位于地球表面或其它地方的发射器能够发射可穿过次表面 (subsurface)结构的信号，比如声波、压缩波或其它能量射线或波。发 射的信号可成为入射到次表面结构的入射信号。所述入射信号可在所述次 表面结构中的各种过渡区或地质不连续面上发生发射。反射的信号可包括 地震同相轴(event)。包括例如初(P)波和剪力(S)波(例如，其中颗 粒运动可垂直于波的传播方向的横波)的地震同相轴可用于对次表面地质 结构例如过渡面或地质不连续面进行成像。接收器可以例如收集和记录数 据，例如反射的地震同相轴。
勘察可以使用大量的发射器和接收器来记录大型地震区域上的信号。 地震勘察区域可能例如延伸到数百平方公里。在一些勘察中，发射器和接 收器之间的距离可以是例如约二十米，发射的信号可以传播远至约十公 里，并且发射信号的频率可以是约五十赫兹。可以使用其它值或参数。记 录的数据可以是在时间间隔例如十秒时间间隔内收集的，并可以每4毫秒 被数字化一次，尽管其它参数也是可能的。例如，接收器可以收集和/或 记录数十或数百吉字节的数据。当收集完毕，记录的数据可以被存储和/ 或发送到存储装置或数据处理装置，比如存储器、服务器或计算系统。
一些地震采集方法比如多方位或宽方位数据采集方法可以显著增加 所使用的发射和接收信号的数目，以便增强复杂结构下的储藏照度 (illumination of reservoir)并提高地球物理探测的精确度。对于这样的 方法，可以记录单个参数(例如，压力或竖向位移)或多个参数(例如压 力和三个位移分量)。P波和S波均可以被记录。可以记录其它类型的波 和其它数据。这样的方法可能增大用于对表面区域进行成像而记录的数据 的量。为了容纳量增加了的数据，对数据进行记录、处理、成像或其它使 用的系统可能需要增大的存储装置大小、增大的用于访问输入和/或输出 装置的速度、和/或高性能计算(HPC)硬件等。这样的系统可以提供计 算量大的和/或能源密集型的服务。
勘探地球物理区域可包括对从地球次表面中的勘察区域记录的地震 数据进行成像，以定位例如碳氢化合物储藏。地震成像方法可被称作地震 偏移(seismic migration)，可以被划分为例如两种主要类别：波动方程偏 移和基于射线的Kirchhoff偏移。这两种类型的偏移均可以用于生成地球 次表面的图像。波动方程偏移机制可使用波动方程的数值解来将记录的波 场外推成地球的次表面。在每个深度水平，成像条件可以被施加到入射的 和反射的波场。基于射线的Kirchhoff偏移可以以两个阶段执行：射线追 踪和成像。射线追踪可以例如在从表面向次表面区域中的图像点的方向上 和/或在从次表面区域中的图像点向表面的方向上对波(例如射线)的传 播进行建模。可以沿着所追踪的射线来计算射线属性，比如传播时间、射 线轨迹、慢度矢量、幅度和相位矢量。在成像阶段，可以使用所述射线属 性从所记录的地震数据获得地球的次表面的图像。
波动方程偏移和基于射线的Kirchhoff偏移都可以生成共同图像集合 (CIG)。CIG可以包括在给定横向位置上的多个图像踪迹。各个图像踪 迹可以利用所记录的数据中具有共同几何属性的一部分数据来生成。例 如，偏置域(offset domain)共同图像集合(ODCIG)可以包括多个图 像踪迹，其中各个图像踪迹可以利用在地球表面上的源和接收器之间具有 相同偏置或距离的地震数据点来构建。角域共同图像集合(ADCIG)可 以包括多个图像踪迹，其中各个图像踪迹可以利用在反射体的入射和反射 射线之间具有相同张开角的地震数据点来构建。
利用共有单个方位(例如，偏置、张开角等)的踪迹而生成的CIG 可能包括准确度不足的地球物理结构。例如，各向异性效应示出根据不同 方位角获得的图像可能显著不同。以预期精度对地球物理结构比如断层、 小的竖直移位以及次地震规模断裂(例如，测量结果小于数十米的断裂， 其可能低于典型接收器或其它探测仪器的探测的分辨率)进行成像可能需 要基本上沿着每个方位角进行成像(其也被称为例如全方位成像)。宽方 位地震数据对于例如在盐丘或含盐结构(比如在墨西哥湾中的盐丘或含盐 结构)之下进行成像可能尤其有价值。利用例如三维(多方位)CIG而 不是通常使用的二维(例如，单方位或窄方位)CIG对地球物理结构进 行成像可以改善图像准确度并提供关于结构的额外信息。例如，3D ODCIG可以包括除了基本上不同的源-接收器偏置之外，还在地球表面上 具有基本上不同的方位角的多个图像踪迹。偏置可以是例如具有长度和方 位的值的二维矢量。类似地，3D ADCIG可以包括除了基本上不同的张开 角之外，还在反射表面上具有基本上不同的张开方位角的多个图像踪迹。 尽管三维CIG可以提高成像准确度，但是它们也会提高成像、视觉化和/ 或解释系统的计算复杂度。三维CIG的操作也会要求扩充的存储器和存 储能力。
CIG可以用于例如次表面结构的运动和动态分析。例如，运动分析 可用于利用断层扫描机制创建和更新地球物理模型。断层扫描机制可用于 发现使沿着镜面射线(例如，在反射表面上遵循Snell定律的原则的射线 对)的传播时间误差基本上最小。可以例如根据沿着CIG的反射同相轴 的位置之间的差来测量传播时间误差。给定CIG内的基本上每个反射同 相轴都可能与特定深度有关。如果“真”反射体(例如，反射表面元素 (reflection surface element))位于确切的深度且模型参数“正确”，则不 管特定踪迹所指示的偏置或反射角如何，反射体单元通常处于同一深度。 当反射同相轴不位于基本上相同的深度时(例如，当沿着CIG的反射同 相轴不是基本上平坦时)，测量到的或采集到的不同反射同相轴的反射距 离的差可用于估价沿着与每个踪迹相关联的镜面射线的传播时间误差。当 沿着CIG的地震反射同相轴基本上在水平方向平坦时，模型可以基本上 正确。为了例如利用各向异性的模型表示来获得准确的模型，可以使用由 于例如基本上所有方位之间均不同的张开角(或者例如偏置)而导致的镜 面射线和对应的传播时间误差。
动态分析可包括例如沿着CIG所测量到的反射信号的幅度和相位的 改变，确定目标次表面结构的物理和/或材料参数或特性。多方位CIG可 以使对角(或者例如偏置)进行幅度变化的方位分析成为可能，这可以实 现各向异性参数和小规模断裂的准确重构。
可以进行除了地震成像或用于油和气的勘探和生产的次表面成像之 外的成像，比如用于环境研究、考古学以及建筑工程的浅地震成像。这些 其它方法会类似地生成大量数据并具有大型计算需求。其它类型的成像比 如医学成像也可能使用相对大量的发射器和检测器，并且因此也可能使用 相对大量的数据，这需要大的存储装置和密集的计算力。
需要更高效的数据使用、存储、处理、成像、数据分析、视觉化和解 释。

本发明的实施例提供了一种用于对用以表示图像数据比如地震数据 的坐标系(例如，角域坐标系)进行转换的系统和方法，所述方法包括： 接受第一组地震数据，利用例如球面螺旋几何学等将所述第一组地震数据 映射成第二组地震数据，其中所述第二组地震数据的维数可小于所述第一 组地震数据的维数；以及通过处理第二组地震数据来生成图像数据。

参考附图和以下说明书，可以更好地理解根据本发明的实施例的系 统、设备以及方法的原理和操作。应理解，给出这些附图仅为了说明目的， 而不是为了进行限制。
图1是根据本发明的实施例的系统的示意图，所述系统包括发射器、 接收器和通信系统；
图2是根椐本发明的实施例的双角坐标系中的数据点的双角表示(例 如，极角)的示意图；
图3是根据本发明的实施例的用于给定射线对的局部角域(LAD) 的示意图；
图4是根据本发明的实施例的均匀球形螺旋坐标系中的数据点的示 意图；
图5是根据本发明的实施例的均匀球形螺旋坐标系中的节点的等面 积离散化的示意图；
图6是根据本发明的实施例的均匀球形螺线所扫掠的面积元的示意 图；
图7A是示出根据本发明的实施例的沿球形螺线的弧长与天顶角之间 的关系的曲线；
图7B是示出根据本发明的实施例的沿球形螺线的螺旋圈所扫掠的面 积与天顶角之间的关系的曲线；
图8是根据本发明的实施例的LAD的示意图，其中射线对方向角子 系统利用均匀球形螺旋坐标系表示；
图9是根据本发明的实施例的LAD的示意图，其中方向和反射两个 子系统利用均匀球形螺旋坐标系表示；
图10是根据本发明的实施例的螺线CIG的显示(例如，全方位反射 角CIG显示(例如，称作螺线-R))的示意图；
图11是根据本发明的实施例的针对通过地球物理陆地勘察所收集的 地震数据的全方位反射角CIG显示(例如，称作螺线-R)的真实数据示 例；
图12A和12B分别是根据本发明的实施例的射线对反射角和方向角 的全方位ADCIG数据表示的显示(例如，分别称作螺线-R和螺线-D) 的示意图；
图13是根据本发明的实施例的局部和全局坐标系中的射线对的示意 图；
图14是根据本发明的实施例的在反射表面的图像点处的局部和全局 坐标系之间的关系的示意图；
图15是根据本发明的实施例的用于在全局坐标系和局部坐标系之间 变换数据的三个旋转的示意图；
图16是根据本发明的实施例的局部参考坐标系中的双方向角系统的 示意图；
图17是根据本发明的实施例的局部参考坐标系中的双反射角系统的 示意图；以及
图18是根据本发明的实施例的用于生成LAD的四个分量的方法的 流程图。
为了简单和清楚说明起见，附图中所示的元素不一定按比例绘制。例 如，为了清楚起见，一些元素的尺度可以相对于其它元素被放大。此外， 在认为适当的情况下，附图标记可能在各图中有重复，以表示在连续视图 中的对应的或相似的元素。

介绍
在以下说明书中，将描述本发明的各个方面。为了说明的目的，提出 特定配置和细节以便提供对本发明的深入理解。然而，本领域技术人员将 清楚，可以实施本发明而无需这里所示出的特定细节。此外，公知的特征 可能被省略或简化，以便不模糊本发明。如从以下描述中可以清楚看到的， 除非特别指出，否则，应理解，在整个说明书描述中，利用术语比如“处 理”、“计算”、“运算”、“确定”等指的是计算机或计算系统或类似的电子 计算装置的动作和/或处理，所述计算机或计算系统或类似的电子计算装 置对表示为所述计算系统的寄存器和/或存储器内的物理量比如电子量的 数据进行操作，和/或将所述数据变换为类似地表示为所述计算系统的存 储器、寄存器或其它装置比如信息存储装置、传输或显示装置内的物理量 的其它数据。术语“显示(器)”在这里可用于描述视觉表示和/或用于描 绘这种表示的装置。此外，术语“多个”在整个说明书中可用于描述两个或 更多个部件、装置、元素、参数等。
地震数据可包括或表示在不连续对象和/或连续层位(horizon)进行 反射和/或衍射的地震同相轴(或例如信号)。连续层位可以包括例如层之 间的界面。不连续对象可以包括例如小规模衍射体(diffractor)、断层或 小规模断裂。
本发明的一些实施例描述了系统和方法用于增强或提高例如通常用 于油和气的勘探和生产的依赖角度的地震处理、成像和分析系统的效率和 准确度。本发明的实施例可以包括多角系统的改善的或最优的表示，所述 多角系统例如是对多角数据进行处理、成像或使用的系统。多角系统比如 反射成像系统可以使用例如射线(或者称作“波”)比如射线对来生成或仿 真地球内部的依赖角度的图像。可以例如沿地球表面采集地震数据，其中 射线对可包括入射射线和反射射线。每个射线自身可以由多个变量表示。 例如，图像点、射线对中的入射射线的方向或反射和/或折射射线的方向 均可用两个角(例如极角)表示，因此，射线对可以由四个角表示。在其 它实施例中，射线对可以由可限定两个分离的双角系统的四个其它角表 示，所述双角系统包括例如针对射线对法线的方向(例如，由倾角和方位 角表示)的一个系统和针对射线对的反射角(例如，由张开角和张开方位 角表示)的另一个系统。
成像系统可包含多维数据集(例如，在极坐标系或笛卡尔坐标系中表 示)，所述多维数据集可被分成二维子集。每个二维子集可由极坐标系表 示。本发明的实施例提供了用于将二维集转换成一维集的系统和方法，所 述一维集例如以替选的、变换的和降维的坐标系比如均匀球形螺旋坐标系 来表示，在此描述了其各种实施例。这样的表示降低了每个坐标系子集的 维数。由于在所提出的降维坐标系例如均匀球形螺旋坐标系中，极角(天 顶和方位)同时以连续方式改变，因此获得最优图像所需要的数据的量基 本上可以减少。可以用以下方式解释减少数据点的量的潜力：具有基本上 等面积分段的均匀球形螺线离散化导致连续螺旋节点之间的弧长基本上 相等，以及因此沿整个单位球的纵横比近似相同。对于可以限定面积分段 的形状的集合参数来说纵横比可能是重要的，其可被计算为沿子午线测量 的连续圈(coil)之间的距离与连续节点之间的距离的比率。出于成像目 的，在一个实施例中，沿单位球的纵横比和离散化分段的面积被假设为近 似恒定。特别是，均匀的分段面积可简化全方位照度的计算。使纵横比和 分段面积均保持恒定可以减小基本上准确成像所需的采样点的数量。常规 二维角网格(angle grid)通常不提供这些条件，并且可能导致例如在螺 旋的极附近的过于密集的采样点。均匀球形螺旋变换可导致更可靠和准确 的数据，所述数据可用于以更少的计算投入和更少的存储器需求获得更好 的图像质量。均匀球形螺旋数据表示可进一步提供比常规坐标系更可靠和 准确的数据，例如通过基本上最小化或消除例如常规坐标系或网格中使用 的极附近的网格点或节点的密度的增加。均匀球形螺旋数据坐标系可在例 如包括极附近的区域的单元球坐标空间中具有均匀的网格点或节点密度。 此外，均匀球形螺旋数据表示可提供比常规使用的更直观清楚的图像显 示。根据本发明的一些实施例，在这种类型的显示中，可以例如单调地增 大天顶角，并且方位角可以例如是周期性的。
本发明的实施例包括用于降低数据点的维数和数目的变换的使用，例 如，均匀球形螺旋变换的使用，以便实现地震图像的生成、分析、显示和 解释。
本领域技术人员应理解，本发明的实施例可应用于地震处理和成像中 涉及的任何双角系统。本发明的实施例可用于在各种范围和领域中的成 像，例如，油和气的勘探和生产、为环境研究而进行的浅地模型的成像(例 如，使用利用地震和/或透地雷达(GPR)方法所收集的数据)、建筑工程 (例如，用以识别管道位置)、施工安全和保密(例如，用以识别洞和通 道)、医学成像(例如，使用CT、MRI以及超声波装置)、非破坏性材料 检查、出于保密目的的内部事项检查(例如，本土保密)、以及海洋声纳、 天线和雷达系统。
宽方位数据采集和全方位角域成像
本发明的实施例提供了一种用于利用例如通过宽方位数据采集而记 录的地震数据的依赖全方位角的地震成像的系统和方法。使用从宽方位采 集勘察中收集的地震数据的成像系统可以提供储藏成像，并提供对结构特 征比如断层、小的竖直移位或其它地质不连续性的详细限定。此外，可以 检测到依赖于角度的方位各向异性，从而提供关于材料特性和取向以及非 均匀分布的地质不连续性(比如次表面断层)的有价值信息。陆地的宽方 位数据采集和海洋地球物理勘察可以记录单个分量(例如，压力)或多个 分量(例如，压力和颗粒移位的三个分量)。与窄方位采集相比，宽方位 采集可使用相对大数目的源。在地震采集勘察过程中，采集到的地震信号 可包括通过次表面传播的、由于地质不连续性而在目标反射体或衍射体的 反射或衍射的波。反射或衍射波可由接收器的系统记录，并存储在计算系 统的存储区中。
宽方位数据集可用于改善地震方法工作流中的关键成像和分析阶段。 例如，宽方位数据集可用于区域成像以对次表面储藏进行更好的成像和定 位。宽方位数据集还可用于利用目标定向的高分辨率的依赖角度的成像和 分析工具来增强储藏特征。在现有的水源附近，通过将沿着水源测量到的 地震波与声波相关联，可增强成像分辨率，从而减小地质参数的主波长。 这样的方法可以基本上改善高空隙压力预报(例如，利用高分辨率局部速 度反演)，并提供关于地质力学上的岩石特性的信息。
本发明的实施例提供了一种用于使用通过宽方位数据采集所获得的 地震数据进行成像的系统和方法。这里所使用的机制或术语可称作例如均 匀球形螺线、螺线、螺旋线、螺线-I、螺线-R、螺线-D、宽眼等。本发明 的实施例可包括针对每种不同类型的数据(例如，射线对的方向数据和反 射角数据)产生不同的全方位、依赖角度的图像集合。由图像集合表示的 数据可以被显示，并且可以提供被成像的地球物理结构的附加的、准确的 和/或详细的描述。
本发明的实施例可提供一种用于在降维坐标系例如均匀球形螺旋坐 标系中成像的系统和方法。在降维坐标系中成像可以例如分别利用比在双 角坐标系中成像时更低维数的和/或更少的数据来提供图像数据的替选表 示，以便例如表示传播到目标层位和从目标层位反射的地震波。
本发明的实施例提供一种用于将所记录的以空间和时间采集的基于 表面的地震数据(例如，利用宽方位数据集)映射到次表面在图像点或目 标点上的依赖角度的反射率(angle-dependent reflectivity)的系统和方法。 本发明的实施例可生成单参数的、全方位的角域共同图像集合(ADCIG)， 以对目标次表面区域进行成像。本发明的实施例可提供对单参数的、全方 位的ADCIG的唯一显示。利用例如单调增大的天顶角和周期性的方位的 这种显示可以用于例如生成(例如，创建和更新)各向异性速度模型，探 测地球物理非连续性比如层位、断层和小规模断裂，以相对高的分辨率对 储藏进行成像，以及确定和/或预测地球物理结构的孔隙压力和/或地质力 学上的岩石特性。
降维坐标系
本发明的实施例描述了一种用于将数据从第一坐标系转换到第二坐 标系的系统和方法，其中所述第一坐标系的维数可以大于第二坐标系的维 数，并且其中可以有以一对一的对应关系从第一坐标系到第二坐标系的变 换。在一些实施例中，所述转换可以包括例如利用映射关系(例如，变换) 将数据从第一坐标系映射到第二坐标系，所述映射关系可以是连续的和/ 或不连续的函数。第二坐标系可以例如由沿螺旋几何形状的数据点或节点 限定或表示，所述螺旋几何形状比如是均匀或非均匀的、球形的、椭圆体 的、椭圆形的或其它形状的螺线。在一些实施例中，所述转换可以包括例 如将数据映射成第二数据集，其中例如第二数据集可以由沿螺旋几何形状 的数据点或节点表示。
本发明的实施例可包括用于通过对不同的成像系统实施例如包括天 顶角和方位角的双角坐标系的参数表示，将数据从第一坐标系转换到第二 坐标系的系统和方法。天顶和方位可为多变量系统中的每个变量限定极角 矢量。在一个实施例中，参数化可将数据的二维表示降低为单维表示，由 此减小表示成像数据比如地球物理数据所需的信息的量，并可能减少所需 的处理。本发明的一些实施例描述了利用可称作“均匀球形螺旋”坐标系的 坐标系的转换、映射、参数化、表示等，所述转换、映射、参数化、表示 可用于例如将数据点的维数从二维数据表示降低到一维数据表示。然而， 本领域技术人员将理解，根据本发明实施例的转换、映射、参数化等可以 描述将数据点的维数从任意维的数据表示降低为任意相对低维的数据表 示。本发明的一些实施例描述利用数据集。本领域技术人员将理解，数据 集可包括一个或更多个数据点。
本发明的实施例可提供一种用于对表示图像数据比如地震数据的坐 标系进行转换的系统和方法，包括：接受第一组地震数据；将第一组地震 数据映射或转换成第二组地震数据，其中第二组地震数据的维数可以小于 第一组地震数据的维数；以及通过处理第二组地震数据来生成图像数据。 本发明的实施例可提供一种用于对表示地震数据的坐标系进行转换的系 统和方法，包括：将该组地震数据从第一坐标系转换到第二坐标系。在一 些实施例中，第一坐标系的维数可以大于第二坐标系的维数。在一些实施 例中，可以有以一对一的对应关系从第一坐标系到第二坐标系的转换。在 一些实施例中，映射或转换可包括将坐标系从第一坐标系转换到第二坐标 系，第二坐标系具有比第一坐标系的维数低的维数。在一些实施例中，映 射或转换可包括将一组图像数据比如地震数据的维数降低或者将用于表 示图像数据的坐标系的维数降低例如可以至少是一的整数。在一些实施例 中，一组地震数据的量可以比相对应的转换后的该组地震数据的量大大约 九倍；也可以使用其它系数。在一些实施例中，在转换后的坐标系中在螺 线的长度上以一个变量计算的积分可以等于在未转换的坐标系统中在相 对应的表面或面积上以两个变量计算的积分。
在一些实施例中，以上可以包括将映射关系或函数施加到一组数据或 坐标系。在一些实施例中，映射关系可限定坐标系的两个或更多个变量的 参数化。在一些实施例中，映射关系可将n-维空间中的数据集转换成m- 维空间中的数据集，其中n可以大于m。在一些实施例中，转换后的地 震数据可以由沿螺旋几何形状的数据点或由沿螺旋几何形状的弧长的节 点来表示。在一些实施例中，螺旋几何形状可以与连续的三维表面比如球 面、球体、椭圆体、双曲面等的形状一致。在一些实施例中，螺旋几何形 状可包括或可以与均匀球形螺线的形状一致。在一些实施例中，转换后数 据的维数可小于未转换的数据的维数。
在一些实施例中，未转换的地震数据可包括几个数据点，每个数据点 均可由射线对表示。在一些实施例中每个数据点可包括例如反射角和/或 方向角。
在一些实施例中，数据点可包括依赖角度的反射和/或衍射地震波， 所述地震波可(例如利用局部表面元素)直接在图像点上测量到或仿真出 来，并且可由射线对(例如，包括入射的以及反射的和/或衍射的射线) 表示。每个数据点可以例如由四个角表示，其中两个角表示入射射线的方 向(例如，包括天顶和方位)并且两个角表示反射或衍射射线的方向。可 替选地，可以使用四个其它角，例如，包括限定射线对法线的方向的两个 角(例如，包括天顶和方位)以及限定射线与射线对的张开方位之间的张 开角的两个角。本发明的实施例可包括四维角域成像坐标系到二维角域坐 标系的转换，其中每个双角系统可以利用例如均匀球形螺旋变换而被变换 (或例如映射)成单域系统。
在一些实施例中，数据点可以包括地震数据、医学成像数据、声学数 据、超声波数据、透地雷达数据、电磁波或其它合适的数据。在一些实施 例中，可使用显示器来对利用转换后的数据点而生成的数据进行视觉化， 所述数据例如包括地震数据和/或医学成像数据。
参数表示可称作“均匀球形螺线”，因为在一些实施例中，参数化的极 矢量角可由沿球形螺线的值限定。在一些实施例中，在极角矢量的两个参 数化分量例如天顶角和方位角之间可以有线性关系。因此，极角矢量的两 个分量可以沿球形螺线同时变化。在一些实施例中，参数化可以由从极坐 标系到均匀球形螺旋坐标系的连续对应关系限定。因此，极角矢量的两个 分量可以沿球形螺线连续变化。
尽管本发明的实施例描述了利用具有均匀球形螺线形状的坐标系以 便将数据从常规坐标系转换到均匀球形螺旋坐标系，但是可以使用提供常 规坐标系中的两个或更多个变量之间的关系、降低数据点的维数或具有常 规坐标系的沿螺旋或螺旋状线同时改变的两个或更多个变量的表示的任 何形状。这样的形状可包括例如可以是真正的或虚构的、对称的或非对称 的以及规则的或非规则的球体、椭圆体、环面、双曲面、抛物面、椭圆抛 物面、双曲抛物面和/或双曲圆柱体，或是平面螺线。
在一个实施例中，均匀球形螺旋坐标系可包括沿着其可限定数据点的 节点。在一些实施例中，节点可以是坐标系中的例如沿球形螺旋线的位置 或坐标。每个节点可由天顶角、弧长、螺旋圈所扫掠的面积或其它合适的 参数的值。球形螺旋圈所扫掠的面积可以是例如球形表面上的以螺旋圈的 线为中心或关于螺旋圈的线对称的平行四边形的面积(例如，具有可与沿 子午线的圈之间的距离相对应的标准宽度，和基本上可为连续节点之间的 螺旋圈的弧长的长度)。在一个实施例中，节点可以根据多个配置中的任 何配置，沿球面螺旋线的弧长设置。在一个实施例中，节点可以用以下方 式沿弧长设置：在所述方式中，(例如，参考图5所描述的)在连续节点 之间扫掠的面积或者连续节点之间的距离或任何其它合适的布置可以基 本上相等。本发明的一些实施例可提供均匀球形螺线形状，以使得极角矢 量的天顶角和方位角可以沿球形螺线同时变化。
本领域技术人员可以理解，均匀球形螺线表示及其离散化可用作示 例，以简化解释性和说明性的运算。然而，本发明的实施例可以不限于这 样的离散化，并且可以包括任何替选的离散化、坐标系、节点配置等。例 如，替选坐标系可由沿球体、椭圆体、椭圆螺线、环面螺线或任何其它合 适形状的节点来限定。
地震数据采集、处理、成像和分析的总体工作流
在该节中，根据本发明的一些实施例来描述均匀球形螺旋变换在数据 采集、处理、成像和分析的总体工作流中的角色和位置。
参考图1，其为根据本发明的实施例的系统的示意图，所述系统包括 发射器、接收器和计算系统。系统100可用于例如对用于表示图象数据比 如地震数据的坐标系进行转换。例如，系统100可以接受第一组地震数据， 将第一组地震数据映射成第二组地震数据，其中第二组地震数据的维数可 以小于第一组地震数据的维数。并且系统100可以通过处理第二组地震数 据来生成图象数据。系统100可生成与沿包括例如均匀球形螺线的螺旋几 何形状的每个点相对应的图像数据。系统100可以执行这里所描述的任何 方法的实施例和/或其它操作或计算。
系统100可包括发射器110、接收器120、计算系统130和显示器180。 发射器110可输出任意合适的信号，或生成入射信号。例如，可以从多个 位置中的每个位置发射一系列声音或地震能量射线或波。接收器120可接 受反射的信号，所述反射的信号可与发射器110发送的入射信号相对应或 有关。在其它范围中的成像例如医学成像的情况下，发射器110可输出比 如超声波、磁、x-射线等的能量或其它合适的能量。
计算系统130可包括例如处理器140、存储器150和软件160。处理 器140可处理数据，例如，从接收器120接收的原始数据。存储器150可 存储数据，例如，原始的或经处理的地震数据。根据本发明实施例所执行 的操作，比如映射、转换、降低数据的维数等，可以例如通过变换算子(例 如，在软件160中实施)来至少部分地被执行、操作或运算。其它单元或 处理器可以执行根据本发明实施例的这种操作或其它操作。
显示器180可以显示来自发射器110、接收器120、计算系统130或 任何其它合适的系统、装置或程序或者发射器或接收器追踪装置的数据， 所述程序例如是成像程序或软件。显示器180可包括一个或更多个输入 端，以便显示来自多个数据源的数据。所述系统可包括多个显示器。显示 器180可显示从数据生成的图像。例如，显示器180可显示地震或其它成 像数据(例如，根据这里所述的实施例的依赖角度的CIG、过程)的表 示或视觉化。
计算系统130可包括例如任何合适的处理系统、计算系统、计算装置、 处理装置、计算机、处理器等，并且可利用硬件和/或软件的任何合适组 合来实施。
处理器140可包括例如一个或更多个处理器、控制器或中央处理单元 (“CPU”)。软件160可例如全部或部分地存储于存储器150中。软件160 可包括例如用于根据本发明的实施例进行处理或成像的任何合适的软件。 处理器140可以至少部分地基于软件160中的指令来操作。
系统100可以例如利用软件160和/或处理器140或其它部件比如专 用图像或信号处理器，例如对目标表面进行成像。局部成像坐标系可用于 表示入射在目标表面的和目标表面反射的局部平面波的系统。
极角坐标系
地震勘察可使用沿地球表面设置的基本上大的源组和大的接收器组。 与源或与接收器相关联的地震波场可被分解成一组平面波。每个平面波可 由确切的螺旋方向表征。3D空间中的方向可以例如由极角表示。极角可 以通过例如两个角分量(比如天顶和方位)来限定。
参考图2，其为根据本发明实施例的双角坐标系中的数据点的双角表 示(例如，极角)的示意图。双角坐标系可以是例如极坐标系。可以使用 其它双角坐标系。双角坐标表示可包括例如第一变量和第二变量，所述第 一变量例如是天顶角210(例如θ)，其可限定双角坐标系(例如，极坐标 系)的第一分量，所述第二变量例如是方位角220(例如)，其可限定双 角坐标系(例如，极坐标系)的第二分量。天顶角210和方位角220可以 限定双变量坐标系中每个变量的极角矢量。
例如，可以通过两个变量例如天顶角210和方位角220，在双变量坐 标系中关于原点260(O)限定例如单位球上的数据点230。例如，矢量 OT 240的天顶角210可以指示矢量OT 240与z轴270之间的角，矢量 OT 240的分量垂直于z轴270和x轴280。例如，方位角220可以限定分 量OL 250(例如，矢量OT 240在水平的xy平面中的投影)的取向。
在说明性实施例中，天顶角210可采用零到π弧度范围内的值，而方 位角220可以采用零到2π弧度范围内的值。例如，0≤θ≤π，且 也可以使用其它值和/或范围。
本领域技术人员可以理解，尽管描述了数据的双角表示，但是本发明 的实施例可以应用于例如多变量坐标系统中的任何多变量数据表示。
例如在B节中估计出的全波场的最优表示所需的分解平面波方向的 数目可以基本上很大。
局部角域(LAD)坐标系
在给定图像点(局部反射表面)的入射和反射波(射线)的系统可以 用局部角域(LAD)坐标系来描述。LAD坐标系包括两个子系统：方向 和反射。方向系统包括描述射线对法线的方向的极角的两个分量。反射系 统包括入射与反射射线之间的张开角以及张开方位。在地震成像中，入射 和反射/衍射射线的方向被转换成LAD角。
参考图3，其为根据本发明实施例的针对给定射线对的局部角域 (LAD)的示意图。在一个实施例中，LAD中的每个射线对(其可包括 入射和反射射线)可以由多个(例如四个)变量(例如，v1，v2，γ1和γ2) 表示。例如，每个射线对可由代表射线对法线的方向的两个方向角(比如 倾角v1和方位角v2)以及代表射线对的入射和反射射线的相对取向的两 个反射角(比如张开角γ1和张开方位角γ2)来表示。方向角和反射角可由 两个独立的双角系统表示。
射线对中的两个射线即入射射线213和反射射线217在图像点265 汇合，所述图像点265例如位于或被设置为局部参考坐标系的原点。 射线对反射源可以是以以下方式定向的局部表面：在所述方式中，对于给 定的入射和反射射线的方向以及给定的介质参数，图像点可以遵循Snell 定律。向内的射线对法线275可以由倾角(例如天顶角)212即v1和方位 角214即v2来限定。射线对法线275的倾角212可以是向内射线对法线 275与局部轴270之间的无符号角。射线对法线275的方位角214可以 是法线275在平面上的投影与局部轴280之间的单个角。射线对中两 个射线(例如，入射射线213和反射射线217)的每个射线的方向均可由 例如包括天顶(或倾)角(例如，射线的方向与局部竖直轴之间的角)和 方位角(例如，射线在垂直于局部竖直轴的平面上的投影与该平面上的参 考方向之间的角)的两个角限定。另外，包括例如入射射线213和反射射 线217的射线对的任何函数例如反射率函数可以相对于两个角来限定，所 述两个角例如包括在图像点265测量到的张开角222γ1(例如，入射射线 213与反射射线217之间的角)和张开方位角224γ2(例如，张开角222γ1 的取向)。
在一些实施例中，例如包括入射射线213和反射射线217的射线对可 由四个角表示，所述四个角可限定两个独立的双角系统，例如，针对射线 对的方向(例如，由射线对法线275的倾角212和射线对法线275的方位 角214表示)的一个系统和针对射线对的反射角(例如，由张开角222 和张开方位角224表示)的另一个系统。例如包括张开角的幅度和方位以 及到反射对象的法线方向的系统的这种射线对表示可称作LAD表示。
坐标成像系统可使用每个射线对的替选的或附加的多变量表示。
局部参考坐标系
在一些实施例中，目标或成像表面(例如，包括成像点265)可以在 各种方向上被定位，从而形成局部倾斜的LAD系统。倾斜LAD系统的 取向可由背景表面方向角表示，所述背景表面方向角例如由双角系统限 定，包括向内法线到背景反射表面的倾角和方位角。z轴向下的“全局参 考坐标系”可以描述局部倾斜LAD系统的取向，相对于全局坐标系，局部 倾斜LAD系统可称作“局部坐标系”。可根据笛卡尔坐标系、极坐标系等 或通过其它坐标系来限定全局和局部坐标系。
TTI对称轴的取向
本发明的实施例可使用各向同性和/或各向异性的模型来对目标表面 成像，也可以使用其它模型。在一些实施例中，各向异性的模型比如倾斜 横向各向同性(TTI)模型可以与倾斜的对称轴一起使用。在这样的实施 例中，包括例如对称介质轴的TTI模型的取向可在每个位置由双角系统 表示。
因此，例如在成像LAD系统中的射线对和它们与目标表面的关系可 以在常规坐标系中由多个(例如，八个)角限定。在一个实施例中，八个 角可以被划分到四个双角系统中，例如，限定射线对方向角的系统、限定 射线对反射角的系统、限定局部倾斜LAD系统的取向的系统以及限定对 称介质轴的系统。本发明的实施例可以为所述双角系统中的每个或一些双 角系统提供均匀球形螺线参数化。
均匀球形螺线
本发明的实施例可提供每个双角系统的降维表示，例如一维表示，例 如，可以对双角系统施加均匀球形螺线参数化，从而减少执行最优角域成 像所需的数据点的量。这种数据减少可以提高对数据成像或处理所需的计 算的效率，并且可以减小通过计算处理来存储磁盘上的数据或存储中间数 据(例如，数据处理中使用的数据)所需的空间和存储器。
本发明的实施例可例如根据减小的(例如，一维的)均匀球形螺旋表 示，提供这里所描述的每个双角系统的独立视觉化或显示。这样的显示也 称作“球形螺旋图像集合”，可以提供用于解释地球物理数据的有用信息。
参考图4，其为根据本发明实施例的均匀球形螺旋坐标系中的数据点 的示意图。均匀球形螺旋表示可以是参考图2所述的双角表示的参数化表 示。在一个实施例中，参数化可以将参考图2所述的双角系统中的数据的 二维表示降低为一维表示，其可以减小表示和成像地球物理数据所需的信 息的量。运行这样的机制的系统与运行常规机制的系统相比，可以更高效， 需要更少的操作和计算，并且使用更少的存储器和/或存储空间。
在说明性的实施例中，根据本发明的实施例，例如可以利用例如均匀 球形螺线参数化，以转换的、压缩的或降维的形式表示地震数据。降维坐 标系比如均匀球形螺旋坐标系可以例如通过双角坐标系的参数化来限定。
双角坐标系的参数化
双角坐标系的参数化可以包括例如以下的关系：
(1)
其中k可以是参数，其可被称为螺线的仰角参数(elevation parameter)； 而θ和可以是双变量(或者例如双角分量)，例如，分别是天顶角θ210 和方位角220，其示例参考图2而描述。在一些实施例中，参数k可以 指示球形螺线上的螺旋圈的密度。在一些实施例中，对于均匀球形螺线， 仰角参数k的值越大，螺线上的圈密度就越大。例如，仰角参数k可以对 应于或有从北极390开始到南极395结束的生成螺线的圈的数目的二倍。 北极390和南极395可以被限定为螺旋坐标系中的天顶角310分别为零 和π弧度的点或节点。北极390和南极395可以具有未限定的或忽略的方 位角320值。赤道可以包括螺线中的可以是距北极390和南极395几乎或 基本上相等的圈或段。沿或靠近赤道的点或节点可以具有类似的方位角 320值。在一些实施例中，螺线倾斜参数α可以被限定为螺线在给定点的 方向与水平面(例如，与球体的极轴正交的平面)之间的角。倾斜α可以 例如通过以下等式相对于天顶角限定：
(2) $\tan \alpha =\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dh}}=\frac{\mathrm{dz}/\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dh}/\mathrm{d\theta }}=\frac{\mathrm{dz}/\mathrm{d\theta }}{\sqrt{{(\mathrm{dx}/\mathrm{d\theta })}^2+{(\mathrm{dy}/\mathrm{d\theta })}^2}}=-\frac{\sin \theta }{\sqrt{1+(k^2-1){\sin }^2\theta }}.$
在一些实施例中，所述倾斜例如可以具有沿均匀球形螺线的长度变化 的值。在一些实施例中，例如，由于均匀球形螺旋线可以从z＝1的北极 390向下延伸到z＝-1的南极395，因此所述倾斜可以具有负值。例如，所 述倾斜可以在极390和395处为零，其中天顶角可以为θ＝0和θ＝π弧度。 倾斜角可以在沿赤道的点处具有最大绝对值|α|max≈arctan(1/k)，在赤道处 天顶角θ≈2π。可以使用其它公式或公式系列。
等式(1)可以限定θ和之间的比例关系，所述比例关系例如由标量 仰角参数k表征。因此，所述坐标系可称为“均匀”。术语“均匀”可与整个 螺线上的天顶角和方位角之间的均匀线性关系有关。术语“均匀”还可与节 点沿螺旋线(例如，其中连续节点可以在它们之间具有均匀弧长，或者， 可以扫掠均匀的面积)的均匀位置(或例如间隔)有关。在这样的实施例 中，例如通过两个变量(例如θ和)在双角坐标系中表示的数据点可以 在均匀球形螺旋坐标系中通单个变量(例如，两个角θ和之一)表示。 例如，天顶角θ可以单独限定双变量坐标系中的任意位置。
例如，均匀球形螺线上的数据点330 T’可以在均匀球形螺旋坐标系中 通过单个变量例如天顶角310(或者例如方位角320)来限定。在一个实 施例中，矢量OT 340的天顶角310θ(例如，矢量OT 340与z轴370之 间的角)可以例如根据等式(1)中的关系来限定方位角320(例如，矢 量OT 340的与z轴370正交的分量OL 350与x轴380之间的角)。由于 两个变量例如角θ和可以利用等式(1)在双角(例如极)坐标系中限定 任意数据点330 T’，单个变量θ可以近似地在均匀球形螺旋坐标系中限定 任意数据点330 T’。在一些实施例中，当两个变量例如天顶角310θ和方 位角320相互独立时，任意数据点330 T’仅可通过两个变量限定。然而， 当两个变量相关时，任意数据点330 T’可通过两个变量中的任一个变量限 定。在一些实施例中，任意数据点330 T’可以不位于螺旋线上，或者可以 位于螺旋线上，但是通常不在螺旋坐标系的节点上。在这样的实施例中， 数据点可以装仓(binned)到例如存在于螺旋线上的最近节点。
完整和部分球形螺线
在说明性实施例中，天顶角310θ可以取零到π弧度范围内的值，方位 角320可以取零到2πncoilsπ弧度范围内的值，其中ncoilsπ可以是例如从北极 开始并且在南极终止的完整螺线中的螺旋圈的量。“部分”螺线可以从北 极开始并且在球体表面上除了南极的某个点终止。“完整”螺线可以首先 与部分螺线一致，直到部分螺线终止的点，然后可以继续到例如具有相同 仰角参数k的南极。对于完整螺线，例如，0≤θ≤π并且ncoilsπ 的上标π可以暗示从完整螺线取得的全部圈可延续到南极，其中天顶角 θmax＝π。可以使用其它值和/或范围。应理解，ncoilsπ可以取非整数值。
由等式(1)限定的比例得到例如：
(3)
最大天顶角310和方位角320可以分别为例如：
(4)θmax≤π，且
组合等式(3)和(4)得到例如：
(5) $k=\frac{2\pi n_{\mathrm{coils}}}{{\theta }_{\max }}.$
例如，如果均匀球形螺线在极390和395具有端点(例如，图4所示 的“完整”均匀球形螺线)，则最大天顶角310和方位角320可以分别为 例如：
(6)θmax＝π，且
这样，等式(5)简化为例如：
(7) $k=2n_{\mathrm{coils}}^{\pi }.$
例如，如果均匀球形螺线在极390和395不具有端点(例如，“部分” 均匀球形螺线)，则最大天顶角310和方位角320可以分别为例如：
(8)θmax≤π，且
在一些实施例中，基本上所有螺线(完整螺线和部分螺线)都可以从北极 390开始。然而，部分螺线通常达不到南极395。部分螺线可以在天顶角 比完整螺线小的点终止。这样，基本上只有完整螺线延续到天顶角为π的 南极。在这样的实施例中，比例常数(或者例如仰角参数)k可由等式(5) 来限定。
可以使用其它公式或公式系列。
球形螺线节点的离散化
在一个实施例中，均匀球形螺旋坐标系可以包括节点355，可沿节点 355限定数据点330 T’。在一个实施例中，节点355可以根据多个配置中 的任意一个配置沿螺线球体的弧长设置。在一个实施例中，节点355可以 以连续节点355之间所扫掠的面积近似相等的方式沿弧长定位。这样的实 施例提供了均匀球形螺旋坐标系的标准化(normalization)，其可以例如 有益于成像系统。在一个实施例中，在成像期间，成像系统可以按每单位 局部面积计算射线的密度(例如，流量)。射线的流量可以与各种照度模 型相比较，以便例如确定哪个照度模型最准确地类似于所记录的数据。这 样的密度或流量测量可以包括利用均匀球形螺线的机制，在球体的表面面 积上对在离散数据点330 T’确定的数据值积分。在节点355的排列被标准 化、连续螺线节点之间所扫掠的面积相等的实施例中，这样的计算基本上 可以简化。根据本发明的实施例，可以如参考图5所述的那样使用节点的 离散化。可以使用其它类型的离散化。
本领域技术人员可以理解，尽管可以使用各种降维坐标系，图4描绘 了一种这样的坐标系的说明性实施例。与其它坐标系相比，均匀球形螺旋 坐标系的使用可以相对简单。
这里描述了均匀球形螺线参数化的特征的进一步描述。这样的特征可 以包括例如限定和提供均匀球形螺线的弧长与天顶角之间的关系、均匀球 形螺线的扫掠面积与天顶角之间的关系、用于均匀球形螺线的最优参数、 用于对均匀球形螺线成像的函数(比如)、以及用以例如利用标准化方法 来参数化双比例数据表示以生成单变量数据表示的装仓(binning)机制。 用以均匀球形螺线的最优参数可以包括例如均匀球形螺线中的圈的最优 数目和/或用于沿均匀球形螺线的节点排列的最优类型的选择。可以有例 如两种类型的最优节点离散化，例如利用连续节点之间的均匀长度的均匀 节点离散化和利用螺旋圈所扫掠的均匀面积的均匀节点离散化。所述节点 可以例如沿弧长以如下方式定位：在所述方式中，连续节点之间所扫掠的 面积相等(例如，包括等面积分段)，并且连续节点之间的弧长近似相等。 替选地，节点可以被设置为使得连续节点之间的弧长相等并且连续节点之 间所扫掠的面积近似相等。在一些实施例中，提供等面积分段的节点离散 化可以有助于流量计算。
等面积离散化
参考图5，其为根据本发明实施例的均匀球形螺旋坐标系中的节点的 等面积离散化的示意图。在一些实施例中，均匀球形螺旋坐标系362的连 续节点364之间所扫掠的每个面积可以基本上相等。
在一些实施例中，当连续节点之间所扫掠的面积364基本上具有相同 值时，例如沿着螺旋线的长度的连续节点之间可以是非均匀距离。均匀的 面积离散化可以向均匀球形螺线362的接近极的分段提供相对长的弧长， 并向所述螺线的远离极(例如，北极390和南极395)的(例如，在螺线 的“中纬度”处或赤道区域附近的)分段提供相对短的弧长。在一些实施 例中，连续节点之间所扫掠的面积364(也称为面积元)可以用平行四边 形来近似，所述平行四边形例如具有基本上与沿螺线弧长的连续节点之间 的距离相等的长度和基本上与沿子午线方向的连续圈之间的距离相等的 侧边，并具有相邻边之间的变角，如参照图6所示。连续节点之间所扫掠 的面积元364或面积可以具有其它形状或边界。尽管离散化描述了连续节 点之间所扫掠的面积364，但是在其它实施例中，离散化可以包括将例如 沿螺旋线的长度的连续节点之间的距离标准化。
在一个实施例中，在节点355的“圈所扫掠的面积”可以指在节点 355之前的连续节点之间沿螺旋线所扫掠的面积的累积和。在一个实施例 中，对于节点355，可以限定在节点355的圈所扫掠的面积与被称为节点 355的“极帽(polar hat)”的面积之间的关系。在一些实施例中，节点 355的极帽可以是通过可与球体的极轴正交并穿过节点355的平面与球体 的下部分隔开的球体的上部的表面。因此，当球的极轴是竖直的(例如， 轴z)，水平平面可以基本上与极轴正交。穿过球体的给定节点的水平平 面可以将球体分隔成两个表面。这两个表面可被称为极帽，例如，北极帽 和南极帽。在一些实施例中，可以仅考虑北极帽。在一个实施例中，对于 均匀球体螺线355线上的点，节点355的北极帽面积A可以是例如：
(9)A＝2πRH＝2πR(R-z)＝2π(1-z)＝2π(1-cosθ)＝4πsin2(θ/2)，
其中R＝1可以是单元球体的半径，H＝R-z可以是极帽的高度，z可以是节 点的竖直坐标(例如，在北极z＝1，在南极z＝-1，在赤道z＝0)，而θ可以 是倾角，其中z＝R cosθ＝cosθ。在北极390，北极帽的面积可为零，而 在南极395，南极帽的面积可以等于整个球体的表面积。
可以使用其它公式或公式系列。
作为双均匀球形螺线的LAD
参考图8，其为LAD的示意图，其中利用根据本发明的均匀球形螺 旋坐标系来表示射线对方向角子系统。两个LAD子系统可被描述为包括 例如方向子系统372和反射子系统374。(例如参考图3所描述的)反射 子系统374可由锥体的轴向横截面表示，所述锥体具有与入射和反射射线 之间的角相等的张开角322，并且所述锥体的轴向横截面的取向可由张开 方位324限定。对于普通的各向异性介质，锥体轴为张开角γ1的二等分线 (例如，张开角的对称轴)。在各向同性介质的情况下，锥体的轴376可 以表示射线对的法线。在其它情况下，射线对的法线不与锥体的轴相重合， 因为入射角和反射角可基本上不同。不同的张开方位角γ2可以通过锥体的 轴向横截面绕射线对法线的旋转来获得。通常，由于各向异性和/或经转 换的波，轴向横截面的旋转轴不是必须与该横截面的对称轴重合。轴向横 截面的侧边可以是入射射线313和反射射线317。方向子系统372可以由 根据本发明实施例的均匀球形螺旋坐标系表示。方向子系统372可以包括 两个角，例如天顶角v1 312和方位角v2 314。螺旋节点355的位置可以对 应于例如相等面积分段。
参考图9，其为LAD的示意图，其中两个子系统包括：方向和反射， 利用根据本发明实施例的均匀球形螺旋坐标系表示。在图9中，方向LAD 子系统382和反射LAD子系统392可以由均匀球形螺旋坐标系表示。在 每个图像点的包括方向和反射LAD子系统382和392的四维LAD系统 可由双子系统角表示。在一些实施例中，每个双子系统角可以通过降低的 坐标系例如均匀球形螺旋而被参数化。这样，代替例如图3中所述的四维 角域系统，根据本发明的实施例，与给定射线对有关的任何数据点，例如 数据点365，可以为仅两个参数的函数，所述两个参数中一个代表方向 LAD子系统382中的方向角，一个代表反射LAD子系统392中的反射角。
例如，均匀球形螺线382可以表示数据点365的方向分量(例如，射 线对法线的倾角v1和方位角v2)，并且均匀球形螺线392可以表示同一数 据点365的反射分量(例如，射线对的张开角γ1和张开方位角γ2)。螺线表 示382和392可以相对于彼此平移或旋转，同时保持对地震数据的精确表 示。球体可以被滑动并通过另一球体的表面滚动，使得公共点(例如，接 触点)可以属于两个球体，并且通常不位于所述球体中任一球体的圈之间。 在图9所示的示例中，射线对的方向可通过射线对法线的33°倾角和297° 方位角来表示，而射线对的反射角可通过30°的张开角和240°的张开方位 角来表示。也可以使用其它值。
因此，在一些实施例中，(例如，以极坐标系或笛卡尔坐标系表示的) 多维数据集可以被分成多个二维数据子集，其中每个二维子集可以由根据 本发明实施例的螺线(例如，方向螺线382和反射螺线392)来表示。由 于均匀球形螺线382和392表示可以分别降低LAD的方向角和反射角系 统的纬度，因此组合这两种表示可以用于表示具有进一步降低的纬度的射 线对。
成像机制
根据本发明的实施例所使用的成像机制可包括例如常规建模机制，比 如可产生模拟的(或者例如成像的)反射信号的波动方程建模或射线追踪 建模。成像系统可以使用例如通过宽方位机制、通过例如模拟入射到目标 表面的和从目标表面反射的具有宽范围的方向角和反射角的射线而生成 的地球物理数据。对在次表面图像点的入射和反射和/或衍射信号进行成 像的地震数据可以利用例如基于例如波动方程的数值解或(例如，利用射 线追踪方法的)射线方程的数值解对波传播的模拟来生成。可以通过基于 Snell定律来应用成像条件，来构建CIG内的角域反射率。在实践中，根 据本发明实施例的成像机制可包括例如用于生成共同图像集合(CIG)的 基于射线的Kirchhoff偏移机制和/或波动方程。
根据本发明实施例的成像机制可包括例如3D倾斜叠加(slant stack) 或3D束叠加(beam stack)机制。3D束叠加机制可以分解在满足特定的 预定的、自动化的、人工的或用户选择的条件的中心信号附近的反射同相 轴。例如，围绕中心信号的邻近反射同相轴具有与中心信号相同的到达方 向，则这些邻近反射同相轴可以被成像。倾斜叠加机制可以对具有基本上 相同的出射角的反射同相轴进行成像。可以使用其它成像条件。倾斜叠加 和/或束叠加机制可以例如利用傅立叶变换等在频域中执行，或者利用 Radon变换等在时域中执行。会在名为“倾斜叠加成像机制和角离散化” 的章节中更详细地描述3D倾斜叠加机制。
本发明的实施例可提供一种用于利用(例如，球形WADI、波动方程 角域成像所表示的)波动方程共射点偏移(Common Shot Migration， CSM)机制生成全方位角集合的系统和方法。这样的机制可以利用二维 球形表示，使用均匀球形螺线表示以便生成3D Radon变换(例如，3D 倾斜堆叠)。
本发明的实施例可用于表示任何多变量数据。例如，数据可以与地球 物理数据有关，所述地球物理数据可以例如表示来自宽方位地震数据采集 的地震波。在其它实施例中，数据可以用于例如医疗成像，次表面、海洋 和/或太阳能勘探，以及出于保密目的的隐蔽事项检查。
全方位角域共同图像集合
在一些实施例中，利用例如共有单个几何参数(例如，单个方位张开 角)的踪迹而生成的CIG可以不足的准确度对地球物理结构进行成像。 利用例如多方位CIG而不是例如共同使用的单方位CIG进行成像，可以 改善成像准确度并提供关于方位依存性的附加重要信息。根据本发明的实 施例，可以利用两个参数共有一个值的踪迹来生成全方位的依赖角度的 CIG。可以有不同类型的依赖角度的CIG，包括例如：反射角CIG，其 可以表示为张开角和张开方位角的函数；以及方向CIG，其可以表示为 射线对法线的倾角和方位角的函数。
球形共同图像集合-多方位角域CIG的独特显示
参考图10，其为根据本发明实施例的螺线CIG的显示(例如，全方 位反射角CIG显示(例如，称作螺线-R))的示意图。在图10所示的实 施例中，均匀球形螺线参数化可以提供一维表示，例如螺线-R，表示与由 螺线表示392所表示的射线对反射角(例如，包括张开角和张开方位角) 相对应的CIG，或者螺线-D，表示与由螺线表示382所表示的射线对方 向角(例如，包括倾角和方位角)相对应的CIG。
在一个实施例中，图10可以显示根据本发明实施例的全方位反射角 域CIG(例如，3D ADCIG)。在图10所示的实施例中，均匀球形螺线参 数化可以提供单参数表示，例如，图像的分布、集合踪迹，表示地震数据 集的反射率比射线对反射角(例如，如参考图3所描述的那样，包括张开 角222和张开方位角224)。在另一实施例中，这样的表示可以描绘射线 对方向角(例如，如参考图3所描述的那样，包括射线对法线215的倾角 212和方位角124)的均匀球形螺线表示。根据本发明的实施例，基于均 匀球形螺线的显示可以提供具有单调增加的天顶角和周期性方位的表示， 如例如图10和11所示。
所述显示可以表示例如通过张开角和张开方位限定的沿给定竖直线 设置的图像点的LAD表示的反射系统。均匀球形螺线表示将两种反射角 (例如，张开角和张开方位)统一为单个参数(例如，螺旋圈所扫掠的标 准化面积)。所述参数对应于张开角和张开方位角二者的同时改变。在一 些实施例中，螺线-R(或螺线-D)踪迹410可以描绘沿以均匀面积间隔设 置的螺线节点355的值。竖直踪迹410可以对应于整个深度范围内的可变 深度，并且可以与特定螺线节点355有关。沿固定的水平显示位置的值可 以对应于固定的深度和/或对应于例如以均匀面积间隔设置的整组螺线节 点。
在一些实施例中，图10可显示通常被显示的图像集合踪迹的子集。 在一些实施例中，3D ADCIG的显示可以包含上百个(甚至上千个)这样 的踪迹。在一些实施例中，可以根据本发明的实施例来生成和显示与除了 ADCIG之外的CIG相对应的踪迹。在一些实施例中，可以根据本发明的 实施例来生成和显示与一维或二维CIG相对应的踪迹。
如在此所描述的，均匀球形螺旋坐标系中的单个变量天顶角310可以 相当于双角坐标系中的双变量天顶角210和方位角220。因此，图10中 的3D ADCIG包括共有双角坐标系中的天顶角210和方位角220的值的 踪迹410。均匀球形螺线参数化因此可以将双角坐标系中的两个独立变量 的函数的比较简化为均匀球形螺旋坐标系中的一个变量的函数的比较，由 此减小可被处理的信息的量。由于3D CIG可增加成像、视觉化和/或解 释系统的计算复杂度，因此减小用于处理的信息的量可以提供例如以减小 的内存和存储容量以及改善的计算效率工作的机制。本领域技术人员可以 理解，本发明的实施例可用于生成3D CIG，包括具有例如基本上相同的 射线对方向角、反射角、倾斜LAD的方向角和/或限定对称介质轴的角的 踪迹。
全方位(例如，3D)ADCIG可包括多个图像踪迹410，除了基本相 同的张开角之外，每个图像踪迹410还具有例如在反射表面上的基本相同 的张开方位角。在一些实施例中，在给定图像点上的二维数据集可以利用 均匀球形螺线参数化被转换为一维数据集。二维数据集可以包括例如数据 点(例如，数据点230)的反射角的双角坐标系(例如，极坐标系)表示 (例如，包括两个独立变量，比如由方位角222表示的张开方位和由天顶 角210表示的张开角)。一维数据集可以包括例如数据点(例如，图4中 的数据点330)的反射角的单变量坐标系(例如，均匀球形螺旋坐标系) 表示。所述数据集可包括两个依赖变量，比如张开角和张开方位角，它们 可以例如通过等式(1)所限定的关系而相关。
在一个实施例中，通过使用均匀球形螺线参数化，所述两个角可以通 过例如在等式(1)中例如通过仰角参数k所限定的关系而被统一。在一 些实施例中，沿螺旋线的长度可变的运行参数可以是在连续节点之间具有 等面积分段的均匀球形螺线的圈所扫掠的面积。该面积可以例如如在此所 述地那样被标准化。仰角参数k可以表征张开角与张开方位角之间的关 系。CIG踪迹可以位于其间具有均匀面积分段的螺线节点上。
图10描绘了“完整”均匀球形螺线上的3D ADCIG。例如，均匀球 形螺线可以在其极(例如，如图4所示的北极390和南极395)上具有端 点节点。螺线的一个端节点可以设置在北极并且可以具有天顶角θ＝0弧 度，而螺线的另一个端节点可以设置在南极并且可以具有天顶角θ＝π弧 度。当在这里使用时，北和南仅是为了清楚而使用，并用作相对术语，当 然，北极和南极也可以颠倒或者可以不同的方式描述。为了说明根据本发 明实施例的CIG的特征，用于产生图10中的显示的均匀球形螺线可以具 有相对少数目的圈，例如， $n_{\mathrm{coils}}=n_{\mathrm{coils}}^{\pi }=5.$ 在一个实施例中，利用例如如 等式(7)所限定的完整的均匀球形螺线，所考虑的示例中的仰角参数k 可以为例如 $k=2n_{\mathrm{coils}}^{\pi }=10.$ 连续圈之间的天顶角(例如，张开角)的差可 以为例如 $\Delta {\gamma }_1=\pi /n_{\mathrm{coils}}^{\pi }=\pi /5,$ 而连续圈之间的方位角(例如，张开方位角) 的差可以为Δγ2＝2π。为了说明根据本发明实施例的CIG的特征，均匀球 形螺线可以具有例如16个节点，所述16个节点可以是等距离的(例如， 在节点之间具有与均匀面积分段网格相对应的15个间隔)。可以使用其它 数目的节点和间隔。在一个实施例中，各个圈所扫掠的面积不相等。例如， 图10示出了圈1和圈5(例如，跨极区域)每个扫掠约10％的面积，圈 2和圈4(例如，跨中纬度的区域)每个扫掠约25％的面积，而圈3(例 如，跨赤道区域)扫掠约30％的面积。应当注意，典型的3D CIG可以包 括上百个踪迹，而均匀球形螺线可以包括几十个圈。可以使用各种其它视 觉化或显示来描绘根据本发明实施例所生成的3D CIG。这样的显示及其 特征(例如，色彩、对比度、所显示的数据类型等)可以被自动地、手动 地或根据用户选择的和/或通过自动机制而选择的预定的或得出的设置而 被设置和/或调节。例如，背景色显示可以用于强调张开方位角的值在每 个圈上的变化，其中多种色彩中的每种可用于表示张开方位角的特定值。 在该情况下，对于每个圈，背景色的顺序可以重复。
宽眼系统可以包括螺线-R和螺线-D CIG。宽眼系统可以利用例如基 于射线的全方位角域成像机制(例如，称作螺线-RADI)和波动方程机制 (例如，共射点偏移(CSM)，这里称作螺线-WADI)来生成3D ADCIG。
本发明的实施例可提供一种用于生成螺线反射角ADCIG(例如，称 作螺线-R)和螺线方向共同图像集合(例如，称作螺线-D)的系统和方法。 在一些实施例中，螺线-R表示可以例如作为(例如，在反射表面的)射 线对的张开角和张开方位角的函数，表示波的局部反射率分布。在一些实 施例中，螺线-D可以例如作为(例如，在反射表面的)波的局部倾角和/ 或方位角的函数，表示波的镜面的和/或漫射的能量。在一些实施例中， 螺线-R和螺线-D偏移的角集合可以提供地球物理和地质数据或者其它成 像数据的替选表示。
真实数据全方位反射角CIG显示的示例
参考图11，其为根据本发明实施例的针对通过地球物理陆地勘察所 收集的地震数据的全方位反射角CIG显示(例如，称作螺线-R)的真实 数据示例。图11可以显示根据本发明实施例的根据在地球物理陆地勘察 期间所收集的地震数据而构造的螺线-R ADCIG。可以利用相对低质量的 信号和相对稀疏的采集网格参数，通过基本上宽方位的采集勘察来用于构 造螺线-R的地震数据。可以使用其它地震或成像数据。显示490可以示 出包括例如约400个踪迹(例如，对应于400个螺线节点355)的ADCIG， 每个ADCIG利用表示均匀球形螺线(例如，螺线-R)表示来表示反射率 (例如，张开角和张开方位角二者的特定值)。竖直轴或z轴470可以对 应于次表面以下的深度或信号源位置，而x轴480可以对应于沿螺旋线的 统一坐标，例如，相对弧长或螺旋圈所扫掠的相对(例如，标准化的)面 积。例如所显示的且相对于坐标x和z限定的函数可以是例如依赖角度的 反射率。z轴470可以对应于例如在地球表面以下的约零至约4000米深 度的范围。在一些实施例中，例如图10中所描绘的螺线-R表示可以是例 如图11中所描绘的螺线-R数据表示的示意图。图11中的踪迹可以例如 对应于用于所扫掠的固定相对面积(或相对弧长)的竖直线以及深度范围 内的可变深度。
方向螺线CIG和反射螺线CIG的分析
参考图12A和12B，其分别是根据本发明实施例的射线对反射角和 方向角的全方位ADCIG数据表示的显示(例如，分别称作螺线-R和螺 线-D)的示意图。在图12A中，在各个深度，螺线-R显示射线对的反射 角系统(例如，包括射线对的张开角和张开方位角二者)与图像幅度之间 的关系。在图12B中，在各个深度，螺线-D显示射线对的方向角系统(例 如，包括射线对法线的倾角和方位角二者)与图像幅度之间的关系。可以 利用所显示的组合的螺线-R和螺线-D数据来确定速度场，以便确定反射 体的位置和取向以及衍射体的位置。
在一些实施例中，螺线-R集合423和螺线-D集合425可以分别描绘 利用具有基本上正确的速度场模型的反射体生成的反射角3D ADCIG和 方向角3D ADCIG。例如，当使用基本上正确的速度模型时，沿螺线-R 集合423和螺线-D集合425中每一个集合的反射同相轴在给定深度可以 基本上是水平的和/或平坦的。这样的基本上在水平方向反射的同相轴可 以指示可以利用各种张开角和张开方位角来基本上均匀地对反射表面进 行图示或成像。在图12B中，当使用基本上正确的速度模型时，螺线-D 集合425可以在位于反射表面元素的取向附近的基本上真实深度水平上 具有图像幅度。螺线-D可以包括对照射线对法线的各种(例如，基本上 所有)方向绘制的图像反射体的函数。然而，该函数的幅度范围可以处于 与物理反射表面元素的真实方向(例如，镜面方向)或非常小范围的方向 相对应的窄水平宽度的窗口内。对于具有基本上大量的圈的螺旋坐标系， 对于反射率函数可以有多个具有高幅度的周期性地重复的部分。
在其它实施例中，螺线-R集合433和螺线-D集合435可以分别描绘 利用具有基本上不正确的速度场模型的反射体生成的反射角3D ADCIG 和方向角3D ADCIG。例如，当使用基本上不正确的速度模型时，沿螺线 -R集合433和螺线-D集合435中的每一个集合的反射同相轴在给定深度 可以基本上是不平坦的和/或是弯曲的(例如，具有非零斜率)。在一个实 施例中，沿螺线-R集合433和螺线-D集合435中每一个集合的反射同相 轴可以(例如，以正斜率)向上弯曲，其可以指示在被成像点所使用的偏 移速度可以基本上低于正确的偏移速度。
在其它实施例中，螺线-R集合443和螺线-D集合445可以分别描绘 通过在具有基本上正确的速度场模型的衍射体附近进行成像所获得的反 射角3D ADCIG和方向角3D ADCIG。例如，当使用基本上正确的速度 模型时，沿螺线-R集合443和螺线-D集合445中每一个集合的反射同相 轴在给定深度可以基本上是水平的和/或平坦的。在该情况下，利用在螺 线-R中以任何反射角并且在螺线-D中在任何方向上看到反射同相轴。因 此，图12A和12B对应于三种情况。包括螺线-R集合423和螺线-D集合 425的上部图像可以对应于具有基本上正确的速度的反射体，其中仅针对 反射表面的明确方向、但是针对反射角的基本上所有幅度和方位，发生反 射。包括螺线-R集合433和螺线-D集合435的中部图像可以对应于具有 不正确速度的反射体。包括螺线-R集合443和螺线-D集合445的下部图 像可以对应于具有正确速度的衍射体，其中针对入射和反射射线的任意组 合、或者针对衍射体的体表面的任意取向以及针对反射角幅度和方位，发 生衍射。在速度基本上正确时，螺线-R集合和/或螺线-D集合可以是基本 上“平坦的”。对于所有反射角、但是仅以与物理反射表面相对应的明确 方向角，可以清楚地看到反射体。与反射体不同，衍射体通常在基本上所 有方向上(例如，针对基本上所有张开角)耗散能量。
本发明的实施例可以提供一种用于同时生成和显示(例如，基本上并 置的或相邻的)射线对反射角的3D ADCIG数据表示螺线-R以及射线对 方向角3D ADCIG数据表示螺线-R的系统和方法。这种同步显示可以为 地球物理勘探专家提供用于探查和识别次表面结构的比较能力和数学关 联工具。参考图12A和12B所描述的显示可以同时显示各种类型的螺线 集合(例如，螺线-R和螺线-D)，以便例如根据2D和3D图中的各种角 度和/或视点(例如，沿子午线或特定纬度)，对数据进行视觉化和解释以 及显示各种图像区域。
参考图12A和12B所描述的显示可以包括例如带有控制的面向任务 的和/或用户交互式的显示窗口。参考图12A和12B所描述的显示可以帮 助解释者识别全方位角域剩余时差(residual moveout)，以及例如识别局 部反射表面的取向。
螺旋角域成像机制
在各种实施例中，可以利用例如基于射线的全方位角域成像(螺线 -RADI)机制或基于波动方程的全方位角域成像(螺线-WADI)机制来分 别生成射线对反射角和方向角的3D ADCIG数据表示，例如螺线-R和/ 或螺线-D表示。
螺线-RADI：基于射线的全方位角域成像
本发明的实施例可以包括螺线-RADI，其可以使用基于射线的成像工 具以便获得高质量的、保持幅度的、依赖角度的反射率图像。螺线-RADI 可以为例如面向目标的多到达偏移，所述多到达偏移可以例如使用受控角 孔径(angle aperture)内的整个波场。可以在定向为朝向表面的所有方 向上从数据点开始射线追踪，其可以形成用于将所记录的表面地震数据映 射成在数据点的LAD的系统。
这样的偏移机制可以是极多用途的，并且可以例如利用全体积成像和 全孔径成像来执行。这样的偏移机制可以利用例如具有大量节点的PC机 群来运行。这样的偏移机制可以针对具有模型驱动的孔径的特定的小兴趣 区域来运行，其可以导致基本上快速的、高分辨率性能的成像。
螺线-RADI可以支持各向同性和各向异性(例如，TTI)模型，并且 可以具有输出高质量螺线-R和/或螺线-D的能力。通过螺线-RADI获得的 角集合可以用于例如速度模型构建(例如，包括断层扫描分辨率)以及用 于确定局部反射表面或断层的取向。以连续方式显示方位反射同相轴并分 别拾取方位剩余时差的能力使得该断层扫描在各向异性效应的分析中非 常独特。图像集合还可以用于依赖角度的幅度分析(AVA)。
螺线-WADI：基于波动方程的全方位角域成像
在地震成像中通常使用两种类型的波动方程偏移。一种可以是基于勘 察下沉的方式，其中射点波场和接收器波场均可以基本上同时向下连续。 另一种可以是共射点偏移(CSM)，其可以更为通用和准确，并且可以使 用整个所记录的波场。可以在共同方位偏移中执行勘察下沉偏移，共同方 位偏移可以适于例如窄方位海洋数据。由于在勘察下沉偏移中，通常仅单 个方位被偏移，因此偏移过程可以相对较快(例如，与多方位或共射点偏 移相比)。
在本发明的一个实施例中，均匀球形螺线表示可以例如在共射点波动 方程偏移内产生全方位角域图像集合。在任意图像点，下行(例如，入射 的)和上行(例如，反射的和/或衍射的)波场均可以被分解成例如局部 平面波。可以利用例如局部平面波的四维角分量的关联、合计以及装仓来 形成角域图像集合(如在题为“局部角域(LAD)坐标系”的章节中更详 细描述的那样)。均匀球形螺线表示可以使纬度从四降低到二，并且可以 用于显著减少输出的角踪迹的数目。螺线-D角集合和螺线-R角集合均可 利用螺线-WADI成像工具来创建。尽管这种3D图像集合的创建可能需要 相对大量的计算事件、存储器和磁盘空间，但是均匀球形螺线角表示可以 降低这种需求。
螺线断层扫描机制
在一些实施例中，地震断层扫描机制可以用以例如更新和/或改进次 表面模型参数，比如地震速度和层位(或者例如地质上不同的层之间的界 面)的深度。
根据本发明的一些实施例，可以使用全方位角域断层扫描机制，例如 螺线断层扫描机制。断层扫描机制可以例如使用沿入射和反射射线的传播 时间误差。螺线断层扫描机制可以是使用依赖全方位角的传播时间误差的 断层扫描机制，可以沿螺线-R集合的反射同相轴测量传播时间误差，其 表示在所有测量到的角度上的反射率(例如，包括射线对张开角和张开方 位角)。因此，螺线断层扫描机制可以相对于基本上所有测量到的张开角 的量值和方位来测量传播时间误差，而常规的断层扫描机制可以相对于相 对少的(例如，一个)方位角来测量传播时间误差。因此，螺线断层扫描 机制可以以最优的准确度为各向异性效应的检测提供基本上全方位的信 息。
在一些实施例中，螺线-D集合表示例如作为波(例如，在反射表面 上)的局部倾角和/或方位角的函数的图像。螺线-D可以指示局部反射表 面的法线(例如，提供镜面方向(specular direction))。可以(例如，根 据螺线-RADI机制)从图像点到表面或信号源来执行射线追踪，以便利 用测量到的传播时间误差与模型参数更新之间的线性关系来生成断层扫 描矩阵。在一些实施例中，使用螺线图像集合可以根据螺线-R角和螺线 -D角来限定射线对。在一些实施例中，相对小数目的射线可以最优地表 示模型和数据空间内的3D角度依存性。数据空间和模型空间的概念可以 用于反演问题，比如断层扫描反演。数据库键码可以包括不同射线对的传 播时间误差，且在常规应用中的该空间的体积可能基本上很大。模型空间 可以包括介质的特征(例如，速度和各向异性参数)以及反射和折射层位 的位置。模型参数可以附加到粗网格的节点上，并且模型参数的量可以相 对较小。螺旋几何图形可以减小基本上可靠的反演所需的数据空间的体 积。
地震断层扫描可以利用沿入射和反射射线(或例如波)的传播时间误 差，更新和/或改进次表面模型参数，比如地震速度和层位(例如地质层 之间的界面)的深度。
在一个实施例中，螺线断层扫描工作流可以包括例如：
1)可以例如利用螺线-RADI来生成方向角集合(螺线-D)。
2)可以例如自动拾取局部反射表面的倾斜和/或方位信息(例如，包括镜 面方向)。
3)可以创建高质量的镜面反射角集合(例如，螺线-R)。
4)可以例如自动拾取全方位剩余时差。
5)可以通过从所拾取的图像点(例如，表面元素)发射射线对来执行断 层扫描，其中可以从螺线-R和螺线-R角中限定腾起角(takeoff angle)。
6)可以利用例如最小二乘机制来创建断层扫描矩阵。
7)可以对断层扫描等式集进行求解，以便得到例如各向异性参数和/或其 它模型参数。
可以使用其它操作或操作序列。
球形螺线
常规成像系统可以假定信息均匀地来自(通常例如通过圆锥形表面所 限定的)兴趣范围内的所有方向。然而，如果我们在反射镜方向和接近反 射镜的方向上累积更多信息，则能够改善图像的质量，或者相反，在较低 兴趣的方向上累积更多信息，则能够抑制图像的质量。为此，在本发明的 一个实施例中，可以由扁球体表面上的螺线来替代成像球形螺线，其中“降 低兴趣”的方向或减少的数据采集的方向可以与扁球体的较短轴相一致。 所述较短轴可以通常为水平交叉排列(cross-line)方向，该方向可以与采 集船的路线(串列，in line)正交。参考坐标系的极(竖直)轴和水平串 列轴可以很长并且相等。交叉排列轴可以不同并很短。
球体成像系统可以例如在其中源和接收器以窄方位而不是宽方位(例 如，地震数据采集中的海洋窄方位)对准的情况下有吸引力。在该情况下， 可以假定物理数据采集的取向可以比其它方向更占主导地位，并且因此应 当更密集地被采样。
本发明的技术细节
这里更详细地描述例如利用均匀球形曲线例如进行地震数据处理、成 像和分析的实施例的细节。例如，在题为“偏置域成像机制”的章节A 中描述了偏置成像技术和用于偏置成像的平面螺线的使用。例如，在题为 “倾斜叠加成像机制和角离散化”的章节B中描述了倾斜叠加技术和估 计用于基本上准确表示全波场的分解平面波的最优数目的示例。例如，在 题为“均匀球形螺线的弧长”的章节C中描述了均匀球形螺线的弧长与 天顶角之间的关系。例如，可在题为“弧长对圈所扫掠的面积”的章节D 中描述函数“标准化弧长对天顶角”与函数“标准化扫掠面积对天顶角” 的比较。在题为“利用均匀球形螺线在球形表面上的集成”的章节E中 描述了用于利用附着到球形表面上的均匀球形螺线在该表面上计算流量 积分的函数。在题为“球形螺线的均匀面积离散化”的章节F中描述了沿 均匀球形螺线的节点的离散化。节点可以例如以以下方式沿弧长设置：在 所述方式中，连续节点之间所扫掠的面积相等，且连续节点之间的弧长近 似相等。连续节点之间所扫掠的面积可以用作成像积分中的积分参数。例 如，在题为“均匀球形螺线的设计”的章节G中描述了均匀球形螺线的 仰角参数k的设计与最大天顶角和/或纵横比参数之间的关系。例如，在 题为“均匀球形螺线的装仓机制”的章节H中描述了用以利用标准化方 法对双变量数据表示进行参数化以便生成单变量数据表示的螺线装仓机 制。可以自动地、手动地或者根据用户选择的和/或预定的设置来设置和/ 或调节这样的特征。尽管在这些章节中可以使用特定坐标系，但是本领域 技术人员可以明白，本发明可以使用任何适当的坐标系。题为“局部角域 (LAD)机制”的章节I描述了与局部角域坐标系有关的技术细节。
提供详细技术信息的章节
章节A：偏置域成像机制
在一些实施例中，CIG可以在偏置域中表示。在一些实施例中，地 球物理数据可以关于二维偏置表示而被绘制。偏置可以是用以生成地球物 理数据的地球表面上的能量源和接收器之间的距离和/或取向的测量。偏 置可以被测量为标量或一维值，比如距离，或者其可以被测量为矢量或二 维值，比如偏置距离和偏置方位角。在与宽方位数据采集有关的实施例中， 通过二维值限定偏置可以提供更准确和/或大量的数据。在利用宽方位采 集来采集数据的实施例中，3D CIG可以包括例如具有基本上不同的偏置 长度和不同的偏置方位的踪迹。在极坐标系中由两个变量表示(例如，限 定偏置距离的一个变量和限定偏置方位角的另一个变量)的偏置可以在均 匀平面螺旋坐标系中由单个变量(例如，即限定偏置距离又限定偏置方位 角的一个变量)表示。
在一些实施例比如偏置域实施例中，可以使用数据点的均匀平面螺线 表示来替代均匀球形螺线表示。替代同时沿均匀球形螺线的长度改变的天 顶角和方位角，边界和方位角可以沿均匀平面螺线的长度同时改变。可以 使用参数化来将双变量坐标系中由两个独立变量例如偏置距离和偏置方 位角表示的二维数据转换或映射成均匀平面螺旋坐标系中的一维数据。这 种参数化可以例如通过半径(例如，偏置距离的一半)与偏置方位角之间 的关系来限定。在其它实施例中，可以使用其它双变量坐标系，比如笛卡 尔坐标系。可以理解，可以使用各种平面螺线中的任何一种，其可以是均 匀的或者可以是不均匀的。可以根据本发明的一些实施例使用的平面螺线 的一个示例是“阿基米德螺线”，其具有与方位角成比例的半径。例如， 这样的平面螺线可以通过关系来限定，其中H可以是例如偏置量 值的一半，可以是偏置方位。可以例如以与参考均匀球形螺线所描述的 实施例类似的方式来使用节点的标准化配置(例如，连续节点之间具有均 匀面积分段)。
章节B：倾斜叠加成像机制和角离散化
根据本发明实施例的成像机制可以例如包括倾斜叠加机制。这些机制 可以例如用于对在源处具有基本上相同的出射角、或在接收器处具有基本 上相同的到达角、或在图像点处具有基本上相同的入射或反射/衍射角的 地震同相轴进行成像。例如，倾斜叠加机制可以描述波场值与波场传播方 向比如波场的横向慢度方向之间的关系。波场可以描绘对地球物理结构的 介质或状态进行描述的参数的值的分布。这样的参数可以描述压力和/或 颗粒移位相对于空间坐标的分量、空间波数、时间和/或频率。慢度矢量 的量值可以是相位速度量值的倒数。慢度矢量可以具有例如三个笛卡尔分 量，其中两个分量可以是横向的(例如，水平方向的)，而其中第三个分 量可以是竖直的。慢度的方向可以与相位速度的方向重合，且横向慢度的 方向可以与横向相位速度的方向重合。在一些实施例中，相位速度可以是 波场的传播波阵面(wave front)的速度。还可以通过描述射线能量传播 的附加矢量来描述波传播。在一些实施例中，对于例如通过各向异性介质 或模型的波场，射线能量传播的速度和波阵面传播的速度不需要重合，并 且可以具有不同的方向和量值。
在一些实施例中，倾斜叠加机制可以将波场分解成多个平面波分量。 每个平面波分量可以例如是具有不同传播方向的波场分量。在一个实施例 中，倾斜叠加机制可以例如利用傅立叶变换等在频域中执行，或者利用 Radon变换等在时域中执行。
在一个实施例中，可以通过对波场施加时间傅立叶变换、随后施加空 间傅立叶变换，在频域中分解波场。例如，时间傅立叶变换可以是一维变 换(例如，从时间到频率，或反之亦然)，而空间傅立叶变换可以是二维 变换。例如，时间和空间傅立叶变换可以按如下等式时间到波场：
(10) $\tilde{P}(x,y,\omega )=F_{t\to \omega }\left[P(x,y,t)\right],$ $\stackrel{\widetilde{~}}{P}(k_x,k_y,\omega )=F_{(x,y)\to (k_x,k_y)}^2\left[\tilde{P}(x,y,\omega )\right],$
其中，P(x，y，t)可以是空时域中的波场；
可以是P(x，y，t)的一维时间傅立叶变换；
可以是的二维空间傅立叶变换；以及
kx和ky可以分别是在x轴和y轴方向上的横向波数。
在一些实施例中，倾斜叠加机制可以例如通过将波数kx和ky中的每一 个除以时间频率ω，分别在x轴和y轴方向上提供波场的两个横向慢度方 向分量Px和Py，例如，如以下所述：
(11)px＝kx/ω，py＝ky/ω
在一些实施例中，倾斜叠加机制可以例如通过对提供横向慢度方向分 量Px和Py施加函数，在z轴方向上提供波场的第三(例如，竖直)慢度 分量。所述函数涉及与被成像的目标表面的位置相关联的介质的物理特 性，例如，如以下所述：
(12)Pz＝f[Px，Py，介质特性(x，y，z)]
倾斜叠加机制可以提供波场与波场的横向慢度方向之间的关系，例 如，包括以下映射：
(13) $\stackrel{\widetilde{~}}{P}(k_x,k_y,\omega )\to \tilde{U}(p_x,p_y,\omega ),$
其中可以表示频域中的倾斜叠加数据。
应注意，当前的倾斜叠加机制通常提供波场与横向波数或横向慢度分 量之间的关系。
在一些实施例中，倾斜叠加机制可以例如按以下等式来施加将倾斜叠 加数据从频域映射到时域的逆傅立叶变换：
(14) $U(p_x,p_y,t)=F_{\omega \to t}^{-1}\tilde{U}(p_x,p_y,\omega )$
或者，倾斜叠加机制可以例如利用Radon变换在时域中唯一地生成 倾斜叠加数据，如以下所述：
(15) $U(p_x,p_y,\tau )=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}P(x,y,\tau =t-p_{x}x-p_{y}y)\mathrm{dxdy},$
其中τ＝t-Δt可以表示时间平移负的时间延Δt，其中时间延迟Δt可以由 可作为积分的内部参数的两个横向慢度分量和运行横向位置来限定。
本发明的实施例可以提供例如在双变量坐标系比如笛卡尔坐标系中 表示的波场的三个慢度分量Px、Py和Pz。慢度分量Px、Py和Pz可以例如 由天顶角、方位角和慢度的绝对值p来表示，如以下所述：
(16) $\cos \theta =\frac{p_z}{p},$ $p_h=\sqrt{p_x^2+p_y^2},$ $p=\sqrt{p_h^2+p_z^2},$
其中ph可以是横向慢度量值。
在一个实施例中，可以利用例如倾斜叠加数据的均匀球形螺线参数 化，将(例如，在双角笛卡尔坐标系中表示的)两个分量θ和变换或映 射成一维分量，根据本发明的一些实施例，所述参数化可以是连续的和/ 或一对一的。这里所述的均匀球形螺线参数化可以用于作为降低纬度或数 据量的示例。可以使用其它方法。在一个实施例中，均匀球形螺线参数化 可以包括将例如在等式(16)中所限定的双角变量之间的关系与例如在等 式(1)中所限定的极角θ和这两个变量之间的可以为连续的和/或一对一 的关系相组合。可以使用其它公式或公式系列。这里更具体地讨论了数据 的均匀球形螺线参数化的实施例。本领域技术人员应理解，本发明的实施 例可以包括其它参数化、坐标系、函数和/或变换和/或其不同纬度。
可以根据本发明的实施例使用的包括例如针对踪迹的插值机制、用于 过滤倾角数据的机制、多种抑制机制、折射反演机制、波动方程和 Kirchhoff偏移机制以及用于分析地震数据点的速度的机制在内的倾斜叠 加机制可在例如由the Society of Exploration Geophysics在1994年出版的 Seismic Data Processing中的Yilmaz，O.的文章中加以描述。可以使用其 它倾斜叠加机制。在一些实施例中，倾斜叠加机制可以用于利用波动方程 偏移机制生成CIG。如在此所描述的，施加均匀球形螺线参数化可以减 小用于表示波场的平面波数据的量或维数，从而减小用以采样依赖方向的 数据以便生成倾斜叠加数据的计算效率。在一些实施例中，根据本发明实 施例的成像机制可以使用局部束叠加机制，该局部束叠加机制例如包括例 如Hill N.R.于2001年在Geophysics 66(4)，第1240-1250页中所描述的预 叠加高斯束偏移机制，以及例如由Chen，L.、R.S.Wu以及Y.Chen于2006 年在Geophysics 71(2)，第37-52页中所描述的基于Gabor-Daubechies 坐标系分解的面向目标的小束偏移机制。可以使用其它束叠加机制。局部 束可以利用根据本发明的实施例所描述的局部倾斜叠加机制来生成。施加 根据本发明实施例的均匀球形螺线参数化可以减小用以生成偏移踪迹的 束数据的量或维数。
常规成像算法可能要求对波场的平面波分量的方向进行相对密集的 采样。例如，在宽方位成像期间，每个平面波可以通过根据本发明实施例 的倾斜叠加机制来生成。本发明的一个实施例可以包括估计例如串列方向 分量的足够数目，以便获得质量图像。例如具有两个极角分量Δθ＝常数和 的均匀离散化的球形网格可以具有不均等面积的单元，
(17)
其中R＝1为单位半径。单元面积可以在赤道θ＝π/2附近达到最大值。单元 面积可以在中维数具有较小值，并且单元面积可以在极θ＝0(北极)和θ＝π (南极)处几乎消失。在这种网格中的节点的量可以是约：
(18)
在一些实施例中，在赤道θ≈π/2附近的单元的面积可以是例如：
(19)
或者，根据本发明的实施例，可以使用具有相等面积分段ΔA＝常数的均匀 球形螺线网格。在该情况下，值ΔA可被选择，并且可以与在球形网格的 赤道附近的单元面积(等式(19))相同，并且网格节点的数目可以是约：
(20)
其可以小于球形网格中的网格点的数目：
(21) $N_p^{\mathrm{grid}}/N_p=\pi /2.$
根据本发明的实施例，可以通过甚至更少数目的节点Np来获得最优成像。 这种进一步减小可以是由于沿螺旋线的极角的两个分量的同时改变的连 续性以及由于具有相等面积分段的离散化。
对于以度而不是以弧度为单位的网格分辨率值Δθ和转换关系可 以是：
(22)
针对球形螺线网格的方向分量的数目可以是例如：
(23)
假定例如则方向分量的数目变为例如Np≈10,000。仅对于 向上方向(其可以与北半球的节点相对应)，该数目可以减小到例如 Np≈5,000。
方向分量的数目也可以例如根据采样规则来估计。可以首先考虑例如 串列横向方向。倾斜叠加应遵循离散傅里叶变换的采样规则：
(24)ω·Δpx≤Δkx，
其中ω＝2πf可以是角频率，f可以是频率，px是串列侧向慢度，Δpx是串 列横向慢度增量，而Δkx可以是串列横向波数的增量(即，步长)。串列 方向上的横向慢度可以是：
(25) $p_x=\frac{\mathrm{\Delta t}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{\sin \alpha }{V},$
其中α可以是射线角，而V可以是特征介质速度。串列慢度增量Δpx可以 是例如：
(26) $\Delta p_x=\frac{p_{\max }-p_{\min }}{N_{\mathrm{px}}}=\frac{\sin {\alpha }_{\max }-{\sin \alpha }_{\min }}{N_{\mathrm{px}}·V},$
其中pmax和pmin可以是横向串列方向上的最大和最小横向慢度，αmin和 αmax可以分别是最小和最大射线角，而Npx可以是用于串列的方向分量的 数目。对于向上方向，射线角的范围可以是：
(27)-π/2≤α≤π/2→sinαmax-sinαmin＝2。
串列慢度增量就可以是例如：
(28) $\Delta p_x=\frac{2}{N_{\mathrm{px}}·V}.$
在使用采样规则的情况下，等式(24)，即方向分量的数目，可以变为例 如：
(29) $N_{\mathrm{px}}=\frac{2}{\Delta p_x·V}\ge \frac{2·2\mathrm{\pi f}}{\Delta k_x·V}.$
串列横向波数的步长可以是例如：
(30)Δkx＝2π/Lx，
其中Lx可以是在串列方向上例如在图像点以上的孔径的尺寸。最后，方 向分量的数目可以为例如：
(31)Npx≥2Lxf/V。
可以对交叉排列分量或横向正交于串列方向的分量的足够数目Npy 使用类似的估计：
(31)Npy≥2Lyf/V。
这样，横向慢度方向分量的总数目可以是例如：
(32)Np＝Npx·Npy≥4Lx Ly f2/V2＝4S f2/V2，
其中
(33)S＝Lx Ly
可以是矩形孔径的面积，而Lx，Ly分别是其在串列和交叉排列方向上的 边的长度。
在说明性实施例中，其中Lx＝Ly＝10km，f＝50Hz，V＝2km/s， Npx＝Npy≈500，且横向慢度方向平面波分量的总估计数目可以为 Np≈250,000。对于较小的孔径例如Lx＝Ly＝1km，需要的方向数目可以为 Np≈2,500。
或者，可以假定平面波分量的数目是给定的，且孔径的最大允许尺寸 可以被估计以获得质量图像。假定例如方形孔径Lx＝Ly≡L。则图像点以 上的孔径的尺度L可以是约：
(34) $N_p\ge {4L}^2{f}^2/V^2\to L\le \frac{V\sqrt{N_p}}{2f}.$
假定例如平面波的总数目Np＝5000，介质速度V＝2km/s，且最大频率f ＝50Hz。在该情况下，方形孔径的边可以是L≤1.4km。
应理解，这里的示例中所使用的值仅用于说明目的，而不是要进行限 制。可以使用其它值。这些计算表明，与常规机制相比较，通过施加均匀 球形螺线参数化，为生成特定分辨率的倾斜叠加数据所需要的依赖方向的 慢度分量的数目和维数可以将体数据(volume data)减小例如约一个量 级，或者减小十倍。例如，在常规的例如双角坐标系中表示的地震数据的 量可以比例如通过均匀球形螺线机制参数化的对应地震数据的量大。本领 域技术人员可以理解，可以使用类似的估计以便利用在此所述的基于射线 的Kirchhoff偏移进行成像。
章节C：均匀球形螺线的弧长
可以例如按照以下描述来得到针对沿均匀球形螺线的数据点的弧长 与方位角的关系。可以使用其它方法。
为了说明目的，数据点，比如参考图4所描述的数据点330，可以例 如通过对天顶角310的测量，相对于原点360而被限定。笛卡尔坐标系与 均匀球形螺旋坐标系之间的关系可以包括例如：
(35)z＝R·cosθ。
例如，在一些实施例中，对于单位球，R＝1且等式(35)简化为：
(36)z＝cosθ。
组合等式(1)和(36)得到：
(37)x＝sinθ·cos(k·θ)，y＝sinθ·sin(k·θ)，z＝cosθ。
对于沿均匀球形螺线的数据点的弧长的改变(例如，称作弧长微分)可以 例如按以下等式被限定：
(38) $\mathrm{ds}=\sqrt{{\mathrm{dx}}^2+{\mathrm{dy}}^2+{\mathrm{dz}}^2}\to \frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{d\theta }}=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{d\theta }}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d\theta }}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{d\theta }}\right)}^2}.$
利用等式(38)，均匀球形螺线上的数据点330的坐标的改变相对于 均匀球形螺线的天顶角310的改变可以例如按以下等式被限定：
dx/dθ＝cosθ·cos(k·θ)-k·sinθ·sin(k·θ)
(39)dy/dθ＝cosθ·sin(k·θ)+k·sinθ·cos(k·θ)
dz/dθ＝-sinθ。
利用等式(39)，可以得到：
${\left(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{d\theta }}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d\theta }}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{d\theta }}\right)}^2={\sin }^2\theta +$
(40) $+{\cos }^2\theta ·{\cos }^2(k·\theta )+k^2·{\sin }^2\theta ·{\sin }^2(k·\theta )-2k·\sin \theta ·\cos \theta ·\sin (k·\theta )·\cos (k·\theta )+$
$+{\cos }^2\theta ·{\sin }^2(k·\theta )+k^2·{\sin }^2\theta ·{\cos }^2(k·\theta )+2k·\sin \theta ·\cos \theta ·\sin (k·\theta )·\cos (k·\theta )+$
$=1+k^2·{\sin }^2\theta .$
利用等式(40)，弧长的改变相对于天顶角310的改变(例如，称作 弧长导数)可以例如按以下等式被限定：
(41) $\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{d\theta }}=\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }.$
例如，在一些实施例中，开始节点可以位于均匀球形螺线的北极，例 如，位于极390处。在北极390和南极395的天顶角310可以分别为零和 π弧度。因此，均匀球形螺线的长度可以为例如：
(42) $s\left(\theta \right)=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\sqrt{1+k^2{\sin }^2\tilde{\theta }}d\tilde{\theta }=\sqrt{1+k^2}·E(\alpha ,m)-\frac{k^2\sin \theta \cos \theta }{\sqrt{1+k^2\mathrm{si}{n}^2\theta }},$
其中E(α，m)可以是具有参数α和模数m的第二类椭圆积分，其中
(43) $\alpha =\arcsin \frac{\sqrt{1+k^2}\sin \theta }{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }},$ $m=\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}.$
第一类椭圆积分F和第二类椭圆积分E分别可以按以下等式被限定：
$F(\theta ,m)=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{d\tilde{\theta }}{\sqrt{1-m^2{\sin }^2\tilde{\theta }}},0<\theta \le \pi /2$
(44) $E(\theta ,m)=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\sqrt{1-m^2{\sin }^2\tilde{\theta }}d\tilde{\theta }.$
根据本发明的一些实施例，参考图4所描述的天顶角310θ可以取零 到π弧度范围内的值。由π/2＜θ≤π(例如，在南半球)范围内的天顶角310 限定的在数据点335处的均匀球形螺线的弧长可以包括例如按以下等式 的关系：
(45)s(θ)＝s(x)-s(π-θ)＝2·s(π/2)-s(π-θ)，
其中s(π/2)与针对模数m的第二类完全椭圆积分成比例，其中
(46) $s(\pi /2)=\sqrt{1+k^2}·E\left(m\right),$ $m=\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}.$
可以使用其它公式或公式系列。
章节D：弧长对圈所扫掠的面积
参考图7A和7B，其分别为根据本发明实施例的沿球形螺线的弧长 与天顶角之间的关系的曲线和沿球形螺线的螺旋圈所扫掠的面积与天顶 角之间的关系的曲线。在一些实施例中，天顶角可以限定沿均匀球形螺线 的数据点。可以使用其它坐标系、参数化、函数和/或形状。可以例如根 据等式(45)来限定在例如其中天顶角处于π/2＜θ≤π(例如，在南半球) 范围内的一个实施例中弧长与天顶角的关系。沿均匀球形螺线的数据点 (例如，数据点330和335)可以例如根据这里所讨论的均匀球形螺线参 数化，由天顶角(例如，天顶角310)限定。图7A可以包括标准化弧长， 而图7B可以包括标准化的由均匀球形螺线所扫掠的面积。例如，沿均匀 球形螺线的弧长的值可以被除以螺线的全长。均匀球形螺线所扫掠的面积 可以被除以球形表面的全面积(例如，4πR2)。在球形表面具有单位半径 的实施例中，球形表面的全面积可以例如是4π。在图7A和7B所描述的 实施例中，例如，θmax＝π而ncoils＝21。当然，也可以是其它圈数和其它参 数。
章节E：利用均匀球形螺线在球形表面上的集成
本发明的实施例可以提供一种用于例如利用具有一维积分变量的积 分，在具有均匀球形螺线的球形表面上对任意函数进行积分的系统和方 法。在一个实施例中，积分变量可以包括例如沿均匀球形螺线的弧长。在 另一实施例中，积分变量可以包括例如均匀球形螺线所扫掠的面积。
根据本发明的一些实施例，沿螺线的节点可以被离散化。在一些实施 例中，节点可以沿螺线的弧长平均地间隔开。在其它实施例中，节点可以 以以下方式布置：在所述方式中，螺线在两个连续节点之间所扫掠的面积 可以基本上相等。也可以有节点的其它布置。利用这种离散化的实施例可 以利用所扫掠的面积作为积分变量，简化在具有均匀球形螺线的球形表面 上的积分。
在本发明的一些实施例中，成像可包括在具有均匀球形螺线的球形表 面上进行积分。在一些实施例中，积分可以包括沿均匀球形螺线的弧长的 估计积分，其中被积函数可以例如在沿螺线的离散节点上限定。例如，被 积函数可以是有界的、连续的和/或分段的连续函数，其可以在沿均 匀球形螺线的基本上每个位置上限定。然而，通常所述函数可以仅被规定 在沿均匀球形螺线的离散节点上。
本发明的实施例可以提供积分的估计解I，其使得被积函数例如 在沿均匀球形螺线的基本上每个位置上。例如：
(47)
其中A可以是单位球的全表面。例如，在一些实施例中，R＝1且等式(47) 简化为：
(48)
参考图6，其为根据本发明实施例的均匀球形螺线所扫掠的面积元的 示意图。如图6所示，每个面积元可以由例如平行四边形来近似，所述平 行四边形具有与沿螺线弧长的连续节点之间的距离相等的长度ds和例如 与沿子午线方向的连续圈之间的距离相等的高度h，所述长度与高度之间 具有角β。面积元dA可以例如按以下等式被近似：
(49)dA＝h·ds·sinβ。
在一些实施例中，近似面积元dA的平行四边形的高度h可以是例如沿子 午线测量的连续圈之间的明确距离，且长度ds可以是无穷小。
例如利用标准代数，可以得到以下等式：
(50) $h=\frac{\mathrm{\pi R}}{n_{\mathrm{coils}}}=\frac{2\mathrm{\pi R}}{k};$
和
(51)
其中ds·sinβ可以是无穷小的平行四边形长度ds在与子午线正交的矢量 (例如，纬度线)上的投影，如图6所示。
利用例如等式(1)所限定的均匀螺线离散化，得到例如：
(52)且
例如，在R＝1时的实施例中，等式(49)所限定的面积元简化为例如：
(53) $\mathrm{dA}=\frac{2\mathrm{\pi R}}{k}·R\sin \mathrm{\theta kd\theta }=2\pi \sin \mathrm{\theta d\theta }.$
使用例如等式(41)所限定的弧长导数，得到例如：
(54) $\mathrm{d\theta }=\frac{\mathrm{ds}}{\sqrt{1+k^2·{\sin }^2\theta }},$ $\sin \beta =\frac{k\sin \theta }{\sqrt{1+k^2·{\sin }^2\theta }}.$
因此，面积元可以例如按以下等式被限定：
(55) $\mathrm{dA}=\frac{2\pi \sin \theta \left(s\right)\mathrm{ds}}{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta \left(s\right)}}.$
因此，等式(47)所限定的积分I可以是例如：
(56)
考虑沿螺线的弧长S(θ)，例如按以下等式被限定：
(57) $s\left(\theta \right)=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\sqrt{1+k^2{\sin }^2\tilde{\theta }}d\tilde{\theta },0\le \theta \le \pi .$
在一些实施例中，倾角或天顶角与弧长之间的关系θ(s)可以为弧长与 倾角之间的关系s(θ)的反函数。该反向关系θ(s)应在等式40中使用。
可以使用其它公式或公式系列。
章节F：球形螺线的均匀面积离散化
在一些实施例中，由于例如由等式(56)限定的积分的被积函数f(s) 可以被假定为在面积元的高度范围内(例如，在距连续圈之一上的分段的 中心线ds为±h/2的竖直距离内)为恒定的，因此例如由等式(56)限定 的积分可以是例如由等式(48)限定的积分的近似。然而，如果圈数基本 上很大，则近似的误差可以减小到基本上可忽略的值。在一些实施例中， 被积函数f(s)可以基本上仅沿均匀球形螺线被限定。假定被积函数f(s)在 面积元的高度范围内为恒定，可以提供在均匀球形螺线的连续圈之间的不 连续性。
在一些实施例中，特定的被积函数可以被选定为例如f＝1，以便测试 等式(56)的有效性。在这里所描述的示例中，积分的结果可以为单位球 的面积。例如由等式(47)限定的积分I可以简化为例如：
(58) $\underset{A}{\int \int }\mathrm{dA}=2\pi \underset{0}{\overset{s_{\max }}{\int }}\frac{\sin \theta \left(s\right)\mathrm{ds}}{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta \left(s\right)}}=4\pi ,$
(例如，称作单位球的R＝1的球的面积)。可以使用其它公式或公式系列。
在一些实施例中，可以选择或确定节点的布置以便使更详细参考图5 所示的连续节点(例如，节点355)之间所扫掠的面积标准化。节点可以 例如以以下方式沿弧长设置：在所述方式中，连续节点之间所扫掠的面积 可以近似相等或均匀。例如，节点可以设置在均匀面积网格的阵列中。这 种布置可以导致连续节点之间的不均匀距离。在一些实施例中，连续节点 之间所扫掠的面积可以例如用作成像积分中的新积分参数。均匀面积离散 化可以提供均匀球形螺线的以相对长的弧长接近于极的分段以及所述螺 线的以相对短的弧长远离极、例如在“中纬度”或在螺线的赤道区域附近 的分段。在各种实施例中，该沿螺线的分段的弧长的差异可以根据螺线的 设计而被最小化。例如，对于具有25-35圈或更多的螺线，沿螺线的分段 的弧长的差异基本上仅在第一分段和最后一个分段被识别到或是显著的， 第一分段和最后一个分段分别在北极和南极开始和结束。在这样的实施例 中，沿螺线的各个分段的弧长的差异可以是基本上可忽略的。
在一些实施例中，均匀球形螺线可以具有nint+1个节点以及例如连续 节点之间的nint个间隔。连续节点之间的面积可以是例如：
(59) $\mathrm{\Delta A}=\frac{A_{\max }}{n_{\mathrm{int}}},$ $A_{\max }=2\pi (1-\cos {\theta }_{\max })=4\pi {\sin }^2\frac{{\theta }_{\max }}{2}.$
例如，如果均匀球形螺线在球的端点具有节点(例如，图4中所示的 完整均匀球形螺线)，则均匀球形螺线所扫掠的面积可以简化为单位球的 面积，例如：
(60)A＝Amax＝4π。
例如，利用根据本发明实施例所述的沿均匀球形螺线的弧长和天顶角 之间的关系，两个连续节点之间的面积可以是例如：
(61) $2\pi \underset{s_{j-1}}{\overset{s_j}{\int }}\frac{\sin \theta \left(s\right)\mathrm{ds}}{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta \left(s\right)}}=\mathrm{\Delta A}=\frac{A_{\max }}{n_{\mathrm{int}}}.$
组合等式(59)和(61)，得到例如：
(62) $\underset{s_{j-1}}{\overset{s_j}{\int }}\frac{\sin \theta \left(s\right)\mathrm{ds}}{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta \left(s\right)}}=\frac{2{\sin }^2({\theta }_{\max }/2)}{n_{\mathrm{int}}}.$
例如，等式(41)被布置为例如：
(63) $\frac{\mathrm{ds}}{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta \left(s\right)}}=\mathrm{d\theta },$
并且可以对等式(62)施加已知的代数运算，给出例如由以下等式限定的 两个连续节点之间所扫掠的面积：
(64) $\underset{{\theta }_{j-1}}{\overset{{\theta }_j}{\int }}\sin \mathrm{\theta d\theta }=\cos {\theta }_{j-1}-{\cos \theta }_j=\frac{{2\sin }^2({\theta }_{\max }/2)}{n_{\mathrm{int}}}.$
因此，可以确定例如：
(65) $\cos {\theta }_j={\cos \theta }_{j-1}-\frac{{2\sin }^2({\theta }_{\max }/2)}{n_{\mathrm{int}}}.$
例如，如果均匀球形螺线在北极具有开始节点，则在该节点处的天顶角θo (例如，天顶角310)可以是例如：
(66)θo＝0且cosθo＝1。
因此，如果每对连续节点之间的面积弧长相等，则例如：
(67)
${\cos \theta }_j=1-\frac{2{j\sin }^2({\theta }_{\max }/2)}{n_{\mathrm{int}}}$ 或 ${\theta }_j=\arccos [1-\frac{2{j\sin }^2({\theta }_{\max }/2)}{n_{\mathrm{int}}}],j=\mathrm{0,1}...n_{\mathrm{int}}.$
组合等式(41)和(58)可以提供沿均匀球形螺线的天顶角与扫掠面积之 间的关系，例如，所述关系给定为：
(68) $A\left(\theta \right)=2\pi (1-\cos \theta )=4\pi {\sin }^2\frac{\theta }{2}.$
因此，具有最大天顶角θmax弧度的节点可以具有最大扫掠面积。特别是， 对于完整螺线，最大天顶角可以在南极，其中θmax＝π。
在一些实施例中，连续节点之间的标准化的面积可以是例如：
(69) $\frac{A\left(\theta \right)}{A_{\max }}=\frac{{\sin }^2(\theta /2)}{{\sin }^2({\theta }_{\max }/2)},$
其中A/Amax可以是针对沿均匀球形螺线的每个天顶角θ、节点和/或数据点 的标准化面积。
在一些实施例中，如果被积函数在例如节点θj规定，其中cosθj由等 式(67)限定，则例如根据等式(69)所限定的标准化而被标准化的在节 点θj的位置所扫掠的面积可以用作积分变量。
在一些实施例中，已知的抛物线法则可以被应用于一维数值积分，例 如，如以下等式：
$I=\underset{0}{\overset{A_{\max }}{\int }}f\left(A\right)\mathrm{dA}=\frac{\mathrm{\Delta A}}{3}·(f_0+4f_1+2f_2+···+2f_{n-2}+4f_{n-1}+f_n)$
(70) $\mathrm{\Delta A}=\frac{4\pi {\sin }^2({\theta }_{\max }/2)}{n_{\mathrm{int}}}.$
由于等式(69)所限定的函数可以是连续的且一对一的函数，因此可以例 如按以下等式施加反函数：
(71) $\theta (A/A_{\max })=2\arcsin \sqrt{A/A_{\max }}·\sin ({\theta }_{\max }/2),$
因此，例如沿均匀球形螺线的节点的标准化面积可以例如是：
(72) $\frac{A}{A_{\max }}=\frac{i}{n_{\mathrm{int}}},i=\mathrm{0,1},...n_{\mathrm{int}}.$
可以使用其它公式或公式系列。
章节G：均匀球形螺线的设计
本发明的实施例可以提供一种仰角参数k与例如均匀球形螺线的节 点的数目、纵横比和/或最大天顶角之间的关系。在一些实施例中，均匀 球形螺线的设计可以限定这些关系。
在一些实施例中，当均匀球形螺线在其极具有节点时(例如，完整的 均匀球形螺线)，通过等式(7)，仰角参数k可以为例如k＝2·ncoils，其中ncoils 可以是在完整的均匀球形螺线中从北极到南极的螺旋圈的数目。例如， ncoils可以是沿均匀球形螺线的节点的数目，而nint＝npoints-1可以是连续节 点之间的间隔的数目。在一些实施例中，沿均匀球形螺线的间隔可以是相 等的扫掠面积，或者，例如是相等的弧长。在一些实施例中，尽管螺旋圈 在每个间隔上所扫掠的面积可以相同，但是弧长可以不完全相同。
在一些实施例中，沿均匀球形螺线的每个间隔的平均弧长可以是例 如：
(73)ΔSave＝smax/nint。
因此，均匀球形螺线的总长度可以是例如：
(74) $s_{\max }=\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d\theta }=n_{\mathrm{int}}·\Delta s_{\mathrm{ave}}.$
在一些实施例中，例如当沿均匀球形螺线的节点的数目和纵横比ξ可 以是给定的、选择的和/或已知的时，可以确定仰角参数k。纵横比ξ可以 例如是例如由等式(73)限定的间隔的平均弧长ΔSave与两个连续圈之间 的距离的关系：
(75) $h=\mathrm{\Delta \theta }=\pi /n_{\mathrm{coils}}^{\pi }$
(例如，如参考图6所描述的，沿子午线所测量的)。在一些实施例中， 纵横比ξ可以是例如：
(76) $\xi =\frac{\Delta s_{\mathrm{ave}}}{\mathrm{\Delta \theta }}=\frac{\Delta s_{\mathrm{ave}}·n_{\mathrm{coils}}^{\pi }}{\pi }=\frac{k·\Delta s_{\mathrm{ave}}}{2\pi }\to \Delta s_{\mathrm{ave}}=\frac{2\mathrm{\pi \xi }}{k}.$
组合公式(74)和(76)，得到例如：
(77) $k\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d\theta }=2\mathrm{\pi \xi }{n}_{\mathrm{int}}.$
因此，得到例如：
(78) $k[\sqrt{1+k^2}·E(\alpha ,m)-\frac{k^2\sin \theta \cos \theta }{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }}]=\mathrm{\pi \xi }{n}_{\mathrm{int}}.$
在一些实施例中，利用例如等式(78)和已知数学方法比如众所周知 的牛顿法，可以找到参数k的解。这样的方法可能需要例如对参数k的初 始估计。初始估计kinit可以例如利用以下公式来限定：
$k\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d\theta }\approx k\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}k\sin \mathrm{\theta d\theta }=k^2(1-\cos {\theta }_{\max })=$
(79) ${2k}^2{\sin }^2({\theta }_{\max }/2)=2\mathrm{\pi \xi }{n}_{\mathrm{int}}\to k^{\mathrm{init}}=\frac{\sqrt{\mathrm{\pi \xi }{n}_{\mathrm{int}}}}{\sin ({\theta }_{\max }/2)}.$
这样的方法可能需要例如相对于等式(77)中限定的公式的参数k的导数。 在一些实施例中，所述导数可以由例如以下等式给出：
(80) $\frac{d}{\mathrm{dk}}\left(k\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d\theta }\right)=\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d\theta }+k·\frac{d}{\mathrm{dk}}\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d\theta }.$
组合等式(42)和(80)，得到例如以下等式，其中F(α，m)可以是第一类 型椭圆积分：
$k·\frac{d}{\mathrm{dk}}\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\sqrt{1+k^2·{\sin }^2\theta }\mathrm{d\theta }=\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\frac{k^2{\sin }^2\mathrm{\theta d\theta }}{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }}=\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\frac{1+k^2{\sin }^2\theta -1}{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }}\mathrm{d\theta }$
(81) $=\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d\theta }-\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\frac{\mathrm{d\theta }}{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }}=s\left({\theta }_{\max }\right)-\frac{F(\alpha ,m)}{\sqrt{1+k^2}}.$
在一些实施例中，参数α和模式m可以例如以以下方式由等式(43)限定， 所述方式为例如：
(82) $\alpha =\arcsin \frac{\sqrt{1+k^2}\sin \theta }{\sqrt{1+k^2{\sin }^2\theta }}$ 且 $m=\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}.$
因此，可以提供以下等式，其可以用于获得等式(81)中的导数，所述导 数可以用于例如一些迭代方法，以便对非线性方程进行求解：
(83) $\frac{d}{\mathrm{dk}}\left[k\underset{0}{\overset{{\theta }_{\max }}{\int }}\sqrt{1+k^2·{\sin }^2\theta }\mathrm{d\theta }\right]=2·s_{\max }-\frac{F(\alpha ,m)}{\sqrt{1+k^2}}.$
可以使用其它公式或公式序列。
以上设计等式具体地与球形螺线有关。本发明的实施例所涵盖的其它 方法可以使用其它表面上的螺旋线。例如，可以应用具有不同等式系列的 修改的算法以在扁平或扁长球体(例如，分别具有相等长度的两个轴以及 更短或更长的第三轴的椭圆体)的表面上、或在其中所有三个轴可具有不 长度的一般(例如，不等边)椭圆体的表面上设计螺线。尽管本发明的实 施例描述了利用具有均匀球形螺线形状的坐标系以便将数据从常规坐标 系转换到均匀球形螺旋坐标系，但是通过对这里所述的计算进行较小的修 改，可以使用以下所述的任何形状：所述形状提供常规坐标系中的两个或 更多个变量之间的关系，减小数据点的维数，或者具有常规坐标系的沿螺 旋同时改变的两个或更多个变量的表示。这样的形状可以包括例如椭圆 体、环面、球体、双曲面、抛物面、椭圆抛物面、双曲抛物面和/或双曲 柱面，这些形状可以是真实的或者虚构的，对称的或者非对称的，以及规 则的或者非规则的。
章节H：均匀球形螺线的装仓机制
在一些实施例中，数据点可以不与均匀球形螺线的圈之一相交、 穿过所述圈之一或者位于所述圈之一上。例如，数据点可以落在均匀球形 螺线的连续圈之间。在一些实施例中，数据点可以装仓到例如均匀球形螺 线的最近圈的最近节点上。本发明的实施例可以提供一种用于确定均匀球 形螺线的最近圈的最近节点的系统和方法。可以例如以两个步骤进行装 仓。首先，数据点被装仓到测量到的沿子午线向北或向南最近的螺旋圈。 这样，数据点可以被附加到球形螺线上，而不需要必需与螺线节点重合。 其次，数据点可以被装仓到沿螺旋线测量到的最近螺线节点。可以使用其 它步骤或步骤序列。
在一些实施例中，在双变量坐标系中的数据点可以分别由在例 如0≤θ*≤π且的范围内的天顶角和方位角值来表示。在一些实 施例中，在均匀球形螺旋坐标系中的数据点可以分别由在例如 0≤θ≤π且的范围内的天顶角和方位角值来表示，其中ncoils 可以是均匀球形螺线中的圈的数目。可以使用其它值和/或值范围。
在一些实施例中，可以首先确定最接近原始数据点的圈，接着 可以确定(例如，沿最近圈的)最接近数据点的节点，例如，如以 下所述：最接近数据点的圈可以在均匀球形螺旋坐标系中具有指数 m。可以限定穿过数据点的固定子午线。在一些实施例中，固定的子 午线可以跨越m个完整圈和一部分额外圈，从北极延伸到数据点 在一些实施例中，针对数据点的天顶角与方位角之间的关系(例如， 根据等式(1))可以包括例如：
(84)
其中k可以是螺线的参数，而m可以是最接近数据点的圈的指数。 指数m可以是例如：
(85)
其中运算符“integer”可以为任意数确定最接近的整数。
在一些实施例中，中间点(其可以为位于均匀球形螺线的最近圈 上的点)的天顶角与方位角之间的关系可以按以下等式被限定：
(86)
在一个实施例中，中间点可以是均匀球形螺线上的点，并且可以 沿子午线在北极或南极方向上从可以远离螺线的原始数据点平移 (例如，如参考图4所述)。例如，中间点可以是既属于均匀球形螺 线又属于原始数据点的子午线的点。尽管中间点可以位于均匀 球形螺线上，但是所述点不需要与螺线节点(例如，节点355)重合。为 了确定到中间点最近的节点，可以例如按以下等式进行第二操作：
在一些实施例中，中间点可以不与均匀球形螺线的节点重合。例 如，中间点可以位于最近圈的分段中，例如，在节点之间的间隔中。 可以例如根据题为“球形螺线的均匀面积离散化”的章节中描述的实施例 来布置沿均匀球形螺线的节点。例如，节点可以布置在均匀面积网格的阵 列中，使得连续两个节点之间的包含中间点的间隔可以具有已知扫掠 面积。在这样的实施例中，在中间点的位置，螺旋圈所扫掠的面积可以例 如由等式(69)限定，其中：
(87) $A\left(\theta \right)=\frac{{\sin }^2(\theta /2)}{{\sin }^2({\theta }_{\max }/2)}·A_{\max }.$
单个指数(index)，例如用于沿均匀球形螺线的中间点的装仓或 面积指数，可以例如按以下等式被限定：
(88) $i=\mathrm{integer}\left[\frac{A}{\mathrm{\Delta A}}\right]=\mathrm{integer}\left[n_{\mathrm{int}}\frac{{\sin }^2(\theta /2)}{{\sin }^2({\theta }_{\max }/2)}\right],$
其中nint可以是沿螺旋曲线的节点的总数目。在一些实施例中，螺线上的 不同圈可以具有不同数目的节点。例如，相对靠近极(例如，北极390 和南极395，如参考图4所述)的圈可以比更靠近螺线的“赤道”的圈具 有更少的节点。在一个实施例中，沿圈的节点的数目可以从螺线的极区域 到螺线的赤道区域单调地增加。
本发明的实施例可以提供一种用于确定或使用用于均匀球形螺旋坐 标系的单个指数的系统和方法。在一些实施例中，双变量坐标系(例如， 其中数据可以利用天顶角和方位角来表示)的数据点可以被转换、 映射或参数化为均匀球形螺旋坐标系(例如，其中数据可以利用单个参数 比如天顶角、面积指数或其它单个参数来表示)或例如具有比如球体、椭 圆体、环面、双曲面、抛物面等形状的其它螺旋坐标系的数据点在 确定装仓指数i之后，双角的分量可以例如按以下等式确定：
(89) $\theta =2\arcsin (\sqrt{\frac{i}{n_{\mathrm{int}}}}·\sin \frac{{\theta }_{\max }}{2})$ 且
从该等式获得的天顶和方位可以属于最接近数据点的装仓的螺线 节点。
在一些实施例中，双变量坐标系包括两个独立的指数。本发明的实施 例可以提供一种用于将双变量坐标系的两个独立指数(例如，一个用于天 顶角，另一个用于方位角)统一、转换或参数化为均匀球形螺旋坐标系的 单个指数(例如，用于天顶角)的系统和方法。例如，单个指数可以包括 统一的天顶-方位装仓指数或面积指数。
章节I：局部角域(LAD)机制
在此更详细地描述包括利用螺线参数化进行成像或处理的机制的实 施例，例如，以便确定目标表面取向、射线对方向角和反射角以及它们之 间的相对角。例如，可以在题为“局部和全局坐标系中的射线对”和“局 部和全局坐标系的关系”的章节中对局部和全局坐标系中的射线对和旋转 变换加以描述，尽管这些章节中所示的方法和实施例不是限制性的。可以 在题为“局部角域-增强”的章节中对LAD的分量加以描述，尽管该章 节中所示的实施例不是限制性的。可以在题为“射线对法线”的章节中对 射线对的方向角(例如，包括天顶角和方位角)加以描述，尽管该章节中 所示的实施例不是限制性的。可以在题为“张开角”的章节中对双变量反 射角的张开角(例如，射线对的入射和反射射线之间的角)加以描述，尽 管该章节中所示的实施例不是限制性的。可以在题为“张开参考(零张开 方位)”和“张开方位”的章节中对双变量反射角的张开方位角加以描述， 尽管这些章节中所示的实施例不是限制性的。可以在题为“矢量到平面的 投影”的章节中对用于限定张开方位角的附加信息加以描述，尽管该章节 中所示的实施例不是限制性的。尽管在这些章节中可以使用特定坐标系， 但是本领域技术人员可以明白，本发明可以使用任何适当的坐标系。
局部成像系统可以用于表示入射在目标表面上的局部平面波及其反 射的系统。入射和反射射线的方向可以被转换为反射对象的法线方向以及 反射角幅度和取向。从该转换得出的四个角可以被称作局部角域(LAD)。
在一个实施例中，LAD中的每对射线(其可包括入射和反射射线) 可由多个例如四个变量(例如，表示入射和反射射线的天顶方向的两个角 (例如，天顶角310，如参考图4所述)和表示入射和反射射线的方位取 向的两个变量(例如，方位角320，如参考图4所述)表示。成像系统可 以使用每个射线对的替选的或附加的多变量表示。在一个实施例中，每个 射线对可以由四个变量表示，所述四个变量包括例如表示射线对法线的方 向的两个方向角比如天顶角和方位角，以及表示射线对中的入射和反射射 线的相对取向的两个双反射角分量比如张开角和张开方位角。方向角和反 射角中的每一个可由两个独立的双角系统表示。尽管本领域技术人员可以 了解各向同性或各向异性模型都可以用于成像，然而在这里所述的说明性 实施例中，使用例如具有倾斜横向各向同性的各向异性模型。在一些实施 例中，可以使用具有相对少或低类型对称性的各向异性模型，比如正交对 称、单斜对称和/或三斜对称。在一些实施例中，各向异性模型与横向各 向同性模型相比可能需要更多的参数。在这里所描述的实施例中，横向各 向同性模型可用于简单和说明目的。
本发明的实施例可以提供一种用于每个或一些双角系统的均匀球形 螺线参数化。在一些实施例中，可以针对每个双角系统使用不同的均匀球 形螺线表示。例如，可使用一个均匀球形螺线以表示方向角(例如，包括 天顶角和方位角)，并且可使用另一个均匀球形螺线以表示每个射线对的 反射角(例如，包括张开角和张开方位角)。可以使用包括不是均匀的或 球形的螺线的表示。
局部和全局坐标系中的射线对
参考图13和14。图13是根据本发明实施例的局部和全局坐标系中 的射线对的示意图。图14是根据本发明实施例的在反射表面的图像点处 的局部和全局坐标系之间的关系的示意图。射线对可包括例如对应的入射 射线SM 713和反射射线RM 717。例如，这两条射线反射表面(例如， 也称作“目标表面”)的基本上同一反射点M 720(例如，也称作“图像 点”)。在一些实施例中，入射射线SM 713可以从源点S 723出射，而反 射射线RM 717可以从接收器点R 727出射。源点S 723和接收器点R 727 可以例如分别是源和接收器在地球表面上的相近位置，地震数据从所述源 和接收器生成和/或收集。例如，图13中的包含源点S 723和接收器点R 727的平行四边形725可以表示地球表面的位置。
在一些实施例中，每个射线对可以具有射线对法线715将参考 图16和17对射线对法线(例如，作为射线对法线815，)进一步进 行描述。射线对法线715可以是与射线对反射表面正交的矢量。射线 对反射表面不是必然与背景反射表面730重合，而是可以依赖于各种因 素，包括例如入射射线713和反射射线717的方向以及次表面介质的特性。 在一些实施例中，每个反射点720M(或者例如“图像点”)可以具有对 应的背景反射法线735(例如，也称作“背景法线”)。背景反射法线 735可以是与背景反射表面730正交的矢量，并且可以由例如包括天 顶角θo和方位角的方向角表示。在图4中所示的实施例中，局部坐标系 的轴与背景反射法线735重合(例如， $\hat{z}={\overrightarrow{n}}^B$ )，并且平面与背景 反射表面730重合。在各种实施例中，背景反射法线735与射线对法 线715可以重合或者可以不重合。在一个实施例中，全局坐标系可以 由例如坐标轴x、y和z限定，其中z轴被定向为竖直向下。
本领域技术人员可以理解，描述了局部和全局坐标系之间的LAD变 换(包括旋转变换)的本发明的实施例也可以包括例如平移移位，其可以 具有任何适当的值。在一些实施例中，当平移移位为例如零时，局部和全 局坐标系的原点可以基本上重合。在这样的实施例中，全局和局部坐标系 的轴的取向不需要重合。
全局和局部坐标系之间的关系
再次参考图14，其为根据本发明实施例的在反射表面的反射点处的 局部和全局坐标系之间的关系和变换的示意图。本发明的实施例可以提供 全局坐标系的坐标(x，y，z)与局部坐标系的坐标之间的关系，例如变 换或其它函数，比如一系列旋转。在一个实施例中，矢量的变换可以包括 例如三个旋转，比如与由背景反射法线735限定的方向角的方位角 相对应的第一旋转712，与由背景反射法线限定的方向角的天顶 角或倾角θo相对应的第二旋转714，以及围绕背景反射法线735的第 三旋转716。例如，所述三个旋如下所述：
第一旋转712可以包括全局坐标系(x，y，z)的绕轴(例如，z＝zv轴) 的旋转，其中zv轴与全局轴z重合，并且旋转角可以由背景反射法线735 的方位角来限定。第一旋转712可以提供具有轴(xv，yv，zv)的中间坐 标系。第二旋转714可以包括中间系统xvyvzv绕轴(例如，yv＝yw轴)的 旋转，其中yw轴与yv轴重合，并且旋转角可以由背景反射法线735的 倾角θo来限定。第二旋转714可以提供具有轴(xw，yw，zw)的另一中间坐标 系。在一些实施例中，第二旋转714不改变方位角第三旋转716可 以包括中间坐标系xwywzw绕轴(例如， $z_w=\hat{z}$ )的旋转，其中中间坐标系 xwywzw的zw轴与局部背景法线 $\hat{z}={\overrightarrow{n}}^B$ 重合，并且旋转角例如可以由补角δo (例如，其也称作“扭转”角)来限定。第三旋转716可以提供具有坐标 的局部坐标系。在一些实施例中，第三旋转716不改变方位角和 倾角θo。因此，可以根据本发明的实施例使用任何范围的补角δo。在一 个实施例中，补角δo可以以以下方式被选择：在所述方式中，第三旋转 可以提供具有与全局坐标系的y轴正交的轴的局部坐标系(例如，其中 )。在一些实施例中，利用扭转角δo的不同值，可以在LAD中提供 射线对的入射射线SM 713和反射射线RM 717的方向的不同表示。
参考图15，其为根据本发明实施例的用于在全局坐标系和局部坐标 系之间变换数据的三个旋转的示意图。在一些实施例中，参考图15所描 述的三个旋转可以对应于参考图14所描述的第一旋转712、第二旋转714 和第三旋转716。在一些实施例中，第一旋转712、第二旋转714和第三 旋转716可以分别由第一矩阵(例如，由等式(73)限定)、第二矩阵(例 如，由等式(74)限定)和第三矩阵(例如，由等式(75)限定)来表示， 所述三个矩阵可以如以下所述。
第一旋转矩阵(例如，表示绕z＝zv轴的旋转)可以是例如：
(90)
第二旋转矩阵(例如，表示绕yv＝yw轴的旋转)可以是例如：
(91) $R_{\mathrm{y\theta }}=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\theta }_o& 0& -\sin {\theta }_o\\ 0& 1& 0\\ {\sin \theta }_o& 0& \cos {\theta }_o\end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c}{x}_w\\ y_w\\ z_w\end{array}\right]=R_{\mathrm{y\theta }}\left[\begin{array}{c}{x}_v\\ y_v\\ z_v\end{array}\right].$
第三旋转矩阵(例如，表示绕 $\hat{z}=z_w$ 轴的旋转)可以是例如：
(92) $R_{\mathrm{z\delta }}=\left[\begin{array}{ccc}{\cos \delta }_o& {\sin \delta }_o& 0\\ -{\sin \delta }_o& \cos {\delta }_o& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c}\hat{x}\\ \hat{y}\\ \hat{z}\end{array}\right]=R_{\mathrm{z\delta }}\left[\begin{array}{c}{x}_w\\ y_w\\ z_w\end{array}\right].$
因此，从全局坐标系的坐标(x，y，z)到局部坐标系的坐标的变换 可以包括如以下的一系列旋转：
(93)
在一些实施例中，从局部坐标系的坐标到全局坐标系的坐标 (x，y，2)的变换可以由等式(93)所限定的变换的逆变换来限定。所述逆变 换可以在例如一系列转置矩阵A上操作，其中所述矩阵可以包括分别由 等式(90)、(91)和(92)限定的第一、第二和第三矩阵，并且其中在等 式(94)中的三个矩阵乘积中转置矩阵的顺序可以与在所述转置矩阵从其 被转置的矩阵的等式(76)中的顺序相反。这样的变换可以例如按以下等 式被限定：
(94)
其中例如：
(95)

在说明性实施例中，局部坐标系中的单位矢量可以例如由以下等式 限定：
(96) ${\hat{x}}^{\mathrm{loc}}=\left\{\mathrm{1,0,0}\right\}.$
(例如，根据等式(94)所限定的变换)将单位矢量从局部坐标系的坐 标变换到全局坐标系的坐标(x，y，2)可以提供全局坐标系中的单位 矢量该单位矢量可以由例如以下等式限定：
(97)
在一些实施例中，可以是矩阵A的第一列。
因此，可以限定例如以下关系：
(98)
其得出例如以下等式：
(99)
在一些实施例中，如果|δo|≤π/2，则例如：
(100)
组合等式(95)、(98)和(100)，得到例如：
(101)
或者等同地：
(102)
因此，任意矢量V的分别从全局坐标系到局部坐标系的变换和从局 部坐标系到全局坐标系的对应逆变换(例如，分别由等式(93)和(94) 限定)可以由例如以下关系限定：
(103)Vglob＝AVloc且Vloc＝ATVglob。
可以使用其它公式或公式系列。
局部角域-增强
参考图16和17，其为根据本发明实施例的局部参考坐标系中的双方 向角系统的示意图。射线对可包括入射射线和反射射线，可以根据参考图 13所描述的射线对的实施例使用所述入射射线和反射射线。在一个实施 例中，LAD系统中的每个射线对可以由例如四个角表示，包括角v1、v2、 γ1和γ2(例如，如参考图16所示和所述的射线对法线815的天顶角v1 810 和方位角v2 820，以及如参考图17所示和所述的张开角γ1和张开方位角 γ2)。
在例如图16中所示的一个实施例中，射线对法线815可以由例 如天顶角810 v1和方位角820 v2表示。例如，天顶角810 v1(例如，其可 以为无符号的或正的)可以表示射线对法线815与背景反射法线835 之间的角，所述背景反射法线835可以例如是与背景反射表面840 (例如，平面)正交的矢量。例如，方位角820 v2(例如，其可以是有 符号的)可以是轴与矢量ML之间的角，所述矢量ML可以是射线对法 线815在背景反射表面840(例如，平面)上的投影。
在例如图17中所示的一个实施例中，角850 γ1可以是张开角。在一 个实施例中，矢量845和矢量847可以分别表示射线对的入射射线 和反射射线的相位速度的方向。在可以使用各向同性或各向异性介质的实 施例中，射线对平面可以被限定为构建于入射射线和反射射线的慢度方向 (例如，分别为矢量845和矢量847)上的平面。通过入射慢度矢 量和反射慢度矢量的平面可以被限定为射线对矢量。等价地，可以确定入 射慢度矢量和反射慢度矢量的叉积。所示叉积可以限定通过图像点的平面 (例如，与叉积正交)。所述平面可以为同一射线对平面。在一些实施例 中，射线对平面和射线对反射表面870 SRefl可以正交。在各向异性介质 中和/或在转换波的情况下，射线对可以具有例如不同的入射角817和/或 反射角819，分别为αin和αre。入射角和反射角可以为图17中所限定的示 例。入射角817αin可以为入射射线慢度方向845与射线对法线 815之间的角。反射角819αre可以为反射射线慢度方向847与射线对 法线815之间的角。在一些实施例中，矢量845与射线对法线 815之间的入射角和矢量847与射线对法线815之间的反射角之 和可以为张开角γ1。在一些实施例中，矢量845与射线对法线815 之间的入射角和矢量847与射线对法线815之间的反射角可以不 同，并且其中一个角可以大于张开角850γ1的一半，而另一个角可以小于 张开角850γ1的一半。
在例如图17所示的一些实施例中，角860γ2可以是张开方位角。张 开方位角860γ2可以表示张开移位855的取向，张开移位855可以 被限定为例如相位速度矢量845和847的方向之间的差。张开方位 角860γ2可以为例如在射线对反射表面870SRefl中测得的张开移位855 $\Delta \overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}^{\mathrm{re}}-{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{in}}$ 的取向。反射表面张开移位857可以例如被限定为张开 移位855到射线对反射表面870 SRefl上的投影。反射表面张开移位857 可以例如是张开移位855与其分量之间的差，所述分量与 射线对反射表面870 SRefl正交和/或平行于射线对法线815
因此，反射表面张开移位857可以被限定为例如：
(104) $\Delta {\overrightarrow{p}}_S=\Delta \overrightarrow{p}-\Delta {\overrightarrow{p}}_n=\Delta \overrightarrow{p}-(\Delta \overrightarrow{p}·{\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}})·{\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}},$ 其中 $\Delta \overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}^{\mathrm{re}}-{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{in}}.$
在一些实施例中，张开方位角860γ2可以表示反射表面张开移位857 的取向以及由此表示张开移位855到射线对反射表面870 SRefl上的投 影的取向。在一些实施例中，张开参考875可以为射线对反射表面870 SRefl中具有零张开方位角860γ2的矢量。在一些实施例中，张开方位角860 γ2可以由反射表面张开移位857相对于张开参考875的取向来限 定。例如，张开参考875可以是轴877到射线对反射表面870 SRefl上 的投影。因此，张开方位角860γ2可以是张开参考875与张开移位855 到射线对反射表面870 SRefl上的投影(例如，反射表面张开移位857 )之间的(例如，有符号的)角。可以使用其它角、矢量、几何形状、 坐标系或公式。
射线对法线
本发明的实施例可以描述射线对法线例如参考图13、14、16 和17所述的射线对法线815。本发明的实施例可以提供一种用于输入全 局坐标系中的参数(例如包括θaxis、Thomsen参数δ和ε) 并且输出局部坐标系中的射线对法线的机制。在一些实施例中，和 分别为射线对的入射和反射射线的相位速度的方向，可以具有单位 长度。在一些实施例中，可以使用TTI介质。例如，天顶(例如，倾斜) 角θaxis和方位角可以限定TTI介质中的倾斜对称轴的取向。天顶角θaxis 和方位角可以用于描述对称轴的取向。例如，参数δ和ε可以是 Thomsen各向异性参数。在这样的实施例中，例如相位速度Vphsin和Vphsre中的 每一个与压缩速度参数VP的比率可以用于计算射线对法线压缩速度 参数VP可以是例如在倾斜对称轴方向上的压缩波速度的绝对值。尽管压缩 速度参数VP(例如，与两个Thomsen参数一起)通常用于计算压缩波， 根据本发明的实施例，可以在不利用压缩速度参数VP的情况下计算压缩 波。在一些实施例中，可以利用相位速度Vphsin和Vphsre与压缩速度参数VP的比 率而不利用压缩速度参数VP自身来计算压缩波。可以例如利用射线反射的 几何形状和Thomsen参数来计算这样的比率。
再次参考图13、14、16和17。在一些实施例中，具有基本上相同反 射点720M的入射射线SM 713和反射射线RM 717可以分别从源点723 S 和接收器点727R入射，如参考图13所述。在一些实施例中，反射法线 可以具有朝向次表面体的内向方向(例如，内向法线)。在参考图13、16 和17所述的实施例中，反射法线735和835分别可以具有从反射表面 (例如，射线对反射表面870 SRefl)出射的外向方向(例如，外向法线)。
利用Snell定律，(例如，在一般各向异性模型中)例如可以利用以 下等式来确定射线对法线的方向：
(105) $({\overrightarrow{S}}^{\mathrm{in}}+{\overrightarrow{S}}^{\mathrm{re}})\times {\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}}=0,$
其中和可以是分别由以下等式限定的入射射线SM和反射射线RM 的慢度矢量：
(106) ${\overrightarrow{S}}^{\mathrm{in}}=\frac{{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{in}}}{V_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{in}}},$ ${\overrightarrow{S}}^{\mathrm{re}}=\frac{{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{re}}}{V_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{re}}},$
Vphsin和Vphsre可以分别是入射和反射相位速度的绝对值。
当...为非零时，等式(105)提供了例如在相同或相反方向上的共线 余子式和例如：
(107) ${\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}}=\alpha ({\overrightarrow{S}}^{\mathrm{in}}+{\overrightarrow{S}}^{\mathrm{re}}),$ 其中α可以是标量值。
在一些实施例中，α＝VP，其中VP可以是一般各向异性模型(例如， 不是必须为TTI模型)中的压缩波的压缩速度参数。因此，通过等式(107)， 射线对法线可以不具有单位。例如：
(108) ${\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}}=\frac{V_P}{V_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{in}}}·{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{in}}+\frac{V_P}{V_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{re}}}·{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{re}},$
其中相位速度Vphs(例如，Vphsin和Vphsre)与竖直压缩速度VP的比率可以由以 下等式得出：
(109) $\frac{V_{\mathrm{phs}}^2}{V_P^2}=\frac{1+f}{2}+ϵ{\sin }^2{\theta }_{\mathrm{phs}}+\frac{1}{2}\sqrt{{(1-f+2ϵ{\sin }^2{\theta }_{\mathrm{phs}})}^2-2(ϵ-\delta )(1-f){\sin }^2{2\theta }_{\mathrm{phs}}},$
其中
(110) $f=V_S^2/V_P^2,$
VS可以是对称轴方向上的剪力波的速度，而角θphs可以是相位速度的方向 与对称轴的方向之间的角，例如，f＝1/4或任何其它合适的值。
在一些实施例中，当TTI模型具有竖直对称轴(例如，竖直横向各 向同性(VTI)模型)时，角θphs变为相位速度的天顶角或倾角(例如， 相位速度的方向与竖直轴的方向之间的角)。在一些实施例中，射线对法 线矢量可以例如被标准化以便具有单位长度。
参考图18，其为根据本发明实施例的用于生成LAD的四个分量的方 法的流程图。图18中所示的实施例和这里所示的其它方法可以例如由图 1中示出的系统来执行，当然，可以使用其它系统以执行这里所描述的方 法。
例如，用于利用全局坐标系中的参数例如包括θaxis、 δ和ε在局部坐标系中生成射线对法线的机制可以进行以下操作：
在操作900中，入射和反射射线的例如相位速度和的方向分别 可以根据例如以下等式，从全局坐标系转换到局部坐标系：
(111) ${\overrightarrow{p}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{in}}=A^T{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{in}}$ 且 ${\overrightarrow{p}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{re}}=A^T{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{re}},$
其中旋转矩阵A可以例如通过等式(102)或根据参考图14和15在题为 “全局与局部坐标系之间的关系”的章节中所描述的实施例来限定。AT可 以是A的转置矩阵。相位速度和的方向可以分别根据参考图17所述 的矢量845和847的实施例来限定。
在操作910中，表示相位速度和的方向的矢量可以例如被标准 化以具有单位长度。例如：
(112) $\left|{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{in}}\right|=1$ 且 $\left|{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{re}}\right|=1.$
在操作920中，例如TTI模型中的倾斜对称轴或例如表示倾斜对称 轴的取向的天顶角θaxis和方位角可从全局坐标系被转换到局部坐标 系。
倾斜对称轴可以在全局坐标系中(例如，在笛卡尔坐标系中)例如通 过以下等式来表示：
(113) $n_{\mathrm{zglob}}^{\mathrm{axis}}=\cos {\theta }_{\mathrm{axis}}.$
在一些实施例中，将倾斜对称轴从全局坐标系转换到局部坐标系可以 包括：根据例如参考图14在题为“全局与局部坐标系之间的关系”的章 节中描述的实施例，或通过其它方法，从全局坐标系中的双角表示转换到 全局坐标系中的笛卡尔坐标系(例如，如等式(113)所限定的)，然后例 如根据以下等式，从全局坐标系中的笛卡尔坐标系转换到局部坐标系：
(114) ${\overrightarrow{n}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{axis}}=A^T{\overrightarrow{n}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{in}}.$
在操作930中，分别用于入射角SM和反射角RM的相位速度倾角 包括θphsin和θphsre可以例如相对于在操作920中转换的倾斜对称轴来确定。在 一些实施例中，矢量和可以被标准化以具有单位长度，而分 别用于相位速度和的天顶角θphsin和θphsre可以为例如：
(115) ${\theta }_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{in}}=\arccos ({\overrightarrow{n}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{axis}}·{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{in}}),$ ${\theta }_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{re}}=\arccos ({\overrightarrow{n}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{axis}}·{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{re}}).$
应注意，标量积例如和在局部与全局坐标系之间的旋转变 换中可以是不变的。因此，等式(115)可以等同于例如以下等式：
(116) ${\theta }_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{in}}=\arccos ({\overrightarrow{n}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{axis}}·{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{in}}),$ ${\theta }_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{re}}=\arccos ({\overrightarrow{n}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{axis}}·{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{re}}).$
在操作940中，利用等式(109)，比率βin和βre，例如分别针对入射 和反射射线的相位速度的绝对值与压缩速度参数VP的比率，可以例如分 别由以下等式确定：
(117) ${\beta }^{\mathrm{in}}\equiv \frac{V_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{in}}}{V_P},$ ${\beta }^{\mathrm{re}}\equiv \frac{V_{\mathrm{phs}}^{\mathrm{re}}}{V_P}.$
在操作950中，可以(例如在一般各向异性模型中)使用Snell定律， 并且在局部坐标系中(例如，在笛卡尔坐标系中)表示的射线对法线 的方向可以例如由以下等式确定：
(118) ${\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}}=\frac{{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{in}}}{{\beta }^{\mathrm{in}}}+\frac{{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{re}}}{{\beta }^{\mathrm{re}}}.$
在一些实施例中，射线对法线可以例如被标准化以具有单位长度。例 如：
(119) $\left|{\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}}\right|=1.$
在操作960中，可以例如利用在操作950中确定的射线对方向在局部 坐标系中的坐标，确定局部坐标系中表示的张开角γ1和张开方位角γ2。张 开角γ1和旋转方位角γ2可以表示射线对中的入射和反射射线的互取向，并 且可以根据在参考图16和17的题为“局部角域-增强”的章节中所述的 张开角850γ1和张开方位角860γ2的实施例而被使用。可以使用其它适合 的公式或公式序列。
可以使用其它操作或操作序列。
张开角
在本发明的一些实施例中，张开角γ1可以包括例如入射和反射射线的 相位速度和之间的角。相位速度和的方向可以例如被标准化以 具有单位长度。因此，相位速度和的标量积可以是张开角γ1的余弦。 由于标量积可以在局部与全局坐标系之间的旋转转换情况下是不变的，因 此张开角γ1可以被限定为例如：
(120) ${\gamma }_1=\arccos ({\overrightarrow{p}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{in}}·{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{re}})=\arccos ({\overrightarrow{p}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{in}}·{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{glob}}^{\mathrm{re}}).$
应注意，当使用各向异性介质时，入射和反射射线的射线对法线 相位速度和的方向以及射线速度可以位于同一射线对平面中，但是 其各个角αin(例如，入射角)和αre(例如，反射角)通常不相等。例如， 与之间的角αin和与之间的角αre可以不同。例如，所述角之 一可以大于半张开角γ1/2，而所述角中的另一个可以小于半张开角γ1/2。
张开参考(零张开方位)
本发明的实施例可以描述张开方位角γ2，其可以表示反射表面张开移 位的取向，例如张开移位 $\Delta \overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}^{\mathrm{re}}-{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{in}}$ 在射线对法线上的投影，如 参考图16和17所述。在一些实施例中，在射线对反射表面SRefl中的零方 位(称作张开参考)可以用于限定张开方位角γ2。例如，旋转参考可 以是轴到射线对反射表面SRefl上的投影。因此，张开方位角γ2可以是张 开参考与例如张开移位的投影(例如，反射表面张开移位)之间 的(例如，有符号的)角。矢量可以是张开移位自身，而矢量可以 是张开移位到反射平面上的投影。射线对反射表面SRefl可以是(例如，在 笛卡尔坐标系中)所限定的与射线对法线正交的表面，如在题为“射 线对法线”的章节中所述。在一些实施例中，射线对法线可以例如被 标准化以便具有单位长度。可以在题为“矢量到平面上的投影”的章节中 更详细地描述位于射线对反射表面SRefl中的张开参考例如，在一个 说明性实施例中，局部参考坐标系中的局部轴的分量可以包括例如：
(121)Ax＝1，Ay＝Az＝0。
因此，张开参考可以例如在局部坐标系中被限定为：
(122) ${\overrightarrow{n}}^A=\{1-{\left(n_x^{\mathrm{Rays}}\right)}^2,-n_x^{\mathrm{Rays}}{n}_y^{\mathrm{Rays}},-n_x^{\mathrm{Rays}}{n}_z^{\mathrm{Rays}}\},$
其中张开参考可以是串列方向(例如轴的方向)在射线对反射表面 SRefl上的投影。因此，张开参考可以具有例如由以下等式限定的长度：
(123) $\left|{\overrightarrow{n}}^A\right|=\sqrt{{\left(n_y^{\mathrm{Rays}}\right)}^2+{\left(n_z^{\mathrm{Rays}}\right)}^2}.$
在一些实施例中，当 $n_x^{\mathrm{Rays}}=1$ 时， $n_y^{\mathrm{Rays}}=n_z^{\mathrm{Rays}}=0,$ 并且可以是非零数。 在一些实施例中，张开参考可以例如被标准化以便具有单位长度。因 此，张开参考可以例如在局部坐标系中被限定为：
(124) ${\overrightarrow{n}}^A=\{\sqrt{{\left(n_y^{\mathrm{Rays}}\right)}^2+{\left(n_z^{\mathrm{Rays}}\right)}^2},-\frac{n_x^{\mathrm{Rays}}{n}_y^{\mathrm{Rays}}}{\sqrt{{\left(n_y^{\mathrm{Rays}}\right)}^2+{\left(n_z^{\mathrm{Rays}}\right)}^2}},-\frac{n_x^{\mathrm{Rays}}{n}_z^{\mathrm{Rays}}}{\sqrt{{\left(n_y^{\mathrm{Rays}}\right)}^2+{\left(n_z^{\mathrm{Rays}}\right)}^2}}\},$
其中射线对法线的分量可以例如在局部平面中表示。
在一些实施例中，射线对反射表面SRefl可以基本上与平面重合。在 这样的实施例中，当射线对反射表面SRefl基本上与平面重合时，串列方 向(例如轴的方向)在射线对反射表面SRefl上的投影可以近似为零，且 因此张开参考 ${\overrightarrow{n}}^A=0.$ 在这样的实施例中，张开参考可以被限定为轴 在射线对反射表面SRefl上的投影，其仅在射线对反射表面SRefl基本上与 平面重合时近似为零。由于射线对反射表面SRefl通常基本上不既与又与 表面重合，因此可以选择适当的限定以使得 ${\overrightarrow{n}}^A\ne 0.$
可以使用其它公式或公式系列。
张开方位
本发明的实施例可以描述例如张开移位的反射表面分量(例如， 其还可被称作反射表面张开移位)例如在射线对反射表面SRefl中相对于张 开参考的张开方位角γ2，如参考图17所述。在一些实施例中，张开方 位角γ2可以被限定为张开参考与反射表面张开移位之间的(例如， 有符号的)角。在一些实施例中，当例如“从”射线对反射表面SRefl上的 射线对法线的方向的“箭头”观看，从张开参考到反射表面张开 移位的旋转为顺时针方向时，张开方位角γ2的符号例如可以为正。在 一些实施例中，反射表面张开移位和张开参考可以在射线对反射表 面SRefl上，如参考图16和17所述。在说明性实施例中，反射表面张开移 位可以为例如：
(125) $\Delta {\overrightarrow{p}}_S=\Delta \overrightarrow{p}-\Delta {\overrightarrow{p}}_n=\Delta \overrightarrow{p}-(\Delta \overrightarrow{p}·{\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}})·{\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}},$ 其中 $\Delta \overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}^{\mathrm{re}}-{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{in}},$ 如等式(104)所述。
在一些实施例中，当相位速度和重合时，张开移位及其投影 (例如在是射线对反射平面上的投影)(例如，反射表面张开移位) 可以忽略不计，可以近似为零，或者可以消失。在这里所描述的实施例中， 张开角可以为零，且张开方位角可以不被限定并且通常不影响其它参数。
在一个实施例中，反射表面张开移位射线对反射表面SRefl的射 线对法线以及张旋转参考中的每一个均可例如被标准化以便具 有单位长度。例如：
(126) $\left|{\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}}\right|=1,$ $\left|\Delta {\overrightarrow{p}}_S\right|=1,$ $\left|{\overrightarrow{n}}^A\right|=1.$
在这样的实施例中，例如由等式(125)限定的反射表面张开移位可以 提供旋转方位角γ2的正弦的绝对值。例如：
(127) $\left|\sin {\gamma }_2\right|=|n^A\times \Delta {\overrightarrow{p}}_S|.$
在一些实施例中，例如由等式(127)限定的叉积可以具有与射线对 法线到射线对反射表面SRefl的方向相同或相反的方向(例如，参考图 16和17所限定的射线对法线)。因此，旋转方位角γ2可以例如由以 下等式限定：
(128) $\sin {\gamma }_2={\overrightarrow{n}}^A\times \Delta p_S·{\overrightarrow{n}}^{\mathrm{Rays}}.$
例如，展开等式(128)的右手侧的混合积，可以得到：
$\sin {\gamma }_2=n_y^A\Delta p_{S,z}{n}_x^{\mathrm{Rays}}+n_z^A\Delta p_{S,x}{n}_y^{\mathrm{Rays}}+n_x^A\Delta p_{S,y}{n}_z^{\mathrm{Rays}}$
(129) $-n_z^A\Delta p_{S,y}{n}_x^{\mathrm{Rays}}-n_x^A\Delta p_{S,z}{n}_y^{\mathrm{Rays}}-n_y^A\Delta p_{S,x}{n}_z^{\mathrm{Rays}}.$
在这样的实施例中，张开方位角γ2的余弦例如可以由以下等式来限定：
(130) $\cos {\gamma }_2={\overrightarrow{n}}^A·\Delta {\overrightarrow{p}}_S=n_x^A·\Delta p_{S,x}+n_y^A·\Delta p_{S,y}+n_z^A·\Delta p_{S,z}.$
因此，张开方位角γ2的正弦和余弦可以例如根据等式(129)和(130) 来限定，并且张开方位角可以建立在-π＜γ2≤π的范围内。可以使用其它 公式或公式系列。
矢量到平面上的投影
例如，本发明的实施例可以描述一种任意矢量到平面P上的投影， 其中平面P可以例如由其法向分量来限定。例如，这样的实施例可以用 于确定张开移位在射线对反射表面SRefl上的分量，例如，如参考图16 和17所述。在一些实施例中，当矢量位于平面P中时，矢量到平面P 上的投影可以等于矢量自身。在其它实施例中，当当矢量位于平面P 之外时，该投影可以按以下来确定。
在一个实施例中，平面P的法线可以例如被标准化以便具有单位长 度 $\left|\overrightarrow{n}\right|=1.$ 矢量可以具有任何适当的长度。
在一个实施例中，矢量到具有法线的平面P上的投影可以例如通 过矢量与矢量到矢量上的投影的差来确定。矢量在方向上的投 影可以例如由以下等式给出：
(131) $l=\overrightarrow{n}·\overrightarrow{A}.$
因此，矢量到平面P上的投影可以为例如：
(132) ${\overrightarrow{A}}_t=\overrightarrow{A}-{\overrightarrow{A}}_n,$ $\mathrm{wherel}=\overrightarrow{n}·\overrightarrow{A}\mathrm{and}{\overrightarrow{A}}_n=l·\overrightarrow{n}=\left\{\begin{array}{c}{n}_x^2{A}_x+n_x{n}_y{A}_y+n_x{n}_z{A}_z\\ n_x{n}_y{A}_x+n_y^2{A}_y+n_y{n}_z{A}_z\\ n_x{n}_z{A}_x+n_y{n}_z{A}_y+n_z^2{A}_z\end{array}\right\}.$
因此，矢量到平面P上的投影可以为例如：
(133) ${\overrightarrow{A}}_t=\left\{\begin{array}{c}{A}_x(n_y^2+n_z^2)-n_x{n}_y{A}_y-n_x{n}_z{A}_z\\ -n_x{n}_y{A}_x+A_y(n_x^2+n_z^2)-n_y{n}_z{A}_z\\ -n_x{n}_z{A}_x-n_y{n}_z{A}_y+A_z(n_x^2+n_y^2)\end{array}\right\}.$
可以使用其它公式或公式系列。
在一些实施例中，矢量和共线。在这样的实施例中，当 ${\overrightarrow{A}}_t=\overrightarrow{A}-{\overrightarrow{A}}_n$ 的符号为正时，两个共线矢量和具有相同的方向，而当 ${\overrightarrow{A}}_t=\overrightarrow{A}-{\overrightarrow{A}}_n$ 的符 号为负时，两个共线矢量和具有相反的方向。
出于图示和说明的目的给出了本发明的实施例的上述描述。本领域技 术人员应理解，根据以上教导可以进行很多变型、变化、替换、改变以及 等同。因此应当理解，所附权利要求旨在覆盖落入本发明的实质范围内的 所有这样的变型和修改。