一种粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法

摘要

本发明公开了一种粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，首先根据阻尼器刚度的频率相关性，构造一系列非线性特征值问题，继而序列求解等效的各阶模态并综合形成准正交模态空间，由此确定阻尼器的各阶模态阻尼比，最后叠加各阶模态响应得到结构动力响应。本发明分别采用本发明方法和传统方法开展地震响应分析，并与分数阶微分方程组的精确数值解进行对比。结果表明，传统方法所得的速度、加速度和阻尼器恢复力误差较大，而本发明方法可获得高精度的各类响应结果。

权利要求

1.一种粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，定义为序列模态等效与综合法，其特征在于，包括以下步骤：S1、构造一系列非线性特征值问题：考虑粘弹性阻尼器性能的频率相关性，将减震结构的模态分析定义为非线性特征值问题，具体包括：为考虑弹性阻尼器性能的频率相关性，序列模态等效与综合法(SMES)将减震结构的模态分析方程考虑为：(i) (i)

式中，K、M分别为原始结构的刚度矩阵与质量阵，ω 和φ 分别代表针对第i阶模态(i)参数进行模态分析所得到的模态频率和振型； 代表ω 中的第i阶模态频率值，为根据模态频率 计算的粘弹性阻尼器等效刚度 所构成的刚度矩阵；

S2、分阶循环迭代求解特征值问题，具体包括：

对式(1)的非线性特征值问题，结合式(2)～(3)迭代求解，迭代初值可选为原结构的第i阶模态频率，即 重复若干次线性模态分析，直至 收敛，最终选择收敛后的 和作为第i阶等效模态结果，并将各阶振型构造成准正交模态空间：式中，ω、Ψ分别为减震结构的自振频率矩阵和模态矩阵， 分别为收敛后的第n阶自振频率和振型；

S3、获取粘弹性阻尼器各阶附加模态阻尼比；

S4、求解结构在各模态坐标下的单自由度运动方程及结构响应。

2.根据权利要求1所述的粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，其特征在于，所述粘弹性阻尼器的等效刚度kd(ω)为：其中，A、h分别为粘弹性阻尼器的有效面积和厚度，G'(ω)为在频率ω的简谐应变作用下的分数阶导数粘弹性阻尼器的储能剪切模量，G为材料弹性参数；δ为分数阶导数粘弹性δ δ阻尼器的分数导数阶次，0<δ<1；a、b为温频等效参数，a＝aref/c ，b＝bref/c ；aref、bref为在参考温度Tref下的参数a、b值； 为温频转换系数；T为温度；θ为阻尼器常数。

3.根据权利要求2所述的粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，其特征在于，所述分阶循环迭代求解特征值问题是对非线性特征值问题进行分阶循环迭代求解，求得结构各阶自振频率、振型、粘弹性阻尼器储能刚度、耗能刚度；将各阶振型构造成准正交模态空间。

4.根据权利要求3所述的粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，其特征在于，步骤S3是利用模态应变能法获取粘弹性阻尼器的各阶附加模态阻尼比：式中， 为根据模态频率 计算的粘弹性阻尼器等效阻尼 所构成的阻尼矩阵。

5.根据权利要求4所述的粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，其特征在于，粘弹性阻尼器的等效阻尼cd(ω)为：式中，G”(ω)为在频率ω的简谐应变作用下的分数阶导数粘弹性阻尼器的损耗剪切模量。

6.根据权利要求5所述的粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，其特征在于，步骤S4是利用模态叠加法求解结构响应。

7.根据权利要求6所述的粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，其特征在于，步骤S4具体包括：基于准正交的综合模态空间，求得结构各自由度响应，其与模态坐标之间的关系为，式中， 为结构第i阶模态坐标(i＝1,2,...,n)，n为结构自由度数。

8.根据权利要求7所述的粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，其特征在于，所述第i阶模态坐标满足以下单自由度运动方程：其中， 为结构的第i阶模态质量，ξi为原结构的第i阶模态阻尼比， 为粘弹性阻尼器第i阶附加模态阻尼比，P(t)为外部作用力矩阵。

说明书

一种粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法

技术领域

[0001] 本发明属于减震隔震领域，具体涉及一种粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法。

背景技术

[0002] 粘弹性阻尼器力学性能与温度、频率、应变幅值和加载循环次数等因素有关，可用Kevin、Maxwell、标准线性固体或分数导数等多种本构模型进行描述，其中分数导数模型对于较宽的温度、频率和幅值范围，以及随机激励均具有较高精度。

[0003] 实际工程中，频率是阻尼器在实际应用中主要考虑的影响因素。工程结构一般存在多个自振频率，粘弹性阻尼器的加入也会改变结构的刚度分布和自振频率。粘弹性阻尼减震结构的动力响应求解问题，实际上是非线性动力分析问题，所对应的模态分析为非线性特征值问题。

[0004] 传统求解方法根据结构基频确定粘弹性阻尼器的储能和耗能参数，建立阻尼器附加的刚度矩阵和阻尼矩阵，从而线性化结构动力分析，忽略了结构高阶自振频率对阻尼器储能刚度和耗能刚度的影响，也忽略了粘弹性阻尼器与结构之间相互影响所产生的非线性问题，与此同时，实际动力激励如地震作用也可能存在多个远离结构基频的激励主频，上述多种因素，都容易导致传统算法所求得的速度和加速度等高阶效应较大的响应精度较低(Ou J P,Long X,Li Q S.Seismic response analysis of structures with velocity‑dependent dampers[J].Journal of Constructional Steel Research,2007,63:628‑638)。

发明内容

[0005] 针对粘弹性阻尼器减震结构的动力响应求解问题，本发明提出一种粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，定义为序列模态等效与综合法(SMES)，用于求解粘弹性阻尼器减震结构的响应求解。该方法通过对非线性特征值问题的序列迭代求解，确定减震结构的各阶等效自振频率和振型，综合得到准正交的模态空间，继而根据各阶等效模态计算阻尼器的等效模态刚度和模态阻尼比，最后应用模态叠加原理直接计算得到减震结构的地震响应。结果表明，对于结构的峰值响应与响应趋势，序列模态等效与综合法均可得到较高精度的结果。

[0006] 本发明至少通过如下技术方案之一实现。

[0007] 一种粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，定义为序列模态等效与综合法(SMES)，包括以下步骤：

[0008] S1、构造一系列非线性特征值问题：考虑粘弹性阻尼器性能的频率相关性，将减震结构的模态分析定义为非线性特征值问题；

[0009] S2、分阶循环迭代求解特征值问题；

[0010] S3、获取粘弹性阻尼器各阶附加模态阻尼比；

[0011] S4、求解结构在各模态坐标下的单自由度运动方程及结构响应。

[0012] 优选的，步骤S1具体包括：

[0013] 为考虑弹性阻尼器性能的频率相关性，序列模态等效与综合法(SMES)将减震结构的模态分析方程考虑为：

[0014]

[0015] 式中，K、M分别为原始结构的刚度矩阵与质量阵，ω(i)和φ(i)分别代表针对第i阶(i)模态参数进行模态分析所得到的模态频率和振型； 代表ω 中的第i阶模态频率值，为由只在原始结构基频 作用下计算所得粘弹性阻尼器等效刚度 所构成
的刚度矩阵。

[0016] 优选的，所述粘弹性阻尼器等效刚度 为：

[0017]

[0018]

[0019] 其中，A、h分别为阻尼器的有效面积和厚度，kd(ω)为单个粘弹性阻尼器的等效刚度系数，G'(ω)为在频率为ω的简谐应变作用下，分数阶导数粘弹性阻尼器的储能剪切模δ δ δ量，G为材料弹性参数；D＝d /dt为分数导数算子；，δ为分数导数的阶次，0<δ<1；a、b为温频δ δ
等效参数，a＝aref/c ，b＝bref/c ；aref、bref为在参考温度Tref下的温频等效参数a、b值；
为温频转换系数；T为温度；θ为阻尼器常数。

[0020] 优选的，所述分阶循环迭代求解特征值问题是对非线性特征值问题进行分阶循环迭代求解，求得结构各阶自振频率、振型、粘弹性阻尼器储能刚度、耗能刚度；将各阶振型构造成准正交模态空间。

[0021] 优选的，步骤S2的求得具体包括：

[0022] 对式(1)的非线性特征值问题，结合式(2)～(3)迭代求解，迭代初值可选为原结构的第i阶模态频率，即 重复若干次线性模态分析，直至 收敛，最终选择收敛后的和 作为第i阶等效模态结果，并将各阶振型构造成准正交模态空间：

[0023]

[0024]

[0025] 式中，ω、Ψ分别为减震结构的自振频率矩阵和模态矩阵， 分别为收敛后的第n阶自振频率、阵型。

[0026] 优选的，步骤S3是利用模态应变能法获取粘弹性阻尼器各阶附加模态阻尼比：

[0027]

[0028] 式中，Cd为由只在各阶模态频率 作用下计算所得粘弹性阻尼器等效刚度所构成的刚度矩阵。

[0029] 优选的，粘弹性阻尼器等效刚度 为：

[0030]

[0031]

[0032] 式中，cd(ω)为单个粘弹性阻尼器的等效阻尼系数，G”(ω)为在频率为ω的简谐应变作用下，分数阶导数粘弹性阻尼器的损耗剪切模量。

[0033] 优选的，步骤S4是利用模态叠加法求解结构响应。

[0034] 优选的，步骤S4具体包括：

[0035] 基于准正交的综合模态空间，求得结构各自由度响应，其与模态坐标之间的关系为，

[0036]

[0037] 式中， 为结构第i阶模态坐标，i＝1,2,...,n，n为结构自由度数。

[0038] 优选的，所述第i阶模态坐标满足以下单自由度运动方程：

[0039]

[0040] 其中， 为结构的第i阶模态质量，ξi为原结构的第i阶模态阻尼比， 为粘弹性阻尼器第i阶附加模态阻尼比，P(t)为外部作用力矩阵。

[0041] 与现有的技术相比，本发明的有益效果为：

[0042] 本发明的目的在于克服对粘弹性阻尼器减震结构的传统方法(仅使用原始结构的基频计算粘弹性阻尼器的等效参数再求解结构响应)的缺点与不足，本方法可得到高精度的响应解，并且具有高效的求解效率，能适用于粘弹性阻尼器减震结构的各类振动分析。

附图说明

[0043] 图1是实施例含粘弹性阻尼器的n层减震结构模型图；

[0044] 图2a是实施例减震结构第1层结构响应相平面图；

[0045] 图2b是实施例减震结构第10层结构响应相平面图；

[0046] 图3a是实施例减震结构第1层阻尼器滞回曲线图；

[0047] 图3b是实施例减震结构第10层阻尼器滞回曲线图；

[0048] 图4a是实施例减震结构第1层位移响应对比图；

[0049] 图4b是实施例减震结构第1层速度响应对比图；

[0050] 图4c是实施例减震结构第1层加速度响应对比图；

[0051] 图5a是实施例减震结构第10层位移响应对比图；

[0052] 图5b是实施例减震结构第10层速度响应对比图；

[0053] 图5c是实施例减震结构第10层加速度响应对比图。

具体实施方式

[0054] 下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

[0055] 本实施例的一种粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，定义为序列模态等效与综合法，用于粘弹性阻尼器减震结果动力响应求解。该方法，通过对非线性特征值问题的序列迭代求解，确定减震结构的各阶等效自振频率和振型，综合得到准正交的模态空间，继而根据各阶等效模态计算阻尼器的等效模态刚度和模态阻尼比，最后应用模态叠加原理直接计算得到减震结构的地震响应。结果表明，对于结构的峰值响应与响应趋势，序列模态等效与综合法均可得到较高精度的结果。

[0056] 一种粘弹性阻尼器减震结构的抗震设计分析方法，包括以下步骤：

[0057] (1)构造一系列非线性特征值问题：考虑粘弹性阻尼器性能的频率相关性，将减震结构的模态分析定义为非线性特征值问题；

[0058] (2)分阶循环迭代求解特征值问题：对非线性特征值问题进行分阶循环迭代求解，求得结构各阶自振频率、振型、粘弹性阻尼器储能刚度、耗能刚度；将各阶振型构造成准正交模态空间；

[0059] (3)计算粘弹性阻尼器各阶附加模态阻尼比：利用模态应变能法计算粘弹性阻尼器各阶附加模态阻尼比；

[0060] (4)利用模态叠加法，计算结构响应：求解结构在各模态坐标下的单自由度运动方程，利用模态叠加原理，求解结构响应。

[0061] 步骤(1)的具体做法为：

[0062] 传统算法中，减震结构的模态分析方程应为，

[0063] {[K+Kd]‑ω2M}φ＝0     (1)

[0064] 式中，K、M分别为原始结构的刚度矩阵与质量阵，Kd为由只在原始结构基频 作用下计算所得粘弹性阻尼器等效刚度 所构成的刚度矩阵。 计算方法为：

[0065]

[0066]

[0067] 为严格考虑弹性阻尼器性能的频率相关性，减震结构的模态分析方程应为：

[0068]

[0069] 式中，ω(i)和φ(i)分别代表针对第i阶模态参数进行模态分析所得到的模态频率(i)和振型； 代表ω 中的第i阶模态频率值。Kd为由只在原始结构基频 作用下计算所得粘弹性阻尼器等效刚度 所构成的刚度矩阵。 计算方法为：

[0070]

[0071]

[0072] 其中，A、h分别为阻尼器的有效面积和厚度，G'(ω)为在频率为ω的简谐应变作用δ δ δ下，分数阶导数粘弹性阻尼器的储能剪切模量。G为材料弹性参数；D＝d/dt为分数导数算δ δ
子；δ为分数导数的阶次，0<δ<1；a、b为温频等效参数，a＝aref/c ，b＝bref/c ；aref、bref为在参考温度Tref下的参数a、b值； 为温频转换系数；T为温度；θ为阻尼器常数。

[0073] 作为优先的实施例，步骤(2)的具体做法为：

[0074] 对式(1)的非线性特征值问题，结合式(2)～(3)迭代求解，迭代初值可选为原结构的第i阶模态频率，即 重复若干次线性模态分析，直至 收敛，最终选择收敛后的和 作为第i阶等效模态结果，并将各阶振型构造成准正交模态空间：

[0075]

[0076]

[0077] 作为优先的实施例，步骤(3)的具体做法为：

[0078] 利用模态应变能法计算粘弹性阻尼器各阶附加模态阻尼比：

[0079]

[0080] 式中，Cd为由只在各阶模态频率 作用下计算所得粘弹性阻尼器等效刚度所构成的刚度矩阵。 计算方法为：

[0081]

[0082]

[0083] 式中，G”(ω)为在频率为ω的简谐应变作用下，分数阶导数粘弹性阻尼器的损耗剪切模量。

[0084] 作为优先的实施例，步骤(4)的具体做法为：

[0085] 基于准正交的综合模态空间，可求得结构各自由度响应，其与与模态坐标之间的关系为，

[0086]

[0087] 式中，各模态坐标 近似满足以下单自由度运动方程，

[0088]

[0089] 其中， 为结构的第i阶模态质量；ξi为原结构的第i阶模态阻尼比。

[0090] 以分数导数粘弹性阻尼器的多层减震结构为例来描述粘弹性阻尼器本构关系，图1所示为是含粘弹性阻尼器的n层减震结构模型图，考虑El Centro(NS，1940)地震波(前
2
10s，含峰值加速度)，地震动峰值取为200Gal。各层粘弹性阻尼器相同，A＝0.0976m ，h＝
2
0.0635m，G＝2.5×106N/m ，a＝0.0347，b＝4.16，δ＝0.71。结构各层的层质量和层间刚度
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分别为8×10kg和2×10N/m，阻尼矩阵C＝0.0785M+0.0029K。作为对比，同时采用传统算法(仅使用原始结构的基频计算粘弹性阻尼器的等效参数再求解结构响应)、精确数值算法(采用数值分析方法直接求解运动方程)计算结构响应。

[0091] 在El Centro地震波作用下，可得结构各层最大响应结果与阻尼力结果，见表1：

[0092] 表1El Centro地震波作用下的结构各层最大响应

[0093]

[0094]

[0095]

[0096] 由表1结果可见，在地震作用下：

[0097] (1)本发明序列模态等效与综合法SMES法的响应精度较高，其中位移最大偏差小于2％，速度最大偏差小于3％，加速度最大偏差小于6％，阻尼器恢复力最大偏差小于3％；

[0098] (2)传统方法(仅使用原始结构的基频计算粘弹性阻尼器的等效参数再求解结构响应)的响应偏差较大，其中位移最大偏差接近9％，速度最大偏差接近16％，加速度最大偏差接近19％，阻尼器恢复力最大偏差接近63％。

[0099] 图2a、图2b与图3a、图3b为本发明序列模态等效与综合法(SMES)、传统算法(仅使用原始结构的基频计算粘弹性阻尼器的等效参数再求解结构响应)、精确数值算法(采用数值分析方法直接求解运动方程)等三种算法所得的结构第1层、第10层的响应相平面图，从结果可知，本发明序列模态等效与综合法(SMES)所得结果与精确结果在趋势上基本一致。

[0100] 图4a、图4b、图4c与图5a、图5b、图5c分别为对应的结构结构第1层的位移、速度、加速度与结构第10层的位移、速度、加速度时程结果图，从图中结果可知，本发明序列模态等效与综合法(SMES)所得结果与精确结果基本一致，而传统方法结果在曲线趋势和峰值上均有明显差别，尤其是在以高频响应为主的速度、加速度响应的偏差较大。

[0101] 上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。