一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法

摘要

本发明公开了一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法，包括：1)建立深沟球轴承动力学模型，考虑轴和轴承座外壳的弹性支撑以及弹性流体润滑条件下轴承外圈、内圈、滚动体的相互作用；2)模型中包括轴承外圈、内圈以及滚动体的平面位移自由度，共(4+2Nb)个自由度，Nb是滚动体个数；3)建立剥落故障时变位移激励模型和时变位移激励函数；4)运用四阶龙格‑库塔法求解动力学微分方程，得到剥落故障球轴承的模拟信号，并通过实验数据验证了该方法的准确性和可行性。本发明解决了模拟剥落故障球轴承的动态响应问题，实现了球轴承在实际受力情况下的动力学分析，本方法适用于模拟早期单一剥落故障深沟球轴承的振动响应信号。

权利要求

1.一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法，其特征在于：考虑深沟球轴承系统多个耦合因素，准确模拟剥落故障深沟球轴承的振动响应信号，具体包括以下步骤：步骤1：选定深沟球轴承并查找轴承参数：在进行剥落故障深沟球轴承动力学建模之前，选定深沟球轴承型号，并查找所研究深沟球轴承的参数；

步骤2：建立深沟球轴承系统动力学模型；

步骤3：计算深沟球轴承系统刚度和阻尼；

步骤4：建立剥落故障时变位移激励模型以及时变位移激励函数；

步骤5：建立多自由度动力学微分方程，包括：

根据牛顿运动第二定律以及建立的球轴承系统动力学模型，建立球轴承系统各部件的动力学微分方程如下：①外圈运动微分方程为：

式中：mo为轴承外圈和轴承座外壳的总质量，ch为轴承外圈和轴承座外壳的阻尼系数，kh为轴承外圈和轴承座外壳的支撑刚度，Nb为滚动体个数，βj为滚动体是否与外圈滚道产生接触力的判断系数， 为滚动体与外圈之间的接触力， 为滚动体与外圈之间的摩擦力，θj为第j个滚动体的时变位置角， 与 与 xo与yo分别为外圈和轴承座外壳在X与Y方向上的振动加速度、速度和位移；

②内圈运动微分方程为：

式中：mi为轴承内圈和轴段的总质量，cs为轴承内圈和轴段的阻尼系数，ks为轴承内圈和轴段的支撑刚度，Nb为滚动体个数，βj为滚动体是否与内圈滚道产生接触力的判断系数，为滚动体与内圈之间的接触力， 为滚动体与内圈之间的摩擦力， 与 与 xi与yi分别为内圈和轴段在X与Y方向上的振动加速度、速度和位移，Qx为径向载荷，Qy为轴向载荷；

③滚动体运动微分方程为：

式中：mr为单个滚动体的质量，ci为轴承内圈与滚动体的阻尼系数，co为轴承外圈与滚动体的阻尼系数， 与 与 分别为第j个滚动体在X与Y方向上的振动加速度、速度；

步骤6：运用定步长四阶龙格库塔法求解多自由度动力学微分方程；

步骤7：与实验数据信号进行对比。

2.根据权利要求1所述的一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法，其特征在于：所述步骤2包括：采用弹簧和集中质量对深沟球轴承系统进行动力学建模，内圈和轴段视为一个整体，外圈固定在轴承座外壳上，将轴段和轴承座外壳视为存在刚度和阻尼的弹性支撑，建立轴－深沟球轴承－轴承座外壳系统的动力学模型。

3.根据权利要求2所述的一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法，其特征在于：所述步骤3中的球轴承系统中的刚度包括：轴段与轴承内圈的支撑刚度ks、轴承座外壳与轴承外圈的支撑刚度kh；考虑了弹性流体动力润滑后的轴承外圈与滚动体的总接触刚out in度k 、轴承内圈与滚动体的总接触刚度k ；

所述步骤3中的球轴承系统中的阻尼包括：轴段与轴承内圈的阻尼系数cs、轴承座外壳与轴承外圈的阻尼系数ch；轴承外圈与滚动体的阻尼系数co、轴承内圈与滚动体的阻尼系数ci。

4.根据权利要求3所述的一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法，其特征在于：所述步骤4中，轴承不同部件的位移激励有以下三种：轴承外圈存在单一剥落故障产生的时变位移激励、轴承内圈存在单一剥落故障产生的时变位移激励、轴承滚动体存在单一剥落故障产生的时变位移激励；针对轴承三种部件的剥落故障分别建立三种不同的剥落故障时变位移激励模型以及时变位移激励函数。

5.根据权利要求4所述的一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法，其特征在于：所述步骤6包括：确定球轴承系统各部件动力学方程中的参数，运用定步长四阶龙格库塔法求解，得到剥落故障轴承的振动响应信号。

6.根据权利要求5所述的一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法，其特征在于：所述步骤7包括：求解模型所得的加速度振动响应与实验加速度振动响应进行对比，并且对模型求解的模拟信号和实验信号进行基于希尔伯特变换的包络谱分析，以得到轴承剥落故障特征频率及相关信息，通过实验对比分析，验证所述动力学建模方法的准确性和可行性。

说明书

一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法

技术领域

[0001] 本发明属于机械旋转设备中滚动轴承故障动力学分析研究领域，具体涉及一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法。

背景技术

[0002] 滚动轴承是旋转机械中关键的零部件之一，其运行状态影响着机械设备的性能和可靠性。由于滚动轴承经常受变速等复杂工况的影响，滚动轴承的外圈滚道、内圈滚道、滚动体表面会产生局部剥落缺陷，导致滚动轴承运行异常，进而可能引发重大事故。对故障轴承进行动力学建模是研究滚动轴承故障机理的常用方法，研究具有局部剥落缺陷的滚动轴承动力学振动特性，可为轴承的状态监测和故障诊断提供一定的理论依据。

[0003] 当前对剥落故障轴承建模分析大都是对外圈滚道和内圈滚道存在剥落故障的轴承进行动力学建模分析，采用较多的是将滚动轴承考虑为一个整体列出轴承在平面运动的动力学微分方程即两自由度模型，此外就是将滚动轴承内圈和外圈分开考虑分别列出轴承内圈和外圈在平面运动的动力学微分方程即四自由度模型，或者在四自由度的基础上在轴承外部加一个单元谐振器成为五自由度模型。这些模型虽然计算过程相对简单且可以实现求解轴承滚道存在剥落故障时的振动响应，但是没有考虑滚动体与滚道之间的相互作用等因素，不能更准确地描述剥落缺陷滚动轴承的复杂动态行为，而且当滚动体存在剥落缺陷时，不能描述剥落滚动体与滚道之间的时变激励行为。基于以上问题，本发明旨在建立剥落故障深沟球轴承多自由度动力学模型，考虑滚动体与滚道间的摩擦以及润滑油膜刚度和阻尼等因素，考虑球轴承系统的内圈、外圈、滚动体及其相互作用，实现滚动轴承的外圈、内圈、滚动体分别存在剥落故障时的动态行为模拟分析，以探究剥落缺陷故障所诱发的深沟球轴承振动响应特征。

发明内容

[0004] 为克服现有的故障轴承动力学建模方法的不足，本发明提出一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法。该方法考虑轴承内圈、外圈的平面运动自由度，以及每个滚动体的平面运动自由度，实现深沟球轴承外圈、内圈、滚动体分别存在剥落故障时的轴承动态模拟分析，探究其振动响应特征。

[0005] 为达到上述目的，本发明采用的技术方案为：

[0006] 一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法，考虑深沟球轴承系统多个耦合因素，准确模拟剥落故障深沟球轴承的振动响应信号，具体包括以下步骤：

[0007] 步骤1：选定深沟球轴承并查找轴承参数：在进行剥落故障深沟球轴承动力学建模之前，选定深沟球轴承型号，并查找所研究深沟球轴承的参数；

[0008] 步骤2：建立深沟球轴承系统动力学模型；

[0009] 步骤3：计算深沟球轴承系统刚度和阻尼；

[0010] 步骤4：建立剥落故障时变位移激励模型以及时变位移激励函数；

[0011] 步骤5：建立多自由度动力学微分方程；

[0012] 步骤6：运用定步长四阶龙格库塔法求解多自由度动力学微分方程；

[0013] 步骤7：与实验数据信号进行对比。

[0014] 进一步地，所述步骤2包括：采用弹簧和集中质量对深沟球轴承系统进行动力学建模，内圈和轴段视为一个整体，外圈固定在轴承座外壳上，将轴段和轴承座外壳视为存在刚度和阻尼的弹性支撑，建立轴－深沟球轴承－轴承座外壳系统的动力学模型。

[0015] 进一步地，所述步骤3中的球轴承系统中的刚度包括：轴段与轴承内圈的支撑刚度ks、轴承座外壳与轴承外圈的支撑刚度kh；考虑了弹性流体动力润滑后的轴承外圈与滚动体out in的总接触刚度k 、轴承内圈与滚动体的总接触刚度k ；

[0016] 所述步骤3中的球轴承系统中的阻尼包括：轴段与轴承内圈的阻尼系数cs、轴承座外壳与轴承外圈的阻尼系数ch；轴承外圈与滚动体的阻尼系数co、轴承内圈与滚动体的阻尼系数ci。

[0017] 进一步地，所述步骤4中，轴承不同部件的位移激励有以下三种：轴承外圈存在单一剥落故障产生的时变位移激励、轴承内圈存在单一剥落故障产生的时变位移激励、轴承滚动体存在单一剥落故障产生的时变位移激励；针对轴承三种部件的剥落故障分别建立三种不同的剥落故障时变位移激励模型以及时变位移激励函数。

[0018] 进一步地，所述步骤5包括：

[0019] 根据牛顿运动第二定律以及建立的球轴承系统动力学模型，建立球轴承系统各部件的动力学微分方程如下：

[0020] ①外圈运动微分方程为：

[0021]

[0022] 式中：mo为轴承外圈和轴承座外壳的总质量，ch为轴承外圈和轴承座外壳的阻尼系数，kh为轴承外圈和轴承座外壳的支撑刚度，Nb为滚动体个数，βj为滚动体是否与外圈滚道产生接触力的判断系数， 为滚动体与外圈之间的接触力， 为滚动体与外圈之间的摩擦力，θj为第j个滚动体的时变位置角， 与 与 xo与yo分别为外圈和轴承座外壳在X与Y方向上的振动加速度、速度和位移；

[0023] ②内圈运动微分方程为：

[0024]

[0025] 式中：mi为轴承内圈和轴段的总质量，cs为轴承内圈和轴段的阻尼系数，ks为轴承内圈和轴段的支撑刚度，Nb为滚动体个数，βj为滚动体是否与内圈滚道产生接触力的判断系数， 为滚动体与内圈之间的接触力， 为滚动体与内圈之间的摩擦力， 与 与xi与yi分别为内圈和轴段在X与Y方向上的振动加速度、速度和位移；

[0026] ③滚动体运动微分方程为：

[0027]

[0028] 式中：mr为单个滚动体的质量，ci为轴承内圈与滚动体的阻尼系数，co为轴承外圈与滚动体的阻尼系数， 与 与 分别为第j个滚动体在X与Y方向上的振动加速度、速度。

[0029] 进一步地，所述步骤6包括：确定球轴承系统各部件动力学方程中的参数，运用定步长四阶龙格库塔法求解，得到剥落故障轴承的振动响应信号。

[0030] 进一步地，所述步骤7包括：求解模型所得的加速度振动响应与实验加速度振动响应进行对比，并且对模型求解的模拟信号和实验信号进行基于希尔伯特变换的包络谱分析，以得到轴承剥落故障特征频率及相关信息，通过实验对比分析，验证所述动力学建模方法的准确性和可行性。

[0031] 本发明的优点和积极效果为：

[0032] (1)本发明提出了一种剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法，考虑了轴承滚动体与内外滚道的非线性赫兹接触力及摩擦力，以及赫兹接触刚度和阻尼，可以更准确地描述轴承运行时各部件的实际受力情况。

[0033] (2)本发明考虑了每个滚动体平面运动的自由度，不仅可以模拟内圈、外圈存在剥落故障时的轴承振动响应，也可以模拟任意一个滚动体存在剥落故障时的轴承振动响应。

[0034] (3)本发明为多自由度动力学建模，比传统的两自由度动力学建模或四自由度动力学建模更能提供准确的动态仿真分析。

[0035] (4)本发明同样可以模拟滚动轴承在不同转速下的动态响应情况，也可以研究轴承在不同剥落故障尺寸工况下的振动响应规律，为滚动轴承性能退化评估提供一定的理论依据。

附图说明

[0036] 图1为本发明的剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法流程图；

[0037] 图2为本发明的深沟球轴承系统动力学模型图；

[0038] 图3a为深沟球轴承外圈剥落故障模型，图3b为深沟球轴承内圈剥落故障模型，图3c为深沟球轴承滚动体剥落故障模型；

[0039] 图4a为外圈剥落故障模拟加速度振动信号时域图，图4b为内圈剥落故障模拟加速度振动信号时域图，图4c为滚动体剥落故障模拟加速度振动信号时域图；

[0040] 图5a为外圈剥落故障实验加速度振动信号时域图，图5b为内圈剥落故障实验加速度振动信号时域图，图5c为滚动体剥落故障实验加速度振动信号时域图；

[0041] 图6a为外圈剥落故障模拟加速度振动信号包络谱图，图6b为内圈剥落故障模拟加速度振动信号包络谱图，图6c为滚动体剥落故障模拟加速度振动信号包络谱图；

[0042] 图7a为外圈剥落故障实验加速度振动信号包络谱图，图7b为内圈剥落故障实验加速度振动信号包络谱图，图7c为滚动体剥落故障实验加速度振动信号包络谱图。

具体实施方式

[0043] 下面结合附图和具体的深沟球轴承，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不限制本发明的范围。

[0044] 本实施例采用凯斯西储大学(Case Western Reserve University)的故障轴承实验数据来验证本发明提出的方法。选择深沟球轴承转速为1732r/min，轴承外圈滚道和内圈滚道的剥落故障宽度为0.007英寸，滚动体的剥落故障直径为0.014英寸，剥落故障深度均为0.011英寸。

[0045] 如图1所示，本发明剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法包括以下步骤：

[0046] 步骤1：选定深沟球轴承并查找轴承参数：

[0047] 在进行剥落故障深沟球轴承动力学建模之前，需要选定深沟球轴承型号，并查找所研究深沟球轴承的参数；选定深沟球轴承SKF6203为本实施例的研究对象，表1提供了深沟球轴承SKF6203的参数。

[0048] 表1.SKF6203深沟球轴承参数

[0049]

[0050] 步骤2：建立深沟球轴承系统动力学模型：

[0051] 采用弹簧和集中质量对深沟球轴承系统进行动力学建模，将轴承内圈和轴段视为一个整体，定义其质量为mi，外圈固定在轴承座外壳上，定义其总质量为mo，将轴段和轴承座外壳视为存在刚度和阻尼的弹性支撑，滚动体与内圈滚道、外圈滚道的接触同样视为具有接触刚度和阻尼的弹性支撑，均用弹簧－阻尼的形式表示，考虑轴承径向方向的平面运动，因此建立平面坐标系，即竖直的X方向和水平的Y方向。建立轴－深沟球轴承－轴承座外壳系统的动力学模型如图2所示。

[0052] 步骤3：计算深沟球轴承系统刚度和阻尼：

[0053] 球轴承系统中的刚度包括：轴段与轴承内圈的支撑刚度ks、轴承座外壳与轴承外out圈的支撑刚度kh；考虑了弹性流体动力润滑后的轴承外圈与滚动体的总接触刚度k 、轴承in
内圈与滚动体的总接触刚度k 。

[0054] (1)计算轴段与轴承内圈的支撑刚度、轴承座外壳与轴承外圈刚度：

[0055] 考虑到轴与轴承外壳几何的复杂性，因此采用静态有限元方法计算刚度。通过ANSYS Workbench软件进行计算，提取接触处的变形，得到载荷与变形的关系式。轴和轴承内圈之间的接触刚度为ks，外圈和轴承座外壳之间的接触刚度为kh。

[0056] (2)计算滚动体与轴承内、外滚道之间的总接触刚度：

[0057] 对于深沟球轴承，滚动体与滚道之间的接触形式为点接触，根据赫兹接触理论计算方法，无润滑条件下滚动体与滚道之间的接触刚度计算表达式为：

[0058]

[0059] 式中：kin和kout分别表示滚动体与内圈滚道和外圈滚道的无润滑条件下的接触刚度，Eeq为等效弹性模量，γ为点接触椭圆参数，ξ1、ξ2分别为第一类、第二类完全椭圆积分，∑ρin和∑ρout表示内圈、外圈滚道接触副的曲率和。

[0060] 弹性流体动力润滑条件下油膜刚度的计算，点接触情况下，中心油膜厚度的无量纲表达式为：

[0061] Hc＝2.69U0.67G0.53Q‑0.067(1‑0.61e‑0.73k)

[0062] 式中，U为无量纲速度参数，G为无量纲材料参数，Q为无量纲载荷参数，k为点接触椭圆的椭圆率，Hc为无量纲中心油膜厚度，Hc＝hc/Rx，其中hc为点接触中心油膜厚度，Rx为轴承的等效半径，表达式为：

[0063]

[0064] 其中，d为滚动体直径，dm为轴承节圆直径，α为深沟球轴承接触角，‘‑’表示滚动体与内圈滚道接触，‘+’表示滚动体与外圈滚道接触。

[0065] 定义q为滚动体与滚道之间的接触载荷，因此根据刚度的定义，滚动体与内、外滚道之间的润滑油膜接触刚度可表示为：

[0066]

[0067] 由于无润滑条件下接触刚度与油膜接触刚度为串联关系，因此在考虑弹性流体动力润滑后的滚动体与内圈、外圈滚道之间的总接触刚度计算表达式为：

[0068]

[0069] 球轴承系统中的阻尼包括：轴段与轴承内圈的阻尼系数cs、轴承座外壳与轴承外圈的阻尼系数ch；轴承外圈与滚动体的阻尼系数co、轴承内圈与滚动体的阻尼系数ci。

[0070] 滚动体与内圈滚道、滚动体与外圈滚道之间的阻尼可由下式确定：

[0071] ci(o)＝(0.25‑2.5)×10‑5kin(out)

[0072] 在所建立的模型中，假设轴和轴承座外壳阻尼是迟滞的，轴和轴承内圈、外圈和轴承座外壳的等效粘性阻尼的计算公式为：

[0073]

[0074] 式中：cs(h)为轴和轴承内圈、外圈和轴承座外壳的等效粘性阻尼，ηs(h)为轴和轴承内圈、外圈和轴承座外壳的功耗系数，ks(h)为轴段与轴承内圈、轴承座外壳与轴承外圈的支撑刚度，ωext为激励频率。

[0075] 步骤4：建立剥落故障时变位移激励模型以及时变位移激励函数：

[0076] 当球轴承存在剥落故障时，会导致球轴承运转异常，出现剧烈振动，并产生噪音。根据赫兹接触理论，轴承剥落故障处会引起接触变形量的变化，从而导致接触力的改变，进而引发轴承的异常振动，而轴承不同部件出现剥落故障，会产生不同的位移激励。轴承不同部件的位移激励有以下三种：轴承外圈存在单一剥落故障产生的时变位移激励、轴承内圈存在单一剥落故障产生的时变位移激励、轴承滚动体存在单一剥落故障产生的时变位移激励。针对轴承三种部件的剥落故障分别建立三种不同的剥落故障时变位移激励模型，如图3所示，然后分别建立三种不同部件的剥落故障时变位移激励函数。由剥落故障的几何关系可得，轴承剥落故障产生的最大附加位移为：

[0077] △d＝0.5d‑[(0.5d)2‑(0.5W)2]0.5

[0078] 图3a，图3b，图3c中，θi为剥落故障缺陷初始角；θd为剥落故障对应的区域范围角；W为剥落故障的尺寸；d为滚动体直径；dm为轴承节圆直径；ωs为旋转轴和内圈的角速度；θj是第j个滚动体的时变位置角，定义保持架角速度为ωc，第一个滚动体的初始位置角为θ0，则时变位置角θj的表达式为：

[0079]

[0080] (1)外圈滚道、内圈滚道存在剥落故障：

[0081] 轴承滚道存在剥落缺陷时，滚动体经过滚道剥落位置处会产生时变位移激励，内外滚道上的剥落故障用矩形形状表征，并且剥落缺陷的宽度W远小于滚动体直径d，用半正弦函数描述滚动体经过剥落故障过程产生的时变位移激励。

[0082] 当外圈滚道存在剥落故障时，如图3a所示，θd＝arcsin(W/(dm+d))，此时Hdi为零，时变位移激励函数表达式为：

[0083]

[0084] 当内圈滚道存在剥落故障时，如图3b所示，θd＝arcsin(W/(dm‑d))，此时Hdo为零，时变位移激励函数表达式为：

[0085]

[0086] (2)滚动体存在剥落故障：

[0087] 考虑到早期的剥落故障首先发生在单个滚动体上且剥落面积很小，所以假设仅有一个滚动体存在局部剥落故障，将滚动体剥落故障简化为始终与滚道中央接触的圆柱形凹坑，且圆柱形剥落缺陷直径尺寸W远小于滚动体直径d，建立的滚动体剥落故障模型如图3c所示，同样用半正弦函数描述剥落故障滚动体与滚道接触过程产生的时变位移激励，假设第j个滚动体存在剥落故障，则在t时刻滚动体剥落故障的位置角表示为：

[0088]

[0089] 式中：Nb为滚动体个数，ωr为滚动体的自转角速度，θi为滚动体剥落故障初始角。

[0090] 当滚动体存在剥落故障时，θd＝arcsin(W/d)，剥落故障滚动体与外圈滚道接触产生的时变位移激励函数表达式为：

[0091]

[0092] 剥落故障滚动体与内圈滚道接触产生的时变位移激励函数表达式为：

[0093]

[0094] 步骤5：建立多自由度动力学微分方程：

[0095] 深沟球轴承受到径向载荷时，滚动体与内圈滚道、外圈滚道之间因挤压而产生法向的非线性赫兹接触力，当外圈固定、内圈转动时，滚动体在滚道摩擦力作用下自转，并带动保持架一起绕轴承中心公转。由于是非高转速条件下的球轴承且球轴承的单个滚动体质量很小，因此忽略滚动体的离心力和自身重力。基于赫兹接触理论，点接触情况下滚动轴承载荷－位移变形量关系式为：

[0096]

[0097] 式中，n为轴承载荷变形指数，对于深沟球轴承n＝3/2； 和 分别为第j个滚动体与内圈滚道、外圈滚道的法向接触变形量，其表达式分别为：

[0098]

[0099]

[0100] 其中，c为载荷作用下的径向间隙，表达式为：

[0101]

[0102] 式中，cr为深沟球轴承初始径向间隙。

[0103] 当滚动体进入轴承负载区的滑动区域时，滚动体与滚道产生的滑动摩擦力带动滚动体自转，则产生的滑动摩擦力可以表示为：

[0104]

[0105] 其中，μb为滚动体与内外滚道之间的摩擦系数。

[0106] 根据牛顿运动第二定律以及建立的球轴承系统动力学模型，建立球轴承系统各部件的动力学微分方程如下：

[0107] ①外圈运动微分方程为：

[0108]

[0109] 式中：mo为轴承外圈和轴承座外壳的总质量，ch为轴承外圈和轴承座外壳的阻尼系数，kh为轴承外圈和轴承座外壳的支撑刚度，Nb为滚动体个数，βj为滚动体是否与外圈滚道产生接触力的判断系数， 为滚动体与外圈之间的接触力， 为滚动体与外圈之间的摩擦力，θj为第j个滚动体的时变位置角， 与 与 xo与yo分别为外圈和轴承座外壳在X与Y方向上的振动加速度、速度和位移。

[0110] ②内圈运动微分方程为：

[0111]

[0112] 式中：mi为轴承内圈和轴段的总质量，cs为轴承内圈和轴段的阻尼系数，ks为轴承内圈和轴段的支撑刚度，Nb为滚动体个数，βj为滚动体是否与内圈滚道产生接触力的判断系数， 为滚动体与内圈之间的接触力， 为滚动体与内圈之间的摩擦力，与 与xi与yi分别为内圈和轴段在X与Y方向上的振动加速度、速度和位移。

[0113] ③滚动体运动微分方程为：

[0114]

[0115] 式中：mr为单个滚动体的质量，ci为轴承内圈与滚动体的阻尼系数，co为轴承外圈与滚动体的阻尼系数， 与 与 分别为第j个滚动体在X与Y方向上的振动加速度、速度。

[0116] 滚动体与内圈滚道、外圈滚道之间存在非线性赫兹接触力与滚动体是否位于轴承承载区有关，只有当滚动体位于轴承承载区时，才会产生非线性赫兹接触力。βj为滚动体是否与内圈滚道、外圈滚道产生接触力的判断系数，由下式给出：

[0117]

[0118] 步骤6：运用定步长四阶龙格库塔法求解动力学微分方程：

[0119] 确定球轴承系统各部件动力学方程中的参数，运用定步长四阶龙格库塔法求解，得到剥落故障轴承的振动响应信号。

[0120] 所求深沟球轴承SKF6203模型参数如表1所示，模型中其他参数数值如下：mi为1.2187kg，mr为0.001343kg，mo为1.8337kg，轴和轴承座外壳阻尼cs、ch为1500N·s/m，滚动体与内圈、外圈间的阻尼ci、co为1800N·s/m，径向载荷Qx为300N，Qy为0，选取时间步长为1‑6
×10 s，X和Y方向的初始位移均为0，初始速度均为0。选择深沟球轴承转速为1732r/min，外圈滚道和内圈滚道的剥落故障宽度为0.007英寸，滚动体的剥落故障直径尺寸为0.014英寸，剥落故障深度均为0.011英寸。表2为所求深沟球轴承三种不同部件的故障特征频率理论计算值，fs为转频、fBPFO为外圈故障特征频率、fBPFI为内圈故障特征频率、fBSF为滚动体故障特征频率、fc为保持架旋转频率。求解的模拟加速度振动信号如图4a，图4b，图4c所示，图
4a为外圈剥落故障模拟加速度振动信号时域图，图4b为内圈剥落故障模拟加速度振动信号时域图，图4c为滚动体剥落故障模拟加速度振动信号时域图。

[0121] 表2.SKF6203深沟球轴承各部件故障特征频率

[0122]

[0123] 步骤7：与实验数据信号进行对比：

[0124] 求解模型所得的加速度振动响应与实验加速度振动响应进行对比，并且对模型求解的模拟信号和实验信号进行基于希尔伯特变换的包络谱分析，以得到轴承剥落故障特征频率及相关信息，通过实验对比分析，验证所述动力学建模方法的准确性和可行性。

[0125] 实验加速度振动信号如图5a，图5b，图5c所示，图5a为外圈剥落故障实验加速度振动信号时域图，图5b为内圈剥落故障实验加速度振动信号时域图，图5c为滚动体剥落故障实验加速度振动信号时域图。对于内外滚道剥落故障实验信号，直接对实验信号进行基于希尔伯特变换的包络谱分析，得到实验信号频谱图。对于滚动体剥落故障的实验信号，由于信号比较杂乱，因此需要对该实验信号先进行滤波处理，突出信号中的脉冲冲击成分，然后再进行包络谱分析，得到实验信号频谱图。图6a为外圈剥落故障模拟加速度振动信号包络谱图，图6b为内圈剥落故障模拟加速度振动信号包络谱图，图6c为滚动体剥落故障模拟加速度振动信号包络谱图。图7a为外圈剥落故障实验加速度振动信号包络谱图，图7b为内圈剥落故障实验加速度振动信号包络谱图，图7c为滚动体剥落故障实验加速度振动信号包络谱图。

[0126] 分别对比各个部件剥落故障的模拟信号和实验信号的时域图和包络谱图，外圈滚道剥落故障的信号时域图4a与图5a、包络谱图6a与图7a进行对比；内圈滚道剥落故障的信号时域图4b与图5b、包络谱图6b与图7b进行对比；滚动体剥落故障的信号时域图4c与图5c、包络谱图6c与图7c进行对比；通过对比可知，实验信号和模拟信号的时域图中均存在明显的周期性冲击现象，包络谱图中均可以看到相应的轴承部件剥落故障特征频率以及倍频成分，且对比结果基本相似。通过对模型求解与实验结果的对比分析可以得出剥落故障特征频率的模拟数据与实验数据基本吻合，表明本发明提出的剥落故障深沟球轴承多自由度动力学建模方法的有效性和可行性。

[0127] 本发明的上述算例仅为详细地说明本发明的计算模型和计算流程，而并非是对本发明的实施方式的限定。尽管为说明目的公开了本发明的实施例和附图，但是本领域的技术人员可以理解：在不脱离本发明及所附的权利要求的精神和范围内，各种替换、变化和修改都是可能的。因此，本发明不应局限于本发明实施例和附图所公开的内容。