本发明公开了一种基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法，包括：(1)建立抽油杆柱波动方程。(2)利用傅里叶级数法给出悬点位移、悬点载荷和泵端载荷的近似表达式代入方程。(3)利用振型叠加法将抽油杆柱波动方程化为正则方程。(4)利用单自由度系统振动求解公式求解方程。(5)利用悬点载荷求解和对比系数求出泵端载荷表达式的傅里叶系数，求出泵端载荷表达式和位移表达式。本发明相比现有的泵功图转化模型求解过程简便，模型建立过程简单易懂，具有实际工程意义。
1.基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：步骤1、同时考虑悬点位移激励、泵端载荷激励与油液阻尼激励，从多级抽油杆柱上选取微元体，对微元体进行动力学分析，从而建立多级抽油杆柱波动方程：式中：u*(t)为任意时刻悬点的位移，单位为m；Ke为抽油杆柱悬挂系统的等效弹簧常数，单位为N/m；E1为第一级杆柱弹性模量，单位为Pa；E2为第二级杆柱弹性模量，单位为Pa；L1为第一级杆柱长度，单位为m；L2为第二级杆柱长度，单位为m；A1为第一级杆柱横截面积，单位
为m ；A2为第二级杆柱横截面积，单位为m ；u1(x，t)为第一级杆柱任意截面x在时刻t相对于悬点的位移，单位为m；u2(x，t)为第二级杆柱任意截面x在时刻t相对于悬点的位移，单位为m；Fp(t)为柱塞载荷，单位为N；c1为声音在第一级抽油杆中的传播速度，单位为m/s；v1为油井液体对第一级抽油杆柱的阻力系数，单位为1/s；c2为声音在第二级抽油杆中的传播速度，单位为m/s；v2为油井液体对第二级抽油杆柱的阻力系数，单位为1/s；
步骤2、利用傅里叶级数法给出悬点位移、悬点载荷和泵端载荷的近似表达式：悬点位移
式中：e0、en、fn为悬点位移傅里叶表达式中的傅里叶系数；g0、gn、hn为悬点载荷傅里叶表达式中的傅里叶系数；j0、jn、ln为泵端载荷傅里叶表达式中的傅里叶系数；ω0为曲柄转动的平均角速度，单位为rad；t为曲柄运动的时间，单位为s；
步骤3、利用振型叠加法将抽油杆柱波动方程化为正则方程：式中： 为正则坐标下杆柱任意位置处的加速度； 为正则坐标下杆柱任意位置处的速度；qr(t)为正则坐标下杆柱任意位置处的位移；CNr为正则阻尼；ωr为固有频率；Qr(t)为正则力；
步骤4、利用单自由度系统振动求解公式求解方程，杆柱任意位置处的位移表达式为：式中：Rrn为正则力表达式中sin前的系数表达式；Srn为正则力表达式中cos前的系数表达式；Zr为放大因子； 为相位角；Tr为正则力表达式中的常数项表达式；K为杆柱的弹簧刚度；
步骤5、利用悬点载荷求解和对比系数求出泵端载荷表达式的傅里叶系数，求出泵端载荷表达式和位移表达式，对比系数的过程为：式中：Yr(x)为正则振型函数；Gr′od为杆柱在油液中的自重。
2.权利要求书1中所述的基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法，其特征在于：在步骤3中，正则方程的求解的计算步骤如下：步骤二中用傅里叶级数法给出了泵端载荷和悬点位移的近似表达式，并代入到了方程中，运动微分方程右端sin，cos前的系数表达式如下式：式中：n为泵端载荷和悬点位移的傅里叶表达式中的傅里叶系数的个数；Ar为正则系数；
Zhangpo(r)、Zdamp(r)为正则力表达式中的简化表达式；U(L1+L2)为主振型函数；
将其带入单自由度系统在简谐激励力下的响应求解公式，并将不同频率的简谐力激励下的响应叠加，得到杆柱任意位置处的位移表达式。
3.权利要求书1中所述的基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法，其特征在于：在步骤5中，悬点载荷求解及对比系数的计算步骤如下：悬点载荷的表达式为：
PRL＝Ke(u(t)‑u1(0,t))+G′rod令上式与步骤二中得到的悬点载荷表达式中cos与sin前的傅立叶系数对应相等，求得泵端载荷表达式的傅里叶系数；
由上式求得泵端载荷傅里叶系数jn，ln，j0，得到泵端载荷的表达式。
基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法
技术领域
[0001] 本发明涉及抽油设备故障诊断技术领域，尤其是一种基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法。
背景技术
[0002] 随着石油不断开采，有杆泵抽油系统工作环境也日益恶劣。因此抽油机故障诊断成为国内学者研究的热门领域。目前国内外有杆抽油系统故障诊断均是以井下泵功图作为判断依据。井下泵功图相对于地面示功图可以更准确地反映出井下实际工况，其不同曲线形态代表了不同的工况。但是实测法获取井下泵功图无法做到实时观察工况，耗资巨大且工艺复杂，所以没有得到广泛应用。因此只能靠模型计算获得井下泵功图。
[0003] 在现有的抽油机井泵功图转化模型中，主要依据抽油杆柱特性建立抽油杆柱波动方程，并利用差分法求解方程得出泵端载荷和位移。但是现有泵功图转化模型建立过程均比较复杂，且方程求解过程繁琐。为此，本文提出了基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法，减小了模型的求解难度。
发明内容
[0004] 本发明需要解决的技术问题是提供一种基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法，将不同时刻实测示功图通过模型转化为井下泵功图，减小了模型的求解难度，使得模型建立过程简单易懂，求解过程简便，从而更准确的判断井下工况，能够高效地将实测的地面示功图转化为井下泵功图，提高了故障诊断的效率与准确度，具有实际工程意义。
[0005] 为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：
[0006] 基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法，所述方法包括以下步骤：
[0007] 步骤1、同时考虑悬点位移激励、泵端载荷激励与油液阻尼激励，从多级抽油杆柱上选取微元体，对微元体进行动力学分析，从而建立多级抽油杆柱波动方程：
[0008]
[0009] 式中：u*(t)为任意时刻悬点的位移，单位为m；Ke为抽油杆柱悬挂系统的等效弹簧常数，单位为N/m；E1为第一级杆柱弹性模量，单位为Pa；E2为第二级杆柱弹性模量，单位为Pa；L1为第一级杆柱长度，单位为m；L2为第二级杆柱长度，单位为m；A1为第一级杆柱横截面2 2
积，单位为m ；A2为第二级杆柱横截面积，单位为m ；u1(x，t)为第一级杆柱任意截面x在时刻t相对于悬点的位移，单位为m；u2(x，t)为第二级杆柱任意截面x在时刻t相对于悬点的位移，单位为m；Fp(t)为柱塞载荷，单位为N；c1为声音在第一级抽油杆中的传播速度，单位为m/s；v1为油井液体对第一级抽油杆柱的阻力系数，单位为1/s；c2为声音在第二级抽油杆中的传播速度，单位为m/s；v2为油井液体对第二级抽油杆柱的阻力系数，单位为1/s；
[0010] 步骤2、利用傅里叶级数法给出悬点位移、悬点载荷和泵端载荷的近似表达式：
[0011] 悬点位移
[0012]
[0013] 悬点载荷
[0014]
[0015] 泵端载荷
[0016]
[0017] 式中：e0、en、fn为悬点位移傅里叶表达式中的傅里叶系数；g0、gn、hn为悬点载荷傅里叶表达式中的傅里叶系数；j0、jn、ln为泵端载荷傅里叶表达式中的傅里叶系数；ω0为曲柄转动的平均角速度，单位为rad；t为曲柄运动的时间，单位为s；
[0018] 步骤3、利用振型叠加法将抽油杆柱波动方程化为正则方程：
[0019]
[0020] 式中： 为正则坐标下杆柱任意位置处的加速度； 为正则坐标下杆柱任意位置处的速度；qr(t)为正则坐标下杆柱任意位置处的位移；CNr为正则阻尼；ωr为固有频率；Qr(t)为正则力；
[0021] 步骤4、利用单自由度系统振动求解公式求解方程，杆柱任意位置处的位移表达式为：
[0022]
[0023] 式中：Rrn为正则力表达式中sin前的系数表达式；Srn为正则力表达式中cos前的系数表达式；Zr为放大因子； 为相位角；Tr为正则力表达式中的常数项表达式；K为杆柱的弹簧刚度；
[0024] 步骤5、利用悬点载荷求解和对比系数求出泵端载荷表达式的傅里叶系数，求出泵端载荷表达式和位移表达式，对比系数的过程为：
[0025]
[0026] 式中：Yr(x)为正则振型函数；Gr′od为杆柱在油液中的自重。
[0027] 本发明技术方案的进一步改进在于：在步骤3中，正则方程的求解的计算步骤如下：
[0028] 步骤二中用傅里叶级数法给出了泵端载荷和悬点位移的近似表达式，并代入到了方程中，运动微分方程右端sin，cos前的系数表达式如下式：
[0029]
[0030] 式中：n为泵端载荷和悬点位移的傅里叶表达式中的傅里叶系数的个数；Ar为正则系数；Zhangpo(r)、Zdamp(r)为正则力表达式中的简化表达式；U(L1+L2)为主振型函数；
[0031] 将其带入单自由度系统在简谐激励力下的响应求解公式，并将不同频率的简谐力激励下的响应叠加，得到杆柱任意位置处的位移表达式。
[0032] 本发明技术方案的进一步改进在于：：在步骤5中，悬点载荷求解及对比系数的计算步骤如下：
[0033] 悬点载荷的表达式为：
[0034] PRL＝Ke(u*(t)‑u1(0,t))+G′rod
[0035] 令上式与步骤二中得到的悬点载荷表达式中cos与sin前的傅立叶系数对应相等，求得泵端载荷表达式的傅里叶系数。
[0036] 对比系数确定泵端载荷傅里叶系数：
[0037]
[0038] 由上式求得泵端载荷傅里叶系数jn，ln，j0，得到泵端载荷的表达式。
[0039] 由于采用了上述技术方案，本发明取得的技术进步是：
[0040] 本发明将不同时刻实测示功图通过模型转化为井下泵功图，减小了模型的求解难度，使得模型建立过程简单易懂，求解过程简便，从而更准确的判断井下工况，能够高效地将实测的地面示功图转化为井下泵功图，提高了故障诊断的效率与准确度，具有实际工程意义。
附图说明
[0041] 图1为本发明的抽油杆柱多质量—弹簧模型图；
[0042] 图2为本发明的抽油杆柱节点受力分析模型图；
[0043] 图3为本发明正常工况的地面悬点示功图和井下泵功图；
[0044] 图4为本发明游动阀漏失的地面悬点示功图和井下泵功图；
[0045] 图5为本发明固定阀漏失的地面悬点示功图和井下泵功图；
[0046] 图6为本发明供液不足的地面悬点示功图和井下泵功图；
[0047] 图7为本发明上碰泵的地面悬点示功图和井下泵功图。
具体实施方式
[0048] 下面结合实施例对本发明做进一步详细说明：
[0049] 如图1、图2所示，一种基于连续系统振型叠加法的抽油机井泵功图转化方法，所述方法包括以下步骤：
[0050] 步骤1、从多级抽油杆柱上选取微元体，对微元体进行动力学分析，建立抽油杆柱波动方程。
[0051] 由抽油杆柱微元体受力分析可得抽油杆柱纵向振动数学模型为：
[0052]
[0053] 其中：
[0054]
[0055] 式中：u*(t)为任意时刻悬点的位移，m；ke为抽油杆柱悬挂系统的等效弹簧常数，N/m；E1为第一级杆柱弹性模量，Pa；E2为第二级杆柱弹性模量，Pa；L1为第一级杆柱长度，m；2 2
L2为第二级杆柱长度，m；A1为第一级杆柱横截面积，m ；A2为第二级杆柱横截面积，m ；u1(x，t)为第一级杆柱任意截面x在时刻t相对于悬点的位移，m；u2(x，t)为第二级杆柱任意截面x
3
在时刻t相对于悬点的位移，m；Fp(t)为柱塞载荷，N；ρi为第i级杆柱密度，kg/m ；Ei为第i级杆柱弹性模量，Pa；Li为第i级杆柱长度，m；vε为油井液体对杆柱的阻力系数，Pa·s，dx为杆柱微元长度，m；Dti为油管内径，m；Dr为第r级杆柱直径，m；Dc为杆箍直径，m；Lr为第r级抽油杆长度，m；μ为液体动力粘度，Pa·s；c为声音在抽油杆中的传播速度，m/s；v为油井液体对抽油杆柱的阻尼系数，1/s；νe为油井液体对杆柱的阻力系数，Pa·s。
[0056] 步骤2、利用傅里叶级数法给出悬点位移、悬点载荷和泵端载荷的近似表达式代入方程。
[0057] 利用截断的傅立叶级数法给出悬点载荷、悬点位移、泵端载荷的近似表达式：
[0058] 悬点位移
[0059]
[0060] 悬点载荷
[0061]
[0062] 泵端载荷
[0063]
[0064] 式中的傅立叶系数e、f、g、h由下式给出，泵端载荷的傅立叶系数将在后文求出。
[0065]
[0066] 式中：T为抽油机的运行周期，s；ω0为曲柄转动的角速度，rad；为截断的傅立叶级数的项数。
[0067] 步骤3、基于振型叠加法将抽油杆柱波动方程转化为正则方程。利用质量的正交性求出正则振型、正则阻尼、正则力及正则方程。
[0068] 二级抽油杆柱无阻尼自由振动的波动方程、边界条件及连续性条件为：
[0069]
[0070] 式(7)中波动方程通解为：
[0071]
[0072] 式中：B1、B2、D1、D2、p、 为积分常数，其中p称为抽油杆柱纵向振动的固有频率。
[0073] 由边界条件及连续性条件可得固有频率方程：
[0074]
[0075] 由式(9)可求得r阶固有频率。
[0076] 设二级杆柱的主振型函数为：
[0077]
[0078] 将式(10)代入边界条件及连续性条件中可得二级杆柱的主振型函数：
[0079]
[0080] 其中
[0081]
[0082] 设正则振型函数为下式：
[0083]
[0084] 由振型函数对质量的正交性，可得
[0085]
[0086] 由式(14)可得正则系数
[0087]
[0088] 将式(15)代入式(13)便得正则振型函数。
[0089] 正则阻尼
[0090]
[0091] 正则力
[0092]
[0093] 其中
[0094]
[0095] 引入正则坐标qr(t)，由振型叠加法可知抽油杆柱任意位置截面在时刻t的位移可表示为
[0096]
[0097] 将正则变换关系式代入波动方程，并在全杆长上积分，最后两边同乘Yr(x)，得正则方程：
[0098]
[0099] 步骤4、利用单自由度系统振动求解公式求解方程。
[0100] 式(20)是二阶常系数非齐次线性微分方程，方程的解是由两部分组成，一部分是齐次方程通解，是瞬态响应，随着时间的增加，逐渐衰减到零，所以不必考虑。另一部分是非齐次方程的特解，是一种持续的等幅振动，是稳态响应，其频率与激振力的频率相同，所以在此只讨论稳态响应。
[0101] 按单自由度振动响应求解公式得，
[0102]
[0103] 其中
[0104]
[0105] 在原坐标中的动力响应
[0106]
[0107] 步骤5、利用悬点载荷求解和对比系数求出泵端载荷表达式的傅里叶系数，求出泵端载荷表达式和位移表达式。
[0108] 利用杆柱第一个节点的位移和拟合的悬点位移求出悬点载荷，令拟合的悬点载荷与求得的悬点载荷相等，得到泵端载荷表达式的各项傅立叶系数，泵端载荷表达式和位移表达式都已求出，便可得井下泵功图。利用式(24)可求得悬点载荷
[0109] PRL＝Ke(u*(t)‑u1(0,t))+G′rod (24)
[0110] 由于x1中含有悬点载荷函数、悬点位移函数、泵端载荷函数中的各项傅立叶系数，悬点载荷函数与悬点位移函数中的傅立叶系数由式(6)求得，只有泵端载荷函数中的傅立叶系数未知，令式(24)与式(4)中cos与sin前的傅立叶系数对应相等，便可求得泵端载荷表达式的傅里叶系数。
[0111] 对比系数确定泵端载荷傅里叶系数：
[0112]
[0113] 由式(25)求得泵端载荷傅里叶系数jn，ln，j0，便可得到泵端载荷的表达式，杆柱最后一个节点的位移为泵端位移，以泵端位移为横坐标，泵端载荷为纵坐标便可绘制出井下泵功图。
[0114] 下面结合实例进一步对本发明进行说明，取油井仿真参数：油井的基础参数为泵挂为2000m，动液面为1400m，泵径为44mm，冲程为4.8m，冲次为3/min，井液黏度为0.6Pa·s，含水率为95％，GOR为50％，油压为0.6Mpa，套压为0.3MPa，泵处油液温度为80℃，油液密度3 3
为860kg/m ，气体密度为0.85kg/m ，杆柱组合为25mm钢杆×500m+22mm钢杆×700m+19mm钢
2 3 3
杆×800m，弹性模量为2.1N/m ，钢杆密度为7.8×10kg/m ，油管规格为62mm，油管锚定。将前述的建模方法编制了Matlab应用程序，经过仿真可以得到不同工况下示功图转化出的泵功图，将每种工况的地面示功图和泵功图共同绘制在一个坐标系内，如图2所示。
[0115] S.G.吉布思认为对于悬点位移函数，取4就够了，对于悬点载荷函数，取10就够了，但是笔者在后期仿真过程中发现，拟合泵端载荷函数，至少需要取到100，所以对于悬点载荷函数，也需要取到100，这样才能保证在对比已知的悬点载荷傅立叶系数和求得的悬点载荷傅立叶系数时能做到一一对应，而且增大 并不会出现悬点载荷过拟合的问题。仿真不同工况下直井的示功图转化出的泵功图，结果表明，本模型准确度较高，具有实际工程意义。
[0116] 以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
