晰且具有
丰富的动力学特性)等特性。

[0015] 本发明还公开一种伪随机序列的获得方法，该伪随机序列根据上述构建方法所得三维多腔混沌系统获得；

[0016] 该伪随机序列的获得方法是：根据模型表达式3)的某一维度产生的混沌序列；将6 5
混沌序列中的每一个状态值扩大10倍或10倍后模256，得到一个值在0到255之间变化的整
数序列；将该整数序列中的每个值转化为八位二进制数，即得伪随机序列；

[0017] 该伪随机序列为表达式4)：

[0018]

[0019] 其中：PRBS为生成的伪随机系列，floor为向下取整操作，mod为取模操作，xi代表所选定的混沌序列的第i个状态值。

[0020] 本发明中，当满足c×h≤π时，表达式1)的迭代序列始终和系统初值保持同一极性；c的取值范围均为(0,+∞)。

[0021] 针对采用本发明方法所得的伪随机序列进行随即特性检验，对序列进行NIST测试表明：基于本发明三维正弦有填充多腔超混沌系统获得的伪随机序列通过了全部测试，具
有优良的随机性，能广泛应用于加密等工程领域。

[0022] 除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其它的目的、特征和优点。下面将参照图，对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

[0023] 构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

[0024] 图1是三维空心多腔超混沌模型框图；

[0025] 图2是三维正弦空心多腔超混沌系统吸引子；

[0026] 图3是三维正弦空心多腔超混沌系统共存吸引子；

[0027] 图4是c＝100,r＝1,h∈(0,10]时三维正弦空心多腔超混沌系统的Lyapunov指数谱、分岔图及模糊熵复杂度，依次为图4(a)、图4(b)和图4(c)；

[0028] 图5是c＝100,h＝4,r∈(0,10]时三维正弦空心多腔超混沌系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度，依次为图5(a)、图5(b)和图5(c)；

[0029] 图6是h＝4,r＝1,c∈(0,100]时三维正弦空心多腔超混沌系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度，依次为图6(a)、图6(b)和图6(c)；

[0030] 图7是三维实心多腔超混沌模型框图；

[0031] 图8是三维正弦实心多腔超混沌系统吸引子；

[0032] 图9是三维正弦实心多腔超混沌系统共存吸引子；

[0033] 图10是c＝100,r＝1,h∈(0,10]时三维正弦实心多腔超混沌系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度，依次为图10(a)、图10(b)和图10(c)；

[0034] 图11是c＝100,h＝4,r∈(0,10]时三维正弦实心多腔超混沌系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度，依次为图11(a)、图11(b)和图11(c)；

[0035] 图12是h＝4,r＝1,c∈(0,100]时三维正弦实心多腔超混沌系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度，依次为图12(a)、图12(b)和图12(c)。

具体实施方式

[0036] 以下结合附图对本发明的实施例进行详细说明，但是本发明可以根据权利要求限定和覆盖的多种不同方式实施。

[0037] 实施例1：

[0038] 一种基于旋转法的三维多腔混沌系统，其建立方法包括以下步骤：

[0039] 第一步、建立一维混沌系统，该混沌系统的模型为表达式1)：

[0040] z(n+1)＝h×sin(π×sin(c×z(n)))   1)；

[0041] 其中：z为状态变量；n为系统求解的迭代次数；h为混沌系统吸引子高度；c为内部扰动频率，其取值范围均为(0,+∞)。

[0042] 当满足c×h≤π时，表达式1)的迭代序列始终和系统初值保持同一极性，验证情况如下：

[0043] 第一种情况：c＞0,h＞0,c×h≤π,‑h≤z(0)＜0；

[0044] ·n＝0

[0045] ‑c×h≤c×z(0)＜0

[0046] ‑π≤c×z(0)＜0

[0047] ‑1≤sin(c×z(0))＜0

[0048] ‑π≤π×sin(c×z(0))＜0

[0049] ‑1≤sin(π×sin(c×z(0)))＜0

[0050] ‑h≤h×sin(π×sin(c×z(0)))＜0

[0051] ‑h≤z(1)＜0

[0052] ·n＝m(m≥1)

[0053] ‑c×h≤c×z(m)＜0

[0054] ‑π≤c×z(m)＜0

[0055] ‑1≤sin(c×z(m))＜0

[0056] ‑π≤π×sin(c×z(m))＜0

[0057] ‑1≤sin(π×sin(c×z(m)))＜0

[0058] ‑h≤h×sin(π×sin(c×z(m)))＜0

[0059] ‑h≤z(m+1)＜0

[0060] 第二种情况：c＞0,h＞0,c×h≤π,0＜z(0)≤h；

[0061] ·n＝0

[0062] 0＜c×z(0)≤c×h

[0063] 0＜c×z(0)≤π

[0064] 0＜sin(c×z(0))≤1

[0065] 0＜π×sin(c×z(0))≤π

[0066] 0＜sin(π×sin(c×z(0)))≤1

[0067] 0＜h×sin(π×sin(c×z(0)))≤h

[0068] 0＜z(1)≤h

[0069] ·n＝m(m≥1)

[0070] 0＜c×z(m)≤c×h

[0071] 0＜c×z(m)≤π

[0072] 0＜sin(c×z(m))≤1

[0073] 0＜π×sin(c×z(m))≤π

[0074] 0＜sin(π×sin(c×z(m)))≤1

[0075] 0＜h×sin(π×sin(c×z(m)))≤h

[0076] 0＜z(m+1)≤h

[0077] 由上可知，当满足c×h≤π时，表达式1)的迭代序列始终和系统初值保持同一极性，从而可以通过设定初值的正负控制混沌信号的极性。

[0078] 第二步、建立三维空心多腔超混沌系统，其模型为表达式2)：

[0079]

[0080] 其中：x、y、z为状态变量；h为混沌系统吸引子高度，r为吸引子在x‑y坐标平面的投影半径，c为内部扰动频率；g(·)为包络控制函数，可根据需求控制吸引子的包络形状。

[0081] 该三维空心多腔超混沌模型框图详见图1。

[0082] 设置参数c＝100,r＝1,h＝4，初值x(0)＝0.1,y(0)＝0.1,z(0)＝0.1，利用Matlab进行仿真，得到表达式2)的吸引子如图2所示。

[0083] 设置参数c＝π,r＝1,h＝1，两组初值分别为x(0)＝0.1,y(0)＝0.1,z(0)＝0.1和x(0)＝0.1,y(0)＝0.1,z(0)＝‑0.1，表达式2)的共存吸引子如图3所示。

[0084] 因此，可以看出当满足条件c×h≤π时，由于系统的z维度的极性受z(0)控制，从而形成了一对关于x‑y面对称的共存吸引子。系统动力学分析如下：

[0085] (1)当c＝100,r＝1，吸引子高度h从0变化到10时，系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度如图4(a)‑图4(c)所示。系统仅在(6.601,6.667)有窄周期窗口，在其余参
数取值始终有两个正的Lyapunov指数，为超混沌状态。系统的模糊熵复杂度随h变化而在
1.5附近波动。

[0086] (2)当c＝100,h＝4，吸引子投影半径r从0变化到10时，系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度如图5(a)‑图5(c)所示。系统始终有两个正的Lyapunov指数；系统在该
区间内处于超混沌状态。系统的模糊熵复杂度随r增大而增大，最大可达3.97。

[0087] (3)当h＝4,r＝1，内部扰动频率c从0变化到100时，系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度如图6(a)‑图6(c)所示。在c∈(0,0.5)时，有窄的周期窗口，其余范围系
统始终有两个正的Lyapunov指数，系统为超混沌状态。系统的模糊熵复杂度随c变化而在
1.6附近波动。

[0088] 第三步、建立三维实心多腔超混沌系统，具体是：在三维空心多腔超混沌系统的基础上对x、y维度增加填充项得到三维实心多腔超混沌系统，该三维多腔混沌系统的模型为
表达式3)：

[0089]

[0090] 其中：x、y、z为状态变量；h为混沌系统吸引子高度，r为吸引子在x‑y坐标平面的投影半径，c为内部扰动频率。

[0091] 该三维实心多腔超混沌模型框图详见图7。

[0092] 设置参数c＝100,r＝1,h＝4，初值x(0)＝0.1,y(0)＝0.1,z(0)＝0.1，利用Matlab进行仿真，得到表达式3)的吸引子如图8所示。

[0093] 设置参数c＝π,r＝1,h＝1，两组初值分别为x(0)＝0.1,y(0)＝0.1,z(0)＝0.1和x(0)＝0.1,y(0)＝0.1,z(0)＝‑0.1，表达式3)的共存吸引子如图9所示。

[0094] 因此，可以看出：当满足条件c×h≤π时，由于系统的z维度的极性受z(0)控制，从而形成了一对关于x‑y面对称的共存吸引子。系统动力学分析如下：

[0095] (1)当c＝100,r＝1，吸引子高度h从0变化到10时，系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度如图10(a)‑图10(c)所示。系统始终有三个正的Lyapunov指数，为超混沌状
态。系统的模糊熵复杂度随h变化而在1附近波动。

[0096] (2)当c＝100,h＝4，吸引子投影半径r从0变化到10时，系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度如图11(a)‑图11(c)所示。系统始终有三个正的且随参数r增大而减小
Lyapunov指数；系统在该区间内处于超混沌状态。系统的模糊熵复杂度随r增大而增大，最
大可达3.04。

[0097] (3)当h＝4,r＝1，内部扰动频率c从0变化到100时，系统的Lyapunov指数谱、分岔图和模糊熵复杂度如图12(a)‑图12(c)所示。在c∈(0,0.4)时有窄窗口，其余范围系统始终
有三个正的且随参数c增大而增大Lyapunov指数，系统为超混沌状态。系统的模糊熵复杂度
随c变化而在1附近波动。

[0098] 可见，本发明通过改变模型的包络控制函数，使得吸引子平行于x‑y面的截面半径随截面高度z变化，从而对吸引子的形状加以控制。当包络控制函数确定时，截面半径随z变
化的关系确定。系统的混沌行为由z维度的混沌行为驱动，并通过x,y维度对系统的混沌行
为加以强化。采用本发明的系统模型还可以用于其他离散多腔混沌系统的构建，实用性强；
通过对包络控制函数的修改，可得到吸引子相图清晰且具有丰富动力学特性的系统。

[0099] 实施例2：

[0100] 一种伪随机序的获得方法，该伪随机序列基于实施例1所公开的构建方法所得三维多腔混沌系统获得。

[0101] 本实施例中伪随机序列的获得方法是：根据模型表达式3)的某一维度产生的混沌6 5
序列；将混沌序列中的每一个状态值扩大10倍或10 倍后模256，得到一个值在0到255之间
变化的整数序列；将该整数序列中的每个值转化为八位二进制数，即得伪随机序列；

[0102] 该伪随机序列为表达式4)：

[0103]

[0104] 其中：PRBS为生成的伪随机系列，floor为向下取整操作，mod为取模操作，xi为混沌序列。

[0105] 为进一步检验该伪随机序列的随即特性，对序列进行NIST测试。测试共分15个子项目，其中部分项目经多次测试取平均值，具体的测试项目和测试结果如表1所示。根据表1
的测试结果可知：本发明基于三维正弦有填充多腔超混沌系统的伪随机序列通过了全部测
试，具有优良的随机性，适用于加密等工程领域，应用广泛。

[0106] 表1 NIST测试结果

[0107]测试指标 次数 P‑values 通过率 测试结果
频率测试 1 0.4750 1 通过
块内频数测试 1 0.8978 1 通过
累积和测试* 2 0.7476 1 通过
动向测试 1 0.8677 0.98 通过
最大游程检测 1 0.6163 1 通过
二进制矩阵秩测试 1 0.7981 1 通过
频谱测试 1 0.1453 0.99 通过
非重叠字匹配测试* 148 0.5204 0.99 通过
重叠字匹配测试 1 0.2622 0.99 通过
通用统计测试 1 0.0487 0.99 通过
近似熵测试 1 0.9114 0.99 通过
随机游程测试* 8 0.4176 0.99 通过
随机游程变量测试* 18 0.3594 0.99 通过
系列测试* 2 0.4708 0.99 通过
线性复杂度测试 1 0.4190 1 通过

[0108] 注：*测试包含多次测试，列出的为测试结果中P‑values和通过率的平均结果

[0109] 以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修
改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。