一种双面介质加载平行板波导静电场的计算方法

摘要

本发明提出了一种双面介质加载平行板波导静电场的计算方法，属于大功率微波部件微放电领域。首先通过傅里叶变换法求解谱域格林函数，由于被积函数的复杂性和振荡性，采用Filon数值积分方法进行求解，利用点电荷的电势计算的叠加原理，根据介质层表面电荷密度，对格林函数进行面积分，从而得到介质层表面上任意电荷分布而产生的电势，再通过数值差分方法获得其对应的电场强度。在大功率微波部件微放电领域中，静电场的计算方法可以扩展到研究双面介质加载平行板波导的倍增效应。

权利要求

1.一种双面介质加载平行板波导表面任意电荷积聚在真空区域的静电场计算方法，其特征在于通过数值方法精确求解双面介质加载平行板波导表面任意电荷积聚在真空区域的静电场分布，至少还包括以下步骤：(I)根据静电场格林函数建立拉普拉斯方程

假设空间在x，z轴方向上是无线延伸的，建立平行板介质层上任意一点r'＝(x',0,z')的单位电荷Qi的拉普拉斯函数： 其中G是格林函数，ε0是真空中的介电常数；

(II)谱域格林函数进行傅里叶反变换

根据平面拉普拉斯算符的狄拉克函数δ(x‑x')、δ(z‑z')，谱域格林函数由格林函数的傅里叶变换得来，将谱域格林函数沿x轴和z轴的进行傅里叶反变换，如式其中 为谱域的格林函数，kx和kz分别为x轴和z轴方向的光谱傅里叶变量；

(III)化简拉普拉斯方程

根据狄拉克函数和谱域格林函数的傅里叶反变换，将(I)中的拉普拉斯方程进行化简；

(IV)结合边界条件，求解谱域格林函数在真空区域的表达式由于(III)化简后的拉普拉斯方程中的相对介电常数跟区域相关，因此我们将整个区域划分为三个区域，分别为顶部介质层、真空区域和底部介质层，并将谱域格林函数也划分为三个方程，得到六个变量，由化简后的拉普拉斯方程得出两个边界条件，并由于电势变化的连续性，得出另外四个边界条件，将六个边界条件代入谱域格林函数的三个方程，从而求解出谱域格林函数在真空区域的表达式；

(V)采用Filon积分法求解格林函数

将(II)中由傅里叶反变换求解得到的式 转化成式 采 用

Filon积分方法将式 右

侧括 号 中的 积 分 改写 为

2

并将y值的范围分成n段来求解格林函数G，其中A＝(p+p sin2p/

2 3 2 3 3

2‑2sin p)/p 、B＝2{p(1+cos p)‑sin2p}/p 、D＝4(sin  p‑p  cos  p)/p 、Co和Ce分别是奇余弦项和偶余弦项的总和，l＝a/n和p＝k2/l，kx和kz分别为x轴和z轴方向的光谱傅里叶变量，a是kx或kz的收敛值，n是分割数；

(VI)计算任意电荷分布的静电场

根据介质层表面电荷密度ρ(x’,z’)，将(V)中求得的格林函数进行面积分，从而得到由于介质表面上任意电荷分布而产生的电势，再通过数值差分进一步获得真空区域的电场强度；

(VII)对格林函数中的参数进行收敛性分析由于(V)中求得的格林函数的计算复杂性很高，因此应考虑各个参数的收敛性。

说明书

一种双面介质加载平行板波导静电场的计算方法

技术领域

[0001] 本发明提出了一种双面介质加载平行板波导静电场的计算方法，属于大功率微波部件微放电领域。

背景技术

[0002] 介质加载波导是集成光学系统及其元件的基本结构单元。它主要起限制、传输、耦合光波的作用。按截面形状可分圆波导(光纤)和平面波导二大类。集成光学中主要考虑的是平面波导。最简单的平面波导由薄膜、衬底、覆盖三层平面介质构成,其折射率是不相同的。

[0003] 二次电子倍增效应，定义为在真空器部件内由于初级电子频繁碰撞器件壁从而激发的自由电子谐振倍增乃至雪崩放电，是一个复杂的物理过程，相关研究涉及到固体物理学、表面科学、真空物理学、材料学等多学科领域知识，一直是高功率微波源、高能粒子加速器以及航天器载荷微波部件研究领域的热点和难点问题。在宇航器部件研究领域，卫星系统大功率组件的二次电子倍增效应又称为微放电，这种倍增效应已经在几种大功率微波系统中被观察到，如粒子加速器、大功率速调管和卫星有效载荷。

[0004] 由于缺乏对卫星机载设备中基于介质加载波导的微波器件中出现的微放电效应的严格研究，因此计算介质加载波导中由于介质层上的任意电荷分布而产生的静电场是航天工业中非常感兴趣的问题。在双面介质加载平行板波导中进行电子倍增时，电介质表面发射的电子对电介质材料进行正电荷充电，而被电介质表面吸收的电子对其进行负电荷充电，因此双面介质加载平行板波导的两个介质面均有电荷积聚，它们共同作用产生静电场，这个静电场通过改变电子的运动轨迹影响电子倍增效应。

[0005] 许多工作已经研究了射频击穿电介质窗口上出现的静电场，但没有研究双面介质加载平行板波导中由介质层表面任意分布的电荷而产生的静电场。

发明内容

[0006] 发明目的：由于基于介质表面电荷均匀积聚的假设将静电场在计算空间视为均匀分布，不适用于求解双面介质加载平行板波导微放电过程中的静电场分布，所以提出了一种双面介质加载平行板波导静电场的计算方法，通过数值方法精确求解双面介质加载平行板波导表面任意电荷积聚在真空区域的静电场分布。

[0007] 本发明是通过以下技术方案实现的：

[0008] 一种双面介质加载平行板波导表面任意电荷积聚在真空区域的静电场计算方法，包括以下七个步骤：

[0009] (I)根据静电场格林函数建立拉普拉斯方程

[0010] 假设空间在x，z轴方向上是无线延伸的，建立平行板介质层上任意一点r’＝(x’,0,z’)的单位电荷Qi的拉普拉斯函数；

[0011] (II)谱域格林函数进行傅里叶反变换

[0012] 根据平面拉普拉斯算符的狄拉克函数δ(x‑x’)、δ(z‑z’)，谱域格林函数由格林函数的傅里叶变换得来，将格林函数沿x轴和z轴的进行傅里叶反变换；

[0013] (III)化简拉普拉斯方程

[0014] 根据狄拉克函数和谱域格林函数的傅里叶反变换，将(I)中的拉普拉斯方程进行化简；

[0015] (IV)结合边界条件，求解谱域格林函数在真空区域的表达式

[0016] 由于(III)化简后的拉普拉斯方程中的相对介电常数跟区域相关，因此我们将整个区域划分为三个区域，分别为顶部介质层、真空区域和底部介质层，并将谱域格林函数也划分为三个方程，得到六个变量。由化简后的拉普拉斯方程得出两个边界条件，并由于电势变化的连续性，得出另外四个边界条件。将六个边界条件代入谱域格林函数的三个方程，从而求解出谱域格林函数在真空区域的表达式；

[0017] (V)采用Filon积分法求解格林函数

[0018] 将(IV)中真空区域的谱域格林函数代入到(II)中傅里叶反变换的表达式中，可以发现其计算复杂度非常高，所以需要使用不同的数值积分技术来进行求解，由于被积函数的振荡性，所以采用Filon积分方法进行求解，而且其积分法的精度也比一般的辛普森法高；

[0019] (VI)计算任意电荷分布的静电场

[0020] 根据介质层表面电荷密度ρ(x’,z’)，可以将(V)中求得的格林函数进行面积分，从而可以得到由于介质表面上任意电荷分布而产生的电势，再通过数值差分进一步获得真空区域的电场强度；

[0021] (VII)对格林函数中的参数进行收敛性分析

[0022] 由于(V)中求得的格林函数的计算复杂性很高，因此应考虑各个参数的收敛性。

[0023] 本发明的优点如下：

[0024] (1)许多工作已经研究了射频击穿电介质窗口上出现的静电场，但没有研究双面介质加载平行板波导中由于电荷沉积产生的静电场,本发明提出了一种双面介质加载平行板波导静电场的计算方法；

[0025] (2)由于基于介质表面电荷均匀积聚的假设将静电场在计算空间视为均匀分布，不适用于求解双面介质加载平行板波导微放电过程中的静电场分布，本发明通过数值方法精确求解双面介质加载平行板波导表面任意电荷积聚在真空区域的静电场分布。

附图说明

[0026] 图1为双面介质加载平行板波导的模型图；

[0027] 图2为在H＝1.96mm、h＝1.2mm、εr＝2.25、x‑x’＝0、z‑z’＝0、y＝H/50和n＝256的情况下，kx或kz的收敛性；

[0028] 图3为N1、N2、N3、N4(N1:x‑x’＝0,z‑z’＝0,y＝H/50；N2:x‑x’＝0.2mm,z‑z’＝0.2mm,y＝H/50；N3:x‑x’＝0,z‑z’＝0,y＝H；N4:x‑x’＝0.2mm,z‑z’＝0.2mm,y＝H)；

[0029] 图4为在x‑x’＝0，z‑z’＝0的情况下，G和Φ的比较；

[0030] 图5为在y＝H/50时，z‑z’＝0、z‑z’＝0.2mm的G和z‑z’＝0、z‑z’＝0.2mm的Φ的比较；

[0031] 图6为整个区域电荷均匀分布的归一化法向电场强度Ey/Emax分布；

[0032] 图7为整个区域电荷高斯分布的归一化法向电场强度Ey/Emax分布。

具体实施方式

[0033] 为了使本技术领域的人员更好地理解本发明技术方案，下面结合说明书附图并通过具体实施方式来进一步说明本发明提出了一种双面介质加载平行板波导静电场的计算方法。

[0034] 一种双面介质加载平行板波导表面任意电荷积聚在真空区域的静电场计算方法，包括以下六个步骤：

[0035] (I)根据静电场格林函数建立拉普拉斯方程

[0036] 图1为所研究的双面介质加载平行板波导的模型图，其中介质层的相对介电常数为εr，厚度为h，真空区域的高度为H。目的是计算观测点r＝(x,y,z)处的电势，由于在r’＝(x’,0,z’)处介质层上有点电荷，假设该空间在x,z轴方向上是无限延伸的，下面将对直角坐标系下其电势进行推导。

[0037] 位于平行板介质层上任意一点r’＝(x’,0,z’)的单位电荷Qi的拉普拉斯函数式(1)为：

[0038]

[0039] 其中G是格林函数，ε0是真空中的介电常数。

[0040] (II)谱域格林函数进行傅里叶反变换

[0041] 根据平面拉普拉斯算符的狄拉克函数δ(x‑x’)、δ(z‑z’)，谱域格林函数由格林函数的傅里叶变换得来，将谱域格林函数沿x轴和z轴的进行傅里叶反变换,如式(2)：

[0042]

[0043] 其中式中 为谱域的格林函数，kx和kz分别为x轴和z轴方向的光谱傅里叶变量。

[0044] (III)化简拉普拉斯方程

[0045] 根据狄拉克函数和谱域格林函数的傅里叶反变换，将式(1)中的拉普拉斯方程进行化简：

[0046]

[0047] 其中

[0048] (IV)结合边界条件，求解谱域格林函数在真空区域的表达式

[0049] 式(3)中的相对介电常数跟区域有关，因此我们可以将顶部介质层、真空区域和底部介质层定义为三个区域，分别命名为GA、GB、GC区。

[0050]

[0051]

[0052]

[0053] 根据式(3)，可以得出另外两个边界条件式(7)、(8)

[0054]

[0055]

[0056] 再根据电势变化的连续性，可以得出四个边界条件式(9)、(10)、(11)、(12)，不同区域的G可以通过代入不同的边界条件求解：

[0057]

[0058]

[0059]

[0060]

[0061] 将六个边界条件代入不同区域的 从而可以得出真空区域的谱域格林函数式(13)：

[0062]

[0063] (V)采用Filon积分法求解格林函数

[0064] 将式(13)代入式(2)中，可以发现其计算复杂度非常高，所以需要使用不同的数值积分技术来进行求解，由于被积函数的振荡性，所以我们采用Filon积分进行求解，而且其积分法的精度也比一般的辛普森法高；

[0065] 将式(2)转化成式(14)的形式，由于积分形式关于x,y的对称性，所以只需研究右边括号内的式子即可。Filon积分将式(14)括号中的积分改写为式(15)，并将y值的范围分成n段来求解格林函数G。

[0066]

[0067]

[0068] A＝(p2+psin2p/2‑2sin2p)/p3  (16)

[0069] B＝2{p(1+cos2p)‑sin2p}/p3  (17)

[0070] D＝4(sinp‑pcosp)/p3  (18)

[0071]

[0072]

[0073] 其中A、B、D、Co、Ce的表达式如式(16‑20)，Co和Ce分别是奇余弦项和偶余弦项的总和；l＝a/n和p＝k2/l，由于格林函数G在积分上限取到一定值时会收敛，其中a是kx或kz的收敛值，那么无穷大的积分上限可以用a代替，n是分割数。

[0074] (VI)计算任意电荷分布的静电场

[0075] 根据介质层表面电荷密度ρ(x’,z’)，可以将格林函数进行面积分求解，从而可以得到由于介质层表面上任意电荷分布而产生的电势，再通过数值差分进一步获得真空区域的电场强度，如式(21)。

[0076]

[0077] (VII)对格林函数中的参数进行收敛性分析

[0078] 由于式(2)的计算复杂性很高，因此应考虑各个参数的收敛性。首先考虑kx或kz的收敛值a,其中双面介质加载平行板波导的尺寸选择如下：H＝1.96mm、h＝1.2mm、εr＝2.25、5
x‑x’＝0、z‑z’＝0、y＝H/50和n＝256.如图2，当a大于1×10时，G收敛。

[0079] 然后对Flion积分中的分割数n进行收敛性分析，在这种情况下，考虑到H,h,εr参数是不变的，我们通过改变x‑x’、z‑z’、y参数来进行讨论，以下取四个参数点N1、N2、N3、N4(N1:x‑x’＝0、z‑z’＝0、y＝H/50；N2:x‑x’＝0.2mm、z‑z’＝0.2mm、y＝H/50；N3:x‑x’＝0、z‑z’＝0、y＝H；N4:x‑x’＝0.2mm、z‑z’＝0.2mm、y＝H),在图中绘制了四个参数点关于分割数n的G。如图3，当n>256时，G达到收敛。

[0080] 为了验证式(13)的可行性，以两个无限均匀介质(εr)之间的点电荷在真空区域产生的电势作为基准，如式(22)。双面介质加载平行板波导的H、h、εr参数尺寸不变。情况1：x‑x’＝0、z‑z’＝0,如图4。情况2：y＝H/50、z‑z’＝0或z‑z’＝0.2mm,如图5。从图4和图5可以发现，观察点离点电荷越近，G和Φ之间的差异越小。

[0081]

[0082] (VIII)模拟介质表面电荷均匀分布和高斯分布的静电场

[0083] 我们假设在两个介电层上放置一个边长为11.8mm的电荷片，并且将点电荷设置为均匀分布和高斯分布，最小间距为10μm，每个点电荷的观测范围取为x‑x’＝0.4mm、z‑z’＝0.4mm。模拟计算了整个x‑z‑y区域介质表面电荷均匀分布和高斯分布的归一化法向电场强度Ey/Emax，如图6和图7。可以发现，观察点离电介质表面越远，电场强度越小，电场强度Ey围绕x轴和z轴对称。同时，图7中的观察点越靠近中心，电场强度Ey越大。

[0084] 本发明采用傅里叶变换法推导出双面介质加载平行板波导内介质表面电荷积聚产生的谱域静电场格林函数表达式；由于被积函数的复杂性和振荡性，采用Filon数值积分方法，有效的提高了积分的精度；研究数值差分方法，精确得到静电场的分布；对格林函数进行收敛性分析，验证了其可行性；可将求解得到的静电场应用到微放电模拟中电子云运动状态的跟踪。

[0085] 通过上述的实施方式对本发明进行详细的描述，以上实施方式并不限制于本发明，本发明也不仅限于上述实施例，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。